Chapitre XIV.
La tour de Hanoï ^{1 a} 🔗

Les sujets de ce niveau échouent dans le cas de trois disques, même après tâtonnements ; par contre, ils arrivent à réussir avec deux au plan des actions, mais après toutes sortes d’essais pour tourner les consignes et sans la conscience des liaisons logiques :

Mar (5 ;4) avec I (grand) et II (petit) commence par ne déplacer que II dans l’ordre AC, CB, BA, AC. «   Mais je voudrais que toute la tour soit ici » : il déplace à nouveau II : AC, CB, BA et AC ; puis I : AC, CB, BA, AC, ce qui donne une tour à l’envers. « Je voulais une tour à l’endroit » : il recommence AC, CB, BA, AC, avec II puis AC, CB ; après quoi le même circuit avec I : AC, CB, BA, AC, I étant donc finalement en C et II en B. « Qu’est-ce qu’il faut faire ? — (Il met II sur I en C, donc réussite par utilisation du hasard, et après une inversion mais corrigée.) — • Très bien. On aurait pu faire plus vite ? — (Il prend les deux à la fois. ) — Non, un à la fois. — (Il met II de A à C et I par-dessus, mais voyant la faute il les pose sur la table et rétablit l’ordre II sur I.) — Non. On peut autrement ? — Non. Je veux prendre le grand d’abord : ça va mieux. —   Essaye encore. — (Il en AB, I en AC.) — • Tu as fini ? — Oui, ah non (il met II sur I en C (donc réussite). — Bien, tu peux refaire ? — (Il sur B, I sur C et II sur I en C.) — Très bien. Maintenant (on remet I + II en A) refais la tour ici (la colonne bleue au lieu de la rouge. Donc l’ancien B devient C et réciproquement). — On peut

aussi ? — Qu’est-ce que tu penses ? — Oui. — Alors, vas-y. — (Il met I sur II en C.) — Ça va pas. Ça fait forcément une petite tour à l’envers. — Essaye quand même. — (Succès.) — Bien et maintenant le refaire ici (sur A devenant C) ? — On doit prendre d’abord le grand. Je ne sais pas comment faire. » Il n’y a donc aucune prise de conscience des séquences qui ont réussi. Néanmoins, à la question de savoir si I et II ont fait le même chemin : « Non, le petit fait plus de chemin que le grand. » Il y a naturellement échec avec trois disques.

Fro (5 ;3). Mêmes réactions successives pour deux disques. Pour trois, il n’a recours qu’à des expédients : deux à la fois, mettre sur la table pour intervertir, retenir l’un dans une main, etc. On finit par une démonstration et il prétend pouvoir refaire le tout, mais il est vite perdu et utilise les mêmes procédés contraires aux consignes, puis réussit une fois en sept déplacements, mais ne peut reproduire ce succès en partie fortuit.

Pic (6 ;8) parvient aussi à la solution avec deux disques, mais par les mêmes méthodes, à peine plus rapides à 6 ans et également « sans penser ». Elle ne croit pas possible de retrouver le même résultat en changeant de colonne finale (C et B permutés). Quant à trois disques, Pic parvient aussi à un succès momentané après bien des tâtonnements : « Tu as fait comme avant ? — J’sais pas. Non. Je ne me rappelle plus. » Par contre, elle a noté que le disque I fait un chemin plus court parce que « seulement ces deux-là (II et III) ont été sur (B) et pas celui-là (I). — Pourquoi ? — Parce que je veux (= j’ai voulu) faire plus vite. — Et le petit (III) ? — Il a été en (B) et en (C). — Et le moyen (II) ? — Seulement en (C). — Tu es sûre ? — Sais pas. —   Lequel bouge le plus ? — Le grand (I) et après ces deux (II et III la même chose) ».

Il est inutile de multiplier ces exemples, car ils sont tous pareils, mais on ne peut qu’être frappé des difficultés à résoudre le problème pourtant si facile des deux disques : que les tâtonnements soient plus courts ou plus longs que chez Mar, le trait commun aux sujets de ce stade I est, en effet, l’absence de tout plan ou de toute compréhension anticipée, le seul projet constamment à l’œuvre étant le déplacement des deux disques de A à C. En fait, la difficulté à ce niveau est de combiner l’inversion de l’ordre (mettre le grand disque I sous le petit II, alors que c’est ce petit qui est saisi et déplacé en premier lieu) avec une sorte de transitivité (utiliser B comme intermédiaire nécessaire entre A et C si l’on veut que II arrive en C au-dessus et non pas en dessous de I). L’inversion de l’ordre ne soulève pas en elle- même de question : Mar reconnaît d’emblée quand « la tour est à l’envers ». Mais ce qui fait problème est de la prévoir et de la coordonner avec l’utilisation d’un moyen terme, étant donné qu’à ce niveau la transitivité n’est pas acquise, même dans les

cas simples (^x) où il s’agit de permuter les contenus de deux verres A et C en se servant d’un médiateur B. Faute de cette transitivité élémentaire, le sujet se borne alors à tâtonner ou à violer les consignes : « prendre le grand d’abord », bien qu’il soit sous le II, etc. Même après sa réussite répétée, Mar a si peu compris que, sitôt qu’on change le but (transférer I et II du jaune au bleu au lieu du rouge), il conclut pour ces deux mêmes disques I et II que ça fera « forcément une petite tour à l’envers », puis après un nouveau succès par pur tâtonnement, il ne sait pas non plus quoi faire lorsqu’on assigne pour C la dernière des trois colonnes. Il va de soi qu’en ces conditions toute solution stable avec trois disques est exclue, même si le hasard des tâtonnements successifs donne lieu à une réussite épisodique.

Il y a donc à ce niveau un primat systématique des actions exploratrices sur toute déduction, et avec absence de prise de conscience des combinaisons fructueuses. Le sujet remarque il est vrai, après coup, que le trajet de la grande rondelle est le plus court, mais il ne comprend pas pourquoi, faute de pouvoir attribuer les détours des autres disques aux exigences de la transitivité.

A ce stade II, la réussite avec deux disques est immédiate. Avec trois il y a encore tâtonnements, erreurs et corrections, mais les succès deviennent stables :

Gou (7 ;6), pour deux disques, déplace aussitôt II de A en B, I de A en C et met II sur I. « Et avec trois rondelles, ce sera pareil ou plus difficile ? — Ça va. » Elle met III de A sur B, II de A sur C, puis II sur III (erreur, qu’elle corrige). Elle recommence et hésite à placer III de A sur C « parce qu’(après) je ne peux pas l’enlever pour y mettre II ». Elle essaie : III de A sur B, II de A sur C, puis III sur II et s’arrête : « Je pense, je réfléchis pour voir si j’arrive à mettre. — Recommence plus vite. — (III sur B puis sur C, II sur B, III sur II en B, I sur C, puis Je remet end et à nouveau en C, II sur A puis sur I en C et III sur II). » Mais elle ne peut pas raconter ce qu’elle a fait : « Je ne sais plus. — Et en allant du rouge au jaune ? — (Réussite à nouveau en sept déplacements.) — Et du rouge au bleu ? — Je peux faire un peu de la

(!) Voir les « Etudes », vol. XXVII, chap. IX.

même façon : le petit sur rouge, le moyen sur bleu… » Mais il lui faut cette fois treize déplacements avant de retrouverles sept optimaux, qui deviennent finalement rapides lorsqu’on change les colonnes de départ et d’arrivée. Avec quatre disques, elle a beaucoup plus de peine mais réussit finalement : « Il y a des mouvements pareils avec 3 et 4 ? — Oui, il y en a. — Lesquels ? — (Elle refait le tout avec peine, mais sans pouvoir indiquer les analogies). »

Wal (8 ;8) parvient du premier coup aux sept déplacements pour trois disques, mais en procédant très lentement, et une pause après III de A en C, et II de A en B : elle met alors III sur II et réfléchit longuement avant chaque nouveau mouvement. Lorsqu’on change les points de départ et d’arrivée, elle réussit chaque fois, mais avec tendance, à reproduire telles quelles certaines des séquences utilisées précédemment, d’où des manœuvres inutiles, mais qu’elle croit nécessaires : « Ça fait un peu plus long de commencer ici : ça fait tout des petits détours. » Par contre, elle justifie correctement quelques autres choix : « Pourquoi III ici et pas là ? — Parce qu’après on ne peut pas mettre II là (sur III). » Avec quatre rondelles, elle tâtonne davantage, mais arrive en vingt-trois coups. « Tu crois que tu l’as fait de la façon la plus courte ï — Ça fait beaucoup de détours. » Elle arrive ensuite en dix-sept coups (au lieu de quinze). « Recommence et tu t’arrêteras quand tu seras sûre d’arriver au but. — (S’arrête après huit déplacements.) — C’est là. »

Dan (8 ;11), après plusieurs réussites en sept coups pour trois rondelles : « La grande elle bouge moins que les autres, je trouve. —   Pourquoi ? — Parce qu’on la laisse là (A) et à la fin, non pas à la fin mais l’avant-dernier (en réalité trois coups avant le dernier), on la bouge une fois (de A à C). — C’est laquelle qui bouge le plus ? — Pour moi c’est la petite (III). — Pourquoi ? — J’saispas. — Et si j’ajoute une rondelle (quatre au total), c’est laquelle qui bougera le plus ? — Ben ça, je ne pourrais pas dire. — Mais en tout ce sera plus long ou non que pour trois disques ? — Plus long, je pense. » Après réussite : « Laquelle bouge le plus ? — Je n’ai pas compté. C’est la petite, elle fait beaucoup de détours, elle a été dans tous les carrés (colonnes). — Ça a été plus long avec trois ou avec quatre ? — Avec quatre. —   Combien de mouvements de plus ? — Pour moi deux (en réalité quinze contre sept). »

Pel (8 ;1) réussit avec trois rondelles en treize coups. On lui fait la démonstration en sept coups, qu’il reproduit immédiatement, mais il conteste qu’on puisse savoir « où il faut recommencer pour arriver plus vite ».

Rob (8 ;7) réussit en dix, etc., puis en huit déplacements (dont III de A en B, puis de B en C, ce qui est bien le bon départ mais aurait pu être obtenu en un coup). « C’est égal où on commence ? — Oui, non peut-être que ça ira mieux comme ça (III de A en C : il recommence). Ah oui ! beaucoup mieux. —   Et si on met quand même là (A en B), on peut y arriver ? — J’sais pas, j’ai jamais fait (en réalité elle l’a fait trois fois). » Lors des transpositions de buts, elle reproduit cependant à plusieurs reprises et telles quelles des séquences précédentes et devenant inutiles : « Pourquoi ? — C’est plus facile si on va sur le rouge d’abord. — Pourquoi ? — J’sais pas. C’est une habitude. » Lorsqu’on lui demande comment elle a réussi, elle se borne à raconter tous les

déplacements (« celle-là de là jusque-là », etc.), et en réexécutant l’action matérielle.

Notons encore, à propos des transferts, qu’un sujet de 7 ;6, Fum, avait fait une telle expérience quelques mois auparavant : il réussit alors d’emblée avec trois rondelles en sept déplacements, puis avec quatre en dix-sept déplacements (deux d’inutiles) et même avec cinq rondelles en quarante coups au lieu de trente et un, mais très vite et avec méthode.

La solution du problème des deux disques consiste en premier beu à prévoir que, si l’on place directement en C le II pour n’y mettre qu’ensuite I, ce dernier sera au-dessus et non pas en dessous de II : d’où, en second heu, la nécessité d’une étape d’attente et de transition pour II, avant que I soit déplacé en C, et comme la tige B est libre, c’est sur elle qu’est entreposé II, de manière à le transférer enfin sur I en C. Il y a donc bien là une sorte de transitivité, mais de nature pratique et concernant la succession même des actions particulières, sans qu’il s’agisse d’une structure opératoire de nature proprement constative telle que A < C si A < B et B C, applicable à toutes sortes de relations de significations et contenus différents. Il n’en est pas moins intéressant de noter que cette transitivité en actions, si l’on peut dire, se constitue au même niveau IIA que la transitivité logico-mathématique en général, ce qui montre une fois de plus que celle-ci, comme les autres structures opératoires naissantes, est apparentée à la coordination générale des schèmes pratiques. Mais nous ne pouvons pas considérer cette sorte de transitivité des actes, qui est en jeu dans la question de notre tour à deux étages, comme une application de la transitivité logico-mathématique de forme constative. C’est au contraire cette dernière qui semble issue (de même que la transitivité intervenant dans les explications causales telles que celle de la transmission du mouvement) (^x) d’une sorte de coordination transitive générale des actions, due aux progrès de celles-ci. Dans le cas particulier, de telles coordinations transitives sont rendues possibles au niveau IIA parce que, au heu d’agir sans prévision des résultats, ni subordination des moyens à ces buts ou résultats insuffisamment anticipés, il y a dorénavant un jeu suffisant d’anticipations et de rétroactions lors des manipulations des disques pour que leurs déplacements successifs soient coordonnés entre eux.

(!) Voir le vol. XXVII des « Etudes ».

Autrement dit, l’opposition essentielle entre les réactions des stades I et II, quant au problème des deux disques, tient à une différenciation plus poussée des moyens et des buts, d’où une meilleure subordination de ceux-là à ceux-ci, toutes deux étant dues à un progrès dans les anticipations. On ne peut donc pas encore dire que, sur ces points, l’action soit dirigée par la conceptualisation : celle-ci n’est, dans le cas particulier, que le produit d’une prise de conscience plus ou moins adéquate de celle-là, l’adéquation étant d’autant meilleure que le problème est plus simple.

C’est ce que les réactions à la question des trois disques permettent de vérifier : on y voit encore, à ce niveau, un primat continuel de l’action, la conceptualisation ne consistant qu’en récits incomplets avec de nombreux oublis (« je ne sais plus », avoue Gou ; « je n’ai jamais fait ça », dit Rob à propos d’un début déjà choisi trois fois) et non pas en un plan directeur déterminant le détail des actions successives. Cependant, le progrès est net par rapport au stade I. Il se marque d’abord, comme on vient de le dire, par une meilleure différenciation des moyens et des buts et une meilleure subordination de ceux-là à ceux-ci : au stade I, chaque action particulière devient un but en soi avec oubli relatif du but général (transport général en C en conservant l’ordre I > II > III et sans rien poser sur la table ni retenir à part dans les mains), tandis qu’à ce stade II chaque coup est subordonné à ce but : « Je réfléchis pour voir si j’arrive à mettre », dit ainsi Gou en pensant à la suite. Mais ce progrès est lui-même dû à celui des anticipations : entre Gou, qui fait encore des erreurs, mais spontanément corrigées et Wal qui réfléchit longuement avant chaque déplacement, on voit à l’œuvre cette amélioration des prévisions qui se poursuit encore durant tout le stade II et ne caractérise pas seulement ses différences d’avec le stade I.

Mais alors se pose le problème suivant : ces anticipations dérivent-elles du jeu même des actions ou ne seraient-elles pas l’expression de mécanismes opératoires plus généraux et extérieurs aux actions particulières considérées en ce contexte limité des tours à transporter ? En fait toute action peut conduire, en se répétant, à des anticipations en fonction des deux facteurs suivants : a) certains « essais et erreurs » avec corrections après coup, dont le processus rétroactif entraîne un effet proactif de

nature anticipatrice ; et b) des transferts dus à la simple assimilation reproductrice (ou généralisatrice). Or ce second facteur, avec les régulations automatiques qui peuvent l’accompagner, ne suffit pas à provoquer des anticipations conscientes : par exemple, lorsque le transport de la tour à trois disques a été réussi de A à C en prenant pour but C l’une des trois colonnes coloriées, il arrive fréquemment (Gou vers la fin, en passant du rouge au bleu, Wal également, Rob qui parle même d’« habitude ») que le sujet, au lieu d’accommoder son schème à la nouvelle situation, l’applique tel qu’il était avec alors intervention de détours inutiles. Par contre, le facteur a) avec les réglages plus actifs qu’il suppose, conduit à des prises de conscience qui se traduisent par des anticipations délibérées et ce sont elles qui, semble-t-il, rendent compte des progrès dans la subordination des moyens aux buts.

En un mot, le développement continu des actions conduit à des anticipations améliorées sans recourir pour autant à des déductions tirées de structures opératoires, parce que celles-ci, tout en procédant aussi de la coordination générale des actions, se situent à des paliers supérieurs (ce qui ne signifie pas toujours ultérieurs) comportant un jeu complexe d’abstractions réfléchissantes. Il en résulte que l’application de ces structures est déjà de nature essentiellement déductive (que l’on pense, par exemple, aux schèmes très généraux de la conservation), tandis que les anticipations nées graduellement des actions demeurent d’abord avant tout inductives parce que simplement fondées sur des constatations antérieures : telles sont, par exemple, les réflexions de Dan sur les trajets plus courts du disque I et plus longs des disques II et surtout III qui font plus de « détours », mais sans déduction possible pour un nouveau disque (IV) plus petit que le III. Par contre, au stade III, nous allons trouver les débuts de certaines déductions opératoires, quant au présent problème de la tour, et nous les voyons déjà poindre dans la remarquable performance du sujet Fum qui, bien qu’âgé de 7 ans seulement, est capable, quatre mois après une première expérience, de réussir les solutions optimales avec trois disques et de généraliser sa méthode dans le cas de quatre et même cinq rondelles.

Ce niveau qui débute à 11-12 ans est caractérisé par les réussites rapides et stables pour trois disques et par une anticipation de plus en plus inférentielle pour les nombres supérieurs, avec utilisation explicite de l’expérience antérieure :

Rib (10 ;0) réussit pour trois avec sept coups et transpose sans circuits inutiles lorsqu’on change les buts : « Il faut faire chaque fois la même chose, sauf qu’il faut changer de colonnes. — Qu’est-ce qui est « la même chose » ? — C’est le principe. » Avec quatre rondelles : « On doit changer plus de fois dans les carrés », mais « on sait un petit peu les mouvements et on les répète. —   Et avec huit rondelles ? — Ça fera presque la même chose, sauf qu’il y a plus de rondelles ».

Rob (11 ;7), une fois la consigne comprise, réussit avec trois disques en sept coups. « J’ai compris que ça va si je mets la petite sur (C) : je peux mettre la moyenne (sur B), puis la petite sur la moyenne », d’où I sur C. Lors du premier changement de but, il commence comme précédemment, mais s’arrête vite et accommode son schème : « Je croyais que c’était comme avant. » Avec quatre rondelles, il arrive d’emblée en quinze coups : « C’était plus difficile ? — Un peu. Il y en a un de plus, il faut faire plus de coups ; autrement c’est le même système. — Quel système ? — On enlève toujours la plus petite (IV), puis la moyenne (III), puis la petite sur la moyenne et on peut dégager la grande (II) : ça fait une petite pyramide là et alors le passage est libre et je recommence après, c’est la même histoire après (avec I). » Dans la suite, il explique clairement à un camarade comment il faut procéder (tandis que de telles communications restent difficiles au stade II) et leur entretien finit par ces propos : « C’est le début qui compte, le premier coup du début : il faut faire attention, sinon c’est irréparable, ou bien on doit faire beaucoup plus de coups. »

On voit ainsi qu’au lieu de transférer sans plus ses schèmes sans accommodation aux nouvelles situations (changements de colonnes de départ et d’arrivée), le sujet Rib généralise au contraire la méthode comme telle, antérieurement suivie, de même qu’avec quatre rondelles et le projet de huit. Il parle à cet égard d’un même « principe », et Rob d’un « même système » dont il décrit l’essentiel. Or, cette méthode, généralisée mutatis mutandis par Rib et décrite assez exactement par Rob, consiste en une combinaison de récurrences (deux retours en arrière de la rondelle III avec trois disques et quatre retours des rondelles IV et III avec quatre disques, d’où l’importance du coup du début, soulignée par Rob) et de la transitivité des positions, mais dorénavant justifiée et non plus seulement utilisée prati-

quement. Dans les explications qu’il donne, Rob arrive même à annoncer verbalement dans le détail les coups à faire de chaque colonne à chacune des deux autres pour un transport de trois disques. Nous sommes ainsi très près d’une déduction opératoire. Certes, l’acquisition de cette méthode est due aux actions antérieures et à leur coordination, mais, de celle-ci le sujet tire, par abstraction réfléchissante, une sorte de modèle général qu’il peut ensuite appliquer. C’est le changement de palier hiérarchique exigé par cette démarche qui marque alors le début de la déduction opératoire. Mais cela n’est ici qu’un début, car cette déduction est due aux prises de conscience d’actions ou de coordinations initialement non dictées par elle, tandis que dans le cas de structures plus générales comme celles qui interviennent dans les conservations, la quantification de l’inclusion, la synthèse du nombre, etc., la nécessité des compositions s’est imposée par un jeu d’abstractions réfléchissantes modifiant rétroactivement l’interprétation même des actions sans résulter simplement de leurs succès ou de leurs échecs.