Chapitre IX.
Les vitesses des mouvements successifs parcourant des espaces inégaux en des temps inégaux ^a 🔗

La notion opératoire de vitesse est donc acquise au stade III, même sous sa forme mathématique d’un rapport entre l’espace parcouru et le temps, mais à la condition que les mouvements comparés soient synchrones, en tout ou en partie. Lorsqu’ils sont successifs, les erreurs les plus primitives réapparaissent alors, et de façon constante :

Gued (7 ; 11). Chemins successifs de 4 cm en 4 sec. et de 5 cm en 4 sec. : « Ils ont mis le même temps ? — Oui. —  Et fait les mêmes chemins ? — Non, le deuxième va plus loin. —  Ils ont marché à la même [p. 189] vitesse ou un plus vite que l’autre ? — Les deux la même chose. —  Mais pourquoi celui-là est arrivé plus loin ? — Parce qu’il fait de plus grands pas. »

Mêmes espaces (4 cm) en 4 et 3 secondes : « Le deuxième (3 sec. !) va moins vite que l’autre. —  Et les chemins ? — Ils sont les mêmes. — Et ils ont mis le même temps ? — Non, le deuxième moins de temps. —  Alors lequel va plus vite ? — Celui de 4 secondes. —  Pourquoi ? — Parce qu’il a marché plus vite. —  Lequel arrive en moins de temps ? — Celui de 3 secondes. — Et lequel a marché plus fort ? — Celui de 4 secondes. —  C’est facile ou difficile ce que je te demande ? — Facile. »

Mêmes temps (2 sec.) pour 3 et 5 cm de chemins : « Ils vont aussi loin ? — Non, le deuxième plus loin. —  Ils marchent le même temps ? — Oui. —  Un va plus vite ? — Oui (hésite)… celui qui a été plus loin. —  Pourquoi plus vite ? — C’est peut-être pour ça ? »

1 sec. pour 2 cm et 2 sec. pour 4 cm : « Celui de 2 sec. plus vite parce qu’il a fait le plus long bout. —  Sûr ? — Celui-là (1 sec.) va plus vite parce qu’il fait seulement un petit bout (et qu’il met moins de temps). »

1 sec. pour 2 cm et 2 sec. pour 7 cm : « Celui qui a fait 1 sec. va plus vite. —  Un a marché plus fort que l’autre ? — Non, les deux la même chose. » Même réaction pour 4 cm en 1 sec. et 5 cm en 2 sec. : « Les deux la même chose fort. —  Et ça (la différence de temps) ? — C’est une fois de plus. »

Geo (7 ; 9). Mêmes espaces en 2 et en 3 sec. : « Mêmes bouts de chemin ? — Oui. — Mêmes temps ? — Non, 2 et 3 sec. —  Un des deux va plus vite que l’autre ? — Celui de 3 sec. — Pourquoi plus vite ? — Parce qu’il a fait plus de secondes. —  Tu mets combien de temps de chez toi ici ? — Un quart d’heure. —  Et si tu cours, plus ou moins de temps ? — Moins. —  Et là un des deux va plus vite ? — Celui de 3 sec. —  Pourquoi ? — Il a couru. »

4 et 7 cm en 4 sec. : « Le deuxième va plus vite, il s’est dépêché et il a couru. »

2 cm en 1 sec. et 4 cm en 2 sec. : « Le deuxième a marché plus vite. —  Pourquoi ? — Il a fait un plus grand bout. — Sûr ? — Moins vite. —  Pourquoi ? — Parce qu’il a mis 2 sec. — Il met plus de temps ? — Oui, et il va plus loin. —  Comment c’est 1 et 2 ? — Le double. —  Et les chemins, regarde si c’est le double ? — Oui. —  Alors un des deux va plus vite que l’autre ou pas ? — Oui, celui de 2 sec. plus vite. —  Pourquoi ? — Parce qu’il a été plus longtemps et plus loin. —  Regarde (on les fait partir simultanément et quand le premier s’arrête l’autre continue à la même vitesse). — Ils étaient un à côté de l’autre. —  Quand ils marchaient ensemble un allait plus vite que l’autre ? — Non. — Et en tout, un allait plus vite que l’autre ? — Oui, celui qui a été plus loin a été plus vite. » On revient ensuite aux mouvements successifs :

1 sec. pour 2 cm et 2 sec. pour 3 cm : « Le deuxième va plus vite. —  Pourquoi ? — … — Tu es sûr ou pas ? — Pas très. »

1 sec. pour 4 cm et 2 sec. pour 5 cm : « Le premier va plus vite. —  Pourquoi ? — Parce qu’il a rattrapé presque le deuxième et il a fait ça [p. 190] en 1 seconde. — (1 sec. pour 4 cm et 2 sec. pour sept.) — Le deuxième va plus vite parce qu’il va plus loin. —  (1 sec. pour 2 cm et 2 sec. pour 6 cm.) — Le premier va le plus vite, non le second. —  Pourquoi ? — Parce qu’il a fait un grand bout et le premier un petit. —  Et si le deuxième fait ça (3 sec. pour 5 cm) et le premier ça (1 sec. pour 2 cm) ? — Aussi le deuxième va plus vite. »

« Et comme ça (1 sec. pour 3 cm et 2 sec. pour 6 cm) ? — Il y en a un qui va plus vite mais je ne sais pas lequel. —  Ce n’est pas possible qu’ils aillent à la même vitesse tous les deux ? — Non, c’est le second qui va plus vite, parce qu’il va plus loin. Ah non, c’est le premier parce qu’il met moins de temps. —  Lequel va plus loin ? — C’est le deuxième qui va plus vite. — Lequel met plus de temps ? — Non, c’est le premier qui va plus fort ».

Stu (8 ; 7). 4 cm en 5 sec. et 4 cm en 4 sec. : « Le second va plus vite. Non, les deux la même chose. »

« (5 cm en 4 sec. et 6 cm en 4 sec.). — Le second a fait au long bout. —  Alors ? — Il a mis plus de temps. —  Combien ? — 4 secondes. —  Et l’autre ? — Aussi. — Lequel va plus vite ? — Le premier, parce qu’il fait un plus court chemin. —  Mais les temps ? — Le second plus de temps. — Pourquoi ? — Non le même temps. —  Alors ? — Le second va plus vite parce qu’il fait un plus long chemin. —  Pourquoi t’es-tu embrouillé ? — Je croyais que le premier allait plus vite. —  Et maintenant que crois-tu ? — Les deux la même chose vite. »

Proportions : incompréhension complète.

Jack (8 ; 8). 6 cm en 5 sec. et 6 cm en 3 sec. : « Le second va moins vite. — Pourquoi ? — Moins de temps. — Alors ? — Il va moins fort. —  Combien mets-tu de temps d’ici chez toi ? — 10 minutes. —  Et quand tu cours ? — Moins de temps. —  Et là (nouvel essai). Lequel met moins de temps ? — Le deuxième. —  Et lequel va plus vite ? — Le premier. —  (On essaie simultanément, ce qui devient une question I bis du chapitre VII, mais on ne laisse voir à Jack que les points de départ et d’arrivée.) — Le second plus vite. — Pourquoi ? — Parce qu’il met moins de temps. »

4 cm en 1 sec. et 5 cm en 2 sec. : « Lequel a été plus loin ? — Le second. —  Et a mis moins de temps ? — Le premier. —  Lequel a marché plus vite ? — Le second. —  Pourquoi ? — Il est allé plus loin. — Mais en plus ou moins de temps ? — En plus de temps. —  Alors plus vite ou moins vite ? — Il a été plus vite parce qu’il est allé plus loin. »

Flac (9 ans). 5 cm en 5 sec. et 5 cm en 5 ½ sec. : « Celui de 5 ½ secondes va plus vite, parce que c’est plus que 5. — Et comme ça (6 sec. pour 4 cm et 5 sec. pour 4 cm) ? — Celui de 6 secondes a été plus vite parce que 6 c’est plus que 5. —  Et maintenant (10 sec. et 5 sec. pour 5 cm) ? — Celui de 10 va plus vite. »

« Regarde : 5 sec. pour 6 et 5 sec. pour 7 cm — Le second va plus vite parce qu’il a été plus loin. »

« Et comme ça (2 sec. pour 2 cm et 4 sec. pour 4 cm) ? — Le premier va plus vite. —  Pourquoi ? — Moins de temps. —  Et le chemin ? —  [p. 191] Un petit bout. —  Un des deux va plus fort ? — Oui, le second a marché plus fort, parce qu’il a fait un grand bout. »

On revient à la première question : 5 sec. et 10 sec. pour 5 cm : « Le premier a été plus vite. — Pourquoi ? — Moins de temps. —  Et ça (5 et 6 sec. pour 5 cm.) — Aussi celui de 5. »

On revient à la proportion : 2 cm en 2 sec. et 3 cm en 3 sec. : « Le premier a été plus vite, parce qu’il a fait moins longtemps. Celui qui va plus loin va moins vite parce qu’il met plus de temps. —  Et comme ça (1 sec. pour 3 cm et 2 sec. pour 4 cm) ? — Le premier va plus vite. —  (1 sec. pour 3 cm et 2 sec. pour 8 ?) — Le premier va plus vite. —  (1 sec. pour 3 cm et 2 sec. pour 12 cm ?) — Le second va plus fort parce qu’il va plus loin. »

Ber (9 ; 6). 5 cm et 5 sec. et en 6 sec. : « Celui de 5 secondes va plus vite parce qu’il met moins de temps. —  Bien, et (5 sec. pour 5 et 6 cm) ? — Les deux la même vitesse, parce que les deux ont mis 5 secondes. — Un va plus loin ? — Oui, le second. — Alors un va plus vite ? — Non, les deux pareils. —  Lequel va moins loin ? — Le premier. —  Lequel marche plus fort ? — Les deux la même chose. —  Et comme ça (5 sec. pour 5 cm et 15 cm) ? — Le deuxième va plus vite, parce qu’il fait un grand chemin. —  (5 sec. pour 5 cm et 7 cm ?) — Les deux vont la même chose fort, parce que les deux font 5 secondes. »

« (2 cm en 2 sec. et 4 cm en 4 sec. ?) — Le second a été plus loin : il a été plus vite, plus fort parce qu’il a mis plus de secondes. Celui de 2 sec. a été moins fort parce qu’il a mis 2 sec. — Où arriverait-il s’il faisait encore 2 sec. ? — (Ber dessine la même ligne que pour les 2 premières secondes et constate que l’extrémité coïncide avec celle de 4 cm.) — Alors ? — Les deux la même chose vite et la même chose loin. —  Et avant ? — Avant c’est celui de 4 sec. qui allait plus vite. »

« (2 sec. pour 4 cm et 6 sec. pour 5 cm) — Celui de 6 secondes va plus vite parce qu’il a mis 6 sec. — Lequel marche plus fort ? — Le deuxième. »

À lire ces réponses on a l’impression qu’il s’agit des réactions typiques du stade I étudié au chapitre VII, du stade II pour certaines, mais surtout du stade I, au cours duquel le temps, l’espace et la vitesse sont encore complètement embrouillés. Et, effectivement, ce sont les mêmes réactions, mais à cette différence près, outre l’opposition des âges (de 7 à 9 ans au lieu de 5-7 ans), que les mouvements dont il s’agit ne sont plus perçus simultanément mais successivement. En effet, lorsque l’on pose à ces mêmes sujets les questions I à IV, I bis et II bis du chapitre VII, ils les résolvent sans difficultés (voir par exemple Jack pour le problème I bis), parce qu’il s’agit alors simplement de structurer un même champ au moyen des « opérations concrètes » qui rendent les données perceptives réversibles et logiques. Mais quand les mêmes mouvements (temps égaux et distances [p. 192] inégales, ou l’inverse) sont exécutés successivement, il n’est plus question d’organiser des mouvements donnés dans un même champ perceptif actuel (même si les extrémités sont seules visibles, cf. chapitre VI, sect. I) mais des mouvements qui ont été perçus et structurés chacun à part et dont il ne subsiste ensuite qu’une représentation symbolique consistant en lignes pour les trajets parcourus et en chiffres pour les temps employés. Nous entrons alors, par le fait même, dans un autre domaine opératoire : celui de la coordination en un seul tout, simultané pour la pensée (mais pour la pensée seule) de deux systèmes ou champs qui ont été successifs dans la réalité. Et ce nouveau domaine nécessite la construction de nouvelles opérations : les opérations formelles ou hypothético-déductives. Or, ces opérations formelles ne sont pas autre chose, en leur structure, que les opérations concrètes elles-mêmes, mais transposées en termes de propositions, c’est-à-dire intégrant les classes et relations concrètes dans un système d’implications et d’incompatibilités exprimées par des propositions. Les opérations formelles sont donc des opérations concrètes transformées en hypothèses ou assomptions et reliées entre elles par un simple jeu d’implications. Il est par conséquent naturel qu’il se produise un décalage entre les mêmes opérations, ou ce qui semble être les mêmes opérations, les unes concrètes lorsqu’il s’agit de mouvements simultanés et les autres hypothético-déductives lorsqu’il s’agit de mouvements successifs : il s’agit bien des mêmes mouvements, mais étant évalués après coup, ils supposent une reconstitution des rapports d’espace et de temps, laquelle ne peut donc être que formelle et non plus concrète ou réelle. D’où le décalage (horizontal ou en compréhension) de 1-2 ans ou même plus, que nous venons de constater dans les faits.

Un tel décalage est si surprenant, au premier abord, que nous avons tenu à le vérifier. En plus des sujets ordinaires, une vingtaine de sujets de 7 à 8 ans ont été interrogés exclusivement sur certaines des questions précédentes mais posées chaque fois de deux manières, l’une (I) en présence de mouvements simultanés et l’autre (II) au vu de mouvements successifs. Dans la grande majorité de ces cas (plus des ¾) il y a réussite des questions de type I et échec des questions de type II (il faut naturellement varier l’ordre I-II et II-I) :

Erd (7 ; 8). II : « (4 cm en 5 sec. et en 6 sec.) — Celui de 6 secondes est allé plus vite. —  Pourquoi ? — Parce qu’il a mis 6 secondes. » I « (Même espace avec départs successifs.) — Celui-là plus vite (juste). — Pourquoi ? [p. 193] — Parce que l’autre a été plus lentement, il a mis plus de temps. »

Mar (7 ; 2). II. Trajets de 5 cm en 5 sec. et en 4 sec. : « Le plus vite est celui de 5 secondes. — Pourquoi ? — Parce qu’il a fait un plus long chemin. — C’est vrai ? — Non, le même chemin. — Alors ? — Ils ont été à la même vitesse. —  Mais avec le même temps ? — Non. —  Alors ? — Ça ne fait rien. »

I. Même problème : un mobile part après l’autre pour un trajet de 5 cm : « Celui-là plus vite, parce qu’il est parti après et qu’il a rattrapé l’autre » (juste).

II. Même problème : « Un a marché plus vite que l’autre ? — Oui, le premier (5 sec.) parce qu’il a mis plus de temps. —  Alors il a marché plus vite ? — Non, parce qu’ils ont fait le même chemin. —  Mais un a mis plus de temps ? — Oui. —  Alors ? — Les deux la même vitesse. »

II. « (Espaces inégaux en 5 sec. chacun.) Un a marché plus vite ? — Non, pas plus vite l’un que l’autre parce qu’ils sont arrivés les deux en même temps (= mouvements successifs mais de 5 sec. chacun). — (I) Et comme ça ? (Même problème mais mouvements simultanés.) Un plus vite ? — Oui, celui qui est allé derrière : il allait plus vite pour rattraper l’autre. —  Et ça (Il : même problème) ? — Les deux à la même vitesse parce qu’ils ont mis le même temps. —  Et comme ça (I : même problème) ? — Celui-là plus vite : il rattrape. »

Gui (7 ; 4). II (5 sec. pour 5 cm et 6 cm) : « Le second plus vite (juste) parce qu’il a un plus long trait. —  Et ça (5 cm en 4 sec. et en 5 sec.) ? — Les deux la même vitesse. »

I. Espaces inégaux en même temps : juste. « Et ça (5 cm avec départs successifs et arrivées simultanées) ? — Celui-là plus vite, parce qu’il est parti après et qu’il arrive en même temps (juste). »

Bäc (7 ; 6) II. Trajets inégaux en 5 secondes : « Les deux la même vitesse, parce qu’ils ont fait aussi le même temps. —  Et ça (5 cm et 4 sec. et 5 sec.) ? — Le premier plus vite parce qu’il a mis moins de temps (juste). »

I. Trajets inégaux en même temps : « Celui-là plus vite parce qu’il est arrêté plus loin. —  (Trajets égaux en temps inégaux.) — Celui-là plus vite parce qu’il y a moins de temps. »

Chez d’autres sujets, mais plus rarement, il y a action, par transfert ou généralisation, des propositions énoncées à propos des mouvements simultanés sur la solution des questions relatives aux mouvements successifs. Mais il s’agit alors de sujets prêts à passer du sous-stade III A au sous-stade III B. En voici un exemple :

Col (7 ; 2) II. D’abord faux pour un même chemin parcouru en 4 puis en 5 sec. : « Mêmes vitesses parce que c’est les mêmes chemins. —  Et comme ça (5 sec. pour 4 et 5 cm) ? — Mêmes vitesses. — Pourquoi ? — Ils font le même temps. »

[p. 194] I. Mêmes problèmes : estimations justes « parce qu’il l’a rattrapé » et « parce qu’il fait un plus long chemin ».

II. Or, quand on revient à II il répond juste : « (4 sec. pour chemins inégaux) ? — Celui-là va plus vite, parce qu’il fait un plus long chemin. —  Et (même chemin avec 4 et 5 sec.) ? — Celui-là marche plus fort, parce qu’il met moins de temps. »

Enfin, mais plus rarement encore (un cas exceptionnel) on trouve des enfants qui, étant encore au stade II pour les mouvements synchrones, réussissent sur un point quelconque les questions de mouvements successifs et appliquent ensuite leur découverte aux déplacements simultanés :

Ande (7 ; 10) II. Espaces inégaux en 5 sec. : « Celui-là plus vite, puisque la ligne est plus grande » (juste). — Et ça (mêmes espaces en 4 et 5 sec.) ? — Le second plus vite parce qu’il a mis 5 secondes » (faux).

I. Espaces inégaux en même temps : « Les deux à la même vitesse (faux). — Et comme ça (successifs : II) ? — Le premier plus vite parce qu’il fait une plus grande ligne. —  Et comme ça (I : simultanés) ? — Ah, celui-là va plus vite ! »

Ande a donc donné au début une réponse juste et une fausse pour les mouvements successifs. Puis en I il a répondu faux là où il réussissait en II puis, par généralisation du problème successif II il trouve juste en I.

Au total, on peut donc dire que dans la grande majorité des réactions il y a décalage net : le même problème aisément résolu lorsque les mouvements à comparer sont donnés simultanément (stade III) donne lieu à des difficultés systématiques lorsque les mêmes mouvements (avec mêmes espaces parcourus et mêmes rapports de temps) sont présentés successivement. Il est ainsi clair que l’organisation rétrospective des mouvements suppose d’autres opérations (formelles ou hypothético-déductives) que l’organisation directe (opérations concrètes). Seulement, la preuve que ces deux sortes d’opérations ont bien une structure commune, c’est que, sur ce nouveau plan on ne trouve pas d’erreur de type imprévu, mais exactement les mêmes types d’erreurs qui se présentaient aux stades I et II sur le plan concret.

P. ex., pour les espaces égaux parcourus en des temps inégaux, on retrouve systématiquement l’idée que le rapport « plus vite » équivaut à « plus de temps » (Gued, Geo, Stu, Jack, Flac, etc.). On retrouve l’idée que deux trajets inégaux peuvent être parcourus à la même vitesse s’ils le sont dans le même temps (Gued et surtout Stu et Ber). Ce n’est pourtant plus l’égalité des points d’arrivée qui trompe ces sujets, mais celle des temps employés exprimés formellement. Cependant Mar, qui ne fait [p. 195] plus cette erreur sur le plan concret, dit encore à propos de mobiles en mouvements successifs qu’ils sont de même vitesse « parce qu’ils sont arrivés les deux en mêmes temps » ! Bref, indifférenciation du temps et de l’espace, du temps et de la vitesse ou de la vitesse et de l’espace ce sont là les mêmes confusions qu’aux stades I et II, mais simplement conservées au cours du stade III sur le plan hypothético-déductif, faute d’une structure formelle permettant de prolonger les opérations concrètes.

Quant aux proportions ou disproportions entre espaces différents et temps différents, il va de soi qu’il ne faut pas songer à ce que les enfants de ce niveau parviennent à une solution de ces problèmes, puisque les questions plus simples, dans lesquelles un seul des facteurs varie, sont encore insolubles. Il est à noter cependant que les grandes disproportions, telles que 8 cm en 2 sec. et 2 cm en 1 sec., donnent lieu à certaines réussites intuitives (Ex. Geo) et, chose curieuse, plus facilement que les proportions simples, telles que celles de 2 à 1. Par contre, quand les disproportions sont faibles et même, répétons-le, quand les temps et les espaces sont directement proportionnels (2 cm en 2 sec. et 4 cm en 4 sec., par exemple) le sujet ne parvient à comprendre ni l’égalité ni l’inégalité des vitesses : tantôt il pense au temps et oublie l’espace, tantôt l’inverse. Le cas de Ber est très curieux à cet égard. Cet enfant estime que 4 cm en 4 sec. font une plus grande vitesse que 2 cm en 2 sec. Pourtant il arrive très bien à dessiner le mobile arrêté à 2 cm s’il continuait jusqu’à 4 : il conclut alors à l’égalité, mais seulement pour le cas où l’on a 4 et 4, et continue de croire qu’auparavant 2 cm en 2 sec. font moins que 4 cm en 4 sec. !

Les sujets de ce second sous-stade n’éprouvent plus de difficulté à effectuer les comparaisons de vitesses lorsque soit les temps soit les espaces sont égaux, mais échouent d’abord puis réussissent peu à peu lorsque les deux termes sont inégaux (avec plus de facilité en cas de grandes disproportions). Voici quelques exemples, que nous essaierons de sérier selon leurs progrès successifs :

Mos (8 ; 10). 5 cm en 5 sec. et en 4 sec. : « Le deuxième va plus vite. —  Pourquoi ? — Parce qu’il met moins de temps. —  (5 sec. pour 5 et 6 cm) — Le deuxième a marché plus fort. — Les temps ? — Pareil. — Comment sais-tu que plus vite ? — On le voit au trait. »

[p. 196] 2 cm en 3 sec. et 4 cm en 6 sec. : « Le second va plus vite. —  Pourquoi ? — Parce qu’il fait un plus grand bout. —  Et le temps ? — Le premier a mis moins de temps, mais il a fait moins de chemin. —  Alors ? — Le premier va plus vite, parce qu’il a mis moins de temps. —  Et si on le fait continuer avec la même vitesse, combien de temps lui faudra-t-il pour arriver où est le second ? — Six secondes. — Alors ? — … — Pour le bout qui lui reste, il lui faudra combien de temps ? — Encore trois secondes. —  Alors un des deux va plus vite ? — Celui qui a fait 6 sec. va plus vite que l’autre. —  Pourquoi ? — Parce qu’il va plus loin. »

On recommence : 2 cm en 1 sec. et 4 cm en 2 sec. « Un va plus vite ? — Celui qui a fait 4 sec. — Pourquoi ? — Parce qu’il va plus loin. —  (2 cm en 1 sec. les deux.) — Les deux pareils. —  (On rajoute 2 cm en 1 sec. au premier.) — Encore pareils. —  Et tout ça (dessins complets : 2 cm en 1 sec. et 4 cm en 2 sec.). — Le deuxième va plus vite. »

Maf (9 ; 7). 4 sec. pour 5 et 6 cm : « Le deuxième va plus vite parce qu’il a fait plus de chemin et qu’ils ont marché en même temps. —  Si le premier était allé jusque-là (6 cm) ? — Ils auraient marché à la même vitesse. —  Et si celui-là avait mis 5 sec. (pour 6 cm les deux) ? — Il aurait marché plus lentement. »

4 sec. pour 4 cm et 8 sec. pour 8 cm : « C’est le premier qui a été plus vite, parce qu’il a mis moins de temps. —  Et les chemins ? — Le deuxième plus de chemin. — Un des deux a marché plus fort ? — Le premier, parce qu’il a mis moins de temps. —  Et la route ? — Moins de route. »

« Regarde sur la table (on reproduit le probl. précédent, mais en trajets simultanés) : le premier s’arrête à 4 cm, l’autre continue. — Ils ont été la même chose vite. —  Et quand on ne les voit pas, peut-on encore le savoir ? — Oui. —  Comment faire ? Veux-tu mesurer avec tout ça (papiers, double-décimètre, etc.) ? Regarde (successivement 1 cm en 1 sec. et 2 cm en 2 sec.) un des deux a été plus vite ? — Le premier. —  Pourquoi ? — Il a mis 1 sec. et l’autre deux. — Et le chemin ? — Le second a fait un double chemin. —  Et les temps ? — 2 et 1. —  C’est quoi 2 et 1 ? — Aussi le double. —  Un des deux va plus vite ? — La même chose. —  Quand celui-là (1) était là (1 cm) où était l’autre après 1 sec. ? — Là (1 cm). — Et au bout de 2 sec. ? — Là (2 cm). — Est-ce qu’il a marché plus vite là (1 cm) que là (2 cm) ? — Même chose. —  Tu comprends alors pourquoi les deux vont à la même vitesse ? — Je ne suis pas très sûr. — Alors on va recommencer sur la table (1 cm en 1 sec. et 2 cm en 2 sec., les débuts des trajets étant simultanés). Alors ? — Je les ai vus ensemble : ils faisaient la même vitesse. —  Et comme ça (id. mais avec mouvements successifs) ? — Je ne suis pas très sûr. »

« Alors regarde (on présente un mouvement accéléré unique : 2 cm en 1 sec., puis 4 cm en 1 sec., puis 8 cm en 1 sec.). Il a marché à la même vitesse ? — Non, il a été plus vite là (4 cm) et là encore plus vite (8 cm). — Bien, et maintenant ça (2 cm en 1 sec. et 2 cm à la suite des premiers, en aussi 1 sec.). Il a marché à la même vitesse sur les deux bouts ? — Oui. —  Et si on met l’autre à côté (donc deux trajets de [p. 197] 2 cm en chacun 1 sec.) ? — C’est pareil. —  Tu es sûr ? — Oui, sûr. —  Alors, regarde. Suppose qu’il y en ait un 3^e qui ne s’arrête pas et qui fasse ça (4 cm en 2 sec.). C’est la même vitesse que (2 cm en 1 sec.) ? — Non, celui-là a été plus vite. — Pourquoi ? — Il a fait plus de chemin ! » Maf comprend donc dès que l’on décompose, mais ne comprend plus pour le tout. (Cf. Ber au § 1.)

Chal (11 ; 7) trouve par tâtonnements la solution pour les proportions de 1 à 2, mais pas pour les autres : « (4 cm en 2 sec. et 8 cm en 4 sec. ?) — Le grand trajet plus vite. — Pourquoi ? — Parce que c’est plus loin. —  Et le premier ? — Moins loin, ah ! moins de temps aussi : C’est les deux la même chose. —  Pourquoi ? — Ça, c’est la moitié de ça. »

« (2 sec. pour 6 cm et 4 sec. pour 12 cm ?) — Le deuxième un peu plus vite. —  Pourquoi ? — Parce qu’il a été plus loin… Ah non, de nouveau pareil. »

« (12 cm en 3 sec. et 11 cm en 2 sec. ?) — Le premier va plus vite. —  Pourquoi ? — Parce qu’il fait un petit bout de plus que l’autre. —  Et les temps ? — Une minute de plus. —  Alors ? — Le premier va plus vite ».

« (14 cm en 3 sec. et 13,5 cm en 2 sec. ?) — C’est encore le premier qui va plus vite. —  Pourquoi ? — Il fait un petit bout de plus. —  Et le temps ? — Une minute de plus. —  Ça ne fait rien, une seconde de plus ? — Non. »

« (14 cm en 3 sec. et 13,8 cm en 2 sec. ?) — Toujours le premier. —  Mais il met plus de temps ? — Oui, mais il a un plus long trajet. —  Et comme ça (14 cm en 3 sec. et 14 cm en 2 sec.) ? — C’est le deuxième qui va plus vite, parce qu’il a mis moins de temps. —  Et ça (14 cm en 3 sec. et 13,8 en 2 sec.) ? — C’est le deuxième plus vite ! — Pourquoi ? — C’est presque la même chose. »

« (2 sec. pour 7 cm et 3 sec. pour 12 cm ?) — C’est celui de 7 cm qui va plus vite, parce qu’il est plus que la moitié. —  Est-ce que 2 sec. est la moitié de 3 sec. ? — Il faut chercher la moitié de ça (12 cm). Alors c’est le premier qui va plus vite. »

Ric (9 ; 10) est en progrès sur les précédents en ce que, dans la question des proportions, il met d’emblée en relations, le temps et l’espace au lieu de les considérer séparément, mais sans atteindre les rapports exacts :

« (4 cm en 4 sec. et 6 sec. en 5 sec. ?) — Les deux à la même vitesse. —  Pourquoi ? — Il y a une seconde de différence et le second a été plus loin. —  Mais peut-on savoir lequel a été plus vite ? — Il n’y en a point. Les deux pareils ».

« Et comme ça (1 sec. pour 4 et 2 sec. pour 8 cm ?) — Encore la même vitesse. Le premier a mis une seconde et pouvait (donc) aller moins loin que celui qui a fait 2 secondes. »

« Et maintenant (2 cm en 1 sec. et 8 cm en 2 sec.) ? — Le deuxième plus vite. —  Pourquoi ? — Si on double ce petit bout, on ne trouve pas cette longueur. —  Et (5 cm en 1 sec. et 8 cm en 2 sec.) ? — Le premier plus vite. — Pourquoi ? — (Même raisonnement.) — Et (4 cm en 4 sec. et 6 cm en 5 sec.) ? — Même vitesse. — Pourquoi ? — Ah non, le premier [p. 198]plus vite, parce que si on additionne le même bout (4 cm à 4 sec.), on trouve un plus grand bout que 6 cm (donc faux comme au début de l’interrogatoire). »

« Et ça (3 cm en 2 sec. et 4 cm en 3 sec.) ? — Le premier va plus vite parce que si on ajoute un bout comme ça (3 cm ajoutés à 3), ça fait… ah non, même vitesse ! » Il se trompe donc sans cesse, mais avec cependant un sentiment informulable de la proportionnalité.

Fat (9 ; 9). 4 cm en 1 sec. et 8 cm en 2 sec. : « C’est la même vitesse. Cette route est le double de celle-là. — Et ça (7 cm en 1 sec. et 8 cm en 2 sec.) ? — Le premier va plus vite, parce que deux fois cette route font plus que ça. —  Et maintenant (4 cm en 2 sec. et 8 cm en 4 sec.) ? — Même vitesse. —  Et ça (4 cm en 2 sec. et 6 cm en 3) ? — Même vitesse. »

« Et ça (2 sec. pour 4 cm et 3 sec. pour 5) ? — Deux fois cette route font plus que ça (5 cm). C’est le deuxième le plus vite. —  Mais combien de temps ? — Ah ! 3 sec. — Alors ? — Je n’y comprends rien. »

« Et comme ça (9 cm en 4 sec. et 10 cm en 5 sec.) ? — Il n’y en a point qui va plus vite. —  Et (12 cm en 4 sec. et 13 cm en 5 sec.) ? — Aussi égaux. »

Mat (10 ; 9) enfin, est un exemple des sujets qui arrivent au seuil du stade IV, avec un sentiment vif des proportions, mais atteindre le rapport exact : « (2 sec. pour 4 cm et 4 sec. pour 8 ?) — Même vitesse, parce que le premier c’est la moitié de l’autre. —  Et si (> 8 cm pour 4 sec.) ? — II aurait été plus vite. —  Et si (> 4 cm pour 2 sec.) ? — Aussi plus vite. »

« (7 cm pour 4 sec. et 10 cm pour 6 sec. ?) — Le deuxième va plus vite, parce qu’il va plus loin. —  Mais il met plus de temps ? — Oui, mais il va plus loin. —  Alors ? — Attendez, le premier va plus vite, non le deuxième. —  Pourquoi ? — Parce que, en proportions il va plus vite. —  Comment peut-on être sûr ? — Refaire (il refait les trajets et cherche à comparer les mouvements successifs). Non, mesurer (il reporte 7 cm sur un papier et 10 cm sur un autre sans savoir ensuite qu’en faire). — Alors ? — En tout cas c’est juste. —  Où as-tu entendu le mot « proportions » ? — Partout. —  À l’école ? — Non (exact : n’a pas encore abordé le sujet). »

« Et ça (2 sec. pour 4 cm et 3 sec. pour 5 cm) ? — Le premier plus vite. —  Pourquoi ? — On voit (regarde les dessins des trajets). »

Les sujets de ce stade sont fort instructifs par la construction graduelle des proportions à laquelle ils nous permettent d’assister.

On constate d’abord pour que les temps soient égaux et espaces inégaux, ou l’inverse, il n’y a plus de difficultés pour l’enfant : après le décalage caractérisant le sous-stade III A, ils ont donc réussi à faire passer les opérations du chapitre VII sur le plan formel. Mais ce n’est là qu’un début, dû au fait que le contenu de ces opérations est déjà connu grâce aux constructions concrètes sous-jacentes. Dès qu’il s’agit par contre de temps et d’espaces [p. 199] inégaux les uns et les autres, même si leurs rapports demeurent constants et conservent une vitesse invariante v = e₁/t₁ = e₂/t₂… etc., le problème se complique. Au point de départ de cette nouvelle construction, l’enfant échoue parce qu’il pense tantôt au temps, tantôt à l’espace, par une sorte de centration intellectuelle alternative sans pouvoir les réunir en un rapport unique. Les cas de Mos et de Maf sont spécialement instructifs à cet égard : ces sujets réussissent à comprendre l’égalité des vitesses dès que l’on divise en deux le trajet double, mais ils échouent à nouveau lorsque l’on ressoude les deux moitiés, comme si les valeurs totales possédaient des qualités particulières du point de vue de l’attention ou de la centration du jugement. Chal commence de même, mais finit par trouver la synthèse, tandis que pour les disproportions il reste complètement incapable de saisir le double rapport. Ric et Fat réussissent d’emblée les proportions 1 à 2 mais échouent pour le reste, tout en témoignant cependant d’une sorte de sentiment implicite de la proportionnalité. Mat, enfin formule ce sentiment explicitement, sans d’ailleurs trouver toujours les rapports exacts mais en aboutissant à des intuitions globalement justes. Chacune de ces étapes ainsi que cette découverte finale de la proportion soulèvent des problèmes intéressants, sur lesquels nous reviendrons dans les conclusions de ce chapitre.

Avec le quatrième stade nous atteignons enfin la construction extensive et même la mesure des rapports proportionnels. Il convient cependant de distinguer deux sous-stades, le sous-stade IV A au cours duquel cette construction s’accompagne encore d’erreurs et de tâtonnements, et le sous-stade IV B, au cours duquel une méthode systématique est trouvée. Le sous-stade IV A témoigne cependant déjà de la compréhension des proportions en tant qu’opérations : c’est la technique suivie qui n’est pas encore au point. En voici quelques exemples à commencer par un cas intermédiaire entre III B et IV A :

Bürg (9 ; 7) : « (2 sec. pour 4 cm et 4 sec. pour 8 cm) — Les deux la même vitesse. — Pourquoi ? — Parce que ce chemin est la moitié de celui-là. — Et ce troisième (12 cm en 6 sec.) ? — Il a été moins vite, parce que ce n’est pas la moitié de celui-là : ce n’est pas le double du chemin (de 8 cm) et le double du temps (de 4 sec.). — Où était-il à 2 sec. ? — Ici (juste). — Et à 4 sec. ? — Ah oui, c’est la même vitesse. »

« (4 sec. pour 2 cm et 8 sec. pour 6 cm) — Le deuxième plus vite, parce que ce n’est pas la moitié (2 cm de 6 cm). — Et ça (2 cm en 2 sec. et 3 ½ cm en 3 sec.) ? — Le premier le plus lentement. —  Et ça (2 cm [p. 200] en 1 sec. et 7 ½ cm en 4 sec.) ? — Pareil, non, le premier plus vite parce que le second n’est pas arrivé là (2 cm) en 1 sec. (montre sans mesures). »

Flei (9 ans, sujet très doué, fils d’un savant connu) : « (4 cm en 4 sec. et 4 cm en 5 sec.) ? — Ils ont fait le même parcours, mais le second en plus de temps : c’est le premier qui va plus vite. —  Et (4 cm en 2 sec. et 8 cm en 4 sec.) ? — Mêmes vitesses, parce que le chemin du second est le double de celui du premier et que le temps du premier est la moitié du temps du second. »

« (4 sec. pour 4 cm et 6 sec. pour 6 cm ?) — Mêmes vitesses. — Tu as deviné ? — Non, mais le bout qui dépasse (les 2 cm de différence), c’est la moitié du chemin du premier. Et c’est la même chose pour les temps. »

« (4 cm en 3 sec. et 12 cm en 4 sec. ?) — Le second plus vite. On a une seconde de plus pour le deuxième et il a fait trois fois le chemin du premier ! — (6 cm en 4 sec. et 5 cm en 3 sec. ?) — Le premier va plus vite… non le second, parce qu’il a mis 3 sec. et a été trop loin pour ses 3 secondes. —  Où était le premier au bout de 3 sec. ? — (Il montre juste.) — Et le second à ce moment ? — Plus loin. »

Idem pour 7 et 10, etc. Il comprend donc les proportions, mais ne peut mesurer au delà-des rapports de 2 (ou 4) à 1 et de 3 à 1.

Por (9 ; 10) : « (4 cm en 4 sec. et 8 cm en 8 sec. ?) — Mêmes vitesses, parce que c’est la moitié de ça. —  Et maintenant (3 et 9 cm en 3 et 9 sec.) ? — Même vitesse, parce qu’il y a trois fois cette partie dans ça. »

« (5 cm en 5 sec. et 7 cm en 6 sec. ?) — (Il mesure la différence des longueurs, mais abandonne et dit) Le second a fait plus en 7 sec. que le premier en 5 sec. — Comment as-tu trouvé ça ? — Parce qu’il a parcouru en 6 sec. plus (il montre la différence) que celui-là aurait fait. »

« (3 cm en 3 sec. et 4,5 cm en 4 sec. ?) — Le second va plus vite parce qu’il a parcouru une plus grande distance en une seconde que celui-ci. — Pourquoi ? — On voit. »

Men (10 ; 6) réussit d’emblée la proportion 2 à 1. Pour 3 à 1 (3 cm en 3 sec. et 9 cm en 9 sec.) il procède d’abord par dichotomie comme Burg puis reporte deux fois les 3 cm : « C’est la même vitesse, parce que, pour faire des bouts comme ça il a aussi mis 3 sec. — Et ça (3 cm en 3 sec. et 5 cm en 4 sec.) ? — Le second va plus vite, parce qu’il fait un plus grand bout en 1 sec. —  Tu peux calculer ? — (Il additionne 3 et 4 sec., compare 3 cm à 5 cm puis renonce et dit) : Celui-là met 3 sec. pour faire ça, celui-là 1 sec. de plus pour faire ce bout : il va donc plus vite. »

Ces sujets ont donc tous le sentiment des proportions. Ils savent le formuler pour les rapports de 1 à 2, à 4 et à 3. Quant aux autres proportions, ou bien ils cherchent où se trouvait le mobile qui a marché le plus longtemps, au moment où l’autre s’est arrêté, ou bien ils comparent la différence des deux trajets à celle du temps et rapportent cette relation à celle du temps et de l’espace du mobile le plus tôt arrêté. Dans les deux cas, il [p. 201] s’agit donc d’opérations correctes, que limitent seules les difficultés de calcul.

Quant aux réactions du sous-stade IV B, elles mettent en œuvre une méthode systématique :

Diz (12 ans) : « (2 sec. pour 4 cm et 4 sec. pour 8 cm ?) — C’est la même vitesse, parce que c’est la moitié du chemin de l’autre. — Et ça (6 sec. pour 8 cm et 5 sec. pour 5 cm) ? — C’est le premier qui va plus vite parce que si la deuxième avait le même parcours, il aurait mis plus de temps : il a fait un petit parcours et déjà mis 5 secondes. »

« (16 cm en 6 sec., 15 cm en 5 sec. et 13 cm en 5 sec. ?) — En tout cas, le second va plus vite que le premier, parce que la distance qui reste est de moins d’une seconde. —  Bien, et le premier et le troisième ? — Il faudrait mesurer (il mesure et trouve 16 et 13 cm). Il faut diviser 16 par 6 et 13 par 5. »

Marg (12 ; 5) : « (14 cm en 4 sec. et 21 cm en 7 sec. ?) — (Il prend une règle et mesure les cm.) — Dis-moi ce que tu cherches ? — Je calcule la distance de 21 à 14 pour savoir combien il a mis de secondes à la faire. C’est le premier qui a été le plus vite, parce que s’il avait fait 21 cm il aurait mis moins de temps que l’autre. —  Combien ? — Il aurait mis 6 sec. — Comment ça ? — La différence est 7 et il a mis 4 sec. pour 14. »

« (15 cm en 5 sec. et 18 cm en 9 sec. ?) — C’est le premier qui va plus vite parce qu’il reste un trop petit bout pour 4 sec. —  Et (10 cm en 5 sec. et 20 cm en 10 sec.) ? — C’est pareil : c’est la moitié. »

Pah (12 ; 6) : « (5 cm en 6 sec. et 8 cm en 7 sec. ?) — Je prends la moitié et si on l’ajoute il mettrait 9 sec. (il constate alors que 7,5 cm < 8 cm). Le deuxième a été plus vite, parce que s’il met 7 sec. jusque-là, en 2 sec. il ira un long bout, puisqu’il a parcouru tout ça en 7 secondes. »

« (7 cm en 5 sec. et 10 cm en 8 sec. ?) — C’est le premier qui va le plus vite. (Il reporte la ½, donc 10,5 cm pour 7 sec. et ½ et constate que cela dépasse les 10 cm faits en 8 sec.) »

On retrouve donc chez ces sujets les deux méthodes déjà employées au sous-stade IV A : recherche du point où se trouvaient les mobiles après une même durée en comparaison des différences d’espaces parcourus avec le trajet le plus court. Seulement au lieu de s’en tenir à l’ossature opératoire de ces solutions, les enfants du sous-stade IV B procèdent d’emblée à des mesures et parviennent ainsi à une construction plus simple, montrant qu’ils sont mieux maîtres du schéma déductif découvert dès le début du stade.

Les faits exposés au cours de ce chapitre permettent de reprendre et de prolonger la discussion, abordée à la fin du [p. 202] chapitre VII, sur le passage des régulations intuitives aux opérations logiques.

On se rappelle que, pour des espaces inégaux à parcourir en temps égaux, ou l’inverse, les deux mouvements étant perçus simultanément en tout ou en partie, il y a d’abord centration du jugement intuitif sur les points d’arrivée seuls (rapport Df), c’est-à-dire sur les résultats mêmes de l’action de se mouvoir, puis décentration en faveur de la différence des points de départ (Di) et enfin décentration en fonction du chemin parcouru conçu comme intervalle entre i et f. L’opération correcte est alors trouvée lorsque ces régulations deviennent entièrement réversibles.

Quand les mouvements ne sont plus perçus simultanément, mais qu’il s’agit de raisonner sur des dessins représentant rétrospectivement les trajets successifs, ce rôle privilégié des points d’arrivée tend à diminuer et le problème devient simplement de comparer des longueurs relativement aux temps employés. Cependant, il se trouve que l’enfant retombe alors dans deux sortes d’erreurs déjà dépassées sur le plan des opérations concrètes : pour les uns, deux chemins inégaux parcourus dans le même temps impliquent la même vitesse parce que les temps sont égaux (les mobiles arrivent « en même temps ») et, pour les autres, deux chemins égaux étant parcourus en des durées différentes, c’est le mobile qui a pris le plus de temps dont il faut dire qu’il va le plus vite. En ce second cas, la vitesse est conçue comme directement proportionnelle au temps employé, comme si celui-ci était lui-même l’indice d’un chemin parcouru. Mais, comment se fait-il que l’enfant retienne de tels postulats, héritages de ses idées primitives sur le temps indifférencié de l’espace, alors qu’ils conduisent à des interprétations manifestement contradictoires avec les données elles-mêmes ? Il se produit donc, ici une nouvelle assimilation déformante et il faut l’expliquer, puisque nous en sommes restés durant tout ce chapitre, à un niveau où les opérations concrètes sont déjà construites.

La chose ne saurait s’interpréter que par un nouveau processus de centration des jugements, sinon on ne comprendrait pas pourquoi des données aussi visibles que les longueurs parcourues fussent négligées au profit de durées déjà écoulées et symbolisées par un simple nombre de secondes : au lieu de mettre en relation le temps et l’espace parcouru, l’enfant du sous-stade III A centre simplement son jugement sur l’un des deux termes, comme s’il négligeait ou sous-estimait totalement l’autre. Cette centration privilégiée rappelle celle de Df qui conduisait [p. 203] à sous-évaluer Di, mais ici, c’est la différence des temps, soit Dt qui est surestimée par opposition à la différence des espaces De, qui est négligée. Au cours du sous-stade III B, par contre, les deux rapports Dt et De sont centrés également, c’est-à-dire une décentration régulatrice conduit à les mettre en relations. Rappelons encore que la question des temps égaux et espaces inégaux est plus vite résolue que celle des espaces égaux et des temps inégaux, et nous pouvons maintenant comprendre pourquoi il en est ainsi : l’inégalité des espaces attire davantage l’attention, et constitue donc une centration sur Dt plus forte, que leur égalité, où Dt = 0. (Voir par exemple le cas de Geo, etc.)

Le mécanisme demeure le même lorsque l’on passe aux questions dans lesquelles les temps et les espaces sont tous deux inégaux. Dans l’exemple de la proportion 1t à 2t et 1e à 2e, l’enfant commence par penser tantôt aux espaces en négligeant les temps (d’où l’idée que le mobile ayant parcouru 2e est plus rapide que celui de 1e), tantôt aux temps en négligeant les espaces. En ce second cas, ou bien le temps est inversement proportionnel à la vitesse (et alors le mobile qui emploie 1t est plus rapide que celui de 2t) ou bien il est encore conçu comme directement proportionnel à la vitesse (d’où à nouveau 2t = 2e = plus rapide). Au cours du sous-stade III A, c’est toujours l’une de ces deux centrations sur Dt ou De qui l’emporte sur l’autre, ou encore les deux alternativement, mais pas décentration relative et sans la décentration absolue qui conduirait à la régulation progressive. Même dans le cas de Ber, à qui on fait voir un instant les deux mouvements simultanément, la solution juste, trouvée sur ce plan des opérations concrètes n’entraîne pas la décentration quand on revient aux mouvements successifs : il croit encore que 4 cm en 4 sec. sont plus rapides que 2 cm en 2 sec. Il y a là un bon exemple des décentrations relatives momentanées qui ne conduisent pas à la décentration absolue faute de composition additive et de réversibilité, chaque nouvelle situation donnant lieu à un nouveau déplacement de l’équilibre, par défaut de relations permanentes.

Par contre, les grandes disproportions (par exemple Geo pour 5 cm en 2 sec. contre 4 cm en 1) donnent parfois lieu à une décentration absolue, mais qui ne se généralise pas et reste liée à ces cas particuliers. La chose est aisée à expliquer. Le premier mobile va plus vite, « parce qu’il a rattrapé presque le deuxième et qu’il a fait ça en une seconde » dit l’enfant en reliant l’un à l’autre les rapports de temps (Dt) et d’espace (De) : or, s’il parvient à ce raisonnement exact, c’est qu’ici la différence relative [p. 204] des espaces parcourus est faible (4/5 cm) tandis que celle des temps est forte (1/2). Au contraire, dans le cas des proportions exactes (e₁/t₁ = e₂/t₂) les deux sont de même valeur. Tout se passe donc comme si, lorsque Dt et De sont dans un rapport analogue, l’un des deux termes était seul considéré, et comme si, lorsque Dt diffère notablement de De, le sujet était forcé de les considérer l’un et l’autre à cause de leur contraste même. Cette règle n’est d’ailleurs pas absolue et demeure statistique. Sa généralité relative éclaire cependant les faits et notamment le processus des régulations ultérieures.

Si nous passons au sous-stade III B, nous constatons, en effet, que les progrès accomplis pendant cette nouvelle période consistent à relier graduellement Dt et De selon des lois de décentration et de régulation qu’il s’agit maintenant de mettre en évidence.

Au début du stade, nous trouvons encore (chez Mos et Maf) une incapacité à comprendre l’égalité des vitesses même pour des proportions spatio-temporelles de 1 à 2. Le sujet comprend dès que l’on décompose les trajets, mais ne comprend plus lorsque l’on rétablit le double du chemin parcouru et du temps : il y a donc à nouveau centration soit sur Dt soit sur De (avec décentration relative mais non absolue), autrement dit la pensée de ces enfants reste trop irréversible, sur le plan formel, pour parcourir à la fois le temps et l’espace dans les deux sens et constater ainsi l’égalité de la vitesse. Par contre, les sujets un peu supérieurs (Chal par exemple) parviennent à la solution juste en surestimant d’abord De puis Dt, et en faisant aussitôt après la synthèse. Mais il est à remarquer qu’ils trouvent alors la proportion métrique (« c’est la moitié ») après coup, à titre de résultat et non pas d’hypothèse directrice de raisonnement : c’est en constatant que les jugements centrés sur Dt et sur De donnent des conclusions contradictoires qu’ils commencent à compenser et alors seulement trouvent la solution. C’est donc le sentiment de la compensation qui a conduit l’enfant à découvrir la proportion et non pas le rapport métrique, si simple soit-il, qui a conduit à la compensation. Le sujet Maf à qui nous avons fait remarquer ce rapport métrique avant qu’il parvienne à pressentir la compensation des Dt et des De, l’a compris un instant mais sans stabilité (« je ne suis pas très sûr ») et en retombant ensuite dans son erreur, tandis que le sujet Chal qui a senti la compensation avant de voir le rapport métrique a compris définitivement ce dernier et l’a même généralisé au cas de 2/6 = 4/12. Il y a donc là un point essentiel à noter, et [p. 205] nous verrons encore chez les sujets suivants que le sentiment de la proportion ou de la disproportion se constitue avant toute métrique ou indépendamment d’elle et qu’il est la condition de la compréhension de cette dernière. Or, ce sentiment n’est pas autre chose que le produit de la décentration entre les rapports de temps et d’espace (décentration absolue entre Dt et De, avec régulation progressive). En outre, dès que les régulations conduisent à la compensation complète, la mise en relations qui en résulte atteint la forme opératoire, à titre de forme d’équilibre finale de la décentration.

Il est intéressant de noter que les premiers jugements exacts portent tantôt sur les proportions simples (1 à 2) comme nous venons de le voir, tantôt sur les grandes disproportions comme nous l’avons vu tout à l’heure. On pourrait donc dire que pour l’égalité entre De et Dt ou pour les fortes inégalités, la décentration est plus facile que pour les inégalités moyennes : dans ce dernier cas il y a centration privilégiée sur le rapport le plus grand, aux dépens du plus petit, tandis que pour les fortes inégalités le contraste même contraint de les envisager l’un et l’autre avec la même attention ².

Mais comment fonctionne la décentration et, en particulier, quel est, dans ce cas des inégalités moyennes, le mécanisme de la régulation graduelle dont le terme final sera l’opération elle-même de mise en proportions ? Au cours du sous-stade III B, il s’agit donc surtout d’un sentiment de compensation, mais qui, malgré leur métrique grossière (par dichotomie simple) conduit les sujets à un pressentiment toujours plus précis de ce double rapport que Mat exprime en disant « en proportions il va plus vite ». Cependant cet enfant ne peut se justifier par aucune mesure : il renonce à mesurer après un bref essai, et se borne à conclure : « en tout cas, c’est juste ». D’où vient donc cette certitude, antérieure à toute opération définie et à toute métrique ?

En réalité, l’intuition des proportions résulte d’une double décentration, donc d’une double régulation, et c’est ce qui explique son caractère tardif par opposition aux comparaisons simples et simultanées. Lorsque les deux mouvements à comparer sont perçus simultanément, il suffit au sujet de penser à la fois aux différences des points de départ Di et à celles des points d’arrivée Df, pour pouvoir confronter les temps et les espaces parcourus. En cas de mouvements successifs, au contraire, [p. 206] il lui faut non seulement comparer les différences absolues De et Dt entre elles, mais encore les rendre relatives, c’est-à-dire comparer De à e et Dt à t, donc les différences de parcours aux parcours eux-mêmes. C’est ce que font effectivement les sujets du niveau III B lorsqu’ils commencent à comparer la différence des espaces De au plus petit des deux trajets parcourus e pour ensuite comparer la différence des temps Dt au temps t qu’il a fallu pour le parcourir. Mais au début du stade III B cette double décentration ne joue encore que pour les proportions simples et pour les grandes disproportions. Avec la fin de ce sous-stade III B (cas de Mat), par contre et surtout au commencement du stade IV A le mécanisme se généralise et donne lieu à des régulations systématiques, qui prolongent celles que nous avons décrites au chapitre VII.

Nous avons vu, en effet (chapitre VII, § 6) qu’au moment où l’enfant cherche à comparer Df à Di, il parcourt le chemin dans les deux sens et commence à tenir compte ainsi des intervalles, après avoir centré seulement Df (rapport des points d’arrivée) en lui accordant un privilège dû au sens unique du parcours effectif. Or, au stade III l’enfant commence par centrer alternativement les différences d’espace et de temps De et Dt, ce qui est un progrès sur le stade II puisque cette double centration porte directement sur les intervalles mais ne suffit pas tant que ces rapports sont conçus comme absolus. La régulation complète commence, au contraire, dès que l’enfant, reconstituant les données perceptives antérieures, se met à inverser les sens de parcours pour retrouver où se trouvait le mobile qui fait le plus long des trajets lorsque l’autre était au terme du sien. Quant aux sujets qui comparent directement la différence des espaces parcourus De au plus petit des espaces parcourus e (ainsi que Dt à t), ils ne font en réalité pas autre chose, mais sous une forme abrégée. Bref, dans les deux cas, la double décentration de De par rapport à Dt et de De par rapport à e ainsi que de Dt par rapport à t revient en définitive à une reconstitution des deux mouvements concurremment, c’est-à-dire à une détermination soit de l’ordre des mobiles (dépassement, etc.) soit des doubles rapports d’espaces et de durée (du rapport donné entre les deux rapports e/t).

Au total, on peut donc dire que la régulation intuitive prolonge la régulation perceptive. La décentration perceptive provient de la régulation des mouvements exécutés par le sujet lui-même pour atteindre l’objet (fixation des organes des sens, c’est-à-dire centration, ou coordination des centrations, c’est-à-dire décentration). [p. 207] La décentration intuitive provient au contraire de la régulation des formes de l’action entière (ici action de dépasser et ses dérivés, et surtout reconstitution ou anticipation des co-déplacements dans la totalité de leurs parcours). Lorsque les deux mouvements à comparer sont simultanés, il y a d’abord centration sur les points d’arrivée puis la décentration permet d’appréhender la totalité des deux déplacements et de juger ainsi de leurs vitesses par assimilation au schème du dépassement. Lorsqu’au contraire les deux mouvements sont successifs, la centration intuitive porte d’abord sur la différence des espaces (De) ou des temps (Dt) ; puis la décentration relie d’abord ces deux rapports De et Dt entre eux et enfin chacun d’eux avec l’ensemble des trajets e et des durées t. L’intuition de la proportion est ainsi à concevoir comme la transposition d’un rapport, et cette intuition devient exacte lorsqu’il y a double décentration : celle qui porte sur le rapport même à transposer et celle qui porte sur la transposition comme telle en tant que nouveau rapport. C’est en quoi la proportion ou rapport de rapports, diffère du rapport simple, mais en prolonge les mécanismes initiaux.

Cela dit, comment expliquer le passage de l’intuition des proportions, propre au stade III (III B) aux opérations mêmes de mise en proportion, qui caractérisent le stade IV ? Bien entendu, lorsque les régulations sont complètes, la réversibilité précise qu’elles atteignent alors les transforme ipso facto en opérations. Mais ceci définit simplement le processus général dont nous avons vu dans tous les domaines autant d’exemples qu’on en peut désirer. Le problème est ici de savoir à quel signe reconnaître que la régulation est devenue entière (ou réversible) et en quoi consiste l’opération qui la prolonge alors ?

Soit un espace e₁ parcouru par un premier mobile en un temps et un espace e₂ parcouru en t₂ par le second mobile. Si e₂ > e₁ et t₂ > t₁, nous appellerons en outre e’₁ la différence De entre e₁ et e₂ (donc e₁ + e’₁ = e₂) et t’₁ la différence Dt entre t₁ et t₂ (donc t₁ + t’₁ = t₂). Il y aura donc opération (et non plus simplement régulations portant sur Dt et De) lorsque le sujet pourra construire et non plus seulement découvrir les proportions exactes e₁/t₁ = e’₁/t’₁ = e₂/t₂. Comment y parvient-il, autrement dit en quoi consistent les opérations qui conduisent à ce résultat ? Nous l’avons vu : ou bien le sujet cherche où se trouvait le second mobile quand le premier arrivait à l’extrémité de ex, ou bien, ce qui revient au même, il compare e’₁ à e₁ et t’₁ à t₁ pour établir si e₂ et t₂ sont dans le même rapport que e₁ [p. 208] et t₁. Or, cette double opération (ou plutôt cette même opération sous ses deux aspects différents) dépasse le cadre opératoire purement qualitatif envisagé dans les chapitres VI à VIII. Au cours de cette partie, nous n’avons rencontré, en effet, que des jugements affirmant qu’une vitesse est plus ou moins grande qu’une autre, qu’un espace parcouru est plus ou moins long qu’un autre et qu’une durée est plus ou moins étendue qu’une autre : dans tous les cas il y a donc simplement emboîtement de la partie dans le tout et usage de la quantité intensive définie par le rapport (tout > partie). Or, dans le cas des proportions l’enfant ne se borne pas à dire : « l’espace e₁ est plus petit que l’espace e₂ de même que le temps est plus petit que le temps t₂  ». Il fait plus et est conduit à préciser que l’espace e_x est une partie de même grandeur par rapport à e₂ que le temps partiel par rapport à t₂. Par conséquent, il est obligé de comparer, non plus seulement la partie au tout, mais une partie donnée à l’autre partie au sein du même tout, soit e₁ à e’₁ au sein de e₂. L’opération constitutive de la proportion n’est pas autre chose que cette relation entre deux parties : e₁/e’₁ = t₁/t’₁ et c’est cette relation extensive, et non plus intensive, qui permet de conclure à e₁/e₂ = t₁/t₂.

En elle-même la structure opératoire des proportions ne dépasse sans doute pas en difficulté celle des emboîtements de partie à tout, dont elle n’est qu’une généralisation. Certes il s’agit là d’une généralisation particulièrement importante puisqu’elle marque le passage du logique ou de l’infralogique au mathématique. Seulement cette généralisation pourrait être immédiate, de même que, sitôt construites les sériations de relations asymétriques et les inclusions de classes, le nombre entier en procède sans plus à titre de synthèse opératoire des deux ³. Il est donc possible que, dans le domaine purement spatial ou géométrique, certaines propositions surgissent dès le stade III à titre d’opérations. Dans le cas particulier des vitesses, cela se produit même à propos de certains rapports simples, ainsi que nous le verrons au chapitre suivant, en étudiant la conservation de la vitesse. Mais lorsqu’il s’agit de mouvements distincts successifs comme au cours du présent chapitre, la mise en proportions opératoires exige la déduction formelle, puisqu’il s’agit alors d’opérations portant sur d’autres opérations (voir chapitre IV, fin du § 5), et c’est pourquoi elle se produit si tard.

[p. 209] Enfin, sitôt les proportions extensives construites, les proportions métriques en découlent par cela même. On peut concevoir, en effet, la partie e’₁ par rapport à la partie e_t soit comme un segment relié à un autre segment de la même manière que les segments et par une simple construction géométrique (théorie dite qualitative des proportions, c’est-à-dire extensive), soit comme une unité telle que e₁ = e’₁ et e₁/e’₁ = 2e₁ (ou comme une fraction d’unité) et alors la proportion devient numérique ou métrique. Les faits psychologiques décrits en ce chapitre montrent à l’évidence que les deux notions de la proportion sont à la fois distinctes, puisque l’intuition des proportions se constitue et devient réversible indépendamment de toute métrique, et corrélatives, puisque la mesure complète la proportion extensive dès que celle-ci est achevée.