Chapitre IV.
Les nœuds et les rapports d’enveloppement ^{1 a} 🔗

La technique adoptée est extrêmement simple. 1. On présente d’abord un nœud ordinaire serré en demandant ce que c’est (fig. 11) (pour s’assurer de la compréhension du terme) et surtout en priant le sujet d’en refaire un pareil. 1 bis. Si l’enfant ne sait pas faire de nœuds, on cherche à étudier son apprentissage en le priant d’en confectionner un autour d’une tige épaisse ou d’une bobine. Si le sujet ne réussit pas après quelques tâtonnements on fait un nœud très lentement, sous ses yeux, en lui demandant d’imiter l’action perçue. S’il y a encore échec, on présente une cordelette à deux couleurs (une moitié rouge et l’autre bleue) en expliquant le procédé sous forme d’histoire (« le rouge passe dessous, dessus, dedans », etc.) au fur et à mesure du déroulement de l’action, et le sujet est à nouveau prié d’imiter. 2. Le nœud une fois confectionné, on montre ensuite un même nœud, mais légèrement desserré, c’est-à-dire agrandi (fig. 11), et l’on demande s’il est pareil à celui d’avant. Le sujet le refait également et on demande à nouveau s’il est semblable au premier, s’« il a été fait comme celui d’avant », etc. On établit en outre si l’enfant comprend ce qui résultera du fait de tirer sur les deux extrémités de ce nœud relâché. 3. On agrandit encore le même nœud, de telle sorte que les deux ailes, ou demi-boucles, soient bien visibles et présentent la configuration classique sous laquelle on figure le « trèfle » dans les ouvrages géométriques (fig. 12). On repose alors les mêmes questions. Il s’agit donc essentiellement, jusqu’ici, de voir si le sujet comprend la continuité entre les formes perceptives (1), (2) et (3). 4. On présente un « trèfle à gauche » (fig. 12) et un « trèfle à droite » (fig. 13) en demandant au sujet si ces nœuds sont pareils. Le jugement de l’enfant peut être simplement visuel ou se fonder sur un mouvement de doigt suivant le cordon d’une extrémité à l’autre. On peut même préciser les choses en enfilant une perle autour du cordon et en demandant le trajet qu’elle suivra d’une extrémité à l’autre, ou encore en comparant le cordon à un long tuyau à l’intérieur duquel circulerait une fourmi d’un bout à l’autre. Si l’enfant ne voit toujours pas la différence des deux nœuds, on le prie de pousser la perle d’un bout à l’autre ou de suivre le cordon du doigt, ou de refaire les nœuds. 4 bis. Il est [p. 132] intéressant de faire dessiner ces nœuds, et chacun des précédents, malgré l’incapacité où se trouve l’enfant d’indiquer sur un dessin si un segment de cordon passe sur ou sous un autre. 5. On fait comparer, par des procédés analogues, un vrai et un faux trèfles (le faux trèfle étant un faux nœud homéomorphe au cercle lorsque les extrémités du cordon se rejoignent, voir fig. 14).

6. On présente de même ce que nous appellerons pour abréger un vrai et un faux 8, le « faux 8 » étant un trèfle simple dont les extrémités se rejoignent et disposé de telle façon que le nœud sépare deux boucles de même apparence perceptive (fig. 16). Le « vrai 8 » est homéomorphe au cercle (fig. 15). 7. On montre également aux petits deux paires de cercles (en cordon), les uns superposés, les autres enlacés (fig. 17), en demandant ce qui se passera si l’on tire sur les deux côtés opposés (les premiers se séparant en ce cas et les seconds demeurant naturellement enlacés). Ces quelques questions ont [p. 133] donné lieu à des réactions qui se laissent sérier selon les trois mêmes stades que précédemment :

Un stade I, antérieur à 4 ans, est occupé par l’apprentissage des nœuds simples. En moyenne, dans les milieux sociaux propres à nos sujets, la confection d’un nœud est acquise vers 4 ans, mais il est naturellement intéressant d’examiner déjà auparavant comment l’enfant s’y prend pour copier les nœuds qu’on lui présente en modèle, un nœud étant à cet égard assimilable aux dessins du chapitre II ou à la rangée ordonnée du chapitre III. On constate alors qu’au cours d’un sous-stade I A l’enfant, malgré l’exemple perceptif et l’explication verbale, ne parvient pas à imiter le nœud, faute de comprendre l’enlacement : ou bien il roule une extrémité du cordon autour de l’autre, mais sans parvenir à en enfiler une dans la boucle, ou bien il enfile une extrémité dans une demi-boucle ⁵ sans superpositions, l’enveloppement étant ainsi manqué dans les deux cas. Au cours du sous-stade I B, l’apprentissage réussit, mais le sujet ne parvient pas à suivre du doigt les segments d’un nœud distendu, ni à distinguer les faux nœuds des vrais. Au stade II l’enfant sait donc reproduire un nœud simple et serré (1) par compréhension de l’enlacement et distinction des boucles et des demi-boucles sans superposition. Mais au niveau II A il ne reconnaît pas comme pareil à ce premier modèle le même nœud agrandi (2) ni surtout disposé en forme de trèfle (3). Il ne distingue pas non plus, à simple inspection visuelle, un faux nœud d’un vrai. Il y a donc, à ce niveau, simple correspondance intuitive entre un nœud serré et un autre, ou entre un nœud desserré et un autre, mais pas de conservation de la correspondance en cas de transformation, même légère, par étirement ou resserrement de l’un de ces deux nœuds, pourtant homéomorphes.

Au cours d’un sous-stade II B, le sujet reconnaît l’homéomorphie du nœud serré (1), et du nœud agrandi (2) mais non plus lorsqu’il est disposé en trèfle ; en outre, le sujet ne distingue pas encore, à simple inspection, les vrais des faux nœuds. Il est, par contre, capable, sitôt qu’il assimile les uns aux autres les nœuds serrés et agrandis, de suivre le cordon de façon continue, tandis qu’au niveau II A il saute d’une boucle à l’autre.

Après un niveau intermédiaire entre le sous-stade II B et le stade III, niveau où les réponses justes sont données après tâtonnements, le stade III (qui débute vers 7 ans ou 7 ; 6) [p. 134] est caractérisé par la généralisation de la correspondance entre les nœuds (1), (2) et (3), qui devient ainsi réversible, donc opératoire. Ces nœuds, plus ou moins serrés ou agrandis, sont par cela même distingués des faux trèfles, ainsi que le faux 8 du vrai 8. D’autre part, les sujets distinguent les trèfles à gauche des trèfles à droite et comprennent qu’en les serrant on n’aboutit pas au même nœud.

Au cours du premier stade (en moyenne jusque vers 4 ans, mais avec de nombreux cas encore entre 4 et 5 ans) l’enfant ne connaît pas la construction des nœuds. Au cours d’un sous-stade I A, dont voici des exemples, il ne parvient même pas à reproduire la construction effectuée sous ses yeux.

Col (3 ; 10) : « Tu sais faire un nœud (on pose un cordon devant lui) ? — Oui (il joint simplement les deux bouts). Voilà ». Aucune explication supplémentaire ne le faisant aboutir à mieux, on en fabrique un devant lui en le laissant desserré : « Qu’est-ce qu’il y a là ? Passe cette bille à travers. — (Il passe la bille sous la boucle). — Maintenant fais avancer cette perle le long de la ficelle. — (Il pousse la perle enfilée en suivant tout le trajet) ». Malgré ces exercices il ne parvient pas à copier et se borne à joindre à nouveau les deux bouts de son cordon.

Mer (3 ; 11) ne se borne pas à joindre les deux bouts, comme Col, mais sait, après l’avoir fait, déclarer que « comme ça on entre dans le petit trou » : il passe alors une extrémité du cordon dans la fausse boucle constituée par les parties incurvées du cordon. On tire et il est étonné de retrouver le cordon délacé. On lui montre alors qu’« il faut croiser ». On fait la superposition devant lui, etc., mais il échoue à copier.

Gab (2 ; 3), malgré son jeune âge, semble supérieur aux deux sujets précédents en ce sens qu’il fait nettement effort pour imiter la boucle et montre, par sa mimique, qu’il se rend compte de ses échecs répétés, avec satisfaction lorsqu’il réussit par hasard. Il commence par entourer le bras de l’expérimentateur avec le cordon et par joindre les extrémités de l’autre côté en posant la première sur la seconde ; puis il continue par un vrai 8. Après quoi il entoure son propre bras plusieurs fois de suite, mais cette fois sans joindre les extrémités. Il essaie enfin sur la table en imitant une boucle, en posant une extrémité sur l’autre et en tirant. Après cet échec, il réussit une fois par hasard, mais ne peut retrouver ce qu’il a ainsi obtenu fortuitement. On lui montre ensuite un nœud quelque peu desserré mais, après que l’expérimentateur ait suivi du doigt le parcours entier, il n’y parvient pas lui-même et saute d’un segment à un autre en cas de croisement, sans respecter la continuité. D’autre part, il n’arrive pas à distinguer visuellement deux cercles [p. 135] (de cordon) enlacés de deux boucles superposées, malgré quelques essais de dressage.

Jac (3 ; 10) expérimente nettement sur la ficelle, et même avec une grande patience, après qu’on lui ait montré la fabrication d’un nœud : il débute par une boucle, en superposant simplement les extrémités, puis en tirant une ; après quoi, il recommence, mais en entortillant les deux bouts avant de tirer, etc. Malgré une réussite fortuite, il ne parvient pas à résoudre le problème. On lui présente alors deux cercles enlacés (de cordon), et deux cercles indépendants, superposés en partie : il ne parvient pas à les distinguer à vue, même après plusieurs manipulations. Il n’arrive pas non plus à suivre du doigt, en respectant la continuité, un nœud en partie délacé.

Amb (4 ; 6) ne cherche pas comme Mer à passer l’extrémité du cordon à travers une boucle apparente, mais à enrouler plusieurs fois le cordon sur lui-même : la boucle est alors épaisse, mais Amb n’enfile pas le bout à son intérieur. On lui montre la chose, mais sans résultat. On pose sur la table un tuyau de caoutchouc moins mobile : « Regarde le serpent : il met la tête sur sa queue (premier geste) puis il la passe sous sa queue (deuxième geste) et cela fait un nœud (qu’on tire légèrement). Fais la même chose. — (Amb fait la boucle, mais refuse de continuer) ».

Han (5 ; 3), malgré son âge, ne parvient pas mieux que les précédents : elle fait une boucle en posant une partie du cordon sur l’autre (à quelque distance des extrémités), puis déclare correctement « on fait la boucle et on passe dedans », mais elle n’arrive précisément pas à la faire, et se borne à enrouler un certain nombre de fois le cordon en recommençant chaque fois une nouvelle boucle sans « passer dedans ».

Ces quelques réactions sont très intéressantes, malgré leur banalité, du point de vue des intuitions topologiques élémentaires de l’enfant. Il est bien clair, d’une part, que le sujet sait rapprocher les deux bouts d’un cordon (Col) ou en poser une partie sur l’autre (Han), ou même entortiller les extrémités (Jac) de manière à obtenir une figure fermée : l’analyse de la stéréognosie et du dessin nous a déjà suffisamment montré (chapitres I-II) la précocité des rapports de fermeture et d’ouverture pour que nous ne nous étonnions pas de voir les sujets de ce niveau I A chercher d’emblée à obtenir une boucle. D’autre part, nous voyons les sujets Mer et Han essayer, soit en actes (Mer), soit en projets verbaux (Han), d’enfiler une extrémité du cordon dans la boucle ; ici encore, il s’agit d’un rapport très précoce puisque les enfants qui savent dessiner une courbe fermée savent d’emblée, nous l’avons vu au chapitre II, dessiner également un petit cercle, soit à l’intérieur, soit à l’extérieur de la frontière, soit même à cheval sur cette frontière. [p. 136] Ils possèdent donc le rapport d’enveloppement (intériorité et extériorité) dont la fermeture est d’ailleurs proche parente. Que leur manque-t-il donc pour parvenir à faire un nœud ?

Du point de vue de la simple phénoménologie de leurs actions, on le voit aussitôt : ils n’arrivent pas à la fois à « faire la boucle et à passer dedans », malgré le programme si parfaitement explicite de Han. Le sujet Col se borne à faire une boucle sans essayer même de « passer dedans » ; Mer le tente, mais n’arrive alors pas à fermer sa boucle, de telle sorte que le nœud ne se fait pas ; Amb multiplie les boucles en enroulant plusieurs fois le cordon sur lui-même, mais ne parvient pas à enfiler dans ce bobinage l’extrémité du cordon ; enfin Han procède par ordre, fait une boucle puis essaie de « passer dedans » comme Mer mais aboutit à chaque nouvel essai à une nouvelle boucle comme le sujet Amb, dont elle ne dépasse donc pas le niveau.

Que signifie, du point de vue géométrique, cet échec moteur de l’action ? Simplement ceci : un cordon, envisagé à titre de suite linéaire, n’est constitué que de segments successifs, c’est-à-dire d’enveloppements à une seule dimension (si B est « entre » A et C, il est, en effet, enveloppé par A et C selon une dimension), tandis que le nœud qu’il s’agit de construire au moyen de ce cordon est un enveloppement à trois dimensions c’est-à-dire un système d’enlacements. Or, si l’enfant de ce niveau a déjà clairement l’intuition des trois dimensions, et cela précisément en se fondant sur les rapports d’enveloppement, le passage d’un enveloppement à une seule dimension à un enveloppement à trois représente néanmoins une difficulté évidente lorsqu’il doit être effectué au moyen d’un seul objet. Preuve en soit l’incapacité de Gab et de Jac à suivre simplement du doigt les nœuds en partie délacés en conservant la continuité lorsqu’un segment passe par-dessus ou par-dessous un autre, ou à distinguer à vue deux cercles enlacés de deux cercles de ficelles simplement superposés.

Insistons d’abord sur le fait que, dans l’espace de la représentation (par opposition à celui de la perception, mais le processus a sans doute été le même sur le plan de la perception au début de la vie mentale), les dimensions ne sauraient être construites par l’enfant de 2 à 4 ans que par le moyen précisément des enveloppements topologiques, faute de tout système de coordonnées, même selon les axes horizontaux et verticaux (voir chapitres XIII et XIV) et de toute coordination projective (chapitres VI-X). C’est ainsi que la première dimension est donnée par les suites linéaires simples, avec l’intuition immédiate que la partie médiane ou centrale d’une ligne est située « entre » ses [p. 137] extrémités (c’est-à-dire enveloppée par elles selon cette dimension unique). Les faits du chapitre III nous ont montré, il est vrai, que la relation « entre » ne parvient que tardivement au niveau opératoire (invariance du rapport « entre » selon les deux sens d’orientation) et qu’elle donne même lieu à des difficultés intuitives dans le cas de l’ordre cyclique. Néanmoins il est clair que dans l’ordre linéaire direct, le rapport « entre » c’est-à-dire l’enveloppement selon une seule dimension, est l’objet d’une intuition correcte immédiate. En second lieu, la deuxième dimension est d’abord construite par l’enfant non pas sous la forme de surface euclidiennes ou de plans projectifs, mais bien de simples surfaces topologiques, c’est-à-dire de ce qui est compris « à l’intérieur » d’une courbe fermée (enveloppement à deux dimensions). C’est ainsi que les figures si précocement dessinées par les sujets du chapitre II, d’une courbe fermée avec petits cercles intérieurs ou extérieurs à la frontière (ou à cheval sur celle-ci) constituent des enveloppements à deux dimensions. Tandis qu’en une suite linéaire dans laquelle B est situé « entre » A et C, le segment reliant B à un point D extérieur à AC ne coupe pas la ligne, un segment reliant un point intérieur à la frontière d’une courbe fermée à un point extérieur à cette frontière coupera, en effet, cette courbe elle-même, c’est-à-dire une ligne : l’enveloppement est donc à deux dimensions. Enfin, la troisième dimension est donnée dans l’intuition d’un objet enfermé dans une boîte et tel que, pour le saisir, il faille ouvrir le couvercle ou traverser les parois. Cette troisième dimension est donc caractérisée par un enveloppement tel que le point intérieur ne peut être relié à un point extérieur que par un segment qui coupe une surface.

Ainsi ces trois sortes d’enveloppement donnent lieu chacune à des intuitions très précoces, et ce sont ces rapports mêmes qui engendrent les trois dimensions de l’espace avant que cette construction topologique soit complétée par les constructions projectives et euclidiennes. Ce ne sont donc pas les trois dimensions comme telles qui constituent la difficulté propre à la confection du nœud, mais bien le passage de l’une à l’autre au moyen d’un seul objet. La difficulté est de passer du cordon déroulé (simple suite linéaire de segments à enveloppements unidimensionnels), à un cordon mis en boucle (la boucle et son intérieur formant alors un enveloppement à deux dimensions), puis de là à l’insertion de l’une des extrémités du même cordon dans l’intérieur de cette boucle (la boucle et l’extrémité du cordon qui traverse son plan intérieur formant alors un enveloppement à trois dimensions). Ce n’est pas l’incompréhension [p. 138] de ces enveloppements, générateurs de dimensions, qui constitue l’obstacle à la confection du nœud, c’est le passage d’un système à une dimension à un système à trois dimensions par complication des enveloppements successifs engendrés au moyen d’un seul et même objet : c’est, en bref, l’articulation de l’intuition des dimensions, en tant que fondée sur celle des enveloppements.

Or, cette articulation s’esquisse déjà au cours du sous-stade I B, puisqu’à ce niveau l’enfant apprend à faire un nœud au cours même de l’expérience :

Fra (2 ; 11), malgré son âge tendre, réussit plusieurs fois de suite le nœud simple après l’apprentissage suivant. Il commence en voyant sa sœur de 3 ; 11 apprendre à faire un nœud, par entortiller les deux extrémités du cordon. Constatant que le tout se défait, il enroule le cordon autour du bras de l’expérimentateur puis autour d’un pied de table, et croise nettement les deux parties opposées du cordon, puis entortille les extrémités. On construit alors devant lui un nœud simple, sans explication verbale : il le copie exactement en commençant par la boucle croisée et en enfilant une extrémité dans l’intérieur de cette boucle. Il reproduit spontanément plusieurs nœuds de suite. Après interruption, il n’arrive plus.

Bar (3 ; 6) a découvert spontanément et sous nos yeux la possibilité de faire un nœud. Il cherche, pour s’amuser, à retenir l’adulte au moyen d’une ficelle attachée à son bras. Pour ce faire il commence par une dizaine d’essais consistant simplement à entourer le bras au moyen de la ficelle : étonnement de constater que le bras n’est alors pas attaché. Puis, par hasard, il aboutit à un vrai enlacement, mais sans comprendre ce qu’il a fait. Il cherche en vain à la reproduire, puis découvre brusquement : « Il faut mettre la ficelle dedans ». Il réussit alors plusieurs fois de suite à construire une boucle par superposition, puis à enfiler l’extrémité de la ficelle. Pas de généralisation à d’autres situations (lacer ses souliers, etc.).

Nel (3 ; 11), sœur de Fra, après exemple, réunit les deux extrémités du cordon, mais sans mettre l’une au-dessus de l’autre, puis enfile l’un des bouts dans la demi-boucle ainsi formée. Voyant qu’elle s’ouvre, dit : « Il faut tourner autour », et parvient à plusieurs réussites. Nel ne distingue cependant pas visuellement une boucle sans superposition et un nœud.

Zee (4 ; 1), après exemple, dit d’abord : « il faut faire le trou » et faire une boucle sans superposition, comme Nel, puis passe l’extrémité du cordon. Il recommence en croisant et réussit deux fois le nœud, mais ne reconnaît pas visuellement quand cela réussira ou non. En tortillant alors plusieurs fois la ficelle autour d’une tige, il dit : « Ça ne tient pas : la ficelle elle n’est pas dedans », puis réussit.

[p. 139]Tea (4 ; 1) commence, comme au niveau I A, par des enlacements incomplets autour du bras de l’expérimentateur. Mais après une démonstration (trop rapide pour que le sujet voie comment le nœud a été fait) il réussit à entrer l’extrémité du cordon dans la boucle. D’autre part, il réussit cinq fois (contre deux échecs) à distinguer à vue deux cercles de ficelle enlacés de deux cercles simplement juxtaposés. Par contre, il ne parvient pas à suivre du doigt un nœud en partie délacé, même lorsqu’il s’agit de montrer le trajet continu que suivrait une fourmi à l’intérieur du tuyau (ficelle de caoutchouc) d’une extrémité à l’autre.

On constate ainsi que, par tâtonnements successifs, les sujets de ce niveau parviennent à réunir les parties opposées du cordon superposant l’une à l’autre, puis à passer une extrémité par la boucle ainsi formée, c’est-à-dire au total à passer de la suite linéaire initiale à un enveloppement à deux puis à trois dimensions. Mais, cette découverte faite, elle n’est susceptible d’aucune généralisation. D’autre part, on remarque que si cette transformation est correctement réalisée par l’action même, c’est-à-dire de façon idéo-motrice, elle ne donne pas encore lieu à une intuition visuelle exacte. Sans doute Tea arrive-t-il cinq fois sur sept à distinguer à vue deux cercles enlacés de deux cercles juxtaposés. Mais le sujet ne parvient toujours pas à suivre du doigt les segments successifs d’un nœud à demi-délacé, en passant par-dessus ou par-dessous en cas de croisement, même lorsqu’il imagine une fourmi suivant le cordon à l’intérieur (l’enfant s’en tire parfois en disant que la fourmi « meurt » en cas de croisement, ne sachant plus où la diriger). D’autre part, les sujets qui parviennent eux-mêmes à faire des nœuds par tâtonnements n’arrivant pas à reconnaître, à seule inspection, si les modèles qu’on leur présente constituent des nœuds ou des boucles ouvertes. C’est ce retard constant de la représentation sur l’action que nous allons retrouver aux niveaux du stade II, et qui nous instruira sur les vrais rapports de l’intuition imagée avec la motricité, source des futures opérations.

À partir du début de ce stade II l’enfant est donc apte à refaire le nœud qu’il a sous les yeux, sans l’aide de l’expérimentateur. Mais, au niveau II A, il suffit de serrer ou de desserrer légèrement le nœud familier pour qu’il ne soit plus reconnu, et souvent le sujet ne parvient même pas encore à distinguer un vrai d’un faux nœud :

[p. 140]Rot (4 ; 6) fait un nœud sans modèle : « Comment as-tu fait ? — Je passe dans un trou, puis après je fais un nœud ». On lui présente un nœud en trèfle, tous les éléments étant bien visibles puisque le nœud est desserré : « Non, ce n’est pas un nœud. — Tire-le. — Ah oui. — Et ça (demi-boucle sans nœud) ? — Non ce n’est pas un nœud parce que ce n’est pas mis dans un trou. — Et ça (nœud desserré) ? — Non plus. — Veux-tu suivre le cordon du doigt : on dira que c’est un tuyau et une fourmi va depuis le bout sans pouvoir en sortir avant l’autre bout. Quel chemin fera-t-elle ? — (Il manque les enlacements et passe d’un segment à l’autre). — Et en promenant cette perle autour (on la déplace de 3-4 cm et il doit continuer) ? — (Échoue également). — Et ça (nœud serré), c’est un nœud ? — Oui, ça c’est dessus, et ça c’est dessous ».

Vag (5 ; 4) est mis en présence d’un nœud serré et est prié de le dessiner : il trace une droite figurant le cordon et un rond plein au milieu, représentant le nœud. Il refait correctement ce dernier sans nous l’avoir vu faire) : « Et ça (nœud desserré), qu’est-ce que c’est ? — Une boucle. — C’est le même nœud que tout à l’heure ? — Non. C’est une boucle. — Dessine-le. — (Il dessine une droite se terminant par une incurvation ; du milieu part un demi-cercle). — Tu peux le refaire ? » Il le reproduit alors et continue de le déclarer différent du premier nœud sans pouvoir préciser en quoi.

Les trèfles à gauche et à droite ne sont pas distingués. Vag ne peut suivre du doigt le parcours, et, quand une partie du cordon passe sous l’autre, il bifurque sur la partie supérieure.

Deg (5 ; 6). Le nœud serré est reproduit correctement puis dessiné sous la forme d’un cercle d’où partent deux droites faisant angle obtus. « Et ça (nœud desserré) ? — C’est un nœud aussi. — Veux-tu le refaire ? — (Il réussit). — Les as-tu faits pareil ? — Non, il est différent. — Pourquoi ? — … — Recommence pour voir (il le trouve à nouveau différent). — Et ça (boucles ouvertes en trèfle) ? — C’est un nœud. — Peux-tu le refaire ? — (Il pose le cordon sur la table et rabat chaque extrémité sur elle-même en forme de demi-boucle, mais sans enveloppement). — C’est juste ? — Pas tout à fait. — Qu’est-ce qui manque ? — (Il montre les ailes de la bouche du modèle). — Essaie encore. — (N’arrive pas et ne voit pas la correspondance avec les nœuds du début) ». Le dessin du trèfle donne une ellipse avec angle inscrit dont le sommet touche la courbe et dont les côtés en sortent.

Deg ne distingue pas les trèfles à gauche et à droite et ne parvient pas à suivre le parcours du doigt de façon continue.

Bor (5 ; 6) refait d’emblée le nœud serré et le dessine de façon curieuse : un cercle est traversé de part en part par une droite et, de l’un des points d’intersection entre la droite et le cercle part une demi-boucle intérieure à celui-ci. « Est-il pareil, ton dessin ? — Le nœud n’est pas joint, je ne sais pas pourquoi. — Et ça (nœud desserré), c’est le même qu’avant ? — Non (le refait). — Alors ils sont pareils ? — Non (le dessine comme un angle dont sort une [p. 141] demi-boucle fixée à l’un des côtés). — Et ça (boucles ouvertes en trèfle) ? — C’est un nœud, mais pas le même. — Refais-le ». Il le met sur son papier et essaie de le suivre d’un trait, mais échoue et ne parvient pas à le refaire non plus avec le cordon. N’arrive pas non plus à le suivre du doigt de façon continue.

Gen (5 ; 7) est en présence de deux cercles de cordon enchaînés et de deux cercles simplement superposés, avec même disposition perceptive mais sans enlacement : « Si on tire celui-là (le second) ? — Ça se défait. — Et l’autre ? — Ça ne se défait pas. » Après qu’il ait fait un nœud on lui en montre un desserré : il ne parvient pas, aux deux premiers essais, à le suivre du doigt (arrive à l’aide de suggestions au troisième essai) et le dessine comme une simple demi-boucle sans enveloppement. On lui présente un cordon faisant un circuit simple avec retour sur lui-même mais sans nœud : « Ça fait un seul fil, parce que c’est pas comme un nœud. — Et ça (nœud desserré), si on tire ? — Ça donne un nœud, non ça n’en donne pas. — Et ça (un autre encore plus desserré) ? — Ça donne un nœud, non, ça n’en donne pas. — Ils sont pareils ? — Non. — Et si on les tire ? — Non ».

Chal (5 ; 8) refait le nœud serré. « Et ça (desserré) ? — C’est un bracelet. — Est-il pareil ? — Non. — Tu peux le refaire ? — (Deux insuccès, puis il y parvient). — Tu l’as fait comme l’autre ? — Non, autrement. — Et ça (trèfle) ? — Des lunettes. — Il est comme les autres ? — Non. — Et si on tire ? — Non ». On met une perle en priant d’indiquer le chemin qu’elle va suivre le long du cordon qu’elle entoure : Chal manque la continuité. Le dessin indique une simple demi-boucle, sans nœud.

Lyd (5 ; 11) réussit comme Gen la question des deux cercles en partie superposés ou enchaînés, mais est incapable malgré divers essais d’indiquer le chemin que suivre une perle le long de la ficelle disposée en un nœud desserré.

Luc (6 ; 1) dit : « C’est un nœud plat » d’un nœud serré et le refait puis le dessine sous la forme d’une droite traversant un cercle. « Et ça (desserré) ? — C’est aussi un nœud plat (il le refait correctement). — Est-il pareil ? — Non. — Pourquoi ? — (montre l’endroit du croisement). — Refait le premier (et le refait). Est-il pareil à l’autre ? — Non. — Tu ne l’as pas fait la même chose ? — Non. — Et ça (trèfle) ? — C’est un nœud d’iris (terme d’éclaireur, entendu par Luc). — Tu peux le refaire ? — (Il le refait différent, puis réussit mais en le serrant comme le précédent) Ce n’est pas le même (que le modèle du trèfle). — Essaie encore. — Là c’est dessus, là c’est dessous, c’est difficile à faire (ne se doute donc pas que c’est le même que les premiers !) » N’arrive pas à suivre du doigt le parcours.

Fra (6 ; 2) reproduit le nœud serré et le nœud desserré. « Ce n’est pas le même que tout à l’heure (le refait encore). — Mais tu l’as fait pareil ? — Non je ne l’ai pas fait pareil que tout à l’heure. — Et ça (trèfle) ? — Je ne sais pas ce que c’est. — C’est un nœud ? —  [p. 142] Oui, mais qui n’est pas serré. — Le même qu’avant ? — Non (essaie de le refaire, mais pose le cordon sur la table et ramène les deux extrémités en demi-boucles sans enveloppement). — C’est juste ? — Oui. — Regarde (on tire) il se défait. Fra essaie encore, mais sans plus de succès et sans se douter qu’il est semblable aux premiers. Ne parvient pas à suivre du doigt le parcours.

Telles sont les principales réactions de ce sous-stade II A. À les comparer à celles du stade I, on constate sans peine les différences et les ressemblances. En progrès sur les sujets du premier stade, ceux-ci savent donc faire un nœud et même sans modèle, c’est-à-dire sans qu’on le fasse devant eux au préalable. Seulement ce qu’ils savent faire en action ne se traduit pas encore en représentation. Certes, ils parviennent déjà, contrairement aux enfants précédents, à distinguer à vue un nœud d’une demi-boucle simple et sans apparence d’enveloppement (cf. Gen) ou à distinguer, à simple inspection, deux cercles enchaînés et deux cercles dont une partie est superposée sans plus à l’autre (Gen et Lyd). Mais, entre les trois formes homéomorphes du nœud serré (1), du nœud légèrement desserré et à boucles agrandies (2) et du nœud à deux larges ailes (3) (que nous appellerons pour abréger le trèfle, bien que, naturellement, tous trois constituent géométriquement des trèfles), les sujets de ce niveau II A n’établissent pas de correspondance, tandis que ceux du niveau II B feront correspondre (1) à (2) mais ni l’un ni l’autre à (3).

La raison de ces difficultés est simple à comprendre. Rappellons d’abord qu’à tout âge les nœuds sont des figures peu intuitives, ne donnant lieu ni à l’organisation de « bonnes formes » visuelles ni à aucune métrique perceptive, de telle sorte que l’on éprouve toujours une certaine difficulté à prévoir les transformations qui résulteront du fait de tirer ou serrer un nœud ou de l’étaler en le desserrant davantage. Mais, chez l’enfant de ce niveau II A, il y a plus, et leurs réactions négatives méritent de retenir l’attention, puisque, dès 7-8 ans, elles seront dépassées par la compréhension propre au stade III, après les réactions intermédiaires du sous-stade II B.

L’intérêt des échecs propres au niveau II A est, en effet, leur unité. D’une part, tout en sachant reproduire le nœud serré (1) et le nœud un peu desserré (2) (celui-ci parfois après quelques tâtonnements, mais tous les sujets cités y sont parvenus), ils se refusent à les reconnaître pareils. D’autre part, et cela ne fait sans doute qu’un avec cette incapacité initiale, ils ne savent pas suivre du doigt, même sur un nœud en partie délacé comme le trèfle (3), le parcours du cordon en tenant [p. 143] compte de la continuité du trajet : en cas d’enlacement, ils quittent le segment de cordon passant par-dessous pour suivre le segment qui passe au-dessus et continuent ainsi sans se soucier de l’ordre de succession réelle des segments.

Ces deux réactions relèvent évidemment de la même cause : c’est que, si ces sujets sont parvenus à réaliser dans l’action un enveloppement à trois dimensions (après les difficultés que l’on a vues au stade I), ils n’y arrivent pas encore dans la représentation, ni même dans cette conduite mi-active mi-représentative qui consiste à suivre du doigt le parcours d’un nœud déjà construit, et donné perceptivement.

Pour ce qui est, d’abord, du refus de reconnaître la correspondance des nœuds serrés ou desserrés (1), (2) et (3), la réaction des sujets est bien claire : ils regardent ces nœuds posés sur la table ou fixés sur un carton comme s’il s’agissait de figures à deux dimensions et ne font pas porter la correspondance sur les enveloppements à trois dimensions eux-mêmes ; de plus (et ce second comportement va de pair avec le premier), ils considèrent statiquement le nœud serré et le nœud agrandi sans s’attacher à la transformation qui conduirait de l’un à l’autre et qui consisterait à tirer les extrémités du cordon pour serrer le nœud ou à le desserrer davantage. Or, s’ils ne font pas porter la correspondance sur les enveloppements selon les trois dimensions, c’est évidemment que, sachant les réaliser par l’action (en reproduisant le nœud), ils ne se les représentent pas encore et ne les retrouvent même pas dans la simple perception visuelle du nœud présenté, comme si celui-ci constituait sans plus une figure quelconque, immobile et en plan. D’où la seconde attitude, consistant à ne pas se représenter le nœud modifié par une simple action de le serrer ou de le desserrer quelque peu et à le considérer uniquement dans sa configuration perceptive momentanée.

Sur ce dernier point, on peut comparer mutatis mutandis l’attitude de ces sujets à celle des enfants du même âge dans le problème de la correspondance bi-univoque de caractère numérique ⁶ (et cela est intéressant à souligner, car les travaux les plus récents de la géométrie ont montré qu’il existe un parallélisme bien plus grand encore qu’on ne le soupçonnait jadis entre la construction du nombre et celle de l’espace). Vers 5-6 ans, en effet, l’enfant est capable de faire correspondre intuitivement un certain nombre d’objets à un nombre équivalent [p. 144] d’autres objets, mais c’est à la condition de les disposer les uns et les autres selon la même configuration visuelle, par exemple, selon deux rangées rectilignes, et encore à la condition que les deux rangées soient exactement en regard l’une de l’autre (l’une au-dessus de l’autre) : il suffit ainsi de serrer ou de desserrer l’une des deux rangées pour que l’équivalence ne soit plus reconnue par le sujet, parce que la correspondance cesse d’être optiquement effective. La correspondance se perd donc, sitôt transformée la configuration perceptive. De même, dans le cas présent, l’enfant reconnaît le nœud serré ou le nœud agrandi sur des modèles visuellement équivalents, mais il se refuse à admettre l’équivalence des figures, sitôt que l’une est plus serrée que l’autre, c’est-à-dire perceptivement modifiée. Même en sachant copier les formes (1) et (2), il les juge non correspondantes à cause de cette différence purement apparente. Quant au trèfle (3) on voit des sujets si certains de sa différence complète avec les précédents qu’ils échouent à la reproduire (cf. surtout Luc et Fra). La seule différence est que, dans le cas du nombre entier, il s’agit de correspondance discontinue, portant sur la valeur de l’ensemble comme tel, tandis que dans le cas de ces nœuds il s’agit de correspondance bi-continue, c’est-à-dire portant sur l’ordre de succession et les enveloppements de segments reliés de façon continue : il est d’autant plus intéressant de noter les analogies génétiques existant entre ces opérations différentes, mais proches parentes.

Quant à la non-correspondance des enveloppements comme tels, elle est reliée de la façon la plus directe à la difficulté systématique, éprouvée par ces mêmes sujets, de suivre du doigt le parcours du cordon dans les nœuds même les plus desserrés : on constate alors que si le sujet ne fait pas de correspondance entre les enveloppements, c’est qu’il ne reconnaît plus ceux-ci dans la perception, faute de toute représentation, et cela bien qu’il sache les réaliser dans l’action ! Ceci nous conduit au cœur même de la question des homéomorphies élémentaires. Nous avons constaté, en étudiant la construction du nœud (§ 2) que la difficulté, pour l’enfant, consistait à passer, au moyen d’un seul objet linéaire, des enveloppements à une seule dimension (ordre de succession des segments du cordon, avec relation « entre ») à un enveloppement à trois dimensions (une partie du cordon étant ramenée dans la boucle formée par les autres). Or, cette difficulté une fois vaincue par l’action elle-même (l’enfant étant devenu ainsi capable de construire effectivement le nœud), nous assistons maintenant à cette réaction paradoxale du sujet selon laquelle, le nœud étant posé sur la [p. 145] table et légèrement desserré, l’enfant ne reconnaît plus les enveloppements, ne parvient plus à les distinguer selon les trois dimensions (dessus-dessous, à gauche-à droite ou devant-derrière) et perd même, lorsqu’il veut suivre du doigt le cordon, l’ordre de succession des segments, c’est-à-dire l’enveloppement à une seule dimension, donc le rapport « entre » caractérisant les segments successifs selon leurs voisinages ! En effet, lorsqu’un segment du cordon passe sous un autre, nous voyons le sujet manquer la succession, c’est-à-dire le voisinage réel d’un segment avec le suivant, et passer par-dessus pour suivre un segment différent, sans continuité avec le premier. Non seulement l’enfant (qui, répétons-le, est cependant capable de reproduire le nœud dans son action !) manque ainsi la représentation de l’enveloppement à trois dimensions pour le remplacer par un simple enveloppement à deux dimensions (le dessin marque bien la chose : le nœud n’est plus qu’un cercle traversé par une droite, etc.), mais encore il perd alors l’ordre de succession lui-même et remplace les voisinages réels par de simples voisinages apparents ou perceptifs : un segment donné, au lieu d’être correctement situé « entre » ses voisins (enveloppement à une dimension) est considéré comme la suite d’un autre qui lui est proche perceptivement et la continuité est ainsi rompue.

Or, on voit d’emblée la raison de cette carence de l’intuition représentative et même perceptive : c’est uniquement faute d’anticiper les résultats de l’action de serrer ou de desserrer le nœud perçu que ces voisinages apparents, c’est-à-dire momentanés et statiques, priment les voisinages permanents indépendants de tout étirement ou contraction, et que les enveloppements ne sont ainsi plus représentés ni mis en correspondance, et c’est faute de cette représentation que le sujet ne parvient même pas à suivre du doigt le parcours du cordon enlacé. C’est donc parce que l’intuition primitive demeure trop perceptive et n’est pas encore assez mobile, ou plus précisément, parce qu’elle demeure attachée aux configurations statiques et ne parvient pas encore à évoquer les transformations comme telles, qu’elle reste centrée sur la figure donnée et ne se décentre pas dans le sens de l’anticipation et de la reconstitution articulées.

Au sous-stade II B un léger progrès est accompli dans cette direction, qui permet la mise en correspondance des formes (1) et (2), mais pas encore de toutes deux à (3). Voici des exemples, à commencer par un cas intermédiaire entre les niveaux II A et II B :

[p. 146]Knu (5 ; 10) refait le nœud serré et le dessine comme un cercle traversé de part en part par deux lignes sinueuses. « Il est comme ton dessin ? — Oui. — (Desserré). C’est le même que tout à l’heure ? Non. — Tu peux le faire. — (Il tâtonne puis trouve la solution). Regarde, je le serre un tout petit peu. C’est le même que tout à l’heure ? — Non… ah oui ! — Et ça (trèfle) ? — Non. — Tu peux suivre du doigt le cordon ? — (Il le suit très bien, sans aucune discontinuité) ».

Jui (5 ; 10) refait le nœud serré, puis le nœud desserré : « Il est comme celui d’avant ? — Pas tout à fait, mais si je le serre, je fais celui d’avant. — Et ça (trèfle) ? — C’est un cœur (ne parvient pas à le reproduire, fait des boucles, les défait, etc.) ». Il en suit parfaitement le parcours avec le doigt, mais toujours sans reconnaître la correspondance avec les nœuds initiaux. Il ne distingue pas le trèfle à gauche du trèfle à droite ni le faux 8 du vrai.

Mot (6 ; 3) refait le nœud serré. « Et ça (agrandi) qu’est-ce que c’est ? — C’est un nœud pas fermé (= pas serré). Pour le fermer on tire. — Et ça (trèfle) ? — C’est une fleur. — C’est un nœud comme tout à l’heure ? — Non. — Veux-tu le refaire ? — (Il juxtapose des demi-boucles sans enveloppements). — Regarde (on lui aide et il réussit). Il est comme tout à l’heure ? — Non ». Il suit cependant du doigt correctement. « Et avec ça (faux nœud à apparence perceptive de vrai nœud) tu pourrais faire un nœud en tirant ? — Oui ».

Ray (6 ; 6) refait les nœuds serrés et agrandis : « C’est pareil ? — Pas tout à fait, mais si je tire ça fera la même chose. — (Trèfle) ? — C’est un rond croisé différemment. — Fais-le (réussit d’emblée). L’as-tu fait comme ceux de tout à l’heure ? — Non ». Il le suit bien du doigt, mais il ne distingue pas le vrai du faux nœud et croit qu’on parvient à un nœud en tirant un cordon effectuant une demi-boucle.

Mor (6 ; 8) refait le nœud serré et regarde le nœud agrandi : « C’est différent parce que c’est ouvert, ce n’est pas serré », mais à part cela « c’est la même chose. — Et ça (trèfle) ? — C’est un cœur. Ce n’est pas comme tout à l’heure. — Fais-le. — C’est dur (il pose le cordon, l’entortille et fait quelque chose de très compliqué mais homéomorphe à un simple cercle, en disant) : Il faut que je tire ici, mais ça ne doit pas être croisé. — Regarde (on tire le modèle, qui donne un nœud serré). Maintenant tire le bien. — (Son nœud se défait, il recommence mais sans succès, puis tombe par hasard sur le nœud (2) un peu desserré) Tiens c’est comme tout à l’heure. — C’est comme ça (trèfle) ? — Non, ce n’est pas pareil ».

Il ne distingue pas le trèfle à gauche du trèfle à droite, ni un faux nœud d’un vrai.

Dan (6 ; 9) dit d’emblée du nœud agrandi : « Il est pareil, parce que si je tire, ça fera le même nœud que tout à l’heure. — Et ça (trèfle) ? — Pas tout à fait le même nœud que tout à l’heure. Presque, mais pas tout à fait. — Où est la différence ? — … — Tu peux le refaire ? — (Il tord le cordon sans succès, et sans comprendre que [p. 147] c’est le même nœud). — Et ça (faux nœud en apparence de trèfle) ? — C’est, le même nœud que ça (trèfle) ». Il suit du doigt correctement le vrai et le faux trèfles, mais ne comprend pas la différence.

Stu (7 ; 0) fait le nœud serré et l’agrandit : « C’est pareil ? — Oui, en tirant. — Et ça (trèfle) ? — Pas pareil, il y a deux boucles. — Suit du doigt (le fait exactement). Refais-le. — (Il fait un faux nœud homéomorphe au cercle) ».

On constate immédiatement, à lire ces réponses, que la mise en correspondance des nœuds serré (1) et desserré (2) est due à l’anticipation motrice. Le sujet intermédiaire Knu, voyant le nœud (2) se serrer un peu par l’action de l’expérimentation, comprend d’emblée la suite possible de cette modification et fait correspondre ce nœud (2) au nœud (1), ce que réalisent ensuite tous les sujets du sous-stade IIB : « si je serre, je fais celui d’avant » dit Jui, « si je tire, ça fera la même chose » disent Mot, Dan et Stu, etc. Et c’est parce qu’ils pensent ainsi, non plus perceptivement, mais déjà par activité motrice (en se représentant donc non plus les configurations statiques, mais les transformations elles-mêmes) qu’ils parviennent à suivre le parcours du trèfle (3) en tenant compte des voisinages et enveloppements réels et non plus seulement des voisinages apparents. Ce voisinage entre les parties successives du cordon, séparées par l’analyse due au parcours du doigt et les enlacements sont ainsi le produit d’une « intuition articulée », c’est-à-dire dépassant la configuration perceptive par des anticipations et reconstitutions représentatives qui sont des actions virtuelles esquissées en pensée.

Mais, quoique articulée, cette forme d’intuition reste attachée à l’image, c’est-à-dire limitée à des transformations courtes et restreintes. Elle n’est pas encore généralisée à toute correspondance aux diverses formes qui peut prendre le nœud simple : elle réussit à relier la forme perceptive (2) à la forme (1) mais sans voir l’analogie avec le trèfle (3), qui n’est pas encore jugé équivalent aux formes précédentes faute de mobilité suffisante. D’où la confusion des vrais et des faux nœuds, dès que ceux-ci dépassent l’apparence d’une simple demi-boucle (celle-ci était parfois déjà jugée distincte du nœud au stade I), du vrai et du faux 8, etc.

En bref, le stade II demeure intuitif, c’est-à-dire ne donnant lieu qu’à des correspondances correctes partielles, tout en marquant déjà le passage de l’intuition perceptive (II A) à l’intuition articulée (II B). Il faut attendre le stade suivant pour que l’équilibre mobile de ces articulations de l’intuition soit atteint sous forme d’opérations réversibles.

L’intuition articulée, dont nous venons de constater les limitations au niveau II B, se généralise vers 7 ans, le sujet mettant sans difficulté en correspondance les formes serrées (1), agrandies (2) et à ailes déployées (3) du trèfle, et distinguant du même coup les faux nœuds des vrais trèfles : il prévoit donc en tous les cas et dans les deux sens les effets des actions de serrer et de desserrer en composant, de façon transitive et réversible, les correspondances homéomorphiques entre les enveloppements. Certains sujets arrivent à tout cela sans distinguer immédiatement les trèfles à gauche et les trèfles à droite (tout en y parvenant après tâtonnements), tandis que les deux cas francs du stade y arrivent d’emblée. Voici des exemples de la première de ces catégories, à commencer par un sujet qui présente des réactions intermédiaires entre les niveaux II B et III :

Dalc (6 ; 10) dit d’emblée, du nœud agrandi : « C’est un nœud moins serré. — Et ça (trèfle) ? — Je ne sais pas. — C’est le même ? — Pas tout à fait. — Pourquoi ? — Je ne le sais pas. — Regarde (on serre très légèrement). — Ah ! le nœud ». « Qu’est-ce que c’est un nœud ? — C’est ces deux ficelles (les deux extrémités) qui se croisent. Celle-ci passe dessus, puis elle repasse dessous. C’est la même ficelle, elle a deux côtés… ce côté se croise avec l’autre puis il remonte (par le trou) ».

Ber (6 ; 10) dit des nœuds (1) et (2) : « Un est petit et l’autre est gros mais pas serré. — Et si on serre ? — C’est la même chose. — Et ça (trèfle) ? — C’est un cœur. — C’est pareil ? — Oui, on doit le mettre comme ça (il rabat les côtés) et on aura un nœud comme ça ». Il montre alors qu’en agrandissant le premier on obtient le second et qu’en élargissant celui-ci on arrive au troisième. « Et ça (trèfles à gauche et à droite) ? — Ils sont pareils. — Tu veux suivre du doigt (il les suit les deux de façon continue). Alors c’est pareil ? ou pas ? — Oui, les mêmes. Enfin, pas exactement : ça c’est dessus et ça c’est dessous et, de l’autre côté, c’est le contraire. — Tu n’avais pas vu ? — J’avais pas bien regardé. — Refais-les. — Voilà ! (immédiat et juste) »

« Et ça (vrai et faux trèfles) ? — Ils sont différents. — Pourquoi ? — Là tout est dessous (donc ce n’est pas un nœud) et là c’est dessus ici et dessous là. — Si on tire ça fera quoi ? — Là un nœud et là rien du tout. — Tu es sûr ? — (Il hésite alors et fabrique un faux nœud) Oui. Si on tire là il ne viendra rien. — Et ça (faux et vrai 8) ? — Là c’est un nœud et pas là ».

Dev (7 ; 5) reconnaît d’emblée les correspondances entre (1), (2) et le trèfle (3) : « Celui-ci est différent des autres ? — Non (il le fait) je mets les boucles comme ça (ailes écartées) ». Trèfles à [p. 149] gauche et à droite : « C’est pareil. — Regarde bien. — Ah oui, là c’est dessus et là-dessous. — Et ça (vrai et faux) ? — Là les deux tiges sont dessous et une dessus et l’autre dessous. — Et si on tire ? — Là ça fait une boucle serrée, un nœud, et là on n’a pas de nœud, c’est seulement entortillé ». Dev réussit alors des dessins exacts pour l’un et pour l’autre, ainsi que pour les deux sortes de trèfles.

Voici maintenant des exemples de sujets qui distinguent à première inspection les trèfles à gauche et à droite :

Font (6 ; 0 avancé en classe) dit du nœud (2) et du trèfle (3) : « Si je tire ça fait comme tout à l’heure. — Et ça (8 vrai et faux), c’est pareil ? — Non, ça n’est pas un nœud. — Et ça (trèfle à gauche et à droite) ? — Ce n’est pas pareil : là il monte et ici il descend. Là il passe dessus et ici par dessous. — Et ça (vrai et faux) ? — Ce n’est pas un nœud là, ils passent les deux (les deux bouts) par dessous.

And (7 ; 2) : « Ça (2) c’est pas serré : ça sera pareil et plus petit ou comme celui-là (1) si on tire. — Et si on desserre le premier ? — On aura celui-là (2). — Et ça (trèfle 3) ? — C’est aussi une boucle (tire légèrement pour montrer). — Et ça (trèfles à gauche et à droite) c’est pareil ? — Non : là c’est dessus et là c’est dessous. — Si on tire ? — On a deux nœuds. — Pareils ? — Non, parce qu’on a fait le contraire. — Et ça (nœud vrai et faux) ? — Là on n’a rien du tout parce que les deux ficelles sont dessous. — Et celui-là ? (le vrai). — C’est un nœud parce qu’une est dessus et l’autre dessous. — Pour faire un nœud ? — On prend une ficelle, on croise et on passe par le trou (geste d’enlacement). — Et ça (8 vrai et faux) ? — Là (vrai) c’est un nœud, et là (faux) c’est rien du tout, parce que c’est juste croisé, mais là (vrai) c’est une boucle, c’est croisé dans le trou ».

Gel (7 ; 10). Trèfle (3) : « C’est le même qu’avant, mais il n’est pas encore tiré. — (Trèfles à gauche et à droite). Ils sont pareils ? — Non, différent, là ça passe dessus et là-dessous. — Que peut-on faire pour qu’ils soient pareils ? — (Gel retourne l’un des deux de haut en bas, puis passe le cordon dessus dessous, sans rien dire). — Si on tire, les nœuds seront pareils ? — Non, l’un sera encore dessus et l’autre sera dessous. — Et ça (vrai et faux 8 ?). — Là ça se défait, là on ne peut pas le défaire : ça tient ».

Telle est donc la forme d’équilibre à laquelle aboutissent les correspondances esquissées au cours du sous-stade II B. On constate, en effet, que chacun de ces sujets (à partir de 6 ; 6 à 7 ; 6 en moyenne) est capable de discerner immédiatement, dans le trèfle à ailes ouvertes, l’équivalent du nœud serré ordinaire et de reconnaître la différence entre un vrai et un faux trèfle (homéomorphe au cercle). Quant au trèfle à gauche et au trèfle à droite, certains commencent par ne pas les distinguer (comme beaucoup d’adultes, d’ailleurs) mais, priés de [p. 150] mieux regarder, ils les différencient fort bien et les reproduisent correctement. Les cas francs du stade parviennent non seulement à les distinguer, mais encore à comprendre qu’en les serrant on a deux nœuds différents « parce qu’on a fait le contraire » (And) et « parce que l’un sera encore dessus et l’autre sera dessous » (Gel).

Il est donc clair que le sujet ne raisonne plus sans de simples intuitions perceptives : la forme qu’il perçoit est prolongée en pensée par l’anticipation exacte de ce que donneraient les actions de serrer ou de desserrer le nœud, d’écarter les ailes des boucles ou de rapprocher les parties distantes, etc. Bref, la figure perçue est située dans l’ensemble de ses transformations possibles, en fonction de l’action motrice réelle ou de sa représentation imagée.

Mais d’où vient alors que ces opérations aient pu se constituer et s’équilibrer en un système à la fois mobile et stable, par opposition aux intuitions fragmentaires, à la fois statiques et instables du stade II : c’est que les actions dont elles constituent l’intériorisation sont parvenues à leur état d’achèvement, état définissable par sa réversibilité et par le type spécifique de conservation nécessaire qu’entraîne toute réversibilité. Au niveau II A le sujet ne savait même pas prévoir ou reconstituer le résultat d’un léger étirement de la ficelle conduisant du nœud (1) au nœud (2), et cela tout en ayant appris à faire lui-même des nœuds au cours du stade I. Au niveau II B, le sujet est parvenu à ce genre d’anticipation et de reconstitution intuitive, mais sans les généraliser encore jusqu’au trèfle (3) ni aux distinctions entre les diverses sortes de nœuds. Il a appris en outre à suivre du doigt le parcours du nœud desserré, ce que l’enfant du sous-stade II A n’arrivait pas à faire tout en sachant reproduire les enveloppements eux-mêmes. Bref, au cours de tout le stade II les actions découvertes au stade I s’intériorisent en représentations intuitives et s’articulent peu à peu. L’opération débute ensuite dès que cette articulation devient complète, c’est-à-dire dès que l’action devient représentative dans son ensemble, sous la forme d’une représentation de l’enveloppement à trois dimensions constitutif du nœud. C’est alors, mais alors seulement, que les intuitions partielles consistant à imaginer les mouvements de contraction ou d’étirement du cordon noué, prennent toute leur signification dans la mise en correspondance des figures différentes. Quels que soient ces étirements ou contractions imaginés, l’enfant comprend, en effet, dorénavant qu’ils laissent invariant le produit de l’opération fondamentale d’enveloppement : [p. 151] indépendamment des configurations perceptives, l’enveloppement se conserve au travers de toutes les modifications apparentes du nœud et il ne se perd qu’au cours de l’action inverse consistant à délacer le cordon noué.

Le résultat de cette invariance opératoire des enlacements est la constitution d’une certaine forme de correspondance, qui ne conserve nullement encore les distances ou les formes euclidiennes et projectives (droites, cercles ou ellipses, angles ou parallèles, etc.), mais simplement les rapports élémentaires de voisinage, de séparation, d’ordre et d’enveloppements. Les parties (segments) voisines de deux cordons noués demeurent voisines et les parties séparées demeurent séparées ; l’ordre de succession entre parties voisines et séparées demeure inchangé ; les enveloppements, enfin, se retrouvent tels quels en deux nœuds correspondants : tel est le principe de mise en correspondance permettant au sujet de ce troisième stade de considérer deux nœuds comme équivalents. Une telle correspondance, ne supposant que la mise en œuvre des rapports topologiques, sans rapports métriques, ni proportions (similitudes), affinités ou projections, constitue ainsi une homéomorphie élémentaire, toute qualitative et, bien entendu, ne s’appuyant que sur des opérations concrètes et non pas encore abstraites ou formelles.

Mais il se pose alors un problème qui va nous retenir au chapitre suivant. Une homéomorphie est une correspondance bi-continue, et, effectivement, la conservation des enveloppements, dont les sujets de ce stade III font le principe de leurs comparaisons, suppose la continuité de la courbe envisagée. Seulement de quelle continuité s’agit-il et comment l’enfant procédera-t-il du simple continu perceptif ou intuitif des débuts à un continu intellectuel ou opératoire susceptible de synthétiser en lui les notions de voisinage et de séparation, d’ordre et d’enveloppement ? Pour répondre à une telle question, il s’agit de changer de technique et de substituer aux ficelles, et aux nœuds réels, des lignes ou courbes idéales sur lesquelles s’exercera non plus seulement l’action réfléchie, au cours du stade de 7-8 à 11-12 ans, mais la pensée abstraite elle-même qui débute avec le stade ultérieur.