Chapitre VI.
L’intuition de la vitesse ^{1 a} 🔗

Bern (5 ; 2) admet que l’un des tunnels est plus long que l’autre et que les départs et les arrivées ont été respectivement simultanés : « Alors un des deux a marché plus vite que l’autre ? — Non. » On enlève alors les tunnels et on reproduit les mêmes mouvements : « une des poupées a été plus vite que l’autre ? — Oui, celle-là (juste). — Elles sont parties en même temps ? — Oui. —  Et arrivées en même temps ? — Oui. —  Elles ont marché le même temps ? — Non. Celle-là plus (= plus long chemin). — Et comme ça (A part la première et B la rattrape. Arrivées simultanées) ? — Elle a rattrapé l’autre. —  Une des deux a marché plus vite ? — Non. — (On reprend les tunnels. Départs et arrivées simultanés.) Et maintenant, une des deux a marché plus vite ? — Non ». Donc la plus grande vitesse est liée à un dépassement visible. À mêmes points d’arrivée simultanés les vitesses sont jugées égales même si un mobile est parti après l’autre du même point de départ.

Ios (5 ; 6) : « Ils sont partis ensemble ? — Oui. —  Arrivés en même temps ? — Oui. — Un des bonshommes a marché plus vite que l’autre ? — Non. —  Les tunnels sont de la même longueur ? — Non, celui-là est plus petit et celui-là plus grand. — Alors un des bonshommes a été plus vite ? — Non. — Regarde encore (on refait l’expérience). — Oui, la même chose vite. —  Est-ce que dans le tunnel plus petit le chemin est plus court ? — Oui. —  Et ils arrivent en même temps ? — Oui. —  Alors un marche plus fort que l’autre ? — Non. — Ça ne fait rien si un des tunnels est plus grand que l’autre ? — Mais non ! —  Où est le chemin le plus long ? — Celui-ci. — Alors un des deux va plus fort que l’autre s’ils arrivent en même temps ? — Non. »

On relève, à la craie, les deux chemins parcourus sous les tunnels et l’on écarte ceux-ci : « S’ils partent en même temps et arrivent en même temps, un va plus vite que l’autre ? — Oui, le premier va plus vite parce que le chemin est plus long. — (On efface la craie et remet les tunnels.) Ils partent et arrivent ensemble ? — Oui. — Un va plus vite que l’autre ? — Non. —  Pourquoi ? — Ils arrivent en même temps. »

Mar (5 ; 11) : « Ils sont partis en même temps ? — Oui. — Et arrivés en même temps ? — Oui. —  Un des deux va plus vite que l’autre ? — Non. — Ils ont marché à la même vitesse ? — Oui. — Pourquoi ? — Parce qu’ils allaient tous les deux plus vite. — Plus vite que quoi ? — … — Un plus vite que l’autre ? — Non. —  Les deux ont mis le même temps ? — Non, pas la même chose. Un a mis plus longtemps. — Lequel ? — Celui du grand tunnel. — Alors un a marché plus vite que l’autre ? — Non. »

On fait courir l’enfant dans la chambre de A à C sur la ligne ABC tandis que l’expérimentateur marche de A à B (départs et arrêts simultanés avec signal acoustique) : « Nous sommes partis en même temps ? — Oui. —  Et arrêtés en même temps ? — Non. — Un des deux est allé plus vite ? — Moi, parce que j’ai couru plus fort. —  Nous avons [p. 116] marché le même temps ? — Non. — Pourquoi ? — Je suis allé plus loin que vous. — Et nous nous sommes arrêtés en même temps ? — Non. — (L’expérimentateur et l’enfant courent cette fois l’un à la rencontre de l’autre, le premier sur le trajet AB et l’enfant sur le trajet DB [> AB]) nous sommes partis ensemble ? — Oui. — Et arrivés en même temps ? — Oui. — Un des deux a été plus vite que l’autre ? — Non. — Un des deux a fait un plus long chemin ? — Oui, moi. — Alors un des deux a marché plus vite ? — Ah oui, moi ». On reprend les tunnels : mêmes réactions qu’avant.

Lav (6 ans) : « Est-ce qu’un de ces tunnels est plus grand que l’autre ? — Oui, celui-là. — Regarde ces bonshommes. Ils partent ensemble et arrivent ensemble. Un a marché plus fort que l’autre ? — Non. — Pourquoi ? — Ils ont marché en même temps. —  Ils ont fait le même bout de chemin ? — Non, celui-là plus long. — Partis en même temps ? — Oui. — Et arrivés ? — Aussi. — Un a marché plus fort que l’autre ? — Non. — Même vitesse les deux ? — Oui. »

Les deux bonshommes sans les tunnels : « Ils sont partis en même temps ? — Oui. — Arrêtés en même temps ? — Non, celui-là est plus loin : ils ne se sont pas arrêtés en même temps. — Tu vas taper sur la table en comptant : 1, 2, 3. À trois, les bonshommes s’arrêteront. — (On recommence, en s’arrêtant à 3.) — Ils se sont arrêtés en même temps ? — Oui. —  Ils ont marché à la même vitesse ? — Non, celui-là plus fort ici (juste). — Alors on va reprendre les tunnels (on fait l’expérience). Partis ensemble ? — Oui. — Arrivés en même temps ? — Oui. — Ils ont marché la même chose fort ou pas la même chose ? — Oui. — Un a fait un plus long bout de chemin que l’autre ? — Oui, celui-là (juste). — Il a été plus vite, plus fort que l’autre, ou la même chose ? — Ils ont été les deux la même chose fort. — Ils ont marché en même temps ? — Oui, les deux en même temps. — Ils ont fait le même bout de chemin ? — Non, celui-là plus parce que c’est un plus grand tunnel. — Et l’autre ? — Moins, parce que c’est plus court. —  Alors un des deux a marché plus fort que l’autre ? — Non. — Mais celui-là (grand tunnel) a plus marché que l’autre ? — Oui, il a marché comme son tunnel. —  Alors un des deux a dû aller plus vite que l’autre ? — Non, les deux la même chose. »

Ces faits initiaux attestent d’emblée, comme on le voit, l’opposition entre les facilités de l’intuition, lorsque les mobiles sont visibles sur toute leur trajectoire, et les difficultés de l’opération qui serait nécessaire lorsque ces données ne sont plus perceptibles.

Lorsque les deux itinéraires sont intégralement visibles, le sujet parvient sans aucune peine à reconnaître que l’un des mobiles marche plus rapidement que l’autre, pourvu qu’ils partent simultanément du même point et se dirigent dans le même sens. Mais s’agit-il alors d’une compréhension intuitive de la vitesse en tant que rapport entre une durée et un chemin [p. 117] parcouru ? On pourrait parfois le croire, par exemple lorsque Ios dit : « le premier va plus vite parce que le chemin est plus long ». Seulement, même dans le cas des trajectoires visibles, deux bonnes raisons nous empêchent d’admettre cette interprétation. La première est que la longueur du chemin parcouru n’est invoquée que s’il y a dépassement : Mar, par exemple, s’égare déjà lorsque les deux mouvements à comparer sont orientés à la rencontre l’un de l’autre et nous verrons à la sect. II de ce chapitre et au chapitre VII combien l’intervention des distances à parcourir laisse l’enfant indifférent lorsqu’il n’y a pas dépassement. D’autre part, si c’était le rapport entre le temps et l’espace qui donnait lieu à l’intuition de la vitesse, il faudrait au moins que l’égalité des temps synchrones fût reconnue. Or, Bern attribue un temps plus long au trajet visible le plus long, tout en reconnaissant les simultanéités de départ et d’arrivée (après quoi il juge égales les vitesses de deux mouvements parcourant des chemins égaux en des temps inégaux, ce qui montre combien peu il se soucie du temps). Mar pose aussi « plus loin = plus de temps », et Lav nie même les simultanéités d’arrivée. Nous avons du reste assez discuté ailleurs ² cette question du temps commun à deux mouvements de vitesses différentes pour savoir qu’à ce niveau l’égalité des durées synchrones n’a point encore de sens pour l’enfant.

L’intuition de la vitesse ne saurait donc consister en une relation entre l’espace parcouru et le temps, faute d’intérêt général pour le premier et de compréhension pour le second : elle ne peut être alors que la perception ou la représentation d’un rapport actif plus qu’intellectuel, celui du dépassement. Ce rapport est susceptible d’être perçu ou senti en fonction directe de l’activité du corps propre, lorsqu’un mouvement volontaire l’emporte sur un autre, en particulier lorsqu’il y a effort, c’est-à-dire (comme Baldwin et Janet l’ont bien montré) sentiment d’accélération, ou inversement lorsqu’il y a freinage. Mais le dépassement peut aussi être perçu sur deux mobiles quelconques lorsqu’ils suivent dans le même sens deux trajectoires parallèles, et c’est précisément en cette situation particulière que débute l’intuition des vitesses extérieures.

Or, si tel est le cas, on comprend d’emblée pourquoi l’enfant échoue lorsque les mouvements dont il s’agit de comparer la vitesse sont invisibles, seuls étant perceptibles les points de [p. 118] départ et d’arrivée respectivement simultanés : en effet, aucun dépassement n’est alors constatable. Mais, à défaut de constatation perceptive, le sujet ne pourrait-il pas imaginer ce dépassement sous les tunnels, comme il finit par le faire (cf. Mar lorsqu’on insiste) envoyant deux coureurs marchant à la rencontre l’un de l’autre ? Mais, dans ce dernier cas, l’enfant ne se représente pas le dépassement virtuel en mettant en relation le temps et l’espace parcouru : il évalue directement grâce à ses propres mouvements des yeux lorsqu’il suit du regard les deux mouvements, où en seraient les coureurs s’ils marchaient l’un à côté de l’autre. Au contraire, pour imaginer le dépassement à l’intérieur des tunnels, force est de partir de la notion des longueurs elles-mêmes pour les mettre en rapport avec l’égalité des temps. Or, comme l’enfant de ce niveau ne parvient même pas à cette mise en relation dans le champ restreint de la perception, il va de soi qu’il en demeure a fortiori incapable dans le cas des mouvements cachés.

Mais pourquoi aboutit-il alors à considérer les deux vitesses comme égales au lieu de répondre au hasard ? C’est que, contrairement aux trajets visibles, les jugements de simultanéité ne font ici aucune difficulté : les points de départ sont comparés l’un à l’autre directement et l’enfant déplace ensuite son regard sur les sorties des tunnels, pour vérifier la simultanéité des arrêts indépendamment des vitesses et des mouvements eux-mêmes, ceux-ci étant invisibles. Les deux mouvements ayant donc des points de départ et d’arrivée respectivement simultanés, le sujet conclut à l’égalité des vitesses et, si l’on pose la question, à celle des durées elles-mêmes, mais en s’appuyant alors sur les vitesses (ce n’est, en effet, qu’en cas de vitesses différentes que l’enfant nie l’égalité des durées synchrones).

Les sujets du deuxième stade commencent, comme les précédents, par affirmer l’égalité de vitesse des mouvements effectués dans les tunnels. Mais ensuite, soit que les longueurs de ceux-ci leur paraissent, à la réflexion, s’opposer à cette égalité, soit que la comparaison avec les vitesses observées sans les tunnels les ait conduits à cette réflexion, ils modifient leur opinion première. Voici des exemples :

Fran (6 ans) : « Regarde ces deux tunnels. Ils ont la même grandeur ? — Non, celui-là est plus grand. —  Alors, départ. Ils sont partis en même temps ? — Oui. — Et arrivés en même temps ? — Oui. — Un a marché plus fort que l’autre ? — Non. — Un des tunnels est plus grand que l’autre ? — Oui, celui-là. — Alors, regarde encore (nouvelle [p. 119] course) : un des deux a marché plus vite, plus fort, que l’autre ? — Non. »

« Regarde, maintenant : j’enlève les tunnels. Comment vont-ils ? Un plus vite que l’autre ? — Non… oui. — Lequel ? — Celui-là (petit trajet), parce que le chemin est plus court (« vite » est donc pris dans le sens de « arrivant le premier à vitesse égale »). — (Courses avec l’enfant dans la chambre.) Lequel est allé plus vite ? — Moi, parce que j’ai couru plus fort (juste). — Et de ces deux bonshommes (sur la table) ? — Celui-là plus vite parce qu’il a roulé tout seul (= plus fort). — Et comme ça (B part après A et le rattrape) ? — C’est (B) le plus vite, parce qu’il a rattrapé. —  Et comme ça (A en ligne droite et B en ligne oblique mais avec un plus long trajet ; départs et arrivées simultanés). — C’est celui-là qui va le plus vite (B). — Comment le sais-tu ? — Parce qu’il était avant (= plus long trajet traduit en termes de dépassement). »

« Je les remets dans les tunnels (exp.). Un des deux est allé plus vite que l’autre ? — Oui, celui-là (grand tunnel). — Pourquoi ? — Parce qu’il est le premier (espace traduit en dépassement). — Mais ils sont arrivés ensemble ? — Oui. »

Gil (6 ans) reconnaît l’inégalité de longueur des tunnels et la simultanéité des départs entre eux et des arrivées. Il croit cependant à l’égalité des vitesses. On reproduit alors les mouvements sans tunnels : « Un va plus vite que l’autre ? — Oui, celui-là (juste) parce qu’il a plus de force en courant. — Et comme ça (rapports inverses). — Celui-là (juste). — Et maintenant (mêmes trajets mais départs non simultanés). — Celui-là plus vite, parce qu’il a rattrapé l’autre. »

On reprend les deux tunnels : « Ils sont de la même grandeur ? — Non, celui-là est plus grand. — Ils sont partis ensemble ? — Oui. —  Arrivés ensemble ? — Oui. — Un des deux a marché plus fort que l’autre ? — Non, mais celui-là (grand tunnel) était plus en avant, parce que le tunnel est plus long. —  Alors un des deux a marché plus fort que l’autre ? — Non. — Mais, un est plus essoufflé que l’autre ? — Oh oui, un a fait un bout en plus, celui-là. — Et un est allé plus fort, plus vite que l’autre ? — Oui, celui-là est allé plus vite. — Pourquoi ? — Pour pouvoir arriver (en même temps) à la fin du tunnel. »

Iac (6 ans) : « Un des deux tunnels est plus grand que l’autre ? — Oui celui-là. —  Ils sont arrivés en même temps ? — Oui. —  Un des deux a marché plus fort que l’autre ? — Les deux la même chose. —  Un des tunnels est plus long ? — Oui. —  (On refait l’expérience.) — Ils ont marché la même chose. —  Ça ne fait rien si un des tunnels est plus long que l’autre ? — Une des poupées va plus loin. — Et en même temps ? — Oui. — Alors elle va plus vite ? — Les deux marchent la même chose vite, mais une va plus loin que l’autre. — Comment ça ? — Elle doit aller jusqu’au bout. — Elles sont parties ensemble ? — Oui. — Et arrivées ensemble ? — Oui. — Elles ont marché le même temps ou pas ? — Un peu plus de temps que l’autre. —  Et plus fort ? — Non, la même chose. »

Sans tunnels : « On va plus vite ? — Celui-là va plus vite. — Pourquoi ? — Parce qu’il a un plus long chemin. — Et marché le même [p. 120] temps ? — Non, il (le même) a marché plus longtemps. — Plus vite ou moins vite ? — Il a marché plus vite. »

« (On remet les tunnels.) Un peu plus vite ou la même chose ? — Celui-là (grand tunnel) a été plus vite, parce qu’il a un plus long chemin. —  Ils sont partis en même temps ? — Oui. —  Et arrivés en même temps ? — Oui. —  Et marché le même temps ? — Non, celui-là (le même) a marché plus longtemps que l’autre. —  Et la même chose fort ? — Celui-là (toujours le même) plus fort que l’autre. »

Ces trois exemples de réactions intermédiaires nous permettent d’assister au passage progressif des intuitions initiales de la vitesse, liées au dépassement visible, à une mise en relation tendant à unir le temps à l’espace parcouru.

Fran, par exemple, réagit d’abord comme au premier stade ; mais lorsque les trajets sont visibles, il marque un progrès en étendant la notion de dépassement, par une sorte d’intuition articulée ou de reconstitution représentative, aux chemins non parallèles eux-mêmes. « C’est celui-là le plus vite parce qu’il est en avant », dit-il par exemple, ce qui signifie assurément que, si les trajectoires étaient parallèles, il y aurait dépassement. Lorsque enfin on revient à l’expérience des tunnels, il répond cette fois correctement que le bonhomme traversant le grand tunnel va plus vite que l’autre, et exprime à nouveau la chose en termes de dépassement : « parce qu’il est le premier ». On voit donc ce qui manquait à l’enfant pour trouver d’emblée la solution juste : c’est une certaine articulation ou régulation de l’intuition représentative lui permettant de traduire les différences de longueur en rapports de dépassement, et, une fois cette généralisation acquise grâce à la variété des trajectoires visibles, il l’applique aux trajets invisibles eux-mêmes.

Gil débute de même, mais, lorsque l’on revient aux tunnels il présente une réaction étrange. Il reconnaît qu’il doit y avoir dépassement, en appliquant ce qu’il vient d’observer sans tunnels, et conclut donc que, dans le grand tunnel, le mobile est « plus en avant parce que le tunnel est plus long ». Mais, comme ce dépassement est invisible, il hésite d’abord à l’interpréter sans plus comme une différence de vitesse et il lui faut reconnaître au préalable que le bonhomme doit être plus essoufflé pour consentir enfin à déclarer qu’il « est allé plus vite pour pouvoir arriver à la fin du tunnel ». De même, Iac commence par dire, dans l’expérience des tunnels, « les deux marchent la même chose vite, mais un va plus loin que l’autre » : ce n’est qu’après avoir vu les bonshommes sans les tunnels qu’il traduit ce « plus loin » en un dépassement n’intéressant pas seulement [p. 121] les points d’arrivée mais les mouvements eux-mêmes et leurs vitesses (« celui-là a été plus vite parce qu’il a un plus long chemin »). Mais d’autre part, il conclut aussi de cette inégalité de longueurs qu’il a marché « plus longtemps », ce qui montre assez qu’il demeure encore sur le terrain intuitif et n’atteint pas la relation opératoire entre l’espace parcouru et le temps.

On voit ainsi quelles sont les conditions de passage de l’intuition initiale à l’opération. L’intuition initiale de la vitesse étant celle du dépassement, et celui-ci n’étant pas visible dans le cas des tunnels, il s’agit de transposer les longueurs et les temps en représentations de dépassements. Les sujets du premier stade restent incapables de cette traduction, tandis que ceux de ce stade comprennent, lorsqu’ils voient les mouvements répétés sans les tunnels, que l’espace plus grand parcouru par l’un des mobiles implique le fait qu’il dépasse l’autre. Revenant alors à l’expérience des tunnels, les uns (comme Fran et Iac) transposent instantanément ce qu’ils viennent de voir et assimilent ainsi sans plus la longueur du plus grand des tunnels à un dépassement invisible, donc à une vitesse plus grande ; d’autres au contraire, comme Gil, transposent en deux temps : la longueur du grand tunnel entraîne que le mobile arrive « plus en avant » sur l’autre, et cet ordre de succession des points d’arrivée entraîne ensuite le dépassement et la plus forte vitesse.

Mais, de cette articulation plus souple de l’intuition il ne faudrait pas conclure que ces sujets s’affranchissent de la méthode intuitive et atteignent l’opération. Ils pensent encore, en effet, en termes de dépassement effectif et ne parviennent toujours pas à le généraliser jusqu’à en faire une relation entre le temps et l’espace parcouru. Pour ce qui est de l’espace, on ne saurait dire que les relations d’ordre (dépassement) soient déjà coordonnées en chaque cas à celles de distance (longueur du chemin parcouru), puisqu’il faut que le dépassement ait été visible un moment pour que l’inégalité de longueur des tunnels soit interprétée en termes de vitesse. Pour ce qui est du temps on constate que Iac attribue encore au chemin le plus long une plus grande durée, malgré la simultanéité reconnue des points de départ entre eux et des points d’arrêt entre eux. Bien plus, Fran oscille entre deux sens contradictoires du mot « vite » : Le sens temporel (s’arrêter plus vite = avant un autre, à vitesses égales) et le sens relatif à la rapidité. Bref, ces réactions ne dépassent pas le niveau de l’intuition, mais, grâce à une mobilité plus grande dans les anticipations et reconstitutions représentatives, l’enfant arrive en partie à imaginer ce qui se passe sous les tunnels.

[p. 122] Ces sortes d’imaginations ou d’expériences mentales constituent assurément des régulations de l’intuition initiale, exclusivement perceptive, régulations qui la décentrent dans le sens de la reconstitution et de l’anticipation, donc dans la direction de la réversibilité opératoire. Mais cette réversibilité ne sera atteinte entièrement qu’avec le groupement de toutes les relations en jeu, de distance, de durée et d’ordre.

Contrairement aux précédents, les sujets de ce troisième niveau parviennent à établir la différence des vitesses par une simple mise en relations des données de temps et d’espace parcouru :

And (6 ans ½) : « Sont-ils partis en même temps ? — Oui. —  Arrivés en même temps ? — Oui. — Les tunnels ont la même longueur ? — Non, celui-là plus grand. — Ils ont marché le même temps ? — Oui. — Et à la même vitesse ? — Celui-là plus vite, parce qu’il est plus loin : il est plus loin, alors il est allé plus vite. Celui-là est allé moins vite parce qu’il est arrivé derrière : il est un peu après celui-ci. —  Pourquoi ? — Parce que celui-ci était plus là (plus près de l’autre au point de départ : il montre la ligne de départ) et vous avez poussé. »

Lam (7 ; 4) : « Ils sont arrivés en même temps ? — Oui. — Un a marché plus fort que l’autre ? — Non, la même chose, parce qu’ils sont arrivés en même temps. — Les tunnels ont la même longueur ? — Ah non ! —  Un des bonshommes a marché plus vite que l’autre ? — Oui, celui qui passe par le plus grand tunnel. — Pourquoi marché plus vite ? — Parce qu’il est plus long. »

Par (6 ; 11) : « Celui-là est allé plus vite. — Pourquoi ? — Parce que le tunnel est plus grand. —  Ils ont mis la même chose de temps ou pas ? — Non… Oui. —  Pourquoi ? — Ils sont partis ensemble et arrivés ensemble. »

Clan (7 ; 2) : « Elles n’ont pas marché la même chose vite, parce qu’un des tunnels est plus grand : alors on a marché plus vite. —  Marché le même temps ? — Oui. »

Go (7 ; 6) : « Un a marché plus vite que l’autre ? — Oui, celui qui a fait le plus long chemin. » Admet l’égalité des durées.

On voit le progrès réalisé par rapport au deuxième stade. Le plus jeune de ces sujets, And, traduit directement l’inégalité de longueur des tunnels en termes d’ordre de succession, donc de dépassement : un des tunnels étant « plus grand » que l’autre, le mobile qui le traverse est donc allé « plus loin : il est plus loin alors il est allé plus vite », tandis que le mobile qui traverse le petit tunnel est « allé moins vite parce qu’il est arrivé derrière : il est un peu après celui-ci ». C’est ainsi à nouveau le dépassement [p. 123] qui est critère de la vitesse, mais un dépassement invisible et opératoire, puisque les ordres de succession « plus loin » et « derrière » ou « après » sont traduisibles en termes d’intervalles ou longueurs et sont eux-mêmes le résultat d’une traduction à partir des longueurs perçues (longueurs des tunnels). D’autre part, il y a chez And égalité des durées synchrones : le dépassement est donc, en fait, devenu rapport entre l’espace parcouru et le temps employé. Chez les autres sujets il n’est plus même besoin d’imaginer un dépassement à l’intérieur des tunnels ou de raisonner sur ce dépassement comme tel : l’espace parcouru (longueurs ou intervalles spatiaux entre les points de départ et d’arrivée) et le temps employé (durée ou intervalle temporel entre les moments de départ simultanés et les moments d’arrivée simultanés) sont directement mis en relation sous forme de vitesse. Et, comme les longueurs sont inégales et que les durées sont jugées égales, les vitesses sont reconnues différentes.

Une telle coordination des relations en jeu suppose donc la compréhension de l’égalité des durées synchrones, et c’est pourquoi la notion opératoire de la vitesse, contrairement à la notion intuitive, implique une construction spatio-temporelle d’ensemble. De fait, il est clair, si l’on met le présent développement en correspondance avec celui des notions de temps et de mouvement (voir chapitre III à V) que la relation opératoire de vitesse se construit en corrélation nécessaire avec celles de la durée et du chemin parcouru lui-même puisque la durée apparaît comme résultant d’une coordination des vitesses, que la notion du chemin parcouru suppose un groupement des relations d’ordre, et que la vitesse implique une coordination entre la durée et l’espace : l’intuition du dépassement devient en effet, rationnelle lorsque les points ordonnés extrêmes des mouvements comparés entre eux sont conçus comme déterminant à la fois des intervalles spatiaux (déplacements) et temporels (co-déplacements), les premiers constituant les chemins parcourus (longueurs), les seconds constituant les durées, et l’ensemble les vitesses elles-mêmes.

Voici des exemples de réactions primitives qui ne parviennent à structurer ni la vitesse, ni les durées ni souvent même le chemin à parcourir avant la perception des mouvements :

Jac (4 ; 9). Question I : « Un de ces chemins est plus long que l’autre ? — Non. — Si ces deux autos partent en même temps et vont à la même vitesse, une des deux arrivera la première ou les deux en même temps ? — Les deux arriveront en même temps. —  (Exp.) — Celle-ci est arrivée la première (AB). — Pourquoi ? — Elle est allée plus vite. — Regarde (on refait l’expérience). — … » Question II : mêmes réactions. Question III : « Si ces deux autos partent ensemble d’ici (A) et arrivent là (B et C) ensemble elles auront marché à la même vitesse ? — Oui. — Regarde (exp.). Elles ont été aussi vite l’une que l’autre ? — Oui, la même chose vite. » Question IV : mêmes réactions.

Hel (4 ; 8). Question I : « Ces deux routes ont la même longueur ? — Non. Celle-ci (oblique AC) plus longue. — Si ces deux autos partent en même temps et vont à la même vitesse, elles arriveront en même temps au bout (on montre B et C) ? — Oui, en même temps. — Regarde (exp.). Laquelle est la première ? — Celle-là (AB). — Pourquoi ? — Elle est allée plus vite. — Non, la même chose vite. Tu m’as dit ce chemin (AC) est plus long ? — Oui. — Laquelle est arrivée la première ? — Celle-là (AB). — Pourquoi alors ? — Elle est allée plus vite, parce qu’elle est arrivée jusqu’au bout. »

Question II : « Laquelle est la plus longue des deux routes ? — Celle-là (circuits). — Pourquoi ? — Parce qu’elle a des contours. — Si ces deux autos partent ensemble et font la même vitesse, laquelle arrivera la première ? — Elles arriveront en même temps. — Regarde (exp.). — Celle-là est arrivée la première. —  Pourquoi ? — Parce que le chemin est plus petit. —  Alors laquelle ira le plus vite si elles arrivent ensemble (question IV) ? — La même chose vite. — Regarde (ex.). — Celle-là (chemin droit) plus vite. »

Dol (4 ; 11). Question II : constate que l’une des lignes est plus longue « parce qu’il y a des contours » mais pense qu’à vitesses égales les deux autos arriveront en même temps à leurs extrémités. Après l’expérience, dit « Non, celle-là est arrivée la première, parce que la route est toute droite ». Question III : « S’ils partent en même temps et arrivent en même temps, ils vont à la même vitesse ? — Oui. —  (Exp.) — Celle-là est allée plus vite (oblique). — Pourquoi ? — Parce que vous l’avez poussée pour être la première. —  (Question IV.) — Elles n’iront pas à la même vitesse. —   [p. 126] Pourquoi ? — Sur cette route (la droite) elle doit aller plus vite. — Mais si elles arrivent les deux en même temps ? — Les deux doivent aller doucement. »

Moo (5 ; 6). Question I : « Ces deux chemins ont la même longueur ? — Oui. — Regarde bien. — Non, celui-là (oblique) est plus long. — Les deux autos arriveront en même temps au bout des deux chemins. Si elles vont à la même vitesse ? — Oui. — (Expér.) — Non, parce que ce chemin est plus long : c’est pour ça que l’autre arrive d’abord. — (Question II.) — Ce chemin (détours) est plus long. — Et si ces autos vont à la même vitesse elles arriveront comment au bout, en même temps ou l’une après l’autre ? — En même temps. — (Exp.) — Non, parce que ce chemin est plus long. — (Question III) Si les deux autos arrivent en même temps au bout, elles auront marché à la même vitesse ? — Oui. —  (Exp.) — Oui, c’est la même vitesse. — Regarde encore bien (suggestion). — Celle-là plus vite (perception directe). — Pourquoi ? — … » Question IV : mêmes réactions.

Ros (5 ; 8). Question I : « Si elles vont à la même vitesse…, etc. ? — Elles arriveront en même temps. —  (Exp.) — C’est parce que vous n’êtes pas allé assez vite. — Non, les deux autos sont allées à la même vitesse. — C’est parce que le chemin est plus long. — (Question II) Un des deux chemins est plus long ? — Celui-là parce qu’il y a des contours. —  Si les autos vont à la même vitesse, elles mettront le même temps, ou pas pour arriver jusqu’au bout ? — Le même temps. — (Exp.) Celle-là est arrivée avant. — Pourquoi ? — … — (Question III.) — La même vitesse. —  (Question IV.) — Aussi la même vitesse. —  (Exp.) — Les deux autos vont la même vitesse. — Vraiment ? — Celle-là plus vite (ligne droite). »

Hen (5 ; 11). Question II : « Les deux routes ont la même longueur. —  (Mesure avec une ficelle.) — Non, celle-là plus longue. — Si elles partent ensemble à la même vitesse, elles arriveront ensemble aux deux bouts ? — Oui. — (Exp.) — Non, à cause des contours. » Questions III et IV : mêmes vitesses et, après expérience, également.

Ton (6 ; 2). Questions I et II : mêmes longueurs et arrivées prévues en même temps. Questions III et IV : mêmes vitesses.

Notons d’abord que ces sujets ne sont nullement unanimes à reconnaître l’inégalité des lignes présentées : Hen, par exemple, à presque six ans et Ton à six ans jugent encore une ligne ondulée égale à une droite et il leur faut des ficelles pour constater la différence de longueurs. Moo considère d’abord la droite oblique (hypoténuse AC du triangle rectangle ABC) comme égale à l’horizontale AB, etc. Quant à ceux qui voient l’inégalité d’emblée on peut se demander si c’est parce que le mouvement n’a point encore été effectué, car (nous l’avons vu au chapitre III) les déplacements sont encore évalués à ce stade en fonction de l’ordre de succession des points d’arrivée. En second lieu, même les sujets aussitôt d’accord sur l’inégalité des longueurs à parcourir [p. 127] prévoient qu’à vitesses égales et malgré cette différence des chemins, les deux mobiles partis simultanément arriveront en même temps au but : c’est à nouveau, mais cette fois pour les durées, qu’ils jugent en fonction des points d’arrivée et non pas des parcours comme tels. Cette tendance est si forte, chez les plus jeunes sujets de ce premier stade, que, même après l’expérience, c’est-à-dire après qu’ils aient vu le mobile parcourant le plus long chemin arriver après l’autre, ils continuent de penser qu’à mêmes vitesses ils devraient arriver ensemble, et que, si l’un des deux n’est pas « arrivé jusqu’au bout », comme dit Hen, c’est qu’il n’est pas allé assez vite. D’autres sujets, par contre, détrompés par l’expérience, reconnaissent que celui des deux mobiles qui avait le plus long chemin à faire est arrivé après l’autre « à cause des contours », etc. Mais, notons-le, ce jugement ne porte pas encore sur la vitesse elle-même : il se borne à affirmer, mais après coup, qu’à vitesses égales le chemin le plus long prend le plus de temps. Les vitesses étant affirmées égales dès le début, il n’y a plus de problème à leur sujet, et la réponse de l’enfant revient simplement à dire que la durée du trajet est proportionnelle au chemin parcouru. Or, cette intuition de la durée fondée sur l’espace parcouru n’est vraie qu’à vitesses égales et nous avons vu ailleurs (Le Développement de la notion de temps chez l’enfant, chapitre V) combien elle est trompeuse lorsque les vitesses diffèrent, c’est-à-dire précisément lorsque la question de vitesse commence à intervenir.

C’est ce que nous montrent les réactions aux questions III et IV : étant donnés deux chemins reconnus inégaux, les départs et arrivées respectivement simultanés correspondent-ils à des vitesses égales ou inégales ? Or, à l’unanimité, les sujets de ce niveau s’attendent, en ce cas, à ce que les vitesses soient égales et l’on comprend immédiatement pourquoi, d’après les résultats de la sect. II que ceux-ci confirment ainsi : c’est que, malgré l’inégalité des chemins parcourus, il n’y a pas dépassement puisque les deux mobiles arrivent au même point ou l’un au-dessus de l’autre. En outre, au vu des deux mouvements exécutés après coup devant l’enfant, ou bien celui-ci continue de dire que les autos ont été à la même vitesse, faute de dépassement (Jac, Moo, Ros, Hen, etc.), ou bien il affirme que celle qui a parcouru le chemin le moins long est allée plus vite parce qu’il y a moins de route à faire, ou bien enfin il reconnaît que l’autre a eu une vitesse supérieure, mais sans pouvoir dire pourquoi, c’est-à-dire en se bornant à percevoir cette vitesse plus forte et sans la mettre en rapport avec le plus grand chemin parcouru.

[p. 128] De ces réactions, la première confirme le rôle du dépassement, que n’infirme pas la dernière. Quant à la seconde, nous la retrouverons systématiquement à la sect. III. Bornons-nous pour le moment à noter qu’elle repose sur une équivoque commune à la logique de l’enfant et à celle du langage lui-même. L’intuition de la vitesse, qui est celle du dépassement, revient à supposer que le mobile le plus rapide est celui qui parvient le premier au but. Or, cela peut avoir deux sens : dépasser en vertu d’une plus grande vitesse ou arriver le premier parce que le chemin est plus court. Dans le second cas, la langue comme l’enfant, dit « plus vite arrivé » mais cela peut vouloir dire « plus tôt » avec une vitesse égale ou inférieure.

Voici maintenant des exemples d’enfants qui parviennent sans difficulté à résoudre les questions I et II, c’est-à-dire à juger que le temps est proportionnel au chemin parcouru indépendamment de l’ordre des points d’arrivée (cf. chapitre III, stade II) mais qui échouent aux problèmes de vitesse proprement dits (questions III et IV), même après expérience (sous-stade II A) :

Clan (5 ; 6). Question I. La route oblique est « plus longue. — Si ces deux autos partent en même temps, et à même la vitesse, arrivent-ils en même temps ? — Non, une va plus vite (montre la route droite). — Mais ils vont à la même vitesse. — Alors cette route est plus longue, il arrivera après. — (Question II.) — Non. Quand l’auto sur cette route (la droite) sera au bout, sur l’autre route (sinueuse) elle sera ici (milieu). — (Exp.) — Oui, elle est plus longue ».

Question III : « Ils partent en même temps et arrivent en même temps. Ce sera la même vitesse ? — Oui. — (Exp.) C’est la même vitesse ? — Non, sur cette route (la droite horizontale) c’est allé plus vite : elle est plus courte. » Question IV : idem.

Mir (5 ; 9). Question I : « Arriveront en même temps ? — Oui. —  (Exp.) — Non, parce que cette route est plus longue. —  (Question II.) — Non, celle-là arrivera après l’autre parce que cette route fait des détours. —  (Question III.) Même vitesse ? — Non, cette auto (route sinueuse) va moins vite. — Mais si elles arrivent en même temps ? — Alors c’est la même vitesse. — (Exp.) — Oui. »

Luc (6 ; 3). Questions I et II : « Non, parce que cette route est plus grande. » Question III : « Celle-là (la droite horizontale) va plus vite. — (Exp.) — Les deux vont plus vite (égalité). — Mais regarde. — Les deux sont arrivées en même temps, parce que vous avez été la même chose vite. »

Tea (6 ; 5). Question I : « Non, parce que cette route est plus longue. —   [p. 129] (Question II.) — Non, parce que celle-là fait des zigzags, ça fait plus longtemps, et celle-là il n’y a qu’à aller tout droit. — (Question III.) — Toutes les deux la même chose. —  (Exp. C’est Tea lui-même qui parcourt l’hypoténuse : il freine pour ne pas aller plus vite que l’expérimentateur, et arrive ainsi moins loin.) Est-on arrivé ensemble ? — Non. — Quoi faire ? — Faire aller plus vite. — (Nouvelle expérience : arrivées simultanées à l’extrémité des deux lignes.) Alors ? — C’était la même vitesse. » Question IV : idem.

Bar (7 ; 5). Question I : « Cette auto arrivera d’abord, parce que le chemin est plus court. —  (Question II.) — (Idem.) — (Questions III et IV.) — Les deux iront la même chose vite. —  (Exp.) — Oui, c’est la même vitesse. — Pourquoi ? — Parce qu’elles sont arrivées en même temps. »

Ces réactions, qui prolongent celles du stade I, sont d’autant plus intéressantes que l’enfant, par ses réponses exactes aux questions I et II, semble dominer le problème du rapport entre le temps et l’espace parcouru. En réalité, il se borne à comprendre que, à vitesses égales, les temps sont proportionnels aux espaces. Mais, comme nous l’avons vu à propos de Le Développement de la notion de temps chez l’enfant, il n’y a même pas là une compréhension de la durée comme telle, parce que celle-ci ne se dissocie de l’espace ou du mouvement qu’avec les différences de vitesses : sans cette condition, le temps reste simplement indissocié de l’espace, et, lors de différents espaces parcourus à différentes vitesses, l’enfant de ce niveau ne distingue plus la succession temporelle de la succession spatiale ni les durées des mouvements ou des espaces eux-mêmes. Or, c’est justement ce que l’on constate à propos des questions III et IV. Si la durée était dissociée de l’espace, la vitesse serait conçue comme le rapport de l’espace et du temps puisque la durée elle-même serait le rapport de l’espace parcouru et de la vitesse. Or, à ces deux dernières questions, les enfants de ce second stade réagissent comme au stade I : ils croient à l’égalité de vitesse pour des espaces différents parcourus dans le même temps, et cela simplement parce qu’il n’y a pas de dépassement. L’expérience ne les détrompe pas et, s’ils en viennent à admettre une différence de vitesses, c’est pour attribuer la plus grande rapidité à l’auto qui parcourt le chemin le plus court.

Au sous-stade II B par contre, on assiste à une découverte progressive de la solution juste, mais seulement après expérience.

Mgr (6 ; 4). Questions I et II : juste. Question III : « J’irai à la même vitesse que toi si j’arrive là (extrémité de la ligne oblique) en même temps que toi ? — Oui. —  (On marche à la même vitesse, sans arriver à l’extrémité de la ligne.) Tu vois, je ne suis pas arrivé au bout. — Il faut aller un peu plus vite. —  (Exp.) Et maintenant, mêmes vitesses ? —  [p. 130] Vous un peu plus vite. — Pourquoi ? — Parce que la ligne est plus grande ». Question IV : même début, puis, après expérience : « Une plus vite que l’autre, parce que le chemin est plus long. »

Nin (6 ; 5). Questions I et II : « Cette auto ne va pas si loin, parce que le chemin est moins long. — (Question III.) — Les deux aux mêmes vitesses. —  (Exp.) — Celle-là plus vite. — Pourquoi ? — Parce que le chemin est plus long. — (Question IV.) — Celle-là doit aller plus vite. — Pourquoi ? — Parce qu’il y a des contours. »

On voit que les solutions des questions III et IV, quoique exactes, ne sont pas encore opératoires puisqu’elles ne sont atteintes qu’après tâtonnements et par organisation progressive de l’expérience. Elles s’échelonnent en général entre six et sept ans.

Ce troisième stade est caractérisé par une solution immédiate des quatre questions, par groupement d’« opérations concrètes » :

Ber (6 ; 8). Questions I et II : « On n’arrivera pas en même temps, parce qu’il y a plus de chemin à faire. » Questions III et IV : « Elles n’iront pas à la même vitesse parce qu’un des chemins est plus long. — Laquelle ira plus vite ? — Celle qui fait le plus long chemin. »

Wei (7 ; 0). Question I : « Ce chemin est plus long. L’autre auto arrivera la première, à moins que celle-ci n’aille plus vite. — (Question II.) — Ce chemin est plus long : l’auto n’arrivera pas au bout. — (Question III.) — Cette auto devra aller plus vite. —  Pourquoi ? — Parce qu’il y a plus de chemin à faire. » Question IV : idem.

Bus (7 ; 3). Questions I et II : « Cette auto roulera encore quand celle-ci sera déjà arrivée (juste). » Questions III et IV : « Celle-là ira plus vite parce que le chemin est plus long. »

On voit, en conclusion, que les résultats de cette épreuve confirment entièrement ceux de la sect. I : l’évolution des réactions est la même dans les deux cas, et les stades correspondants apparaissent aux mêmes âges. Les différences de vitesse commencent par n’être ni prévues ni même constatées à l’expérience, faute de dépassement, tandis que dès ce stade III elles sont comprises et même déduites d’avance à titre de rapport entre l’espace parcouru et le temps employé, bien que les points de départ et d’arrivée des deux mouvements coïncident respectivement ou soient simplement situés l’un au-dessus de l’autre. Les réactions de la sect. I nous ont appris que l’intuition initiale de la vitesse était liée à la constatation d’un dépassement visible, donc à une interversion perceptible de l’ordre des mobiles, tandis que, dans la suite, les points de départ et [p. 131] d’arrivée sont considérés tous deux, leurs intervalles spatiaux et temporels permettant alors de concevoir la vitesse comme le rapport des longueurs et des temps. Les présentes réactions ont complété ce tableau en nous montrant que l’ordre des seuls points d’arrivée détermine d’abord la vitesse, même lorsque les trajets sont entièrement visibles, tandis qu’ensuite le rapport des espaces parcourus et des durées se constitue malgré l’absence de tout dépassement.

La réaction spontanée des petits consiste à considérer les vitesses comme égales, faute de dépassement. Mais si leur attention est attirée, en particulier grâce aux suggestions de l’expérimentateur, sur l’inégalité de longueur des deux pistes, ils déclarent alors que c’est sur la plus petite des deux que la vitesse est la plus grande. En voici des exemples :

Mat (6 ans) : « Y en a-t-il un qui va plus vite que l’autre ? — Ils vont à la même vitesse. —  Pourquoi ? — Parce qu’ils arrivent en même temps. —  Mais les chemins sont de la même longueur ? — Non. —  Alors ? — Celui-là (petit cercle) va plus vite, parce qu’il a moins de route à faire. » Nous présentons à Mat deux routes droites très inégales, l’un des mouvements étant visiblement plus rapide que l’autre, et il répond correctement « Celui-là va plus vite, parce qu’il a une grande route à faire », mais lorsque l’on revient aux pistes circulaires, il déclare « Celui du petit rond va plus vite, parce que c’est le plus petit chemin. —  Tu es sûr ? — Non, ils vont la même chose vite ».

Ros (6 ; 4) : « Les deux vont vite la même chose. —  Pourquoi ? — Parce qu’ils sont arrivés en même temps. —  Mais lequel a le plus grand chemin à faire ? — Celui du petit rond. —  Alors lequel va le plus vite ? — La même chose. — Pourquoi ? — Parce qu’ils sont partis en même temps. —  Mais ils sont dépêchés la même chose ou un plus que l’autre ? — La même chose. »

Mey (6 ; 6) : « Ils marchent avec la même vitesse. — Pourquoi ? — Ils vont très très vite. — Mais les routes sont aussi longues l’une que l’autre ? — Non, celle-là est plus longue. — Alors un va plus vite que l’autre ? — Non, parce qu’ils doivent arriver la même chose. —  Mais un est plus essoufflé que l’autre ? — Non, la même chose. — Pourquoi ? — Ils vont très vite les deux. »

[p. 133]Col (6 ; 5) : « Celui de dedans va plus vite que l’autre. — Pourquoi ? — Parce qu’il a plus de vitesse. —  Comment ça ? — Parce que s’il y a un plus petit rond, ça va plus vite parce qu’il y a moins à faire. »

Fau (6 ; 6) de même pense que l’auto du petit cercle « va plus vite parce que le rond est plus petit. — Pourquoi alors ? — Parce qu’elle a moins à faire de tours. »

Nan (7 ; 10) : « Est-ce qu’un de ces chiens s’est dépêché plus que l’autre ? — Non, la même chose. — Pourquoi ? — Parce que les chemins sont la même chose longs. — Tu veux qu’on mesure ? — Non, ça c’est plus court (petit cercle). — Alors est-ce que les deux chiens courent la même chose vite ? — Oui. — Comment ? — Ils ont été les deux en même temps. —  Mais alors comment font-ils pour arriver en même temps ? — Parce que celui du dehors a été plus lentement pour être en même temps que celui du dedans. — Alors vont-ils à la même vitesse ? — Oui. —  Ils ne se dépêchent pas un plus que l’autre ? — Non, ils se dépêchent la même chose, parce que celui du dehors va lentement parce qu’il veut être en même temps que celui du dedans. »

Ter (7 ; 11) : « Un va plus vite ? — Non, ils sont allés la même chose vite, parce qu’ils arrivent en même temps. — Les chemins ont la même longueur ? — Non. — Alors ? — Celui du dedans va plus vite parce qu’il a un plus petit chemin. — Mais il arrive avant l’autre ? — Non, en même temps, mais il va plus vite parce qu’il a un plus petit chemin. »

Rou (8 ; 5) : « Ils vont la même chose vite. —  Il n’y en a pas un qui se dépêche plus ? — Non, ils se dépêchent la même chose. —  Les chemins sont de la même longueur ? — Non, celui du dehors est plus long. —  Alors est-ce qu’il y en a qui s’essouffle plus que l’autre ? — Non, ils seront essoufflés la même chose. —  Pourquoi ? — Ils marchent toujours en même temps (montre les positions en regard). — Fais-leur faire le tour (il s’exécute, mais le chien du petit rond dépasse parfois l’autre, puisqu’il leur donne la même vitesse). Mêmes vitesses ? — Non, le petit un peu plus vite, parce qu’il dépassait un peu l’autre. —  Mais est-il arrivé en même temps ? — Oui. Alors ils sont allés à la même vitesse. »

Des (8 ; 7) : « Ils vont la même chose puisqu’ils arrivent et partent en même temps. — Mais un sera plus essoufflé que l’autre ? — Mais non, puisqu’ils font la même chose. — Mais un fait un grand tour et l’autre un petit ? — Oui. — Alors ? — Mais ils partent en même temps et arrivent en même temps. »

Wil (8 ; 8) : « La même vitesse. —  Un a plus de chemin à faire ? — Celui-là (grand rond). — Alors qui va le plus fort ? — Le petit parce qu’il a un plus petit chemin à faire. — Mais lequel est le plus essoufflé ? — Le petit (le bonhomme du petit rond). Il va plus vite. »

Chal (8 ; 10) : « Ils se sont dépêchés la même chose. —  Mais à la même vitesse ? — Oui. —  Les chemins ont la même longueur ? — Non, celui du dehors est plus long. — Alors, un plus essoufflé que l’autre ? — Non, ils se sont dépêchés la même chose. — Tu as un camarade qui habite plus loin que toi de l’école ? — Oui, Georges. — Alors si G… et toi partez en même temps le matin de la maison et arrivez en même temps à l’école, [p. 134] vous vous êtes dépêchés la même chose fort ? — Oui. —  Tu es sûr ? — Oui. —  G… ne sera pas plus essoufflé que toi ? — Non, on sera la même chose essoufflé. »

On voit donc que, sauf une exception (Col) tous les sujets commencent par croire à l’égalité des vitesses, tout en reconnaissant que le grand cercle constitue un chemin plus long que le petit. De plus, lorsqu’ils affirment cette égalité, il s’agit pour eux aussi bien des impressions subjectives de la rapidité, telles que se dépêcher ou être essoufflé (voir Chal, encore à 8 ans 11 mois !) que de la vitesse physique et objective. Ces premières assertions n’ont plus rien de surprenant, après les réactions observées dans les sect. I et II de ce chapitre ! Si vraiment l’intuition initiale de la vitesse est celle du dépassement, on ne saurait dans le cas particulier s’attendre à autre chose qu’à ce jugement d’égalité puisque les deux mobiles marchent sans cesse de front. Le cas de Rou est bien clair à cet égard : les deux bonshommes « seront essoufflés la même chose » puisqu’« ils marchent toujours en même temps », puis, lorsque Rou fait dépasser quelque peu le petit il croit qu’il va « un peu plus vite, parce qu’il dépassait un peu l’autre », et conclut enfin, en constatant les arrivées simultanées aux mêmes points « alors ils sont allés à la même vitesse ».

Mais le problème qui se pose est de comprendre pourquoi cette intuition du dépassement semble un peu plus durable (7 et 8 ans !) dans le cas des pistes concentriques que dans celui des trajets linéaires simples et surtout rectilignes. Faut-il attribuer à ces sujets une intuition de la vitesse angulaire, laquelle effectivement demeure constante ? Il va de soi que non, d’abord parce que les plus grands changeront d’opinion (stades II et III) et surtout parce que les mêmes sujets en viennent fréquemment à considérer le mobile parcourant le petit cercle comme étant le plus rapide, ce qui marque assez le caractère encore primitif de leur notion de vitesse.

Comment donc expliquer le léger décalage des âges de ces réactions par rapport à ceux des réponses relatives aux vitesses des mouvements rectilignes ou en ordre linéaire ? Il est clair que dans ce dernier cas, la traduction des longueurs des trajets en termes de dépassement est beaucoup plus facile pour les mouvements synchrones : même sans dépassement visible des mouvements eux-mêmes, le dépassement spatial de l’une des longueurs sur l’autre évoque celui des déplacements (sect. I), et, dans le cas des longueurs à mêmes points de départ et d’arrivée [p. 135] (sect. II) il suffit de dérouler en pensée les trajets sinueux ou de rendre parallèles les lignes qui ne le sont pas pour imaginer le double dépassement spatial et cinématique. Deux circonférences concentriques, au contraire, n’évoquent pas deux droites dont l’une dépasse l’autre, et la similitude des ordres cycliques de leurs points pèse bien davantage sur l’intuition de la vitesse que le rapport abstrait de leurs longueurs et des temps employés. Le présent problème n’est donc pas entièrement équivalent, mais seulement « analogue ³ » aux précédents, d’où le « décalage horizontal » observé entre les âges de la réaction initiale que nous venons de discuter.

Mais, après avoir affirmé l’égalité des vitesses, un grand nombre des sujets de ce premier niveau (en particulier lorsque pour les trajets linéaires, ils commencent à dissocier la longueur du chemin parcouru de l’ordre des points d’arrivée), se laissent impressionner par l’inégalité des trajets, et alors ils concluent de façon systématique et surprenante à la plus grande vitesse du mobile qui parcourt le plus petit des deux cercles ! Le sujet Nan s’applique môme à concilier cette seconde opinion avec la première : les vitesses sont égales, dit-il puisqu’« ils ont été les deux en même temps », mais « celui du dehors a été plus lentement pour être en même temps que celui du dedans ». Quant à Mat, Col et Fau, ils nous donnent la clef du mystère : le mobile qui suit le petit cercle va plus vite « parce qu’il a moins de route à faire ou qu’il a moins à faire de tours ». Cette dialectique étrange nous fait bien comprendre, en effet, la nature de cette nouvelle affirmation : le mobile qui parcourt la petite circonférence va plus vite que celui de la grande, parce que, son chemin étant plus court, il pourrait arriver non pas plus loin que l’autre mais avant l’autre. La vitesse est donc en ce cas, dépassement dans le temps et non plus dans l’espace, c’est-à-dire l’interversion de l’ordre temporel et non plus spatial : marche plus vite celui qui, étant d’abord le dernier dans le temps, se trouve ensuite être le premier arrivé à son but. Il est vrai que, dans le cas particulier, tous deux arrivent en même temps, mais le mobile du petit cercle pourrait parvenir au but avant l’autre puisqu’« il a moins à faire », comme dit Col, et cela suffit suivant cet enfant, pour affirmer qu’« il a plus de vitesse » on pourrait presque dire de « vitesse virtuelle ». Quant à Nan, il faut alors admettre qu’il pense simultanément à l’espace pour la grande piste et au temps [p. 136] pour la petite, d’où sa conciliation paradoxale entre les deux sortes de dépassement, spatiale et temporelle !

On comprend donc pourquoi le langage, dont la logique demeure souvent enfantine dit indifféremment « plus vite » pour « plus vite arrivé » (dépassement dans le temps) et pour « plus rapide » (dépassement dans l’espace). En Suisse romande on dit même souvent « plus vite faire » dans le sens de plus facilement ou plus pratiquement.

Mais alors, si l’enfant peut définir ainsi la vitesse par le dépassement dans l’espace ou dans le temps, indifféremment, comment expliquer la prédominance du dépassement temporel (« plus vite arrivé ») dans le cas des pistes circulaires et celle du dépassement spatial dans celui des chemins rectilignes ou à ordre linéaire ? Notons d’abord que même dans ce dernier cas, il arrive souvent que l’enfant juge un trajet court plus rapide qu’un long trajet effectué synchroniquement en vertu du même schéma de dépassement temporel, c’est-à-dire d’arrivée antérieure au but (voir sect. II, § 4, cas de Ros, etc.). Mais, dans le cas des trajets linéaires de la sect. II, le schéma du dépassement spatial est plus aisé à évoquer, bien que les points de départ et d’arrivée se trouvent respectivement les mêmes et qu’ils soient simultanés : dès que l’enfant parvient à dissocier les longueurs de l’ordre de ces points, il peut se les représenter comme rectilignes et parallèles et intuitionner ainsi un dépassement spatial. Dans le cas des circonférences concentriques, au contraire, nous avons déjà vu que la traduction de leurs longueurs en lignes droites est malaisée, tandis qu’il est facile de les traduire en ordre temporel : plus court = arrivée en premier = plus vite parcouru.

Au total, il est aisé de voir qu’au cours de ce premier stade la vitesse ne résulte, pas plus qu’au stade correspondant des sect. I et II, d’une mise en relation du temps et de l’espace parcouru. Elle se réduit encore à l’intuition du dépassement, d’où l’idée première que les deux vitesses à comparer sont égales. Lorsque l’on insiste sur les inégalités de longueurs des trajets ou lorsque, par hasard, l’enfant y pense de lui-même, il ne les traduit point alors en termes de dépassement spatial puisque les cercles sont concentriques et que les mobiles marchent sans cesse de front : il se borne à penser que le mobile parcourant le plus petit trajet pourrait arriver le premier au même point et alors, ou bien il oublie les simultanéités d’arrivée et déclare que ce mobile a marché plus vite, ou bien il se rappelle le synchronisme mais, pensant à une sorte de vitesse en réserve, déclare que le petit « a plus de vitesse ».

Il convient, pour contrôler les interprétations précédentes, d’examiner avec soin les réponses intermédiaires, qui débutent de la même manière mais aboutissent à la solution juste :

Bea (8 ; 2) : « Est-ce qu’un de ces deux chiens se dépêche plus que l’autre ? — Celui du dedans se dépêche plus. — Pourquoi ? — Parce qu’il a les jambes moins écartées. — Comment ? — Parce qu’il a un plus petit chemin : il est plus vite. — Mais ils arrivent en même temps ? — Oui, parce que celui du dehors court et celui du dedans ne court pas. — Alors lequel va plus vite ? — Le petit. »

Dun (8 ; 2) : « Ils se sont dépêchés la même chose. —  Pourquoi ? — Ils sont partis en même temps et venus en même temps. —  Ils sont aussi essoufflés l’un que l’autre ou un plus ? — La même chose. —  Les chemins sont comment ? — Celui du dehors est plus long. — Alors ? — Celui du dedans s’est dépêché plus, parce qu’il a un plus petit chemin. —  Alors il doit se dépêcher plus ? — Il ne s’est pas dépêché plus, mais il arrive plus vite parce qu’il a un plus petit chemin. —  Mais ils arrivent en même temps ? — Oui, parce que celui du dehors s’est dépêché plus, parce qu’il a un plus grand chemin. »

Pil (8 ; 5) : « Ils se sont dépêchés la même chose, parce qu’ils arrivent en même temps. —  Même vitesse ? — Oui. —  Y en a-t-il un qui est plus essoufflé que l’autre ? — Oui, celui du dedans. —  Il se dépêche plus ? — Oui, parce qu’il a un plus petit chemin. — Alors il doit se dépêcher plus ? — Ah non, c’est le grand parce qu’il a un plus grand chemin. »

Hei (8 ; 8). « Ils se dépêchent la même chose. Ils sont la même chose vite. —  Ils ont le même chemin ? — Celui du dehors a un plus long chemin. — Alors ils se dépêchent autant ? — Non, celui du dedans se dépêche plus, parce qu’il a un plus petit chemin… Ah non, le grand il a un plus grand chemin, alors il doit se dépêcher plus pour arriver en même temps. »

Pal (8 ; 8). Mêmes vitesses et même essoufflement. « Les deux chemins sont de même longueur ? — Non, celui du dedans est plus petit. —  Alors comment font-ils pour arriver en même temps ? — Parce que les deux chemins sont ronds. —  Alors ? — Ça fait la même chose. — Alors même vitesse ou l’un s’est plus dépêché que l’autre ? — Ah, celui du dehors s’est plus dépêché parce qu’il a un plus long chemin. »

Iso (8 ; 11) : « Celui du petit rond se dépêche davantage. —  Pourquoi ? — Parce qu’il a le tour le plus petit. — Et alors pourquoi il doit se dépêcher plus ? — Parce qu’il doit courir et celui du grand rond peut marcher. —  Mais pourquoi ? — Pour arriver le premier. —  Mais ils arrivent en même temps ? — Eh bien, alors, celui du grand rond va plus vite, puisqu’il a un plus grand tour à faire. —  Pourquoi tu disais celui du petit ? — Alors ils vont les deux ensemble et ils iront la même chose vite. —  Ils font le même chemin ? — Non, celui du dehors est plus long. Alors comment c’est ? — Celui du grand rond ira plus vite, pour arriver en même temps que l’autre. —  Pourquoi plus vite ? — Parce qu’il a un plus grand tour à faire. »

[p. 138]Cle (9 ; 0). « Celui du petit rond s’est dépêché plus parce que le rond est plus petit. — Ils vont à la même vitesse ou pas ? — Oui, parce que vous les avez fait aller en même temps. —  Un des deux est plus essoufflé ? — Oui, celui du grand rond parce qu’il a un plus grand chemin. —  Un doit se dépêcher plus ? — Oui, le grand, autrement celui du petit sera arrivé avant lui. — Ils arrivent comment ? — Ils se sont dépêchés la même chose, parce qu’ils sont allés en même temps. —  Mais les chemins sont les mêmes ? — Le grand s’est dépêché plus. — Mais ils arrivent en même temps ? — Alors ils se sont dépêchés la même chose. —  Mais un chemin est plus long que l’autre ? — Alors le grand s’est dépêché plus »…, etc., etc. Pour finir, et après une longue réflexion, Cle conclut : « Le grand a couru un peu plus pour arriver avec celui du petit rond. —  Alors un plus vite que l’autre ? — Oui, le grand, mais pas beaucoup. »

Ber (9 ; 5) de même oscille entre deux affirmations : « Ils se sont dépêchés la même chose puisqu’ils arrivent en même temps. —  Mêmes vitesses ? — Oui, puisqu’ils vont tout le temps l’un à côté de l’autre » et « Le grand sera plus essoufflé puisqu’il a un plus grand chemin ». Puis il se décide pour cette dernière.

Ces réactions intermédiaires, qui présentent par rapport aux stades II correspondants des sect. I et II le même décalage qu’entre les stades I et pour les mêmes raisons, déjà analysées, sont d’un intérêt d’autant plus vif pour l’étude des régulations intuitives que ces enfants sont assez avancés pour motiver clairement chaque réponse. De ce point de vue, on peut dire que leur attention, c’est-à-dire le point de centration de leur intuition perceptive ou représentative, peut à tour de rôle se porter sur trois sortes de données distinctes : 1° L’ordre (spatial et temporel) des points de départ et d’arrivée : les mobiles partent, en effet, simultanément de la même ligne pour arriver simultanément au terme de la course, qui coïncide avec leurs points de départ. 2° L’inégalité de longueur des pistes, conçue en termes de dépassement temporel : à vitesses égales le mobile parcourant le petit cercle arriverait avant l’autre. 3° Cette même inégalité conçue en termes de dépassement spatial : à durées égales, le mouvement effectué sur le plus grand des cercles dépasserait l’autre si tous deux étaient réduits à des déplacements en lignes droites.

Il va de soi que, du point de vue d’une synthèse d’opérations ces trois sortes de données sont aisément conciliables : il suffit que longueurs et durées soient conçues comme des intervalles situés entre les points ordonnés (dans l’espace et dans le temps) de départ et d’arrivée pour que les relations posées soient, non seulement, compatibles entre elles, mais encore impliquées les unes dans les autres. Seulement, pour que cette synthèse opératoire soit possible, il faut pouvoir traduire les mouvements [p. 139] circulaires en mouvements linéaires parallèles, sans être dupe de l’ordre cyclique, et c’est là la difficulté intuitive qui complique le problème pour l’enfant de ce niveau.

Or, faute de parvenir à cette synthèse, nous voyons les sujets osciller entre les trois points de vue possibles, correspondant à ces trois données lorsqu’on les envisage isolément : égalité des vitesses, suggérée par le fait que les deux mobiles marchent toujours de front, plus grande vitesse sur le petit cercle (dépassement temporel) ou sur le plus grand (dépassement spatial en ligne droite). C’est ainsi que des sujets comme Dun, Pil, Hei, Iso et surtout Cle passent tantôt de la première à la seconde de ces deux solutions, tantôt de la première à la troisième, de la seconde à la première ou de la seconde à la troisième, en une suite incohérente de volte-face étonnantes, seul le troisième point de vue devenant à peu près stable (sauf chez Cle et Ber qui oscillent sans fin entre les premières et troisièmes solutions avant de se fixer à cette dernière). Trois questions se posent donc à ce sujet : le pourquoi des oscillations en général, le comment de l’arrivée à la réponse juste et le pourquoi de son équilibre supérieur.

Sur le premier point, il est clair que si le propre de la pensée intuitive consiste à évoquer simplement par la représentation imagée et l’expérience mentale le processus à expliquer, il suffit que celui-ci comporte plusieurs aspects ou rapports distincts pour que ce soit tantôt l’un tantôt l’autre qui soit « centré », exactement comme lorsque la perception se fixe sur un point ou un autre d’une figure d’ensemble. Et alors, dans le cas de l’intuition comme dans celui de la perception, le point ou le rapport centré est surévalué par cela même et les autres sous-estimés, ce qui revient à dire en l’espèce que chacun des rapports envisagés successivement fait immédiatement oublier les autres. Cet oubli se manifeste, en effet, non pas par un phénomène de simple mémoire (on n’oublie pas à quelques secondes près ce que l’on vient de dire) mais par une dévalorisation soudaine des raisons qui ont motivé l’affirmation précédente : voir par exemple le cas de Cle. Mais ces centrations successives ne se suivent pas au hasard : il suffit de ramener l’enfant au point de vue qu’il vient d’oublier ou de sous-estimer, pour que cette nouvelle centration intuitive corrige la précédente par une sorte de régulation, mais une régulation qui renverse les positions comme en une sorte de jeu de bascule.

On comprend alors comment s’effectue la découverte de la solution juste. Ce n’est pas, ou rarement, par une illumination [p. 140] soudaine coordonnant les relations entre elles en un acte de synthèse opératoire ou en partie opératoire, mais c’est par une extension progressive de cette régulation qui, dès le début, conduit le sujet à passer alternativement d’une centration à l’autre. Autrement dit, la solution s’obtient peu à peu par décentration : tout en fixant son attention sur l’un des rapports, le sujet en vient à penser à un autre et corrige ainsi le premier en le différenciant. C’est ainsi que Bea tout en disant que le chien du petit cercle « se dépêche plus » suppose déjà qu’il a « les jambes moins écartées » et parvient ainsi à conclure que « celui du dehors court », mais sans renoncer entièrement à croire que le petit va plus vite ! Dun, surtout, après avoir dit que celui du petit cercle se dépêche plus, corrige ensuite la chose en pensant qu’« il ne s’est pas dépêché plus, mais il arrive plus vite », autrement dit en dissociant les rapports « aller plus vite » et « arriver plus tôt », etc. Ces dissociations effectuées, le sujet découvre alors la solution elle-même en traduisant les longueurs des deux cercles sous forme d’un dépassement dans l’espace, c’est-à-dire en les comparant à des droites. Or, là encore, il s’agit d’une régulation intuitive, mais sous la forme de reconstitutions et d’anticipations représentatives : les longueurs circulaires sont simplement assimilées aux formes habituelles qui permettent de voir le dépassement, quand bien même, sous leurs formes circulaires concentriques les pistes rendent impossible sa constatation perceptive. Seulement, il convient de remarquer que de telles anticipations et reconstitutions sont déjà incluses dans les régulations précédentes, puisque décentrer un rapport consiste à se rappeler l’existence des autres en les reconstituant ou en les anticipant. Cette dernière forme de correction de l’intuition n’est donc qu’une extension de la décentration, la trajectoire donnée (circulaire) étant pour ainsi dire décentrée en une forme plus usuelle (linéaire) et assimilée à elle.

Le troisième problème se résout alors de lui-même, si vraiment la troisième relation (dépassement spatial) et le résultat d’une décentration progressive, d’une part due au fait que les divers rapports ont été envisagés successivement, et d’autre part issue d’une assimilation au schème habituel du déplacement, il va de soi qu’elle sera plus stable que les autres. Elle les implique, il est vrai, puisque le dépassement linéaire traduit en trajets circulaires implique la possibilité d’une marche de front (première relation) et que le dépassement spatial à temps égaux se transforme en dépassement temporel à vitesses égales (deuxième relation). Mais ce n’est pas de ces implications que part l’enfant : [p. 141] il y parvient au contraire peu à peu grâce à une conciliation laborieuse des trois points de vue, mais cette conciliation atteint l’équilibre dès qu’elle se transforme en implications mutuelles. Nous touchons alors le niveau de l’opération, c’est-à-dire du stade suivant.

L’âge moyen de l’arrivée au troisième stade soulève un problème curieux. Il est de huit à neuf ans, si l’on pose d’emblée les questions relatives aux pistes circulaires, marquant donc un décalage sensible par rapport au troisième stade des sect. I et II (trajets linéaires). Mais, si l’on débute par les questions étudiées en ces sections et en particulier par celle des deux tunnels (sect. I), on trouve couramment vers sept ans des réponses immédiatement correctes, comme s’il y avait assimilation directe entre les relations de vitesse en trajets circulaires et le dépassement en trajets linéaires, lorsque celui-ci atteint le niveau opératoire. On reconnaîtra, en effet, parmi les sujets suivants, trois de ceux qui ont déjà été cités dans la sect. I (§ 3) :

Pas (6 ; 11) : « Un des deux va plus vite que l’autre ? — Celui-là (cercle extérieur), parce qu’il tourne plus. — Mais ils partent ensemble ? — Oui. — Et ils arrivent ensemble ? — Oui. — Alors ils ont la même vitesse ou non ? — Celui-là va plus vite, parce que le cercle est plus grand. »

Clan (7 ; 2) : « Ils partent et arrivent ensemble ? — Oui. — Ils marchent à la même vitesse ou bien un des deux va plus vite que l’autre ? — Celui-là va plus vite. — Pourquoi ? — Parce que le cercle est plus long et il doit courir pour rattraper l’autre. »

Laur (7 ; 4) : « Un va plus vite que l’autre ? — Celui qui court sur le plus grand cercle, parce qu’il doit aller plus vite. —  Pourquoi « il doit » ? — Pour arriver en même temps que l’autre. »

Ner (8 ; 11) : « Celui du grand va plus fort. — Pourquoi ? — Parce qu’il fait plus de chemin en même temps. »

Buc (9 ; 2) : « Celui-là va plus vite. —  Pourquoi ? — Il a plus à marcher. —  Mais il est à côté de l’autre ? — Oui, mais le rond est plus grand. »

On voit que les rapports de distance et de temps sont ainsi immédiatement multipliés l’un par l’autre en une totalité opératoire, laquelle paraîtrait bien simple et presque inanalysable si nous n’avions vu par quels détours laborieux l’esprit y parvient, en concevant les longueurs et ces durées comme des intervalles entre les points ordonnés sur lesquels porte presque exclusivement l’intuition initiale.

Il nous reste à [p. 142] discuter les résultats obtenus au moyen de la technique imaginée par M. André Rey : deux bonshommes A et B fixés sur une même tige pivotant autour de l’une de ses extrémités, décrivent deux arcs de cercles a et b de 45 degrés mais de longueur très distincte (A est près du centre de pivotement et B près de l’autre extrémité : B décrit ainsi plus du double du trajet de A). Or, tout en retrouvant exactement les mêmes types de réponses que précédemment, M. Rey n’a obtenu, en ce cas, la solution juste que vers 11 ans et il nous faut rechercher pourquoi.

Voici d’abord, à titre de comparaison, des réactions du premier stade :

Bar (6 ans). Avant l’expérience : « Lequel arrivera le premier ? — Tous ensemble. —  Pourquoi ? — Ils sont sur quelque chose qui va en même temps. » Après expérience : « Un est arrivé le premier ? — Non, tous ensemble : ils sont sur le même bâton. —  Mais un des deux va plus vite que l’autre ? — Non, tous de la même vitesse. »

Mad (6 ; 6). Avant l’essai : « Ils marchent chacun sur un autre chemin. — Qui arrivera le premier ? — Le petit, parce qu’il a un chemin plus petit. —  Un va plus vite ? — La même chose, parce qu’ils sont sur la baguette. » On fait l’expérience : « Ils sont arrivés ensemble. — Quelqu’un a marché plus vite ? — Le petit va plus vite, parce qu’il a un petit chemin. »

Geo (7 ans) : « Qui arrivera le premier ? — Celui qui a le plus petit chemin à faire. — (Exp.) Quelqu’un va plus vite ? — Personne, parce qu’ils sont sur le même bâton. »

Bel (7 ans) prévoit qu’ils arriveront « les deux ensemble » et qu’ils iront à la même vitesse « parce qu’ils sont accrochés ensemble ». L’expérience ne le détrompe pas. Lorsqu’on décroche les bonshommes pour les faire marcher en ligne droite, il voit bien que l’un va plus vite « parce que son chemin est plus grand » mais lorsqu’on les remet sur le bâton et qu’ils décrivent leurs arcs de cercle, ils vont « la même chose vite à cause du bâton ».

Cham (8 ans) : « Le petit arrivera le premier parce que son chemin est plus court. » Après expérience : « La même chose vite. »

Per (9 ans) : « Le petit arrivera d’abord parce qu’il est plus près. » Après expérience, il reconnaît qu’« ils arrivent en même temps », mais en conclut que « le petit va plus vite parce qu’il a un plus petit chemin ».

On retrouve donc les deux solutions décrites au § 7 : plus grande vitesse du bonhomme décrivant le plus petit trajet ou égalité des vitesses. La première de ces solutions est parfois liée ici au fait que l’enfant s’attend à voir le bonhomme A arriver avant l’autre faute de réaliser avec assez de précision les effets de la rotation. Mais ordinairement il s’attend à l’arrivée simultanée des deux mobiles et en conclut à une égalité de vitesse, [p. 143] cette seconde solution était renforcée par le fait de la fixation des bonshommes sur une même tige rigide.

Voici des exemples des stades II (Lint) et III (Alb et Bug) :

Lint (9 ans) : « Les deux arriveront ensemble » et à la « même vitesse ». Après expérience : « La même chose vite. — Sûr ? — Le grand doit quand même aller plus vite, mais je n’en suis pas sûr parce qu’ils sont sur le même bâton. »

Alb (10 ans). Prévision : ils arriveront en même temps et à la « même vitesse, parce que les deux sont sur la même règle ». Mais, après l’expérience : « Le grand va plus vite, parce qu’il fait plus de chemin » et « La règle va un peu plus vite là (b) que là (a), parce que c’est au bout ».

Bug (12 ans). Prévision : mêmes vitesses. Après expérience : « Ils arrivent en même temps et le grand (B) plus vite. C’est parce que l’endroit où il y a le petit (A) est plus près de là où ils sont accrochés (centre de pivotement) et pour cela il ne tourne pas si vite. L’autre est plus éloigné, alors la règle tourne plus vite et il tourne plus vite que l’autre : comme ça il est possible qu’ils arrivent en même temps.

On voit donc que Lint (stade II) donne une réaction intermédiaire comme les sujets du § 8 tandis que Alb et Bug expliquent correctement le phénomène observé comme les sujets du stade III. Mais contrairement aux sujets du § 9, en ce qui concerne l’expérience des deux pistes concentriques, ils ne sont pas capables de prévoir le phénomène et ont besoin de l’analyser de visu pour comprendre le rapport des vitesses. Au contraire, les sujets du quatrième stade (opérations formelles) y parviennent sans peine :

Chu (11 ans). Prévision : « Ils arriveront en même temps. Les deux sont sur la même règle, alors un est obligé d’aller aussi vite que l’autre, non, le grand va plus vite, parce que ça fait plus loin, mais il arrive avec l’autre. » Après expérience : « même vitesse, non là (A) c’est courbé et là (B) c’est presque droit, alors le petit, non le grand va plus vite. »

Tur (12 ans). Prévision : « Mêmes vitesses, non, le grand va plus vite, mais je ne l’ai pas dit tout de suite à cause de la règle. »

Comme le dit fort bien Tur lui-même, c’est à cause de la tige rigide sur laquelle sont fixés les bonshommes, que leurs vitesses respectives ne peuvent être calculées « tout de suite ». Il faut même attendre l’intervention des opérations hypothético-déductives ou formelles pour décomposer d’avance ces mouvements en arc de cercle, qui sont en principe semblables à ceux de l’épreuve des deux pistes, mais dont la solidarité matérielle des mobiles rend les conditions intuitives bien plus complexes.