Chapitre XII.
La construction de trajets au moyen de rails connectés ^{1 a} 🔗

Ni rotations ni symétries :

Ber (4 ;6) veut utiliser tous les éléments courbés comme droits, mais échoue à construire un trajet reliant A à B : il part de A avec un élément droit suivi d’un courbé puis d’un droit, d’où un angle de 90° ; vient ensuite un courbé à droite qui pourrait ramener vers B mais qu’il prolonge par deux courbés à gauche, suivis de deux droits, ce qui ramène le chemin en sens opposé de B et fortement dévié de côté. Les autres essais sont du même type.

Val (4 ;6), par contre, ne choisit que des droits, d’où le trajet rectiligne AB. « C’est trop facile. Fais-le avec ça (quatre courbés et trois droits). — (Elle constrnit une droite, puis, à part, un cercle de quatre éléments, mais qu’elle n’arrive même pas à fermer.) — Il va pas, celui-là (le dernier courbé). — Mais pour arriver là (B) avec ça (huit ronds et trois droits) ? — (Chemin droit suivi de deux cercles de quatre, mais dont le second ne touche pas B.) — On n’arrive pas. —   Sûre ? — Oui. » On donne tous les éléments en variant les positions de A et B (obliques, etc.), mais Val continue à ne construire que des segments droits et des cercles. « Et on ne peut pas aller d’ici à là (AB) ? — Non, on doit tourner ici (cercle). »

Ani (4 ;6) ne commence aussi qu’avec des droits, d’où un succès initial. « Et avec ça (quatre courbés et un droit) ? — (Trajet courbe de trois, mais revenant vers A.) — Non, je vais le faire retourner (= vers B : elle défait son essai et le suivant débute par deux courbés à droite puis un à gauche Q), ce qui pourrait conduire à B ; mais elle pose à nouveau un à droite, ce qui éloigne de B à 90° vers le milieu du trajet). — Non plus. — Qu’est-ce que tu veux ? — Un morceau droit (elle refait le tout, débute par un courbé à droite, puis un à gauche suivi de deux droits, ce qui mène non loin de B, mais elle termine par deux courbés à droite, ce qui fait une boucle ramenant vers A). — Et si j’enlève celui-ci (deuxième droit), tu crois qu’on peut arriver ? — Non (mais l’enlève en fait, met un courbé à gauche, puis un à droite et réussit). — C’est comme une piscine (= une grande courbure) ! — On pourrait mettre d’une autre manière ? — • Non (elle recommence de même, mais aboutit très en dessous de A sans se rapprocher de B). — Et comme ça (on pose trois courbés vers le dessus de l’horizontale AB) ? — Oui, on fera un joli serpent (elle arrive à la courbure suivante, qui est de sens inverse et se rapproche ainsi de B mais sans l’atteindre). »

Cat (4 ;6) débute par un élément droit, puis deux courbés à droite et continue en s’éloignant de B. Au deuxième essai, elle part d’un droit en A et un autre en B, mais aboutit à la même boucle que précédemment. « Je ne sais pas (comment faire). » Elle renonce alors aux courbés et construit une droite de A à B. Avec quatre courbés et un droit, elle construit une même boucle, mais en symétrique (sans s’en douter) et se rapproche de B à nouveau sans l’atteindre. « On pourrait mettre les morceaux un peu autrement ? — Non (elle défait le tout et reconstruit un trajet presque semblable mais en manquant à nouveau B, comme si elle ne pouvait pas déplacer les éléments finals de la construction). — Avec celui-là (cet élément), on ne pourrait pas ? — On ne peut pas le faire (elle en prend un autre qu’elle oriente à gauche et non plus à droite et réussit). — On pourrait faire un autre chemin avec les mêmes morceaux mais placés autrement ? — Oui, placés autrement (mais elle n’arrive à rien). — J’aimerais un chemin où on tourne de l’autre côté. — (Elle part d’un droit en A, puis un courbé dans l’autre sens et continue en s’éloignant de B.) — Je ne sais pas comment faire. »

(’) Par rapport à une droite AB, qui serait parallèle au bord de la table, un élément courbé à droite conduit au-dessous de AB et un courbé à gauche conduit au-dessus.

Nie (4 ;6) débute par un chemin droit. Avec quatre courbés et un droit, il met en A ce droit puis un courbé et en B un courbé dans le même sens, de telle sorte que les deux courbures sont divergentes : « C’est pas juste. •— (Il recommence de même.) — C’est encore pas juste. — C’est ce rail-là (on esquisse la rotation d’un élément médian et il arrive). — Et en partant d’ici (JB) ? — Moi je crois qu’on peut. — Il faut tourner ici (il retourne un clément médian comme suggéré précédemment). — Maintenant ça va (mais il continue en s’éloignant de A). »

Phi (4 ;8) réussit avec choix parmi tous les éléments, mais échoue avec 4 + 1 : « Je ne peux pas aller jusqu’ici (B) parce que les rails vont par ici (il s’est engagé en s’en éloignant). »

Nar (5 ;1). Mêmes échecs avec 4 + 1. Avec 6 +1 éléments il arrive presque, mais au lieu de tourner le dernier, « il faut en prendre un autre qui va jusque-là ».

Son (5 ;2) arrive avec 4 + 1 en mettant au milieu l’élément droit. « Est-ce qu’on pourrait faire un autre chemin avec les mêmes morceaux ? — Non. —   Et si on changeait ça (permutation des deux extrêmes, vers A et B, ce qui reviendrait à une courbe inversée) ? — Oui. — Essaie. — (Elle aboutit à deux courbes de directions divergentes, sans jonction.) — Ça fait deux bouts comme ça (en changeant d’éléments elle arrive). — Et comme ça (on place deux droits et courbés à gauche) ? — (Echec à la continuation.) — Il faut enlever ces deux-là (à force de remplacements elle aboutit à une suite de droits, sauf un courbé non intégrable). — Ici il faut encore un droit.

Tin (5 ;7). Mêmes réactions. Lors d’un dernier élément qui s’éloigne de B, on demande si : « On ne pourrait pas tourner ce petit bout-là de l’autre côté ? — Oui (elle redéfait le tout pour aboutir à la rotation suggérée). »

Bri (6 ;4) débute par un chemin droit, puis lorsqu’elle essaie avec des éléments courbés, n’aboutit qu’à une boucle revenant vers A : elle change alors plusieurs fois d’éléments comme si elle ne pouvait pas les tourner et conclut : « C’est (tous) la même chose, ça va tous le même chose », puis après de nouveaux essais identiques : « C’est du mauvais côté. — Je vais t’aider, prends seulement ceux-là (4 + 1). — (Nouvel essai identique, dont elle change plusieurs fois les éléments courbés.) — Non, on peut pas. — (On redonne 4+1 nouveaux.) — (Elle met le droit en B et les quatre courbés en A avec alternance gauches-droites, mais avec mauvaise direction d’ensemble.) — Ça va tout droit puis ça tourne (depuis A). » Elle arrive enfin à une courbure correcte, mais croit impossible de changer de place l’élément droit à cause des crochets (pas d’idée de retournements).

Le caractère le plus remarquable de ces réactions est la soumission du sujet, non seulement à l’objet, mais encore à la manière dont il se présente de façon figurative une fois posé sur la table en fonction du précédent, et sans aucune anticipation de la forme du trajet, sauf lorsqu’il s’agit d’une simple droite de A

à B. L’attitude générale de ces sujets est ainsi résumée par Phi lorsqu’il déclare : « Je ne peux pas aller jusqu’ici (B) parce que les rails vont par ici » (c’est-à-dire en s’en éloignant), comme si lui-même n’était pas libre de les orienter dans la direction voulue.

Il y a d’abord là, bien entendu, l’effet d’un manque de représentation anticipée des trajets courbes. En d’autres recherches (^x), où l’enfant a cependant pu percevoir le chemin parcouru par un mobile décrivant dans l’espace une courbure pour arriver dans une boîte, les sujets de ce niveau indiquent un trajet rectiligne jusque vers la boîte, puis une boucle au moment de monter le long de la paroi pour entrer dans le récipient : de même les différentes courbures horizontales possibles dans la présente expérience ne sont-elles pas prévues, seul un chemin droit conduisant de A à B pouvant être imaginé d’avance, d’où les réussites initiales mais très limitées de Val, Ani, etc. Même quand le sujet est parvenu par hasard à obtenir la bonne courbure (cf. la « piscine » d’Ani), il ne parvient pas à la reproduire.

Mais ce manque de prévision de l’ensemble est loin de tout expliquer, sauf la nécessité pour le sujet de procéder de proche en proche. En effet, même en agissant ainsi, l’enfant, lorsqu’il en vient à placer chaque nouvel élément, pourrait se demander s’il conduit à se rapprocher ou à s’éloigner du but, et, en ce dernier cas, il serait libre de le changer ou de chercher à le retourner pour l’orienter du bon côté (gauche ou droite selon la direction de l’élément B à atteindre). Or, ce qui est remarquable est qu’il ne fait ni l’un ni l’autre : il le pose simplement et continue ainsi, puis constate, l’échec comme si l’élément posé était le seul possible ou sa position la seule possible et comme si le sujet n’avait qu’à constater un résultat prédéterminé sans aucun pouvoir de le modifier. C’est ainsi que Val, ayant abouti à deux cercles, conclut qu’on ne peut rien faire d’autre et qu’« on doit tourner ici » donc en rond deux fois de suite et sans continuité. Ani, après un échec, parvient à former le projet de « retourner » vers B, c’est-à-dire de poser des éléments de départ mieux orientés, mais elle n’en aboutit pas moins à un trajet perpendiculaire à la ligne AB, puis à une boucle ramenant à A (et ne

C¹) Cf. « Le jeu dit des « puces » », chap. VI.

parvient à la bonne courbure qu’après suggestion et sans savoir recommencer). Nie et Bri concluent qu’« on ne peut pas » arriver de A à B comme si la non-réussite tenait à la nature des éléments et non pas à la manière de les placer et Cat, admettant sur suggestion qu’on pourrait effectivement les « placer autrement », n’y parvient pas pour autant. L’argument de Bri est même que tous les éléments courbés étant « la même chose », donc de même forme, ils vont « du mauvais côté » comme si le bon côté était inaccessible en soi et non pas relativement aux actions du sujet.

Ces actions, en cas d’échec, consistent, en effet, non pas à corriger les essais en cours de route, mais à tout recommencer. On demande à Tin, par exemple, s’il n’aurait pas qu’à « tourner de l’autre côté » son dernier élément pour atteindre B au lieu de s’en éloigner : il le reconnaît, mais au lieu d’essayer sans plus de le faire il reconstruit le tout. Ani, pour ajouter simplement « un morceau droit », recommence aussi le tout. Les seules corrections spontanées consistent à changer un élément, mais cela revient également à admettre implicitement que pour chaque rail il n’existe qu’un et un seul chemin prédéterminé, conduisant ou non à B et qu’on ne saurait le modifier sans commettre d’erreur.

En un mot, ce qui manque à ces sujets, c’est, d’une part, l’idée de retourner un élément courbé (double rotation) pour en modifier la direction gauche ou droite, et, d’autre part, l’idée, une fois un trajet réussi (ce qui peut arriver avec de la chance ou de l’aide), de le renverser pour en trouver le symétrique (et a fortiori l’inverse par permutation des parties successives). Or, on voit la parenté de ces deux lacunes : il conviendrait, dans les deux cas, d’agir sur les objets pour en modifier les positions et orientations, donc l’apparence figurative, c’est-à-dire d’exercer sur eux des actions opératives, au lieu de se borner à des actions se conformant par une sorte de soumission préalable à cette apparence figurative et au premier trajet obtenu conçu comme seul possible. En d’autres termes, les conduites de ce premier niveau reviennent à subordonner les actions du sujet aux propriétés immédiates (perceptives ou figuratives) de l’objet au lieu de soumettre celui-ci à des transformations que pourrait produire l’action du sujet.

La preuve qu’il en pourrait disposer est qu’il y parvient

parfois par régulations automatiques. Un sujet non cité de 4 ;0 retourne déjà un élément droit pour le fixer à A ; un autre à 5 ;0 retourne un autre droit qu’il veut mettre en position transversale, etc. Quant aux symétries, Cat en construit une, mais involontairement, etc. Seulement, de ces actions, dont la régulation demeure sensori-motrice, le sujet ne tire pas encore de conceptualisation par abstraction réfléchissante, tandis qu’il remarque par abstraction empirique, les diverses propriétés figuratives des éléments (droits ou courbés, orientés à gauche ou à droite, aboutissant par leurs réunions à des courbures ou boucles, etc.). Ce n’est certes pas à dire qu’il n’existe à ce niveau aucune abstraction réfléchissante, mais elle ne porte que sur des actions demeurant très générales et dont toutes, sauf une, relèvent des caractères topologiques de l’espace : ajouter ou enlever un élément, les joindre selon un ordre de succession et par contacts continus, etc., les seules mises en relation de caractère déjà euclidien (donc non présentes avant 4 ans, en deçà du niveau considéré ici comme IA) consistant à conserver une direction, sans retour (droites, en opposition avec des lignes quelconques), ou avec retour au point de départ (cercles). On note en outre qu’à part les relations de voisinage et de continuité ces actions comportant un aspect topologique en présentent également un de nature simplement logique (ordre et partition).

Les deux progrès solidaires dont témoigne le niveau IB en opposition à IA sont la possibilité de retourner un élément pour s’en servir en sens contraire (rotation) et la capacité de construire un chemin symétrique par rapport à une courbure d’ensemble antérieure. Voici des exemples, à commencer par deux cas intermédiaires entre les niveaux IA et IB :

Bad (4 ;6), après un trajet droit, réussit avec quatre courbés et un droit. « On pourrait commencer comme ça et tourner à gauche au lieu de tourner à droite (on montre le début du chemin symétrique) ? — Oui. — • Montre comment. — (Elle indique la courbure symétrique.) — Comme ça ? — Oui, fais-le. — (Réussite.) — Et un autre chemin ? — (Ne trouve rien.) — Et

mettre ça ici (l’élément droit vers A et non pas vers B) ? — Oui. — Comment faire sans tout démonter ? — Tourner. — Fais-le. — On ne peut pas tourner, on doit tout démonter : il (le droit) doit être de l’autre côté (elle démonte tout, met le droit en A et construit le symétrique du chemin précédent).

Del (5 ;0) commence par une boucle qui ramène à A, puis la modifie en un cercle qu’elle relie à A et à B. Avec 4+1 éléments, elle réussit après tâtonnements. « Avec les mêmes morceaux, tu peux faire un chemin différent ? — Oui, comme ça. » Elle montre le trajet symétrique, puis le construit en moins régulier (six éléments) et en procédant spontanément à la rotation d’un élément courbé qui faisait dévier.

Cha (5 ;6) réussit 4 + 1 avec rotation d’un courbé, puis dessine en détail (sept éléments distincts, donc deux de trop) le symétrique pour faire un « autre chemin ». Il réussit de même avec 8 + 1 éléments.

Cri (6 ;2), après des tâtonnements du niveau IA, réussit une courbure avec 4 + 1, puis, pour un autre chemin, prévoit la symétrique : « Moi je veux faire comme ça (réussite) », et montre un courbé à droite et un autre à gauche, en disant : « Je crois que c’est le même. » Pour changer, elle substitue alors un courbé au droit (d’où une courbure à cinq éléments semblables).

Bra (6 ;0) réussit d’emblée la construction 4 + 1, puis pour « faire un chemin un peu différent », il laisse là l’élément droit, à sa place, mais dispose les courbés en position symétrique, après avoir dit : « Oui, je mettrai tous le contraire et je mettrai le long (= le droit) ici. •— Et sans tout démonter ? — (Il met le droit de l’autre côté.) — • On ne doit démonter que ça. ■— Et avec ça (6 + 1) ? — Non, ça n’irait pas… je vais quand même essayer (réussite). » Après quoi, il le varie en ajoutant un droit, puis en faisant un chemin à deux courbures (~).

Duc (6 ;6) commence par un chemin irrégulier formé de huit courbés et un droit. Pour 4 + 1, il place d’abord le droit, puis les quatre courbés. On demande « un autre chemin avec les mêmes morceaux ? — Oui, j’en connais un autre : là le rail droit (en queue), là le rail courbe (les quatre courbés en tête) et ça fera comme ça (réussite) », ce qui constitue donc une forme élémentaire d’inversion, mais par simple permutation du droit et des courbés. Pour faire un nouveau chemin, il reproduit exactement le même : « Ça c’est ce que tu as fait tout à l’heure. — Pas tout à fait, parce qu’on ne peut pas tout à fait se rappeler », puis il construit le chemin symétrique, mais sans en prendre conscience : « Avant c’était comme ça, on va voir… ce sera la même chose. » Avec 6 + 1 tâtonnements, puis réussite. « On peut faire un chemin différent ? — On peut le faire presque la même chose, mais dans l’autre sens (il aboutit à un symétrique approximatif). Avant c’était comme ça. » Avec 8 + 1, « j’espère qu’on arrive (réussite). — On pourrait le faire de l’autre côté ? — Oui, ça devrait se faire (réussite). — On pourrait simplement le retourner ? — Je dirais oui. Comme ça, si j’ai un chemin, je le retourne là et là (symétrie mais sans le faire). — Où peut-on mettre encore le droit ? — Là (au milieu) ».

Mau (6 ;6) réussit 4 + 1. « Et un chemin un peu différent ? — Oui, comme ça (montre le symétrique). — ■ Tu dois tout redémonter ou bien on peut le

tourner ? — Bien sûr, je vais tout démonter. Je peux faire comme ça (symétrique). Comme ça (inversion 4 + 1 en 1 + 4) je ne peux pas. » Pour 6 + 1 et 8 + 1, « c’est de plus en plus difficile », mais il réussit et trouve les symétriques.

Ou (6 ;8). Mêmes réactions pour les symétriques, mais sur suggestion « je vais essayer de tourner tout », et il généralise de lui-même pour 6 + 1.

C’est à ce niveau IB que, en d’autres recherches, le sujet parvient à anticiper des rotations, par exemple lorsqu’une plaquette posée horizontalement est poussée sur l’un de ses petits côtés et non pas au milieu de l’un des grands. Dans la présente situation, nous voyons cette capacité de faire tourner les objets appliquée aux éléments courbés comme aux droits, qui sont alors soumis à des rotations simples ou doubles pour en modifier la position ou le sens de la courbure. De même, lorsqu’un trajet d’ensemble de forme semi-circulaire a été construit, le sujet prévoit de lui-même la possibilité d’une courbure symétrique (ou en accepte la suggestion comme le sujet intermédiaire Bad), ce qui revient aussi à une sorte de rotation en pensée (« si j’ai un chemin, dit Duc, je le retourne là et là »), et portant sur le tout ou sur les éléments de départ. En ces différentes conduites, nous voyons ainsi le sujet soumettre les objets à ses propres actions opératives et non plus, comme au niveau IA, subordonner chacun de ses essais aux propriétés figuratives actuelles de l’objet (position d’un courbé à droite ou à gauche, sans modification possible, etc.), ce qui limitait les pouvoirs de l’action à de simples accommodations imitatives, sans opérativité suffisante. C’est ainsi que Cri dit d’un rail courbé à droite et d’un autre à gauche « je crois que c’est le même », sans avoir besoin de le retourner au préalable, tandis qu’au niveau IA ils auraient été conçus, sitôt posés (ou déjà perçus avant leur utilisation par l’enfant), comme appartenant à deux catégories disjointes.

Cette capacité nouvelle de modifier l’orientation ou l’arrangement des objets se marque également par des combinaisons dépassant la symétrie : Cri substitue un rail courbé à un droit et Bra aboutit avec 6 1 à un chemin à deux courbures, etc.

Par contre, on n’observe pas encore d’inversions portant sur des trajets un peu complexes, bien que (pour la suite 4 -|- 1) le sujet parvienne déjà à déplacer sur suggestion (Bad), ou de lui- même (Bra, Duc, etc.), le droit de l’avant à l’arrière ou l’inverse :

mais il ne s’agit encore là que d’une simple permutation de l’ordre concernant un seul élément et non pas, comme on le verra au stade II, d’une inversion totale avec renversement par rapport à l’axe transversal.

Ces divers progrès demeurent donc limités et on note en particulier, outre certains défauts de mémoire (« on ne peut pas tout à fait se rappeler », Duc), une tendance assez générale, en héritage du niveau IA, à tout démonter (sauf Bra pour la permutation du droit en 4 1), plutôt que de tourner l’ensemble

ou que de procéder par substitutions ou modifications partielles.

Mais au total, la prise de conscience est meilleure parce qu’elle résulte de réglages actifs dus aux efforts de coordination entre les différentes positions possibles des objets. D’où, entre autres, une abstraction réfléchissante en net progrès sur les points où l’action opérative l’emporte, ainsi sur les simples accommodations imitatives subordonnées aux propriétés figuratives des éléments en leurs situations actuelles et momentanées. Autrement dit, la géométrie logico-mathématique, encore en bonne partie indifférenciée au niveau IA des caractères spatio-physiques de l’objet, commence à ce niveau IB à s’en dissocier quant aux actions opératives de rotation, de mise en symétries et de permutation de l’ordre, ce qui annonce les opérations proprement dites qui se développeront au cours du stade II.

Dès 7-8 ans, on assiste à des progrès sensibles dont le plus important est la possibilité de l’inversion de trajets complexes (donc du retournement par rapport à l’axe transversal) et non plus de simples permutations de l’élément droit en 4 + 1 ou 6 1. Voici des exemples de ce niveau IIA :

Fra (6 :10) réussit 4 + 1, puis : « On peut faire la même chose, mais de ce côté (réussit la symétrique, mais après avoir tout défait). — Et encore ? — Oui, d’abord en tournant, puis droit, puis en tournant (donc le droit au milieu). — Et encore ? — Oui, en démontant les deux côtés (met le droit au début, donc 1 + 4). •— (6 -|- 1 ?) — (Semi-réussite.) — Et comme ça (le droit en transversal) ? — (Hésitation.) — Ah ! oui ça ira (chemin à deux courbures égales, successives et de sens opposés). — Et un chemin différent avec les

mêmes ? — Oui (elle le tourne, ce qui constitue une inversion aussi bien qu’une symétrie). — Et comme ça (on pose les trois premiers courbés) ? — Oui (réussite avec une grande courbure suivie d’une petite du même côté). — On peut le retourner ? — Oui (cette fois Fra fait une inversion authentique, en changeant l’ordre des deux courbures et en les laissant toutes deux sur la gauche de AB). C’est le même, mais de ce côté (en se référant à l’ordre de succession et non plus à l’axe longitudinal comme pour une symétrie). »

Mic (7 ;6) réussit 4 + 1 : « Tu peux faire un chemin différent avec les mêmes morceaux ? — Je peux le tourner (il retourne chacun des quatre courbés, d’où un trajet symétrique). — Encore un autre ? — Non je ne crois pas. — Tu ne peux pas mettre le droit ici (près de A au lieu de B) ? — (Le fait.) — Autrement ? — Non… on pourrait mettre de l’autre côté (nouvelle symétrie mais en retournant le tout). — Et encore ? — (II met le droit au milieu). » Avec 6 + 1, réussite, puis symétrie. « Un autre chemin ? — Je ne sais pas quoi faire. —   Comme ça (on pose trois courbés faisant un arc de cercle) ? ■— Je continuerai (suit une grande courbure avec un droit transversal). — On peut mettre le droit autre part ? — (Il intervertit alors la grande courbure, qu’il déplace en bloc, et le petit arc, ce qui constitue une inversion et non plus une symétrie). » Le 8 + 1 est réussi avec un droit au milieu. Pour changer le trajet, il met le droit à une extrémité, d’où une inversion partielle.

Ren (7 ;6) réussit 4 + 1 et pour un autre chemin « on n’a qu’à les tourner », mais au lieu d’une symétrie simple il déplace aussi le droit en 1 + 4. Avec 6 + 1, il donne un trajet à deux courbures successives, dont la seconde plus petite. Puis, pour changer, il essaie de tourner le tout sans le défaire, mais ne réussit pas et reconstruit un second trajet qui comporte à la fois une symétrie par rapport à l’axe longitudinal et une inversion dans l’ordre de succession des deux courbures.

Anc (8 ;8) après réussite de 4+1 : « Qu’est-ce qu’on pourrait faire d’autre ? — Je ne sais pas… Je crois que ça (le droit), ça va là et ça là (— > 1 + 4). — Et encore ? — On peut faire ça (le tout) de ce côté (symétrie). » Après réussite de 6 + 1, on pose trois courbés à partir de A d’où construction par Anc d’une grande courbure suivie d’une petite près de B. « Ce chemin-là, on peut aussi le faire de l’autre côté ? — Oui. » Il démonte alors le tout et le reconstruit, mais avec inversion des deux courbures et non pas symétrie, celle-ci étant aussi prévue, mais ensuite ; puis il résume ses démarches en disant : « On peut le faire de l’autre côté, comme ça (symétrie) et comme ça (inversion). »

Tia (9 ;8), de même, prévoit les symétries (« On peut faire le même que ça mais de l’autre côté »), et parvient aux inversions dans le cas de courbures inégales du même côté.

On n’assiste pas, aux âges habituels du niveau IIB (9-10 ans), à des modifications bien sensibles, sinon un progrès dans les combinaisons possibles pour 4 1 et 6 1 éléments :

Rie (9 ;2) construit 4 + 1. « Et autrement ? — J’aurais pu le faire comme ça (symétrique). — Et encore ? — Le bout droit là (vers A) ou à l’envers (vers B). — Ça fait quatre choses. Et encore deux ? — (Il trouve le milieu.) — Et à l’envers (milieu de l’autre côté). » Pour 6 + 1, il trouve les deux boucles et leur symétrique, puis déplace le droit transversal. Avec 8 + 1, il parvient à l’inverse et à la symétrique.

Dom (10 ;4) parvient rapidement aux six possibilités pour 4 + 1. Avec 6 + 1, il tâtonne davantage mais trouve quatre possibilités avec boucles égales ou inégales et leurs symétriques ou inverses, mais avec plus de peine à trouver les trois positions possibles de l’élément droit transversal. Il résume le tout en disant : « Il y a des petits trucs : on peut inverser et on peut changer la barre (droite) d’un côté et encore de l’autre côté et au milieu. »

Art (11 ;6). De même : « On peut mettre de l’autre côté » (symétrique), « On pourrait mettre cette boucle là et l’autre là » (inverse) et « il faut déplacer le bout droit ».

La seule, nouveauté propre au stade III est la découverte d’une loi de périodicité dans la position de l’élément droit :

Pie (13 ;4) remarque l’impossibilité pour 6 + 1 de mettre « ce bout droit au début » comme en 4 + 1 « parce que les courbes ça se met d’après le bout droit ». On lui demande alors si pour 8 + 1 il faudra mettre les droits « dans le même sens (que le trajet = longitudinalement) ou perpendiculairement ? — Dans le même sens ».

Cat (13 ;6) : « Dans le premier truc (4 + 1), tu mettais le droit là et là. Dans le second (6 + 1), avec deux éléments de plus tu ne pouvais plus. Il fallait le mettre là, là et là (trois transversaux). Maintenant (8 + 1) avec deux de plus… ah ! c’est le double (que 4 + 1), alors tu dois recommencer comme avant (comme 4 + 1). » ’

Si les inversions et symétries donnent lieu à des abstractions réfléchissantes en tant que celles-ci portent sur les opérations elles-mêmes, on voit par contre que dans le cas de cette loi d’alternance de position des éléments droits, le sujet ne prend connaissance que du résultat de ses actions, lié d’autre part aux propriétés des objets, mais sans en comprendre la raison, donc sans atteindre les opérations formatrices en tant que telles.

Dans la plupart des autres recherches de cet ouvrage, le problème était simplement d’analyser les conditions de la prise de conscience des observables sur l’action ou des coordinations

dues à l’activité du sujet, et de la prise de connaissance des observables sur l’objet ou de l’adéquation des coordinations causales attribuées à l’objet. Dans la présente recherche où la causalité ne joue qu’un rôle minimal (déplacer les objets et les fixer les uns aux autres) et où les relations spatiales sont donc relativement indépendantes du dynamisme (le seul qui intervient étant celui des actions matérielles du sujet et de l’agencement des crochets), le problème peut être centré sur les rapports entre la géométrie du sujet et les propriétés spatiales des objets, donc entre l’expérience logico-mathématique de l’espace, avec les coordinations opératoires et l’abstraction réfléchissante qu’elle comporte et l’expérience physique des caractères géométriques des objets, avec abstraction « empirique » portant sur les observables relatifs à ces objets.

Si l’on appelle abstraction réfléchissante celle qui tire son information des actions du sujet et plus précisément de leurs coordinations (ordre, réunion, correspondances, etc.), il faut d’abord noter qu’un tel processus est antérieur aux prises de conscience conceptualisées et intervient, dès les paliers organiques, sous la forme de ce que nous avons appelé ailleurs les « reconstructions convergentes avec dépassement » (-¹). C’est ainsi qu’au niveau IA nous voyons des sujets retourner un élément ou construire un trajet symétrique, mais par simples régulations sensori-motrices et sans prise de conscience faute de réglages actifs : or ces renversements sont tirés de conduites antérieures se développant dès les niveaux sensori-moteurs (explorer les diverses faces d’un solide en le manipulant, effectuer des mouvements symétriques des mains ou des bras selon de « bonnes formes » motrices, etc.), et l’on peut donc déjà parler en ces filiations de variétés élémentaires d’abstraction réfléchissante, mais sans prise de conscience conceptualisée.

Quant aux formes conceptuabsées de cette sorte d’abstraction, on a vu qu’au niveau IA elles demeurent très générales (adjonctions, liaisons ordonnées, etc.), et ne portent pas encore sur les coordinations dont l’élaboration serait essentielle pour la réussite des épreuves : rotation d’un élément ou renversement symétrique du trajet. Il y a donc à ce niveau une prédominance systématique de l’abstraction empirique ou physique,

(^x) J. Piaget, Biologie et connaissance, édition de 1970, pp. 376-381.

par soumission aux propriétés actuelles et momentanées des éléments posés et joints de proche en proche, sans directions choisies par le sujet. Ce n’est qu’au niveau IB que ces rotations et symétries sont acquises, ce qui constitue un sérieux progrès dans le sens de la géométrie du sujet. Au niveau IIA, il s’y ajoute les inversions et dès le niveau IIB, la multiplication des combinaisons prévues ou découvertes comme possibles.

Quelle est alors la ligne de démarcation entre les abstractions réfléchissantes conceptualisées qui s’enrichissent donc d’apports de plus en plus importants dès le niveau IB et les abstractions empiriques qui prédominent au niveau IA, puis diminuent proportionnellement ensuite ? De façon générale, on peut dire que celles-ci procèdent à partir des observables, tandis que celles-là sont tirées des coordinations des actions du sujet. Mais diverses questions particulières subsistent à cet égard.

La première tient à des actions telles que la rotation simple ou double dont on pourrait dire qu’elles constituent non pas des coordinations mais de simples opérations et même des préopérations, puisqu’elles apparaissent dès le niveau IB. Seulement, d’une part, une action opérative consiste en une transformation conduisant d’un état initial à un état final, ce qui représente déjà une coordination entre deux états, par opposition à une perception, une imitation, une image ou une représentation isolable, qui ne transforment rien, mais portent sur un seul état (qu’il s’agisse d’une situation de repos ou d’un état de mouvement en tant que « Gestalt cinétique perceptive » et non pas d’opération de déplacement). D’autre part, cette action opérative tend à devenir opération et une opération est toujours solidaire de son inverse, etc., donc d’un système d’ensemble comportant de multiples coordinations.

En second lieu, la question devient plus délicate en ce qui concerne les observables sur l’action propre et sur les objets, mais en tant que manipulés et modifiés par cette action. En effet, les mouvements des mains ou des solides déplacés par elles constituent des données physiques parmi les autres et ne donnent ainsi lieu qu’à des abstractions empiriques. Par contre leur caractère opératif, lorsqu’il existe et qu’il se manifeste par l’intention ou la décision d’imposer aux objets des transformations telles qu’une rotation, etc., ou même un simple déplacement rectiligne, relève de coordinations endogènes et donne

donc prise à des abstractions réfléchissantes. La distinction peut paraître subtile, mais la perception d’un mouvement n’est qu’un enregistrement isolable, de contenu actuel, spatio-temporel et ne comportant pas par lui-même de système de coordinations d’ensemble (comparaison des états successifs, etc.), tandis qu’une opération de déplacement (translations comme rotations, etc.) est solidaire d’une structure de « groupe ». C’est pourquoi les réactions du niveau IA nous ont obligés de distinguer les actions opératives, encore très faiblement représentées à ce niveau, et les actions centrées sur l’accommodation imitative aux états actuels et momentanés des éléments.

Si la distinction des deux types d’abstraction est difficile à pousser jusqu’à leurs détails dans le domaine de l’espace, c’est qu’il y a isomorphisme complet entre les aspects spatiaux de la géométrie intemporelle du sujet et ceux de la géométrie spatio-temporelle ou de la dynamogéométrie des objets. Mais cela ne suffit en rien à impliquer l’origine empirique de la première, autrement dit la conclusion qu’elle dérive de la seconde et que l’abstraction réfléchissante se réduise à une composition d’abstractions physiques : la succession de nos stades montre, au contraire, qu’une activité du sujet est de plus en plus nécessaire à la structuration progressive des relations spatiales et cela en liaison constante avec son activité logique en général (cf. l’apparition des inversions à 7-8 ans, etc.).

Ce que nous montrent les faits, ce n’est donc nullement une filiation des opérations à partir des perceptions, ou même de l’action opérative à partir des actions imitatives : c’est au contraire une subordùiation graduelle des secondes aux premières. Or, il y a là une loi de développement qui dépasse largement le domaine de cette petite expérience et qui s’apphque à l’histoire de la géométrie entière : science d’abord empirique, avec l’arpentage des Egyptiens, puis demeurant en bonne partie figurative, avec l’impérialisme si longtemps victorieux de la géométrie euclidienne, elle a fini depuis le programme d’Erlangen par devenir une science des transformations de l’espace jusqu’aux conquêtes abstraites actuelles de la topologie algébrique. Il y a donc là un exemple frappant du primat progressif de l’abstraction réfléchissante sur les abstractions simples qui prédominent aux débuts.

Enfin, ce passage général de l’abstraction empirique (enca-

dréc dès les débuts, niais à un faible degré, par des schèmes assimilateurs relevant du second type) à l’abstraction réfléchissante se traduit, entre nos stades IA et III, par les transformations suivantes en ce qui concerne la prise de conscience. Aux niveaux élémentaires, il y a certes conscience des observables utilisés, perçus sur l’objet, ainsi que des échecs ou réussites partielles de l’action. Mais les prévisions et rétroactions demeurent très limitées et l’on n’obtient en particulier qu’un souvenir très incomplet de la succession des actions, puisqu’elles n’étaient pas ordonnées. Avec les abstractions réfléchissantes relevées dès le stade II, les coordinations se manifestent au contraire par un élargissement du champ de la conscience, dans le double sens anticipateur (trouver de proche en proche les moyens pour se rapprocher du but) et rétrospectif (reconstitution de la suite des actes).