Deuxième partie.
L’espace projectif ^a 🔗

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[p. 183] La différence essentielle entre les rapports topologiques, dont nous avons analysé, au cours de la première partie de cet ouvrage, les principales formes élémentaires, et les rapports projectifs et euclidiens, dont nous abordons maintenant l’étude (Parties II et III), tient au mode de coordination des figures entre elles. Les relations de voisinage, de séparation, d’ordre, d’enveloppements et de continuité se constituent de proche en proche entre éléments d’une même figure ou d’une même configuration structurée par elles, et sont indépendantes de l’étirement ou de la contraction des formes en jeu, lesquelles ne comportent par conséquent de conservation ni des distances ni même des droites, angles, etc. Ces relations topologiques ne conduisent donc nullement à la construction de systèmes d’ensemble réunissant une multiplicité de figures en fonction soit d’un jeu de perspectives soit d’axes de coordonnées, et c’est bien pourquoi elles sont psychologiquement élémentaires : l’espace topologique initial est intérieur à chaque figure, dont il exprime les propriétés intrinsèques, en opposition avec les relations spatiales qui la situeraient par rapport aux autres figures. Il n’a donc encore rien d’un espace total qui engloberait toutes les figures, et la seule mise en relation d’une figure à l’autre que connaissent les opérations topologiques fondamentales est la correspondance bi-univoque et bi-continue, source des « homéomorphies » ou analogies de structure entre les figures, c’est-à-dire à nouveau d’une analyse se plaçant au point de vue de chaque objet figurai considéré en lui-même et non pas d’un système d’ensemble qui les organiserait en un seul tout structuré selon une même coordination spatiale.

Avec l’espace projectif et l’espace euclidien, le problème est au contraire de situer les objets et leurs configurations les uns par rapport aux autres, selon des systèmes d’ensemble consistant, soit en projections ou perspectives, soit en « coordonnées » [p. 184] dépendant de certains axes, et c’est pourquoi les structures projectives et euclidiennes sont plus complexes et d’élaboration plus tardive. Impliquant la conservation des droites, des angles, des courbes, des distances, ou de certains rapports définis subsistant au travers des transformations, ces structures se réfèrent toujours, en effet, et cela même lorsqu’il s’agit de l’analyse d’une figure isolée par abstraction, à une organisation totale, explicite ou sous-entendue.

En particulier l’espace projectif, dont nous chercherons maintenant à retracer la genèse, débute psychologiquement lorsque l’objet ou sa figure cessent d’être envisagés simplement en eux-mêmes, comme c’est le cas sur le terrain des purs rapports topologiques, pour être considérés relativement à un « point de vue » : point de vue du sujet comme tel, auquel cas intervient une relation de perspective, ou point de vue d’autres objets sur lesquels il se trouve projeté. Ainsi, dès le départ, les rapports projectifs supposent une coordination entre objets spatiaux distincts, par opposition à l’analyse intrinsèque des rapports topologiques propres à chaque objet envisagé en lui-même.

C’est ce que nous allons constater en étudiant d’abord, la droite projective et les perspectives élémentaires (chapitre VI), puis les projections intervenant dans les ombres (chapitre VII), la coordination d’ensemble des perspectives (chapitre VIII), les sections (chapitre IX) et le développement des volumes (chapitre X).