Chapitre VIII.
Les vitesses relatives ^{1 a} 🔗

Nous avons présenté aux enfants un châssis muni d’un ruban sans fin sur lequel sont fixés huit cyclistes de carton. Une manivelle permet d’en régler la vitesse et en particulier de la maintenir constante. Parallèlement à ce ruban, une ficelle tendue porte un bonhomme représentant l’observateur qui compte les bicyclettes. Ce bonhomme, d’abord immobile pendant 15" (temps suffisant pour que les huit cyclistes défilent devant lui) est ensuite mis en mouvement grâce à une seconde manivelle, qui actionne la ficelle : il marche 15" également (on le fait vérifier aux sujets selon leur âge), soit dans le même sens que les cyclistes, soit en sens contraire, à une vitesse constante également et normalement inférieure à celle des cyclistes.

On prie au préalable le sujet de compter à haute voix les cyclistes qui défilent devant le bonhomme. Chacun d’entre eux porte un numéro d’ordre pour éviter les confusions. Cela établi, on fait prévoir à l’enfant combien le bonhomme verra de cyclistes pendant 15’ également, s’il marche dans le même sens qu’eux.

[p. 174] Il est entendu (cela doit être précisé dès la question préalable) qu’il s’agit uniquement des cyclistes passant devant le bonhomme, donc le dépassant lorsqu’il marche dans le même sens qu’eux, et non pas des cyclistes qu’il peut voir venir au loin sur la route. La question se pose exactement comme suit : « Maintenant le bonhomme va marcher comme ça (sens des cyclistes) pendant 15" aussi. Quand il était immobile, il a vu huit cyclistes passer devant lui. Quand il marchera, combien de cyclistes vont-ils passer à côté de lui, comme ça (on précise par gestes) : de nouveau huit, ou plus que huit, ou moins que huit ? » L’enfant ayant répondu, on lui demande le pourquoi de son opinion, puis on fait l’expérience et on le prie d’expliquer ce qu’il a vu. Ou bien on passe directement à la question suivante, quitte à remettre les deux explications à la fin : le bonhomme marchant en sens inverse des cyclistes, combien en verra-t-il (en 15" de nouveau) qui le croisent ?

Enfin, et cela surtout à l’intention des petits, on introduit au moment opportun une question supplémentaire qui facilite la compréhension : un seul cycliste étant mis en marche en même temps que le bonhomme, on demande s’il faut plus ou moins de temps à celui-ci pour rencontrer le premier, selon qu’il demeure immobile, va à sa rencontre ou marche dans le même sens que lui. Cette question posée, on revient à celle des huit cyclistes.

Sur 50 enfants examinés (35 garçons et 15 filles) de 5 ; 6 à 13 ans, nous avons pu distinguer les quatre stades suivants. Durant le premier stade, l’enfant ne sait pas résoudre la question des temps nécessaires à la rencontre du bonhomme et du cycliste unique, et répond n’importe quoi aux problèmes relatifs aux huit cyclistes. Durant le second stade (intuition articulée) la question du cycliste unique est résolue, tandis que celle des huit cyclistes donne lieu à une prévision relativement uniforme : le bonhomme en verra autant, qu’il soit immobile, aille à leur rencontre ou marche dans la même direction qu’eux. Il n’y a donc aucune relativité des vitesses (de 6 ans à 7 ; 6 environ, moyenne 6 ; 6). Au cours du troisième stade (opérations concrètes le sujet n’arrive pas à déduire d’avance les résultats, mais il donne après coup une explication correcte des rapports en jeu (ce qui n’était pas possible au cours des deux premiers stades, même après expérience). Ce stade III s’étend de 8 ; 0 à 11 ; 4 ans avec un âge moyen de 9 ; 10. Enfin le quatrième stade (dès 10 ; 6 ou 11 ans : opérations formelles) donne lieu à une déduction correcte antérieure à l’expérience et à une explication souvent excellente de la relativité des vitesses.

[p. 175] Il est naturellement possible de distinguer en outre deux sous-stades au stade III, selon que la réponse juste est découverte plus ou moins tôt après tâtonnements, et deux sous-stades au stade IV, selon le niveau de l’explication hypothético-déductive.

Il va de soi que, au niveau où les vitesses absolues ne sont pas encore comprises opératoirement, mais sont conçues en fonction du seul dépassement perceptif, et où le temps n’est pas encore dissocié de la succession spatiale, il ne saurait y avoir de compréhension de la relativité des vitesses. Au cours du stade I le sujet ne résout même pas la question du cycliste unique et de l’observateur en mouvement :

Nap (6 ans) compte 6 cyclistes passant devant le bonhomme immobile : « Et s’il va dans le même sens qu’eux, comme ça (geste), combien de bicyclettes le dépasseront, plus, ou moins ou pareil ? — Il en verra plus, parce que des fois on en voit plus ou moins. — Regarde ce bonhomme, le cycliste part d’ici pour le rejoindre. Il a mis un petit moment ? — Oui. — Maintenant le bonhomme part et va à sa rencontre. Il aura fallu plus de temps ou moins qu’avant pour qu’il se rencontre ? — La même chose. — Et maintenant le bonhomme part de l’autre côté. Tu vois, ils partent et le cycliste va le rattraper. Faut-il plus de temps ou moins que quand le bonhomme est là ? — La même chose. —  Pourquoi ? — … — Et si maintenant le bonhomme court à sa rencontre ? — Plus de temps. — Pourquoi ? — Parce qu’il court. »

Mad (6 ½). Huit cyclistes : « La même chose. —  Pourquoi ? — Parce qu’il y en a autant. » Cycliste unique : « La même chose. »

Les réactions au problème des huit cyclistes n’ont guère d’intérêt tant que la question du cycliste unique n’est pas résolue. Quant à celle-ci, il est frappant de constater la difficulté à comprendre que les temps sont modifiés quand les vitesses ne le sont pas. Au cours du stade II, par contre, ce dernier problème est résolu, sans que le soit pour autant celui des huit cyclistes :

Ber (6 ; 8). Le spectateur immobile voit passer cinq cyclistes. « Et s’il marche dans le même sens (geste) pendant le même temps ? — Il en verra plus, parce qu’il va moins vite que les cyclistes. —  Et s’il va à leur rencontre, comme ça (geste), il en verra cinq comme avant, ou plus ou moins ? — À peu près la même chose. »

Iac (7 ; 6). Le bonhomme immobile voit six cyclistes : « Et s’il marche dans le même sens il en verra plus ou moins ? — Même chose. —  (Exp. : quatre.) — C’est pareil ? — Non, moins. — Pourquoi ? — Parce que le bonhomme regardait devant lui, et ceux qui étaient en arrière [p. 176] il ne les voyait pas. — Et si maintenant il va à leur rencontre, il en a vu six immobiles et quatre quand il allait comme ça. S’il va à leur rencontre il en verra plus ou moins ? — Il en verra quatre. —  Pourquoi ? — Parce qu’il est de nouveau au même endroit (= même point de départ) et qu’il marche le même bout. —  (Expér. : sept.) — C’est parce que les vélos ont été plus vite. — Mais non, j’ai tourné la même chose. — Alors c’est parce que le bonhomme est allé plus lentement. —  Mais non, la même chose. Pourquoi alors il en a vu plus ? — … »

« Regarde, maintenant le bonhomme attend le cycliste. Combien s’est-il passé de temps jusqu’à ce qu’ils se croisent ? — Une minute. —  Maintenant le bonhomme va par là (même sens). Le cycliste mettra plus ou moins de temps qu’avant, pour le rattraper ? — Plus de temps parce que le cycliste a un plus long chemin à faire. —  Et maintenant il va à sa rencontre. Plus ou moins de temps ? — Moins, parce qu’il a moins de chemin à faire. —  Très bien. Alors peux-tu m’expliquer maintenant pourquoi il voit plus de vélos quand il va comme ça (rencontre) et moins quand il va comme ça (même sens) ? — C’est que là (même sens) il ne voit que les vélos qui sont devant lui (= il tourne le dos à ceux qui viennent) et là aussi (= rencontre). » Iac ne voit donc pas le rapport des vitesses ou de mouvements et explique les différences par la position du bonhomme.

Pie (7 ; 9). Immobile : quatre : « (Même sens) ? — Il en verra la même chose. —  (Exp. : trois.) — Pourquoi un de moins ? — … — Et s’il va à leur rencontre ? — La même chose. — (Exp. : cinq.) — Peut-être que le bout de ficelle est plus grand. — (On vérifie et on recommence.) — Ça sera la même chose : quatre. —  (Exp. : cinq.) — Pourquoi ? — … » On fait l’exp. du cycliste unique et Pie répond comme lac. On reprend les quatre cyclistes et il s’attend à nouveau à « la même chose » dans les deux sens.

Nec (7 ; 10). Dans les deux sens : « Il en verra la même chose qu’en étant immobile, parce que les cyclistes vont à la même vitesse. » Pas d’explication après expérience ni après la prévision juste des rapports pour un seul cycliste.

Il est clair que ces sujets ne composent pas les mouvements en jeu ni leurs vitesses. L’une des réponses les plus ordinaires est celle de Iac et de Pie : le bonhomme verra le même nombre de cyclistes « parce qu’il marche le même bout », d’où l’explication de Pie après avoir constaté qu’il en a vu davantage : « peut-être que le-bout… est plus grand ». Le sujet ne s’occupe donc que de la longueur absolue du trajet du bonhomme et non pas de sa longueur relative au mouvement des cyclistes dans le même temps. Une autre réponse fréquente est celle de Nec : si la vitesse des cyclistes reste la même, il en verra le même nombre, comme si la vitesse des premiers n’était pas à composer avec celle du bonhomme. Quant à Ber, qui semble songer à [p. 177] une composition lorsqu’il dit « le bonhomme va moins vite que les cyclistes » (dans le même sens), il ne retourne pas le raisonnement lorsque le bonhomme va à la rencontre des vélos, et se borne donc à une intuition articulée mais non opératoire. De même lac, après expérience faite, ne trouve pas d’autre explication que de supposer une augmentation ou une diminution des vitesses absolues, mais à nouveau sans composition relative.

Bref, comme dans le problème des mouvements relatifs (chapitre V), dont celui-ci n’est qu’une variante avec introduction de vitesses différentes, l’enfant ne tient compte que de l’un des mouvements ou de l’un des points de vue à la fois : l’observateur parcourt la même distance dans les deux sens ou les cyclistes vont à la même vitesse dans les trois situations, donc le même nombre de cyclistes seront croisés. Le sujet ne comprend donc pas que c’est l’addition ou la soustraction des mouvements et de leurs vitesses qui seule détermine le résultat. Quant au cycliste isolé, l’enfant saisit par contre bien qu’il rencontrera en plus ou moins de temps l’observateur, selon que celui-ci s’éloigne, reste immobile ou se rapproche, parce qu’alors la distance augmente ou diminue. Mais une simple anticipation intuitive des déplacements suffit à la solution de ce problème. Au contraire, dans le cas des quatre à huit cyclistes, on ne demande pas s’ils rejoindront l’observateur en plus ou moins de temps : on demande le nombre des croisements ou dépassements, qui est à déduire de ces temps et de ces espaces, donc d’une composition des vitesses. C’est pourquoi, même après avoir résolu le problème temporel du cycliste unique, l’enfant de ce niveau ne parvient pas à en appliquer le résultat au problème des vitesses : ainsi lac, juste après avoir dit dans le cas du cycliste unique « il a plus, ou moins, de chemin à faire », se borne à énoncer une tautologie dans celui des nombreux cyclistes.

Or, cette non-relativité égocentrique va se conserver en partie durant le stade suivant, à cette différence près que les expériences faites devant l’enfant le conduiront à trouver l’explication plus ou moins complète du phénomène.

Les opérations concrètes ne suffisent pas à la solution du problème des vitesses relatives pas plus que de celui du chapitre V. L’enfant anticipe cependant parfois, dès 8-9 ans, certains des rapports en jeu, en particulier pour les mouvements de même sens plus que pour les mouvements contraires. Mais il ne prévoit pas tout. Par contre après expérience, [p. 178] et souvent déjà après les questions posées sur le cycliste isolé, le sujet parvient à comprendre l’ensemble. Voici des exemples, à commencer par un cas intermédiaire entre les stades II et III :

Sim (8 ; 10). Même sens : « Il en verra moins. — Pourquoi ? — Parce qu’il fait un petit bout de chemin. — (Exp.) — Oui, parce qu’il a fait ce petit bout et qu’il y en a encore derrière lui. — (Sens inverses.) — Il en verra la même chose qu’avant (que dans le même sens), parce que c’est le même bout (il mesure de la main), c’est la même distance. — (Exp.) — C’est difficile. Je ne comprends pas pourquoi il en voit plus. — (Un seul cycliste en sens contraire.) — Moins de temps pour se rencontrer, parce qu’ils ont moins de chemin à faire. — Explique-moi alors pourquoi le bonhomme en voit plus quand il y en a beaucoup et qu’il va à leur rencontre ? — … »

Reg (9 ; 1). Un mobile : six. Même sens : « Il en verra moins qu’avant, parce qu’il voyage avec eux et qu’il va moins vite. —  (Exp.) — Oui, s’il avance, il en voit moins. —  Pourquoi ? — … — (Sens contraires.) — Il en verra la même chose, non moins. —  Pourquoi ? — Parce qu’il va dans ce sens. — (Exp.) — Il en voit plus ! —  Pourquoi ? — Parce qu’il va dans ce sens. »

Un seul cycliste. Même sens : « Il mettra plus de temps pour le rattraper. —  (Sens contraire.) — Moins longtemps. — Et quand il va à la rencontre de tous les cyclistes ? — Il en voit plus parce que les cyclistes vont plus vite. — Je tourne plus vite la manivelle ? — Non, mais ils mettent moins de temps. »

Léo (9 ; 3). Même sens : « Plus, non moins, parce que, s’il avance avec les cyclistes, il verra toujours les mêmes. — (Exp.) — Oui, il allait là-bas : il ne peut pas tous les voir. —  (Exp. avec un seul.) — Ah oui, le cycliste a plus de chemin à faire. — Alors maintenant, tu peux m’expliquer ? — Tant que le bonhomme avance, il y en a qui restent en arrière. — (Sens inverse.) — Il en verra la même chose : quand il avance il les voit comme quand il reste immobile. — Sûr ? — Non, il en verra plus, parce qu’ils font la même longueur mais il en voit plus parce qu’il en voit toujours venir. Avant (immobile) il les voyait peu à peu venir (donc différence des vitesses apparentes). — (Exp. sur un seul.) — Moins de temps, parce qu’il y a moins de chemin à faire. —  Alors ? — Le bonhomme a fait plus de chemin parce qu’il va à leur rencontre et qu’il y en a toujours qui viennent. »

Chot (10 ; 2). Même sens : « Il en verra passer le même nombre, puisqu’il va dans le même sens qu’eux. — (Exp.) — Ah il en voit moins, parce qu’il ne voit que ceux qui passent devant lui. —  Et maintenant s’il va à leur rencontre. — (Longue hésitation.) Je ne sais pas. — (Exp.) — Il en voit plus parce qu’il les croise, parce qu’ils viennent (pendant qu’il marche). »

Lin (10 ; 9). Même sens : « La même chose. —  (Exp.) — Non, il en voit moins, parce qu’il avance lentement, et, comme il est le point de [p. 179] départ, les autres ne pourront pas faire le tour (= arriver à lui). — (Sens contraires.) — Il en verra plus. —  Pourquoi ? — … — (Exp. sur un seul.) — Au bout d’une minute, le bonhomme n’aura pas été rattrapé, parce qu’il est déjà en avant (= même sens). Dans le sens contraire, ça fait moins qu’une minute et le trajet sera plus petit. —  Et pour tous les autres ? — Oui, c’est la même chose. »

Sour (11 ans). Même sens : « Il en verra plus. —  Sûr ? — Oui. —  (Exp.) — Non, deux de moins qu’avant. C’est parce que les coureurs passent moins vite : il en voit moins devant lui parce que lui il se déplace aussi. —  (Un seul cycliste.) — Le bonhomme avance, alors le cycliste met plus de temps pour le rattraper. —  (Sens inverse avec tous, avant l’exp.) — Il en verra plus parce qu’ils mettront moins de temps pour venir à lui. »

De ces quelques exemples représentant les différents paliers du stade III (de 8 à 10 ans en moyenne), deux faits se dégagent nettement. Le premier est qu’aucun de ces sujets ne parvient à la prévision ni surtout à l’explication correcte avant d’avoir été interrogé sur la question des temps ou espaces nécessaires pour la rencontre d’un seul cycliste avec l’observateur, ou avant d’avoir pu constater expérimentalement l’un des résultats à prévoir pour les huit cyclistes. Sans doute, certains comme Sim, Reg et en partie Léo prévoient ce qui se passera lorsque le bonhomme marchera dans le sens des cyclistes, mais c’est une anticipation intuitive sans généralisation pour ce qui est de la marche en sens inverse. Cet échec à l’explication et même à la prévision générale des rapports en jeu, chez des enfants qui, par ailleurs, ont une notion opératoire des vitesses simples, montre assez que le problème des vitesses relatives suppose l’intervention d’un mécanisme formel, et l’étude du stade IV nous montrera pourquoi.

Par contre, et ceci indique clairement le progrès de ce stade III sur le stade II, ces mêmes enfants sont capables de construire une explication correcte et même une prévision exacte des expériences qui restent à faire, sitôt qu’ils ont constaté concrètement le résultat de l’une des expériences antérieures ou qu’ils ont répondu à la question du cycliste isolé. Dans les deux cas, on a l’impression qu’un mécanisme opératoire latent se décroche au contact des données concrètes. Plus précisément, les résultats de l’expérience faite sont organisés grâce aux opérations concrètes, et celles-ci se généralisent alors jusqu’à imiter les opérations formelles qui n’ont pu être effectuées d’avance. Seul Sim (cas intermédiaire entre les stades II et III) ne parvient pas à cette généralisation. Par contre, tous les [p. 180] autres s’engagent sur la voie de l’explication correcte : les mouvements de sens contraire donnent lieu à plus de croisements « parce qu’il y en a toujours qui viennent » (Léo, Chot, etc.) et même « parce qu’ils mettront moins de temps à venir à lui », dit Sour. Ce dernier sujet, qui rejoint, après prévision fausse, les explications du quatrième stade, dit même pour les marches en sens convergent « les coureurs passent moins vite : il en voit moins devant lui parce que lui il se déplace aussi », ce qui est l’expression de la relativité comme telle.

Bref, ce stade III nous met en présence d’une découverte progressive de la solution juste par tâtonnements et approximations successives et non encore par déduction directe. Il est, enfin, intéressant de constater chez quelques cas exceptionnels (et parmi les plus jeunes sujets du stade) une sorte d’intuition rationnelle qui anticipe ce que sera cette déduction, mais sans explication possible. Ils prévoient donc les résultats, mais sans pouvoir en donner d’explication :

Ios (7 ; 6). Même sens : « Il en verra, moins. —  Pourquoi ? — … — (Exp.) — C’est juste. —  Pourquoi ? — … — (Sens contraires.) — Il en verra plus. —  Pourquoi ? — … »

Mon (8 ans). Même sens : « Moins. —  Pourquoi ? — … — (Sens contraire.) — Il en verra plus. — Pourquoi ? — Parce que les vélos viennent. — Alors pourquoi il en verra plus ? — … »

De telles réactions, dont le nombre exclut le caractère fortuit, donnent un nouvel exemple du décalage existant parfois entre la prévision et l’explication des phénomènes, et annoncent ainsi le stade IV :

Le propre des réactions du stade IV est non seulement que les faits donnent lieu à une prévision exacte, mais encore qu’ils sont intégralement expliqués avant l’expérience. Voici quelques exemples, à commencer par un cas intermédiaire intéressant par le décrochage du mécanisme formel :

Net (11 ; 6) : « (Même sens.) — Il en verra moins, parce que les cyclistes vont vite et que lui il avance aussi. —  (Exp.) — Oui, il va plus lentement qu’eux, et parce qu’il avance en même temps qu’eux il fait du chemin. — (Sens contraire.) — Il en verra moins aussi. C’est la même chose qu’avant (= même sens), mais le contraire… Ah non, c’est « plus » qu’il en verra, parce qu’il va en sens inverse. Là il y a quelque chose qui avance et là quelque chose qui recule : les cyclistes ont moins de chemin à faire. »

Pan (9 ; 8) : « (Même sens.) — Il en verra moins, parce qu’il les suivra et n’en verra pas passer autant. —  (Sens contraire.) — Il en verra [p. 181] plus. Il va deux fois plus vite parce que les cyclistes vont en sens inverse. Il les voit passer plus vite. — Pourquoi ? — Parce que quand une voiture nous croise, on la voit passer plus vite. Le bonhomme et les cyclistes font chacun un bout de trajet : ça va plus vite. »

Ter (10 ; 4) : « (Même sens.) — Il en verra moins. Les cyclistes mettent plus de temps pour rattraper le bonhomme. —  (Sens contraire.) — Il en verra plus qu’au début. Quand il est immobile, les cyclistes mettent plus de temps pour venir. Quand il marche, ils mettent moins de temps parce qu’ils ont moins de trajet à faire. —  Pourquoi ? — Le bonhomme fait le trajet à leur place. »

Pol (10 ; 5). Même sens : « Il en verra moins, parce qu’il avance en même temps. S’il va à la même vitesse que les cyclistes, il n’en verra qu’un… Ça dépend de la vitesse du bonhomme. » Et pour les sens contraires : « Il en verra plus. Lorsqu’il va à leur rencontre, les cyclistes peuvent le croiser plus vite : ils ont moins de parcours à faire pour le rattraper. »

Chap (11 ans). Même sens : « Moins. Comme il avance, les cyclistes le rattraperont moins vite. » Sens inverse : « Il en verra plus qu’en restant immobile, parce qu’il va à leur rencontre. Ça revient au même que si les cyclistes allaient plus vite. —  Ils vont vraiment plus vite ? — Non, toujours à la même vitesse, mais il semble seulement qu’ils vont plus vite. »

Saut (12 ; 5). Même sens : « Moins : il va en avant et les cyclistes auront moins vite fait de le rattraper. » Inverses : « Plus. Ça fait comme si les cyclistes allaient plus vite : ils mettent moins de temps pour le rattraper. »

Nar (12 ; 7). Même sens : « Il en verra moins : les cyclistes mettront plus de temps pour le rattraper. » Sens contraire : « Il en verra plus qu’avant : ce sera le contraire. Il est plus rapproché des cyclistes : lorsque le bonhomme marche, les cyclistes viennent plus vite. »

Bai (13 ; 0). Même sens : « Moins, parce qu’ils doivent le rattraper et qu’il prend de l’avance. » Sens contraire : « Plus, parce que les cyclistes passeront plus vite devant lui. En réalité, ils vont à la même vitesse, mais ils gagnent du chemin. »

Nous avons tenu à citer un certain nombre de ces réponses d’enfants de 9 ; 8 à 13 ; 0 ans pour montrer qu’il n’est nullement exagéré de parler d’une composition qualitative spontanée des mouvements, à l’âge des premières opérations formelles, et d’une compréhension très fine de la relativité des vitesses ainsi composées.

L’annonce de cette composition se fait déjà sentir dans la réaction intermédiaire de Net : après avoir supposé que les mouvements inverses de l’observateur et des cyclistes conduisent au même résultat que les mouvements de même sens, Net s’écrie : « Ah non… là il y a quelque chose qui avance et là quelque chose qui recule », c’est-à-dire qu’il pressent un mécanisme opératoire réversible. Avec Pan, l’opération s’explicite déjà : « le bonhomme va deux fois plus vite, parce que les cyclistes [p. 182] vont en sens inverse » de celui de l’observateur, c’est-à-dire donc que les vitesses s’additionnent.

Et pour bien montrer que cette composition additive ne change rien aux vitesses absolues composées entre elles, Pan précise que ce résultat est relatif au point de vue de l’observateur : « il les voit passer plus vite. Quand une voiture nous croise, on la voit passer plus vite ». Ter, de même, résume cette composition relative en disant que les cyclistes mettent moins de temps à rejoindre le bonhomme allant à leur rencontre parce que « le bonhomme fait le trajet à leur place ». Pol procède par généralisation à partir de l’hypothèse « ça dépend de la vitesse du bonhomme » : à même vitesse que les cyclistes et dans le même sens, il n’en verra qu’un, etc., et à sens inverse il en verra d’autant plus que les cyclistes auront moins de parcours à effectuer. Chap trouve une formule relativiste frappante, en disant que si « le bonhomme va à leur rencontre, ça revient au même que si les cyclistes allaient plus vite », et il précise qu’il s’agit là d’une vitesse apparente (« il semble seulement qu’ils vont plus vite ») qui se superpose à la vitesse absolue (« ils vont toujours à la même vitesse »). Saut reprend la même formule « Ça fait comme si les cyclistes allaient plus vite : ils mettent moins de temps…, etc. » ainsi que Nar (« lorsque le bonhomme marche, les cyclistes viennent plus vite ») et Bai (ils « passeront plus vite devant lui : en réalité ils vont à la même vitesse, mais ils gagnent du chemin »).

Les problèmes que soulèvent les réactions de ce dernier stade sont donc les suivantes : en quoi consiste cette opération nouvelle de composition des vitesses, que les sujets superposent à celle qui constitue vers 8 ans la notion même de vitesse (co-déplacement, avec généralisation du dépassement et mise en relations du temps et de l’espace parcouru) et pourquoi n’apparaît-elle qu’au stade formel ?

Le second point est clair : comme pour ce qui est des mouvements relatifs, dont la présente expérience ne diffère que par l’introduction de vitesses distinctes, il est évident que la solution du problème suppose la coordination, en un seul tout simultané, de deux systèmes différents. Chacune des deux vitesses considérées, celle du bonhomme et celle des cyclistes, forme en effet un système à part. S’il s’agissait simplement de comparer ces deux vitesses pour conclure que les cyclistes vont plus vite que le bonhomme lorsqu’il se déplace, il n’y aurait pas deux systèmes à envisager, mais un seul, caractérisé par des temps synchrones et des espaces inégaux : le problème relèverait [p. 183] ainsi des simples opérations concrètes. Mais il s’agit au contraire de composer ces vitesses, tout en les maintenant distinctes, en une troisième telle que le nombre des cyclistes dépassant ou croisant le bonhomme diminue ou augmente. Or, cette composition suppose que l’on puisse penser séparément à chacune des deux vitesses comme à deux systèmes différents, au lieu de les fondre en une seule comparaison, et cependant de les coordonner l’un à l’autre en un ensemble simultané. C’est cette coordination portant sur deux systèmes à la fois, c’est-à-dire cette opération effectuée sur d’autres opérations, qui définit la pensée formelle, ainsi que nous l’avons déjà vu aux chapitres IV et V (voir chapitre IV, fin du § 5).

On comprend par cela même en quoi consiste l’opération nouvelle dont les sujets du stade IV se rendent capables par opposition à ceux du stade III. Si l’observateur est immobile, les cyclistes défilent devant lui à une certaine vitesse v₁ définie par x dépassements en un temps t₁. S’il se déplace dans la direction des cyclistes il sera croisé par les mêmes x cyclistes en un temps plus court t₂ (donc t₂ < t₁) et d’autant plus court qu’il s’avance lui-même plus rapidement. Par conséquent en un temps il croisera x + n cyclistes, c’est-à-dire qu’il les verra passer à une vitesse plus grande. On peut dire aussi que, si e est l’espace parcouru par les x cyclistes en un temps h, lorsque l’observateur est immobile, la vitesse des cyclistes est alors de e/t₁, tandis que s’il avance à leur rencontre, elle est de e/t₂, où t₂ < t₁. Au contraire si le bonhomme va dans le sens des cyclistes à une vitesse inférieure à la leur, il lui faudra un temps t₃ supérieur à t₁ (donc t₃ > t₁) pour être dépassé par x cyclistes. Donc en il ne verra que x − n cyclistes et leur vitesse lui paraîtra moindre : elle n’est plus que de e/t₃. L’opération nouvelle repose ainsi sur la distinction entre la vitesse absolue (c’est-à-dire relative à un observateur immobile) e/t₁, et les vitesses relatives (c’est-à-dire observées par un observateur en mouvement) e/t₂ ou e/t₃ ; ou, en termes de dépassements, sur la distinction entre la vitesse absolue x en t₁ et les vitesses relatives x + n en t₁ et x − n en t₁.