Chapitre X.
Les « rabattements » et « développements » des surfaces ^{1 a} 🔗

Pour faire comprendre le problème à l’enfant, nous commençons par poser devant lui un simple rectangle plié par le milieu en forme de toit et par demander « comment sera ce papier si on le déplie et qu’on le met à plat sur la table ». On fait dessiner la forme prévue du papier, puis on déplie le « toit » et le sujet contrôle. Occasionnellement, on donne aussi un papier rectangulaire disposé en forme de « tunnel », pour introduire au dépliement du cylindre et du cône. Après quoi on présente au sujet divers volumes, un cube, un cylindre, un cône et une pyramide, en demandant à nouveau de dessiner la surface dépliée (sans les donner dans un ordre fixe). En cas de difficultés graphiques, on se fait expliquer par le sujet comment il se représente le « développement » qu’il a peine à dessiner. En outre, on peut toujours offrir à l’enfant quelques dessins tout préparés, dont les uns comportent les solutions justes, tandis que d’autres correspondent aux erreurs typiques des petits, en le priant de choisir celui qui lui paraît convenir, avec raisons à l’appui. Mais cette dernière technique ne saurait être employée à titre indépendant, comme nous avons essayé de le faire au début. Il s’est, en effet, avéré que le sujet reconnaît trop facilement le bon dessin, non pas par compréhension raisonnée, mais en devinant d’après certains détails ; bien plus, le choix ainsi fait n’est pas stable et change selon toute nouvelle suggestion, tandis que les intentions de représenter d’une certaine manière le dépliement, révélées par le dessin de l’enfant, sont plus nettes et mieux motivées.

[p. 325]Notons enfin qu’il est utile, avant de procéder à l’ensemble de ces interrogations, de faire dessiner les quelques volumes non dépliés à l’enfant, donnés à la hauteur des yeux, pour constater l’indifférenciation éventuelle entre la représentation d’un [p. 326] point de vue et la totalité des points de vue possibles, et pour observer les rabattements spontanés que l’enfant peut introduire dans son dessin des volumes. Nous avons, en outre, prié les petits, en nous inspirant des analyses de Luquet, de dessiner un char avec bonhomme et cheval, de manière à savoir si le sujet est capable de s’en tenir à un point de vue unique ou s’il rabat les roues, etc.

Il n’est pas besoin d’ajouter que le volume en cause est toujours offert au préalable à l’enfant pour manipulation, de manière à être certain qu’il en ait vu toutes les faces.

Cela dit, les résultats obtenus présentent deux aspects intéressants pour l’étude de l’intuition géométrique. Le premier est la grande difficulté, pour la plupart des sujets, à imaginer le « développement » des surfaces latérales, comme s’ils étaient incapables avant 8-9 ans d’effectuer systématiquement les rabattements qui intervenaient si souvent dans leurs dessins spontanés d’avant 6-7 ans ! Le second est la dépendance étroite de la représentation des rabattements et développements à l’égard des actions mêmes de déplier et des habitudes proprement motrices du sujet, liées à ces actions. En particulier, lorsque l’enfant est accoutumé, par son milieu scolaire, au pliage et au dépliage des figures, il parvient à deux ou trois ans d’avance sur les sujets non habitués à de telles actions.

Les stades généraux, observés quant aux quatre volumes réunis, ont été les suivants (voir fig. 23). Au cours du stade I (avant 4 ans) aucune interrogation n’est possible, en un tel domaine. Le stade II est caractérisé, comme en ce qui concerne les autres problèmes relatifs à l’espace projectif, par une indifférenciation, complète ou partielle, des points de vue. Au cours du sous-stade II A le dessin du volume non développé et celui du même volume développé demeurent identiques. Le cylindre est représenté par un rectangle, ou par deux cercles reliés l’un à l’autre (parfois même par un seul ou par une ellipse), le cône est réduit à un cercle ou à un triangle, le cube est toujours figuré sous la forme d’un carré et la pyramide par une pointe, un triangle ou un carré : l’objet est donc représenté, presque symboliquement, par l’un de ses aspects, qu’il soit censé être déplié ou non, tandis que les mêmes sujets dessinent spontanément un char avec rabattement des roues, etc. Ce sous-stade dure jusque vers 5 et 6 ans.

Le niveau II B marque par contre un début de différenciation de points de vue entre le volume développé et le volume non déplié. La forme la plus simple de cette différenciation consiste à marquer l’intention de développement en indiquant [p. 327] sans plus, au moyen d’une ligne, la direction dans laquelle il devrait s’engager. Le développement se réduit à cette ligne quand le volume non déplié est représenté lui-même par une surface. Lorsque, au contraire, ce volume est figuré sous la forme, par exemple, d’une pointe, le développement est alors traduit par une surface, mais sans contour défini, ou encore par la même figure que le volume non déplié, mais placée en position horizontale ou en une autre position. Il arrive aussi que le développement soit déjà représenté par des surfaces définies, telles que des carrés, mais séparés ou juxtaposés sans forme d’ensemble. Bref, l’enfant ne parvient pas à se détacher de sa vision actuelle pour se représenter les développements et rabattements, et il se borne à exprimer une intention de dépliement, soit par un geste, soit en symbolisant le mouvement possible par un trait, soit en changeant la position de l’objet (avec éventuellement dislocation de celui-ci).

Le stade III marque au contraire la découverte du développement et du rabattement corrects, au moins pour certains des volumes considérés. Cette découverte se fait en deux étapes. Au cours d’un sous-stade III A l’enfant représente simplement une phase du dépliement mais non point encore le résultat de l’action complète. En gros, on trouve deux sortes de solutions plus ou moins contemporaines : une décomposition ou analyse des éléments, mais sans recomposition ordonnée, ou au contraire un souci de maintenir et d’ordonner le voisinage entre les éléments, mais avec rabattements incomplets (par exemple rabattements partiels des faces latérales, qui demeurent ainsi comme entr’ouvertes). Au cours du sous-stade III B, les solutions correctes sont atteintes du moins en ce qui concerne le cylindre et le cône. Le cube et la pyramide semblent un peu plus difficiles et le développement entièrement exact de cette dernière ne s’atteint souvent pas avant le stade IV c’est-à-dire avant le niveau des projections précises du cône (chapitre VII).

Le cylindre et le cône correspondent, comme on le sait, à deux des seules surfaces courbes « réglées » (c’est-à-dire pouvant être engendrées par une droite) qui sont développables sans déchirure ni duplicature (par opposition aux surfaces « gauches » ou non développables). Or, ce sont également les formes que l’enfant parvient le plus tôt à développer.

Au niveau II A le dessin qui est censé figurer les surfaces développées est semblable à celui qui figure le volume non [p. 328] déplié, ce dernier dessin contenant fréquemment, par ailleurs, des « rabattements » spontanés :

Faes (5 ; 4) dessine le cylindre non déplié sous la forme d’un rectangle. « Maintenant on va aussi le déplier (comme le « toit », etc.) et le mettre tout plat sur la table. Tu peux me dessiner comme il sera ?  J’sais pas. — Essaie. — Ça fait plat. — Ça fera la même chose qu’avant (il a fait un autre rectangle mais plus petit) ? — C’est plus petit, mais j’ai voulu le faire la même chose grand. — Mais si tu déplies tout et qu’un bonhomme regarde par-dessus qu’est-ce qu’il verra ? — Il verra le papier (il fait un nouveau rectangle). — C’est assez large ? — (Il pose le cylindre non déplié sur son dessin). — Oui, ça fait la même chose ».

Chev (5 ; 11) dessine le cylindre non-déplié, ou tel qu’il sera déplié, exactement de la même façon : un cercle dans les deux cas. Pour ce qui est du cône, il figure également deux cercles. Or, son incapacité à prévoir le rabattement, après avoir déplié lui-même le « toit » et le « tunnel », est d’autant plus curieuse qu’il dessine spontanément un char sous la forme d’un long rectangle (= le char vu de dessus) flanqué de quatre cercles (= les roues rabattues), c’est-à-dire d’une manière telle qu’il suffirait d’enlever deux de quatre cercles pour obtenir un « développement » complet du cylindre !

Hui (6 ; 1) dessine un char comme Chev (et également en fin d’expérience, pour ne pas influencer le reste) mais avec, en plus, un cheval vu de profil (ce qui constitue un troisième point de vue à ajouter à celui du char lui-même vu d’en dessus et des quatre roues rabattues). Quant au cylindre non déplié, il le dessine aussi selon le principe du mélange des points de vue : deux cercles (représentant la base et le sommet) reliés par deux traits parallèles figurant la surface courbe (mais séparés par un intervalle de largeur inférieure au diamètre des cercles). Quant au cylindre développé il se le représente exactement de la même manière : « C’est quand il sera tout ouvert, comme le toit ? — Oui. — Il sera comme ça ? — Oui. — Regarde (exp.). — Ah non (il dessine ce qu’il voit, mais n’en tire aucun enseignement pour les formes ultérieures : le cône, etc.) ».

Bu (6 ; 2) dessine le cône non déplié sous la forme d’un triangle, en ajoutant : « Il faudrait faire un rond, mais moi je peux pas. — Et si on le déplie comme tout à l’heure le toit ? — Je vais le faire aplati, mais il sera comme ça (refait un triangle), puis plus petit. — Pourquoi ? — Parce qu’il sera déplié ». Le passage du volume à la surface est donc exprimé par un rapetissement exprimant la suppression de l’une des dimensions.

Geh (7 ; 1) dessine le cylindre non déplié sous la forme de droites parallèles réunies aux deux extrémités par un arc de cercle. « Dessine-le quand il est déplié. — (Il fait presque le même dessin mais ce sont maintenant deux cercles qui occupent les extrémités, reliés par les droites parallèles). — Si on découpe ton dessin [p. 329] on pourrait refaire ça (le cylindre non déplié) avec ? — Oui, on fera ça rond (on enroulerait la partie médiane, représentée par les parallèles) et on mettrait les deux ronds dessus (il redessine deux parallèles fermées par deux demi-cercles pour montrer le volume replié). — Essaie (on découpe son dessin et il cherche à en faire un cylindre 1) — Et avec ça (un cylindre déplié) ? — (Il réussit après tâtonnement). — Dessine-le maintenant sans le regarder. — (Il dessine facilement de mémoire) ».

Sche (7 ; 6). Même dessin (long ovale à côtés parallèles) que Geh pour le cylindre, non déplié. Sche reproduit ce dessin tel quel pour figurer le cylindre développé et s’imagine pouvoir replier un cylindre complet avec ce dessin découpé : on le lui découpe alors et il le plie simplement en deux pour obtenir son cylindre !

Les faits de ce niveau II A sont d’un grand intérêt tant en ce qui concerne l’espace graphique spontané qu’eu égard à l’intuition des relations de développement et de rabattement projectif. Pour ce qui est du dessin spontané, ces sujets dessinent un char selon le principe du « mélange des points de vue » de Luquet et du pseudo-rabattement qui en découle : le caisson du char est vu de dessus, tandis que le cheval est de profil, et les roues sont rabattues sur le même plan horizontal que le caisson lui-même (voir Chev et Hui). Quant au cylindre non déplié, tel qu’il est dessiné par Hui, Geh et Sche, c’est-à-dire sous la forme de deux cercles réunis par des droites parallèles ou de droites parallèles fermées par des arcs de cercle, le principe en est identique : la base et le sommet sont figurés sur le même plan que le cylindre entier vu de côté, que cette base et le sommet soient représentés par des cercles entiers ou par de simples demi-cercles. Il semble donc que le sujet soit en possession de tout ce qu’il lui faut pour dessiner les surfaces développées et rabattues, puisqu’il paraît en état d’évoquer simultanément, par représentations imagées, un ensemble de perceptions virtuelles correspondant à des points de vue divers. Or, lorsqu’il s’agit d’imaginer les surfaces développées des volumes ainsi figurés, non seulement l’enfant se borne à reproduire les mêmes dessins, quelle que soit leur variété, que ceux de l’objet non déplié, mais encore ils s’attendent réellement, comme Geh et Sche, que ces dessins, une fois découpés, leur permettront par un pliage convenable de retrouver l’objet entier, replié et en possession de toutes ses faces ! Par conséquent, d’une part, le procédé graphique du « mélange des points de vue » et du pseudo-rabattement ne correspond nullement encore à une représentation projective ou « descriptive » géométriquement exacte (ni même recherchée comme telle) : il [p. 330] ne s’agit encore que d’une représentation topologique, visant l’objet en lui-même et exprimant le simple voisinage entre ses éléments, etc., sans coordination ni euclidienne ni projective. D’autre part, le sujet s’avère incapable de dépasser ce niveau pour imaginer de vrais rabattements ou développements, parce que ceux-ci reposent sur tout autre chose que la simple intuition perceptive et impliquent un ensemble d’actions, effectives puis mentalisées, coordonnées entre elles grâce à un double mécanisme moteur (ou euclidien) et perspectif (groupement des points de vue selon des opérations projectives et non pas par simple juxtaposition). En bref, il manque à ces sujets l’expérience des actions de pliage et de dépliage, comme il manquait aux enfants du même niveau l’expérience des actions de sectionnement pour imaginer les surfaces de section : le « mélange des points de vue » du dessin spontané, dont le caractère topologique est parent de celui des figurations relatives à l’intérieur des objectifs (enveloppements, etc.), est donc aussi éloigné de la représentation des vrais rabattements que les figurations le sont des vraies sections.

Au cours du sous-stade II B, nous assistons à un début de différenciation entre le dessin des volumes non dépliés et celui des volumes dépliés, sous la forme soit de lignes indiquant l’intention du rabattement, soit de changements de direction dans la figure :

Arb (5 ; 5) dessine le cylindre sous la forme d’un rectangle vertical, en ajoutant : « C’est tout rond, mais on y voit droit. — On va le déplier, maintenant, comme avant (le « toit »). — (Il dessine un rectangle couché). C’est plat sur la table. — Et avec ça tu peux refaire ce cylindre ? — Je plie comme on doit plier. — Tu as dessiné ces ronds (on montre la base et le sommet) ? — (Il fait deux cercles indépendants du rectangle) ». Pour le cône, il dessine l’objet sous la forme d’un angle aigu, sans base. « J’peux pas faire plus bien. — Et si on le déplie sur la table ? — (Dessine une simple surface, vaguement carrée) ».

Pel (5 ; 8) dessine un cercle pour représenter le cylindre, puis, ayant déjà déplié le « toit » et le « tunnel », il ajoute de lui-même : « Quand ce sera plat (= développé), ce sera tout tout plat (il dessine une simple ligne). — Ça suffira pour refaire un tuyau ? — Oui, et puis ça (il rajoute un cercle). On enroule ça (la ligne) et on met ce rond dessous ». Le cône : il dessine à nouveau un cercle. « Là c’est rond (il montre la base) et là c’est pointu. Le pointu on ne peut pas le faire (il marque un angle aigu, à part). — Et quand ce sera déplié ? — Ça sera comme ça (geste de déroulement horizontal) ».

Ul (6 ; 0) dessine le cylindre sous la forme d’un rectangle « parce que c’est droit. — Ce n’est pas rond, aussi ? — Si, c’est rond, [p. 331] mais c’est droit. — Et si on le déplie, comme on a fait avant ? — (Il dessine une grande ligne horizontale). Voilà. — C’est quoi ? — C’est tout le papier. — Mais si on le déroule seulement un tout petit peu ? — (Il dessine une ligne oblique). Comme ça. — (On lui présente alors trois dessins de dépliements possible, l’un correct, l’autre avec également un grand rectangle mais les deux cercles attachés du même côté et le troisième figurant un petit rectangle de la largeur du cylindre vu de côté, avec un cercle à chaque extrémité). Avec lequel de ces trois on peut refaire un cylindre si on le plie ? — Avec ça (le troisième) parce que c’est rond ». Pour le cône, Ul dessine un cercle. « J’fais le dessous. — Et ça (la pointe) ? — (Il dessine un triangle) — Et ça alors (le cercle) ? — On ne le met pas, je n’y arrive pas (il rajoute un arc de cercle sous son triangle). — Et si on le déplie ? — (Il dessine un simple angle aigu avec geste). — Et puis le rond dessous ? — On le voit dedans. Si on déplie on le voit dedans (il schématise donc davantage le dessin du dépliement que celui du volume non déplié, son angle figurant surtout le mouvement même de développement) ».

Nig (7 ; 1) dessine le cône sous la forme d’un cercle, puis il fait le geste de piquer le centre pour indiquer l’existence de la pointe « parce qu’on peut pas dessiner ça ». On lui demande de dessiner le cône déplié comme il vient de le faire du « toit ». Il ouvre alors le cône et regarde dedans (l’intérieur et non pas la surface !) puis dessine à nouveau un cercle et fait le geste de piquer le centre, après quoi, prié de plier ce cercle pour en reconstituer le cône, il l’entoure d’un grand rectangle traversé d’un trait pour marquer le pliage possible. On déplie alors le cône devant lui, et on lui demande de reconstituer de mémoire la surface qu’il a vue : il dessine un rectangle adjacent à un cercle entouré d’une multitude de rayons (comme un soleil) avec un geste de les relever tout autour.

On voit en quoi consiste ce début de différenciation entre la surface développée et l’objet non déplié : ou bien le sujet se borne à coucher horizontalement le dessin du volume à déplier (Arb), ou bien il représente la surface développée sous la forme d’un trait horizontal (Pel et Ul) ou d’une surface plus ou moins rectangulaire (Nig, etc.), mais le tout présentant bien davantage une signification motrice (geste de dérouler, d’étaler etc.) que celle d’une surface proprement dite de développement. La manière dont Nig reconstitue sous la forme d’une étoile ou d’un soleil la surface rabattue qu’il vient de percevoir est très typique à cet égard : c’est le mouvement global de repliement qu’il exprime ainsi bien plus que la surface qu’il a eu l’occasion de voir.

Le stade III voit au contraire se réaliser le développement des surfaces du cylindre et du cône, avec les rabattements exacts. Mais cette découverte s’effectue en deux temps. Au [p. 332] cours d’un sous-stade III A (7 à 9 ans en moyenne), on assiste à un ensemble d’essais et de tâtonnements fort instructifs, ne marquant plus seulement des ébauches d’action comme au niveau II B, mais un début de coordination des points de vue eux-mêmes.

Un premier type des solutions propres à ce niveau III A consiste à représenter simplement une ou plusieurs phases discontinues du développement, sans prévoir dans son ensemble le résultat des actions esquissées de dépliement :

Nid (6 ; 6) dessine un char d’un seul point de vue (de profil, avec roues sous le caisson). Le cylindre est dessiné comme un cercle. « C’est juste ? — Oui, c’est un tuyau. Il est tout rond ». — Et maintenant on va l’ouvrir tout à fait. — (Il dessine un long rectangle). — On peut refaire un cylindre avec ça ? — Oui, on le roulera (geste). — Et les ronds (base et sommet) ? — Il faudra les faire comme ça (les dessine à part). On les collera ». Quant au cône, Nid dessine un triangle, puis le complète par un demi-cercle. Déplié, il sera un grand rectangle (que Nid dessine) : « Tu peux refaire le cône avec ça ? — C’est pas assez grand. Il faudrait faire une toute petite pointe. (Il refait une figure, mais sous forme de trapézoïde, vu de côté rappelant l’inclinaison du cône). — Tu peux refaire le cône ? — Le rond fera tout le tour. On met le papier bien arrangé avec une pointe en haut. — Mais as-tu fait quelque chose pour le rond en bas (la base) ? — Non. Attendez, il faut mesurer (il place le cône plié sur le dessin de son trapézoïde, couché sur le côté et, constatant que la surface dessinée déborde le cône des deux côtés, se déclare satisfait).

Mey (6 ; 6) dessine un char à deux roues de profil, avec même une seule roue « parce qu’on ne voit pas l’autre, parce qu’il va comme ça juste de droite à gauche ». Le cylindre est dessiné comme un porche roman « parce que je vois un peu le dessus (en arc de cercle) et parce que je ne vois pas le dessous (la base circulaire) ». Développé, il est prévu sous la forme d’un grand rectangle à enrouler, auquel Mey rajoute ensuite deux cercles mais sans contiguïté avec lui. Le cône est dessiné comme un triangle et son développement comme un grand rectangle également.

Bon (7 ; 2) de même, dessine le cylindre comme un rectangle augmenté d’un arc de cercle à l’une de ses extrémités, puis prévoit son développement sous la forme d’un grand rectangle avec deux cercles à part. « Tu peux le dessiner avec les deux ronds attachés ? — (Il dessine alors deux cercles reliés par deux droites parallèles dont l’intervalle est égal au diamètre des cercles). — Si on le découpe, ça ira ? — (Il constate que l’intervalle entre les parallèles est trop étroit et égal à la largeur du cylindre lui-même). Non, parce qu’il est déjà plié. — Alors dessine un grand papier. — (Il dessine un grand rectangle et y inscrit les deux cercles au lieu de les dessiner extérieurs et contigus) ». On lui présente le dessin [p. 333] exact mais il préfère le sien. Pour le cône (dessiné comme un triangle) il figure le dépliement par un rectangle avec un cercle indépendant.

Agu (8 ; 0) présente un cas intéressant d’essai de dissociation entre la perspective et le développement. Le cylindre non déplié est dessiné comme deux droites parallèles reliées à chacune de leurs extrémités par un arc de cercle, mais Agu ajoute : « J’sais pas comment il faut faire. Là (extrémités) c’est plat, et moi j’ai fait rond. — Dessine ce que tu vois. — Dessus et dessous c’est plat parce qu’il y a un rond ». Ce développement est figuré par un grand rectangle : « On roule comme ça, on colle et on met des petites plaques rondes sur les bouts. — Tu ne les a pas dessinées. — J’sais pas les faire. J’sais pas où les mettre (il les met aux deux extrémités du rectangle, mais non contigües). Je les ai fait ronds, mais il faudrait les faire carrés. — Pourquoi ? — Parce que le grand carré (le rectangle figurant le cylindre vu en perspective) est carré et qu’il est rond. Quand on fait rond (le corps du cylindre) il faut faire rond (les extrémités : base et sommet) et quand c’est carré, il faut faire carré ».

Bur (8 ; 8) dessine le cylindre en perspective presque correctement, avec base circulaire, etc. Mais pour le développement il prévoit d’abord deux cercles concentriques « parce que c’est aplati » puis deux cercles reliés par deux droites parallèles : « non, il est encore un peu plié », puis un rectangle avec cercles indépendants. Le cône déplié est un grand triangle à base curviligne « pour que ça fasse rond » et avec une bissectrice marquée « pour que ça tourne ».

Ce dernier cas présente en partie le second type habituel de réactions, qui consiste à représenter le développement par une figure unique, mais à rabattements incomplets, comme si l’action de dépliement n’était qu’ébauchée et demeurait inachevée :

Lug (7 ; 7) représente le cylindre sous la forme d’un quadrilatère à trois côtés droits, le côté supérieur légèrement bombé pour marquer la courbure vue en perspective. Pour le développement des surfaces il fait un second dessin en laissant inchangée la largeur du corps du cylindre, mais en rabattant les cercles de la base et du sommet sous forme d’ellipses, plus larges que le corps du cylindre : tout se passe donc comme s’il avait oublié le développement de cette surface courbe et rabattu insuffisamment les cercles de la base et du sommet.

Deg (7 ; 10), représente le cylindre non déplié par deux ellipses reliées par deux lignes légèrement convexes, le tout ayant une forme de tonneau pour traduire la surface courbe des côtés ! Le même cylindre déplié est figuré par deux ellipses plus proches du cercle et par deux lignes encore plus convexes, ce qui constitue un double début, mais incomplet, de rabattement.

[p. 334]Rav (8 ; 2). Le cylindre est dessiné comme « un tuyau. — Tu vas le déplier comme avant (le « toit »). — Ça fait une croix (il dessine une grande ellipse). J’ai fait une faute, c’est comme ça (il dessine sa croix sous la forme d’un champignon). C’est drôle, ça (la partie gauche du chapeau) c’est en haut (il montre le cercle du sommet du cylindre), ça (la partie droite du chapeau) c’est en bas (= cercle de base du cylindre) et çà (la tige du champignon) c’est ça (la surface courbe du cylindre). — Regarde bien. — Ah non » (rectangle se prolongeant à chaque extrémité en un demi-cercle).

Gra (8 ; 6) dessine le cylindre non déplié à la manière de Deg comme une sorte de tonneau dont, la base et le sommet seraient simultanément visibles sous forme d’ellipses. Déplié, ce cylindre devient un rectangle allongé, dont chacun des quatre côtés est bordé d’un arc [de] cercle (la corde de cet arc se confondant avec le côté du rectangle dans toute sa longueur) : « Comment le plies-tu ? — Je les tourne (les arcs de cercle), je passe derrière et je tourne. — Tu pourrais refaire un rouleau avec ton dessin ? — Je ne sais pas. Ça ne va pas tant bien (il refait un dessin formé cette fois d’un rectangle plus large, coupé par une médiane et pourvu aux quatre coins d’un petit demi-cercle accolé aux côtés) ».

Vua (8 ; 9) représente le cylindre non déplié par deux ellipses reliées par des droites (= les côtés du cylindre), et son dépliement sous les deux formes successives suivantes : d’abord il tire deux droites parallèles entre elles et perpendiculaires aux côtés du cylindre (ce qui constitue l’esquisse du geste de développement), puis, après réflexion, il relie les extrémités de ces nouvelles droites par une troisième, constituant ainsi un grand rectangle qui représente la surface courbe du cylindre développée sur un plan.

Quant au cône déplié, il est représenté par un cercle surmonté d’une flèche : la tige de la flèche figure la ligne le long de laquelle la surface courbe du cône est collée et la pointe figure le sommet du cône. Il s’agit donc d’une esquisse du mouvement même.

Ul (8 ; 10) pour le développement du cylindre, déclare : « Il faut couper » puis il divise en deux la surface courbe du cylindre, de même que les deux cercles de base et du sommet. Il dessine en fin de compte deux cercles reliés par un rectangle de même largeur que le cylindre vu non déplié, demeurant ainsi à mi-chemin entre les ébauches d’action figurées par des lignes et le dessin en perspective.

Lut (9 ; 1) représente le cylindre déplié par un rectangle avec deux demi-cercles accolés, et le développement du cône par un trapèze, puis un triangle et enfin un triangle avec un cercle attaché à la base.

Laz (9 ; 2). Cylindre déplié : un rectangle avec deux cercles inscrits près des extrémités, puis avec deux demi-cercles adjacents comme Lut. Le cône est représenté par un triangle (rectiligne), avec un cercle accolé à la base, ce qui est la figure de dépliement la plus fréquente jusqu’au niveau III B.

[p. 335] On voit l’intérêt de ces deux types de réactions propres au niveau III A. Notons d’abord que le premier type, qui représente le dépliement sous une forme plus statique et discontinue, est d’un niveau peut-être légèrement inférieur au second type, lequel exprime le développement par une seule figure d’ensemble, plus dynamique et marquant une étape de l’action même de rabattre les surfaces. Mais, si le premier type constitue ainsi la transition entre les niveaux II B et III A et si le second type dure peut-être plus longtemps que le premier, il est cependant toute une période (7 ans à 8 ; 6) où les deux types synchronisent et passent même souvent de l’un à l’autre (voir le cas de Bur qui marque un retour du second type au premier).

Cela dit, nous constatons qu’il existe entre ces deux types le même rapport qu’entre les réponses diverses du sous-stade II B. Ces dernières exprimaient, en effet, tantôt l’intention motrice du dépliement (sous la forme de simples lignes), tantôt le caractère plan des surfaces rabattues (celles-ci ne présentant pas encore de contour précis, mais étant exprimées en tant que surfaces planes). Ces doubles aspects moteur et projectif des réactions de l’enfant, ainsi que la solidarité ainsi exprimée entre ces mouvements euclidiens et les points de vue projectifs, se retrouvent dans les deux types de réponse du niveau III A. Le premier type traduit, en effet, surtout l’intuition du caractère plan que présenteront les surfaces rabattues, mais sans que le sujet parvienne à les relier en un tout cohérent. Le cas de Agu, qui cherche à dissocier l’aspect qu’auront les surfaces rabattues de leur aspect perspectif sur le volume non encore déplié, est significatif à cet égard. Mais, d’autre part, le second type exprime essentiellement l’action même du sujet, action en cours pour ainsi dire et sans prévision suffisante de son résultat final. Rien n’est plus instructif, à cet égard, que des réactions comme celles de Deg, de Rav, de Vua ou de Ul, qui montrent les projets de mouvements ou les surfaces en voie de rabattement. Autrement dit, le premier type exprime l’action trop vite achevée pour avoir pu être suivie et comprise, d’où l’incoordination des points de vue dont témoigne le développement terminal avec ses rabattements discontinus, et le second type traduit l’action que le sujet cherche à suivre et à comprendre, mais sans pouvoir la dérouler jusqu’à son terme, d’où les développements et rabattements incomplets.

La leçon des comportements de ce niveau III A, comme celle des réactions propres au début de différenciation du sous-stade II B, est donc une fois de plus l’interdépendance [p. 336] des intuitions euclidiennes, relatives aux mouvements, et des intuitions projectives exprimant les points de vue attachés aux positions et transformés par les déplacements. Dans le cas du développement des surfaces aussi clairement que dans celui de la section des volumes (chapitre IX), il apparaît en particulier que la représentation d’un point de vue non encore accessible à la perception (par exemple l’image des surfaces développées ou des plans de sectionnement avant que le volume soit déplié ou coupé) suppose l’intuition de l’action à exécuter, mais que cette intuition implique elle-même en retour celle des divers points de vue coordonnés selon les positions et les mouvements. La perception des diverses faces du volume à développer ne suffit, en effet, nullement à l’imagination de ce développement (et cela est plus significatif que dans le cas des sections, puisqu’ici toutes les données du problème sont perceptibles) et, pour passer de la perception du volume plié à la représentation du volume déplié, il faut à la fois exécuter une action mentalement et coordonner les points de vue en pensée : l’enseignement de ce niveau III A est que ni l’une ni l’autre de ces deux intuitions ne se suffît à elle seule, chacune des deux appelant la seconde à titre d’intuition complémentaire.

Le niveau III B, enfin, marque l’arrivée à la réponse juste, c’est-à-dire l’organisation opératoire des mouvements de rotation constitués par le dépliement des surfaces de l’objet euclidien, la coordination opératoire des rabattements projectifs constitués par la représentation du développement, et la mise en correspondance de ces deux systèmes d’opérations. Voici quelques exemples à commencer par trois cas intermédiaires entre les niveaux III A et III B :

Cham (6 ; 9) regarde le cylindre et dessine sans hésiter un long rectangle développé, avec un cercle attaché à l’un des grands côtés sur la gauche et un autre cercle attaché au côté opposé sur la droite. Le cône déplié est figuré d’emblée comme un grand triangle avec un cercle attaché à sa base, mais Cham dessine encore cette base rectiligne comme au niveau III A (ce qui n’a rien de surprenant à son âge).

Bos (7 ; 7) commence, pour le cylindre, par dessiner un rectangle avec deux cercles indépendants, puis il les fixe à la partie médiane du rectangle, un de chaque côté : « Comment tu le plierais ? — (Montre le bon sens). — C’est exprès que tu as mis les cercles au milieu ? — Oui. — Et si l’un était ici et l’autre là (côtés opposés mais l’un à gauche et l’autre à droite), ça irait ? — Non, les deux ronds doivent être un en face de l’autre. — On ne pourrait pas les mettre n’importe où ? — Ah oui, parce qu’ils sont ronds. — [p. 337] Et les deux du même côté ? — Non, parce qu’il en manquerait un en haut ».

Ben (8 ; 1) commence par dessiner un rectangle en perspective, puis il le sectionne dans le sens de la hauteur par deux traits entre lesquels est censée figurer une fente : « C’est comme ça quand c’est ouvert un tout petit peu » (il représente donc l’action en cours comme au niveau III A, ou même à ses débuts) puis brusquement il dessine un grand rectangle avec un cercle attaché au milieu de chaque long côté, en indiquant le sens exact d’enroulement. Le dessin du cône déplié est d’emblée correct (avec base curviligne du triangle de développement et cercle attaché à cette base).

Mar (9 ; 2), pour le cylindre, dit d’emblée : « C’est un rectangle et deux ronds » et, pour le cône, dessine sans rien dire la figure exacte (avec base curviligne).

Gie (9 ; 8). Cylindre : dessin exact. « Il faut refermer ces deux affaires (les cercles) puis on tourne ce papier autour (bande rectangulaire) ». Cône correct.

On voit assez, à examiner ces découvertes de la solution exacte, en quoi la représentation des rabattements et développements suppose l’intériorisation, sous forme d’intuition imagée, d’actions proprement dites, et non pas seulement d’états perceptifs statiques.

Il est clair, en effet, que l’enfant perçoit de la même manière que nous un cylindre et un cône, indépendamment de l’action d’en développer les surfaces : il les voit comme nous à trois dimensions, en connaît comme nous la base circulaire et le sommet circulaire ou pointu, en perçoit comme nous les surfaces latérales courbes. Ce qu’il ne saisit pas, lorsqu’on lui pose la question du développement, ce ne sont donc pas les formes des surfaces comme telles, mais uniquement leurs déplacements respectifs et leur arrangement sur un seul plan : ce sont ces actions même qu’il n’imagine pas jusqu’au niveau III B, et qu’il parvient enfin à intérioriser opératoirement.

Mais il faut bien comprendre que cette conquête s’appuie elle-même (et réciproquement) sur une coordination des points de vue en dehors de laquelle la représentation de l’action est impossible, puisqu’il s’agit d’une représentation à trois et non pas à une ou deux dimensions. Rabattre la surface courbe du cylindre ou du cône sur le même plan que la base, c’est ainsi passer d’un point de vue à un autre en les différenciant tout en les coordonnant, et nous avons vu, au cours des quatre chapitres précédents, combien cette coordination dépasse la perception. Par conséquent, les actions qu’il s’agit d’intérioriser pour résoudre le problème des rabattements ne consistent pas seulement [p. 338] en actions relatives à l’objet ou au déplacement, mais aussi en actions relatives au sujet et consistant à relier les uns aux autres les divers points de vue et à les mettre en correspondance avec ce point de vue unique qu’est celui du plan de développement.

La question qui se pose alors est de comprendre le mécanisme de l’imagerie mentale ou représentation imitative susceptible de permettre au sujet l’anticipation d’un développement non encore exécuté. À cet égard, l’évolution des réactions précédentes montre assez qu’il ne suffit pas de percevoir les surfaces extérieures du cylindre ou du cône pour les imaginer juxtaposées en plan : la représentation imagée n’est donc pas un prolongement de la perception, mais bien de l’action portant sur l’objet, et les faits des niveaux II B et III A nous montrent même que ce prolongement de l’action consiste en une imitation intériorisée des mouvements, avant de pouvoir devenir une imagination de leurs résultats.

Or, le caractère tardif de cette représentation imitative est d’autant plus curieux que, comme on l’a vu dans les dessins que les sujets nous ont donnés d’un char (et même souvent dans ceux du cylindre non déplié lui-même), les petits emploient spontanément le procédé de « rabattement » (au sens de Luquet), alors qu’ils échouent à imaginer les rabattements géométriques demandés, tandis que les grands, aptes à réussir ces derniers, n’emploient plus de faux-rabattements dans leurs dessins ordinaires. Du point de vue de la technique motrice du dessin les petits eussent donc été fort capables de figurer des rabattements véritables, mais, les faux-rabattements ne résultant nullement d’intuitions euclidiennes ou projectives et exprimant simplement les rapports de voisinage inhérents à l’objet comme tel, il leur manquait précisément le schème imitatif, fourni par les actions directrices appropriées, pour aboutir au rabattement réel ⁴.

Quant à savoir pourquoi le cône et le cylindre sont plus faciles à développer que le cube et le tétraèdre, dont nous allons parler maintenant, c’est probablement que les surfaces cylindriques et coniques (indépendamment des cercles qui ferment les volumes) étant courbes et non pas planes, l’action de les étaler est suggérée par leur courbure même, en opposition [p. 339] avec les côtés plans des cubes et des tétraèdres. En outre, le cylindre et le cône ne comportent que trois éléments ou deux, et non pas six ou quatre comme le cube et le tétraèdre.

Le stade I étant caractérisé par des dessins qui confondent le cercle et le carré en une même surface fermée (voir chapitre II, § 5) il est naturellement inutile de demander aux sujets de ce niveau leur représentation du dépliement des cubes ou des pyramides : au sous-stade II A encore, qui marque le début de la différenciation entre les dessins des volumes non dépliés, la représentation graphique (et mentale) des mêmes volumes dépliés demeure entièrement indifférenciée de celle de ces objets avant tout dépliement. Voici des exemples de ce niveau II A, à commencer par le cas d’un enfant intermédiaire entre les stades I et II :

Amb (5 ; 1) dessine d’abord le « rouleau » servant d’introduction (rectangle enroulé) sous la forme d’un cercle entr’ouvert : « Tu peux le dessiner quand il est tout à fait déroulé (on l’étale) ? — (Il dessine un cercle un peu plus ouvert encore, avec indication de spirale, mais sans reproduire le rectangle : il exprime donc le mouvement comme tel, ce qui serait une réaction du niveau II B, s’il n’avait pas vu au préalable le déroulement du rouleau à titre d’exemple. Quant au cube non déplié il est figuré sous la forme d’un cercle fermé (comme le dessin des carrés du stade I), mais pourvu d’une petite droite tangente en un point du cercle (à mi-chemin entre la partie supérieure et la partie droite) : le cercle exprime le caractère fermé et global du cube et la tangente le papier qui en colle deux des côtés. Prié de représenter le cube déplié et rabattu sur la table, il dessine alors un cercle simple, mais plus petit et sans le papier, indiquant par là que le cube est déplié.

Cheu (5 ; 11) dessine la pyramide pliée comme un rectangle, et dépliée comme un rectangle également.

Ul (6 ; 1) dessine la pyramide comme un triangle et lui maintient la même forme pour représenter son dépliement, mais en plus petit (selon le même principe de rapetissement que Amb pour le cube). Le cube est représenté par un carré, déplié comme non déplié (mais de mêmes dimensions dans les deux cas).

Il est inutile de multiplier ces exemples qui sont entièrement parallèles à ceux du même niveau examinés à propos du cylindre et du cône : tout en comprenant bien qu’il s’agit de déplier le volume et de dessiner la surface de développement (comme il vient de le voir à propos du « toit » et du « tunnel » ou du « rouleau » servant d’exemples préalables : voir Amb), l’enfant représente cependant cette surface comme ayant la même forme que celle du volume non déplié. Mais il convient [p. 340] maintenant de relever un trait commun à toutes ces représentations de la surface dépliée, sur lequel nous n’avons pas insisté au § 2 : c’est la fréquence avec laquelle les sujets de ce niveau II A figurent la surface dépliée comme plus petite (tout en ayant la même forme) que le volume non déplié. Pour le cône déjà, Bu (§ 2) disait par exemple (il sert comme ça (même forme) puis plus petite… parce qu’il sera déplié ». Nous venons de retrouver la même réaction chez Amb pour le cube et chez Ul pour le tétraèdre. Or, on en comprend immédiatement le principe : puisqu’on étant développées et rabattues sur un plan, les surfaces de l’objet cessent d’entourer un volume et perdent ainsi l’une de leurs dimensions, la transformation du volume en une surface unique apparaît au sujet comme un rapetissement. Cette réaction suggestive prouve donc à la fois que l’enfant saisit la question, puisqu’il s’attend à ce que le développement aboutisse à une seule surface plane, et qu’il ne peut se détacher du point de vue du volume non déplié, puisqu’il réduit cette surface à une image rapetissée du volume total !

Au niveau II B, par contre, on assiste au début de différenciation habituel :

Cat (5 ; 3) dessine la pyramide pliée comme un carré surmonté d’un triangle, et, dépliée, comme un carré surmonté d’un cercle. Ce dernier est expliqué comme suit : « C’est là où on le déroule ».

Laz (5 ; 11) dessine le cube comme un carré mais également sous forme d’un angle aigu pour indiquer « les pointes-là (= les coins) ». Le cube déplié est par contre figuré comme un rectangle donc agrandi par rapport au cube non déplié. Le tétraèdre est figuré, d’autre part, comme un triangle et son dépliement comme un rectangle coupé par une ligne oblique : « c’est qu’on y plie ».

Bur (6 ; 2) dessine le cube comme « un carré. — On a pris un morceau de papier tout plat pour faire ce plot. Peux-tu me dessiner ce papier ? — (Il dessine un grand carré). — Peux-tu faire avec ça un plot comme ça ? — Oui (on découpe son carré et il essaie de le plier pour refaire le plot). Ça ne va pas. Il en faudrait plusieurs. — Combien ? — (Il manipule le cube). Un là, un là… six (il dessine six carrés disjoints). — (On lui montre alors que les six côtés ne sont pas collés mais pliés). Veux-tu dessiner le grand papier qu’on a plié pour faire ce plot ? — (Il dessine un grand carré). — Et les plis ? — (Il borde alors le carré de petites marges figurant les côtés à relever et constituant ainsi de longs rectangles étroits). — Veux-tu essayer de le plier (on découpe son dessin et on le lui donne) ? — Cela ne fait pas la même chose. C’est trop haut (le cube). Il faudrait des couvercles. — Tiens, alors recommence avec un seul papier. — (Il redessine un carré, mais le partage cette fois en neuf parties à peu près égales) ».

[p. 341]Lus (6 ; 2) dessine la pyramide pliée comme un triangle et, dépliée, comme un grand carré. Le cube est dessiné comme un carré et son dépliement est représenté par un carré un peu plus grand et partagé en quatre petits carrés égaux.

Comme dans le cas des cônes et des cylindres, ce niveau II B marque simplement une esquisse de différenciation entre le dessin des volumes pliés et celui des surfaces développées. Ce second dessin est en général plus grand que le premier, ce qui constitue un progrès sensible sur le sous-stade II A, mais la forme même de la surface dépliée est, ou bien semblable à celle du volume plié ou bien différente mais exprimant surtout une extension indéterminée du nombre de ses éléments ou l’esquisse d’un pli ou d’un mouvement (le cercle de Cat : « c’est là qu’on déroule »). À cet égard l’un des dessins de Bur figure un mouvement de relèvement des bords du cube (et constitue déjà presque un dessin du sous-stade III A), tandis que les autres dessins expriment l’extension du nombre des éléments : carrés disjoints ou juxtaposés.

Le stade III, par contre, est caractérisé par la compréhension progressive de l’opération même de développement et de rabattement. Au niveau III A, on retrouve les deux types de réactions déjà distingués à propos du cylindre et du cône : la représentation d’une simple phase du développement et non pas de la phase terminale, et le rabattement incomplet des faces latérales avec simple esquisse de l’action. Voici des exemples du premier type :

Pil (7 ; 2) : « Comment appelles-tu ça (le cube) ? — Un carré. — Dessine-le tout déplié. — (Il dessine un long rectangle). — On plie où ? — On fait comme ça, on y lève là (montre les petits côtés du rectangle) et on plie dessus. Et là (grand côté) je ne sais pas comment on y fait ».

Ag (8 ; 0) dessine le cube non déplié comme un carré. Déplié, il le représente sous la forme de deux longs rectangles. « J’en ai fait deux. Un papier fait le tour comme ça (il montre trois faces successives du cube) et l’autre le tour comme ça (il montre les trois autres faces). — Dessine-moi encore les plis. — Je ne peux pas. — Tu peux faire un nouveau dessin, si tu veux. — (Ag dessine alors trois carrés accolés en une suite disposée horizontalement et trois autres en une suite verticale). On les fait en bas ceux-là (les trois derniers). — Tu vois qu’on peut mettre les deux morceaux ensemble ? — (Il les accole en un T) ».

Gua (8 ; 8) dessine le cube déplié comme un grand carré à chaque angle duquel se trouve attaché un petit carré (environ neuf fois plus petit que le grand). Pour le tétraèdre, il dessine un long rectangle à l’intérieur duquel sont dessinés des traits obliques [p. 342] représentants les arêtes, puis un grand triangle au centre de la partie inférieure duquel figure un petit triangle, le reste de la surface étant sectionné par deux lignes obliques : il s’ensuit ainsi quatre triangles inscrits dans le grand, dont trois incomplets et un complet, c’est-à-dire une simple indication des quatre faces triangulaires.

Blan (9 ; 5) commence, pour le tétraèdre, par dessiner un simple triangle, puis le sectionne par une bissectrice et le complète par un triangle symétrique en dessus, également coupé en deux, ce qui donne en fin de compte un losange et ses deux diagonales. « Comme ça, ça ira (on le lui découpe et il essaie de le plier). Ah non, ça ne se plie pas bien. » Il le coupe en deux triangles mais ne réussit pas mieux. Il dessine alors des triangles séparés : « Il en faut trois ou quatre ».

Quant au deuxième type, il est donc, lui aussi, parallèle à l’un des deux types de réactions du niveau III A observés à propos du cylindre et du cône, mais il se présente sous une forme encore plus frappante dans le cas du cube et du tétraèdre. Au lieu de représenter une phase incomplète du dépliement, le sujet cherche à figurer l’action même de déplier. Seulement, comme on ne peut pas exprimer par une figure une opération pure, qui est le passage d’un état à un autre (et qui dépasse ainsi les limites de l’intuition imagée) l’enfant s’en tire par une sorte de représentation symbolique, en dessinant les côtés à moitié dépliés et rabattus, mais sans atteindre le terme même de ces actions :

Spu (7 ; 6) commence par dessiner un simple carré pour figurer le cube déplié, puis il rajoute trois côtés mais étroits, en forme de trapézoïdes et comme vus en perspective. « Si je te découpe ça, on fera une boîte avec ? — Oui (on découpe son dessin et il le plie en regardant le cube. Il paraît désolé que cela ne marche pas). — Tiens (le modèle à manipuler). Recommence. — (Il entr’ouvre le cube, puis dessine un carré et, en regardant constamment le modèle, il lui ajoute quatre côtés, mais de nouveau étroits et comme entr’ouverts au lieu d’être rabattus) ». Parmi les dessins tout préparés il choisit d’abord la croix à cinq carrés, puis parvient au choix du dessin correct.

Des (8 ; 6) dessine d’abord un simple carré, et dit : « Là, je ferai une autre feuille (= un autre côté), là aussi, là aussi, etc. » et il ajoute autour du carré quatre côtés à demi ouverts, vus en perspective puis finit par rajouter un grand carré collé à l’un de ces côtés, pour faire la sixième face. Le dessin représente donc exactement le cube entr’ouvert avec couvercles rabattus. — Parmi les modèles à choix il retient d’abord une croix formée de sept carrés.

Pour le tétraèdre, il commence par dessiner comme au niveau II B un grand losange sectionné en deux triangles, mais il rajoute [p. 343] sur les côtés du triangle inférieur deux triangles étroits vus en perspective : « On ne voit pas très bien parce que c’est caché ». On demande le rabattement complet mais il refait un dessin analogue.

Blon (8 ; 10) commence par dessiner un carré simple, puis un carré sectionné en quatre : « Que veux-tu faire ? — J’essaie, puis je regarde. — C’est juste ? — Non, parce qu’à la place d’être couchés ils sont tous debout (il les voit donc comme des côtés en place). Ça (premier quart) c’est dessus, ça (deuxième quart) c’est dessous, ça devant et ça derrière (les deux derniers quarts). Il faut faire encore un carré (il dessine un cinquième carré à part). — Ça ferait toute la boîte, ça ? — Non, je ne sais pas comment il faut faire (il dessine alors un cube en perspective, avec un côté à demi ouvert, comme en voie d’être rabattu !). — Ça ferait une boîte, si on découpe ça ? — Non, parce que les carrés sont un peu faux (ce sont tous des faces vues en perspective). Je veux essayer (il fait un carré plein, auquel il superpose un carré en perspective, puis il ajoute des rectangles pour le dessous et les côtés, donc intermédiaires entre les carrés en perspective et les carrés rabattus !). Je veux plier ici. Non, c’est faux, c’est trop mince (parce qu’à demi en perspective) ».

Schnei (8 ; 6) dessine la pyramide dépliée sous la forme d’un losange découpé en trois triangles et du sommet duquel partent un certain nombre de lignes décrivant des angles aigus (ces lignes exprimant les actions esquissées de dépliement). Ensuite il traduit le dépliement par deux losanges croisés figurant les côtés rabattus, puis par un grand triangle entouré de triangles plus étroits représentant les côtés comme en perspective ou en voie de rabattement.

Valo (9 ; 6) dessine un carré, puis un cube en perspective. « Si on le découpe on arrivera à faire cette boîte ? — Oh oui (il essaie, déplie, replie, sans comprendre que les éléments d’une figure en perspective ne donneront jamais un cube !) — Tu crois que tu arriveras ? — Oui, il faut essayer (il recommence à plier). Non (il se mord les lèvres et dessine à nouveau un carré simple, puis un cube en perspective mais avec un côté à moitié ouvert, comme un volet ; après quoi il découpe, et essaie de plier). Il manque quelque chose ! » Enfin il dessine comme une boîte ouverte, puis renonce. Quant au tétraèdre déplié, il est dessiné comme quatre angles réunis en une sorte de losange, mais avec discontinuité au milieu de chacun des côtés du losange, pour figurer les côtés de la pyramide à demi-rabattus, dessinés en perspective et sans articulation intérieure de la figure.

Laz (9 ; 6) pour le tétraèdre, procède également par esquisse de dépliement, sans développement complet : il dessine un grand carré avec ses diagonales, mais celles-ci étant interrompues au centre, ce qui revient à indiquer quatre triangles sans leur sommet, comme s’il y avait demi-dépliement ou comme si la pyramide était simplement entr’ouverte.

[p. 344] Ces réactions intermédiaires de l’un et l’autre type sont donc encore plus nettes dans le cas du cube et du tétraèdre que dans celui du cylindre et du cône, et méritent ainsi un examen attentif, car elles sont particulièrement instructives quant au mécanisme de l’imagination du dépliement et de l’intuition représentative en général.

Comme nous l’avons vu à propos du cylindre et du cône, les sujets du sous-stade III A ou bien se représentent une phase statique et incomplète de l’action de déplier, faute de pouvoir suivre celle-ci en pensée dans son ensemble, ou bien essaient de la suivre dans son dynamisme opératoire, mais en demeurent alors à l’imagination de l’action à son début, consistant à entr’ouvrir sans plus le volume plié sans parvenir à anticiper la suite. Le premier type se réduit donc à une anticipation trop rapide du résultat du dépliement, telle que, celui-ci n’étant pas imaginé dans le détail, seuls certains aspects en sont représentés : ainsi Pil voit le cube déplié sous la forme d’un et Ag de deux longs rectangles, et Blan le tétraèdre sous la forme d’un losange, etc., ce qui constitue bien des images de développements proprement dits (contrairement aux débuts de différenciation du niveau II B), mais incomplètes parce que relatives à certaines phases seulement des opérations à exécuter. Le second type de réactions porte au contraire sur l’opération elle-même, dans sa continuité effective, mais sous une forme qui traduit de la manière la plus suggestive la filiation entre cette opération et les actions matérielles.

En effet, les dessins du deuxième type figurent encore l’objet à déplier entier, comme au cours du stade II, mais vu en perspective et entr’ouvert, comme pour indiquer le dépliement réel en cours. Seulement ce dépliage, quoique ainsi exprimé de la façon la plus concrète en son point de départ, n’est pas encore imaginé jusqu’à son terme, ni même en ses phases succédant immédiatement à celle de l’amorçage. Ayant dessiné les différentes faces dépliables, dont une ou deux entr’ouvertes, le sujet croit, en effet pouvoir, en découpant ce dessin même, le déplier et le replier, et il est tout étonné de son échec (par exemple Valo croit que les éléments d’un cube dessiné en perspective peuvent être pliés de manière à reconstituer sans plus le cube réel). Il croit surtout qu’ayant dessiné l’esquisse d’un dépliage, ce dessin va l’aider à trouver la suite — ce qui serait apparemment très naturel — mais, en réalité, le dessin ne représente encore qu’un dépliement symbolique et l’enfant ne parvient pas à imaginer sous forme de rabattements complets, les conséquences les plus directes de l’action ainsi [p. 345] symbolisée. Pourquoi donc en est-il ainsi et comment expliquer que la représentation exacte du début d’un acte ne conduise pas à celle de sa continuation ? Et surtout, comment interpréter cette difficulté, alors que l’action à imaginer est celle du rabattement, dont les dessins spontanés des petits semblent donner tant d’exemples au premier abord comparables ?

C’est ici que nous saisissons le mieux la différence entre une action simple et une opération, telles que le dépliage empirique, d’une part, ou le rabattement et le développement opératoire, d’autre part. Une action simple peut être exécutée indépendamment de toute coordination avec d’autres, et, une fois accomplie, elle peut être reproduite en pensée sous la forme d’une représentation imitative ou intuition imagée. Mais, avant d’avoir été effectuée en réalité, elle ne peut pas être imaginée, comme nous l’avons vu sans cesse au cours du stade II ; quant aux sujets de ce niveau III A, qui marquent en ce domaine le passage de l’action à l’opération (bien que possédant en d’autres domaines des systèmes d’opérations déjà achevés), ils arrivent tout juste à évoquer les débuts de l’action (second type) ou certains de ses résultats (premier type), mais nullement encore son déroulement complet. L’opération, au contraire, est un système d’actions coordonnées entre elles de façon transitive et réversible, etc, de telle sorte qu’un seul rabattement (celui, par exemple, de l’une des faces du cube), ou le développement des surfaces d’un seul objet à trois dimensions, suppose en réalité une coordination d’ensemble des multiples points de vue projectifs possibles sur cet objet et, corrélativement, une structuration euclidienne de l’espace selon un système de coordonnées. Autrement dit, les opérations supposent un système d’ensemble, tandis que l’action simple le précède ; mais elle y conduit, et, pour passer de l’action à l’opération, il suffit d’une coordination progressive des actions. Le niveau III A est donc caractérisé par le début de cette coordination, mais tant le premier que le second types de réactions en marquent les limites, le sujet parvenant, soit à dérouler en pensée certaines parties de l’objet plié, soit à imaginer le début du dépliement de toutes les parties, mais, sans conduire à leur achèvement, ni l’un ni l’autre de ces procédés centripètes (partant du résultat de l’action) ou centrifuges (partant de l’action même) : dans les deux cas, en bref, s’il ne parvient pas à imaginer correctement les résultats des actions esquissées, c’est faute de pouvoir les appuyer les unes sur les autres en un système coordonnant tous les points de vue en jeu, au lieu d’analyser ceux-ci isolément.

[p. 346] Quant aux réponses justes, elles sont fournies dans la moyenne des cas au cours du sous-stade III B pour ce qui est du cube, et au cours du stade IV pour ce qui est du tétraèdre. Mais, dans le cas du cube on trouve parfois dès 6 ans et demi à 7 ans, c’est-à-dire dès les débuts du palier III A, des sujets exceptionnels qui, à cause, soit d’aptitudes particulières, soit d’habitudes scolaires (pliage, construction, etc.), trouvent la solution exacte. Il en est de même, mais plus rarement, pour les pyramides dès le niveau III B. Voici quelques exemples de ces réactions correctes :

Cham (6 ; 9), dont on a vu déjà la solution juste relative au cylindre et au cube : « C’est dur, avec ça, on ne voit pas comment il est fait !… — Essaie quand même, veux-tu ? — Oui, ça y est, j’ai une idée (il dessine un long rectangle, qu’il divise en quatre carrés). C’est le tour et puis il faut encore ça et ça (il rajoute deux carrés de chaque côté de l’avant-dernier, ce qui donne une figure exacte). — Comment vas-tu plier ? — On lève ça (les quatre carrés entourant la base) puis on met ce bout dessus ».

Ter (6 ; 10) de même dessine d’abord quatre carrés successifs, en disant : « Quand il est plat il y a alors quatre carrés (les côtés), mais il y en a encore un pour dessus et un pour dessous (qu’il rajoute) ».

Rue (7 ; 7) après avoir déplié et dessiné le « toit », regarde un instant le cube, puis sans l’examiner davantage et sans dire un mot, fournit du premier coup le dessin correct et complet du dépliement.

Eber (8 ; 2) débute, comme au niveau III A (deuxième type), par un carré formant la base du cube entouré de quatre côtés entr’ouverts, vus de dessus en perspective, puis il dessine un sixième carré, pour le sommet, étalé et entièrement rabattu. Après quoi il parvient au dessin du dépliement complet.

Ben (8 ; 2) dessine comme Ter quatre carrés successifs et juxtaposés : « Ça c’est les quatre côtés et puis ça (deux carrés de chaque côté de l’avant-dernier) c’est le dessus et le dessous ». On présente ensuite une pyramide à quatre côtés triangulaires et à base carrée : « Il faut que je réfléchisse. La chose là, c’est le parterre (il dessine un carré) et ça les côtés (il met un triangle sur le carré puis dessine trois autres triangles accolés au premier, en éventail, et de plus en plus étroits). — Il est exprès plus mince, celui-là (le dernier) ? — Oui, parce qu’on le voit plus loin (il confond donc la perspective avec le rabattement du côté situé en arrière) ».

Rey (9 ; 2) réussit du premier coup le dessin du cube déplié mais représente la pyramide de la même manière que Ben (réaction résiduelle du niveau III A, par confusion du rabattement et du dessin en perspective) et avec, en outre, les bords inférieurs des côtés triangulaires dessinés intentionnellement « courbes » pour marquer leur fermeture cyclique lorsque l’objet n’est pas déplié.

[p. 347]Bers (10 ; 9) dessine d’emblée correctement le cube déplié, mais représente le tétraèdre à quatre côtés triangulaires (la base sous la forme de trois triangles en éventail dont les deux extrêmes plus étroits que le médian).

Ali (11 ; 0) réussit d’emblée le cube mais représente le tétraèdre sous la forme de quatre triangles en éventail. Il découpe son dessin et essaie de le plier, sans comprendre la raison de l’échec.

Voici enfin des exemples de sujets du stade IV réussissant immédiatement, ou après quelques tâtonnements, le dessin du tétraèdre déplié :

Mun (12 ; 10) commence par dessiner un carré avec ses diagonales, d’où quatre triangles qu’il essaie de plier : « Ça ne va pas. Je ne comprends pas bien ». Il essaie alors d’un losange coupé en quatre, puis retourne en tous sens le tétraèdre et dessine enfin quatre triangles dont trois entourant celui qui constitue la base.

Müh (11 ; 5) dessine d’abord deux triangles accolés avec un angle commun rentrant, puis inscrit un petit triangle au centre et annonce qu’il suffit alors de relever les trois angles sortant pour obtenir le tétraèdre, ce qui est exact.

Chev (12 ; 0), Frei (12 ; 5), etc. : dessins d’emblée corrects.

Tel est, avec un léger décalage entre le tétraèdre et le cube, l’achèvement de l’évolution dont on a vu la complexité des étapes successives. Comment expliquer la difficulté surprenante de ces solutions si simples, dont l’âge moyen correspond donc aux niveaux III B et même IV ? C’est ce que seule permet d’établir une vue d’ensemble sur les résultats obtenus, dont nous allons chercher à résumer l’essentiel à titre de conclusion.

La première grande leçon des faits qui précèdent (leçon encore plus claire dans le cas du cube et du tétraèdre que dans ceux du cylindre et du cône) est qu’il ne suffit pas de percevoir correctement un objet à trois dimensions, ni de prolonger cette perception en une image adéquate de l’objet non déplié, pour parvenir à imaginer le rabattement correct des côtés de cet objet. En d’autres termes, l’intuition d’une figure développée n’est pas un produit de la simple perception : la perception des six faces carrées d’un cube ne suffit pas à engendrer l’image de ces six côtés rabattus sur un même plan. Ce qui intervient dans l’image du développement, en plus de la perception du volume non déplié, c’est une action, donc une modification motrice de la perception, et c’est même [p. 348] l’anticipation représentative d’une action non exécutée, donc le passage d’un état perceptif à un état perceptible, mais non encore perçu. C’est précisément de cet état perceptible que les sujets des niveaux III B et IV ont l’intuition, c’est-à-dire la représentation imagée, tandis qu’elle manque totalement au début de cette évolution, jusqu’au niveau II A inclusivement. En regardant le cube, par exemple, les sujets du sous-stade II A ne voient encore qu’un objet plié sans savoir comment le déplier mentalement. Entre ce niveau initial et la réussite de l’anticipation interviennent une série de processus qui expliquent le passage de la simple intuition perceptive de départ à la représentation des états perceptibles futurs, et ce passage, qui implique entre autres celui de l’action simple aux opérations coordonnées entre elles, est à la fois révélateur de la nature de l’intuition imagée et de celle des opérations projectives en général.

Du premier de ces deux points de vue, les faits observés en ce chapitre démontrent, une fois de plus, que l’image est une imitation intériorisée, c’est-à-dire qu’elle constitue un décalque, non pas de l’objet lui-même, mais des accommodations propres à l’action qui porte sur l’objet. Ce que l’image fournit en plus de la perception, c’est donc un schème d’action : c’est pourquoi elle est à la fois moins vivante que la perception, mais plus mobile et parfois plus riche (dans le cas de l’intuition géométrique, précisément). À cet égard, on peut distinguer dans les faits qui précèdent trois catégories successives de représentations imagées.

Il y a d’abord l’image mentale de l’objet lui-même : lorsqu’au niveau II A le sujet, pour figurer le volume déplié, se borne à représenter l’objet entier et plié, mais en plus petit, etc. il est clair qu’il possède une image de cet objet, par opposition à celles de ses côtés rabattus ou de l’action même de dépliement. Or, quoique statique ou portant sur l’objet comme tel, et non pas sur ses transformations, cette image de la première catégorie est déjà un schème d’action : elle est le prolongement imitatif des mouvements inhérents à l’activité perceptive (par opposition à la perception passive), etc., il suffit, pour le prouver, de se rappeler que le schème perceptif et imagé d’une droite suppose une activité du sujet (activité de parcours ou de mise en relation, etc.), puisqu’il n’existe pas de droite dans les objets physiques.

L’image de la seconde catégorie est celle qui débute au niveau II B et se développe au niveau III A : au lieu de figurer sans plus l’objet lui-même indépendamment de ses transformations, [p. 349] elle exprime l’action exercée sur les objets, en l’une de ses phases ou l’un de ses résultats : qu’il s’agisse simplement du trait ou de la surface non fermée qui, au niveau II B, traduisent l’ébauche du dépliement, ou des objets entr’ouverts et des rabattements incomplets du niveau III A, l’image dépasse, en effet, dorénavant les données perceptives caractérisant l’objet statique, pour anticiper le résultat de transformations. Seulement, le grand intérêt de ces images de seconde catégorie est qu’elles échouent précisément à assurer cette anticipation de façon complète et exacte : tout en constituant, ou plutôt parce que constituant une imitation des actions mêmes de déplier et de rabattre, ces images ne parviennent qu’à peine à devancer de telles actions, c’est-à-dire que l’action ne peut être imaginée de façon adéquate en ses résultats avant d’avoir été exécutée réellement.

La constatation de ces limites de l’intuition imagée, lorsque l’image n’est point encore attachée à un système achevé d’opérations, est sans doute l’un des résultats les plus frappants de ce chapitre (en liaison d’ailleurs avec tout ce que nous avons vu à propos des sections, des projections et des perspectives). Il ne suffit pas, pour expliquer ces limites, de dire que l’image, tout en procédant d’une imitation motrice, ne représente jamais que des états et non pas des actes, ceux-ci n’étant figurables que par une succession d’images statiques : une fois les opérations construites, l’imagerie en symbolise les produits d’une façon suffisamment mobile pour pouvoir les anticiper sans que ces opérations aient été elles-mêmes effectuées matériellement. Si l’image de seconde catégorie ne parvient pas à représenter les résultats d’une action avant que celle-ci ait été exécutée, c’est donc qu’il s’agit encore d’actions simples, ou en voie d’articulation, mais n’ayant point atteint le niveau des opérations groupées en systèmes achevés.

Et, effectivement, l’imagerie propre au niveau III A (qui marque le passage de l’action à l’opération) dénote de la façon la plus claire cette incoordination relative des actions non encore complètement transformées en opérations (actions dont les images de seconde catégorie constituent précisément l’imitation intériorisée) : ou bien, en effet, les sujets du niveau III A imaginent certains rabattements, mais ceux-ci demeurent incomplets faute d’un ordre introduit entre les actions successives ainsi imaginées, ou bien les sujets conservent l’ordre, les voisinages, etc. entre les éléments du volume à déplier, mais ils ne peuvent alors pousser les actions à fond, et se contentent d’imaginer l’objet entier entr’ouvert et non pas déplié complètement. [p. 350] L’image, en ces deux cas, ne parvient donc pas à devancer les actions, parce qu’il s’agit d’actions incoordonnées entre elles et non encore d’opérations.

Avec le niveau III B enfin, apparaît une imagerie de troisième catégorie, susceptible de fournir par anticipation la représentation du résultat d’actions non encore exécutées : imagerie mobile et active, portant donc sur les transformations de l’objet, ou plutôt sur leur produit, mais sans échecs ni limitations comme dans la catégorie précédente. C’est cette imagerie plastique que les géomètres appellent intuition de l’espace, lorsque cette intuition devient rationnelle et dépasse le sensible, par opposition aux formes élémentaires auxquelles nous avons réservé le qualificatif d’intuition préopératoire. Aussi bien cette imagerie de troisième espèce ne se constitue-t-elle qu’en connexion étroite avec les systèmes d’opérations achevées : l’image de cette catégorie n’est plus le soutien nécessaire du raisonnement, comme celles des catégories précédentes, car les actions qu’elle exprime transcendent dorénavant leur réalisation sensible, et ne consistent plus qu’en transformations groupées en compositions indéfinies, transitives et réversibles. En d’autres termes, l’image de troisième espèce n’est plus que le symbole de l’opération, symbole imitatif comme les précédents, mais symbole sans cesse dépassé par le dynamisme des transformations dont il exprime seulement certains états momentanés à titre de simples références ou d’allusions symboliques.

D’où le second problème rencontré sans cesse au cours de ces pages : comment expliquer le passage de l’action à l’opération et en quoi consistent ces relations entre les opérations projectives et les opérations euclidiennes correspondantes ? Comme nous l’avait déjà montré l’étude des sections, des projections et des perspectives, l’analyse des développements et des rabattements conduit de façon évidente aux deux conclusions suivantes : une opération diffère d’une action isolée en ce qu’elle implique la coordination d’ensemble d’actions différenciées, et les opérations projectives consistent en coordinations de points de vue, corrélatives aux coordinations de mouvements c’est-à-dire aux opérations euclidiennes structurées par leurs systèmes propres de coordonnées.

En quoi, en effet, ces opérations assurant la solution correcte des problèmes de développement et de rabattement, aux niveaux III B et IV, diffèrent-elles des ébauches de dépliements caractéristiques du sous-stade III A ? Lorsque l’enfant du niveau III A échoue à développer la surface d’un cube, il [p. 351] connaît cependant les six côtés de ce dernier, mais à titre de points de vue successifs : ou bien il manipule le cube et en regarde chaque face alternativement, ou bien il contemple l’objet entier vu sous un certain angle, mais, dans aucun de ces deux cas, il ne coordonne entre eux des points de vue différenciés. Développer la surface consiste au contraire à envisager chacune des six faces selon six points de vue distincts, et à coordonner ensuite ces derniers en une totalité unique, déterminée par le plan comprenant l’un des six côtés. Une telle opération suppose donc, en tout (pour les surfaces dites « développables ») ou en partie (pour le cube et le tétraèdre), la conservation des rapports topologiques de voisinage et de séparation, d’ordre et d’enveloppement, ainsi que de continuité, mais avec, en plus, une subordination de ces rapports à un système de « points de vue » à la fois différenciés et coordonnés entre eux. On comprend donc pourquoi les actions isolées de dépliement et les points de vue particuliers attachés à chacune d’entre elles (et symbolisés par les images) ne suffisent point à résoudre les questions de développement, mais on saisit en retour comment la coordination de ces actions selon un système de composition réversible les transforme en opérations.

Or, dans le cas du développement et du rabattement, comme dans celui des sections, des projections et des perspectives, il est clair que ces opérations se présentent sous deux aspects corrélatifs. D’une part, il s’agit de mouvements imprimés à l’objet ou de mouvements décrits par le sujet autour de l’objet, c’est-à-dire d’opérations euclidiennes dont la coordination suppose la construction d’un système de « coordonnées ». Mais, d’autre part, et en connexion si étroite avec ce premier aspect que le second ne saurait être dit ni antérieur ni postérieur à lui, il s’agit de « points de vue » liés à la position de l’observateur ou aux positions des objets, par rapport aux plans considérés, et c’est la coordination de ces points de vue qui constitue les opérations projectives.

Au total, l’étude des développements et rabattements confirme et précise les résultats de l’analyse des autres notions projectives et met en évidence à la fois l’indépendance du système qu’elles constituent en leur ensemble dans le développement de l’espace enfantin, et leur corrélation par rapport au système des notions euclidiennes. Nous avons ainsi terminé la description des principales relations projectives en jeu dans la géométrie spontanée de l’enfant. Il nous reste maintenant à examiner le passage de l’espace projectif à l’espace euclidien lui-même.