Chapitre IX.
Les opérations de section ^{1 a} 🔗

Nous présentons à l’enfant un cylindre en pâte à modeler (ou un prisme, etc.) ainsi qu’un grand couteau, et, avant de le couper transversalement, c’est-à-dire selon un plan parallèle à la base, nous demandons au sujet de prévoir la forme que prendra la surface de cette section : à cet effet, nous posons la lame du couteau sur la pâte, sans l’entamer, mais en indiquant avec précision l’endroit où se fera la section ainsi que la direction de celle-ci. On peut naturellement doser, selon les sujets, le plus ou moins grand nombre d’indications préalables, par exemple en commençant à couper, ou en exécutant ensuite la section entière à titre de contrôle. D’autre part (non pas immédiatement après, mais en cours d’interrogatoire, après quelques questions sur d’autres volumes), nous posons les mêmes problèmes pour une section longitudinale (parallèle aux côtés du cylindre ou du prisme, etc.). Voici des exemples de réactions du sous-stade II A, caractérisées par l’indifférenciation de la surface de section et de la forme d’ensemble du volume :

Bra (4 ; 6) : « Je coupe ce rouleau au milieu, comme ça (transversal). Peux-tu dessiner le côté qu’on verra en le regardant là où on a coupé (geste) ? — Non, je ne peux pas. — Essaie. — (Il dessine [p. 298] un ovale allongé, dont les extrémités arrondies figurent le pourtour des tranches circulaires du cylindre et la forme allongée le cylindre lui-même). — Regarde (on coupe). — Ah c’est rond ! — Tu as pensé que ce serait comme ça ? — Non ! »

Ros (4 ; 6) prévoit que la section transversale sera « carrée. — Pourquoi ? — (Il montre l’arête séparant la base du cylindre des côtés, en pensant donc simultanément au plan constitué par la base et à la surface des côtés). — (On sectionne). C’est comme tu croyais ? — Non c’est rond ». Prisme (section transversale) : il dessine un angle aigu sans base puis une longue droite oblique. Coupe longitudinale : il dessine un angle droit, puis un triangle rectangle. Dans les dessins tout faits il choisit le carré mais refuse le rectangle.

Ebe (4 ; 11) dessine un ovale comme Bra, pour la coupe transversale, mais moins allongé. Pour la coupe longitudinale, il commence par dessiner une surface oblongue, hachurée, sans pourtours précis, en disant : « C’est dedans… c’est tout plein. — Mais quelle forme ça aura ? — (Il rajoute alors aux deux extrémités de sa forme allongée deux cercles, mais situés en dessous comme deux roues sous un wagon, en disant) Ça (la partie allongée) c’est dedans et ça (les deux cercles) c’est dehors. — Montre-moi comment on va couper. — On coupe ici où il est long et une moitié sera ici et l’autre moitié là (il montre la moitié de droite du cercle de gauche et la moitié de gauche du cercle de droite, se rappelant donc bien que la coupe longitudinale coupe la base en deux). — Mais dessine-moi seulement ce qu’on verra là où ce sera coupé. — (Il refait le même dessin en disant) Ce sera long. — Lequel ? (On lui présente les dessins à choix : il désigne le rectangle et l’ellipse. — Ce sera comme ça parce que c’est long et ça ça ira aussi. — Maintenant regarde (on sectionne). Dessine toi-même. — (Il dessine alors une forme allongée à côtés parallèles dans la région centrale mais à extrémités arrondies et contenant chacune une figure circulaire ; il montre celle de gauche en disant « On ne verra pas ça, mais ça (celle de droite) ». Il y a donc déjà, la section une fois faite, un début de différenciation perspective mais sans abstraction de la section comme telle, ni surtout de représentation anticipée.

Per (5 ; 0) dessine la section transversale sous la forme d’un court rectangle figurant la moitié du cylindre : « Tu as dessiné ce qui est dedans ? — Oui. — C’est la même chose que ça (cylindre entier). — Oui. — (On coupe). — Ah c’est tout rond ! » Quant à la section longitudinale (bien après) il dessine un long rectangle mais arrondi aux deux extrémités : « Mais ce sera arrondi ici ? — Oui. — Et là ? — Oui. — Mais dedans ? — Aussi ce sera rond. — (On coupe une partie pour faire voir le début). — Ah ! ce sera plat. — Alors regarde ces dessins. Lequel est le juste ? — (Il rejette l’un après l’autre). Ce n’est pas la même chose. — Alors comment ce sera-t-il ? — (Il montre son dessin) Comme ça ».

[p. 299]Pie (5 ; 1). Cylindre (coupe transversale) : un ovale. Pour la boule creuse ² il dessine un petit cercle en disant : « Un petit rond. — C’est la boule ? — Non, le petit trou. — Et la boule ? — Là (il dessine un grand rond à côté) ». Le prisme : « Il sera comme un toit (dessine une sorte de voûte). — Explique-moi où se trouve cette pointe (sommet) ? — C’est pas une pointe parce que la crête (l’arête supérieure du prisme) est longue. — Mais si on coupe et qu’on regarde comme ça ? — Sais pas (il dessine un carré surmonté d’une pointe, puis une surface sans forme et hachurée pour figurer le plan de sectionnement) ».

Pel (5 ; 2) ne parvient, pour la coupe transversale du prisme, qu’à figurer des rectangles irréguliers parce que ce sera « plat dedans » mais le dernier a une petite pointe sur un côté.

Mar (5 ; 9). Cylindre (transversal et longitudinal) : des ovales représentants le cylindre lui-même avec extrémités arrondies. La boule creuse : un cercle plein puis un rond ouvert vers le haut pour figurer le trou intérieur.

Sul (5 ; 11) est incapable de prévoir que la coupe transversale d’un cylindre donnera un cercle et dessine un ovale allongé englobant donc la forme d’ensemble ainsi que le pourtour de la base à l’état indifférencié. Croyant que nous n’avons su nous faire comprendre de l’enfant, nous sectionnons réellement et lui demandons ensuite : « Comment c’est ? — C’est rond. — C’est ce que tu avais pensé ? — Oui, on peut penser maintenant, parce qu’on a coupé ! » Autrement dit, Sul estime qu’il était impossible d’imaginer la section par anticipation…

Fin (6 ; 0) dessine un rectangle (figurant le cylindre entier), puis un trait au milieu (figurant la section transversale) : « Mais si on regarde en face comme ça (on lui montre la base), comment sera la partie coupée ? » Il dessine alors un demi-rectangle, puis un rectangle à extrémités arrondies avec un cercle inscrit en chacune d’elles (comme Ebe vers la fin), puis un seul cercle inscrit dans un rectangle ouvert à l’autre extrémité.

Dessins à choix : il refuse le cercle comme modèle de section.

Arl (6 ; 3) n’arrive pas à isoler la face triangulaire, pour la coupe transversale du prisme et dessine un rectangle (c’est-à-dire un des côtés du prisme), mais avec triangle à chaque extrémité. Pour la coupe longitudinale du prisme il dessine un long trapèze en disant : « Il y a une ligne qui est penchée et une qui est droite » et comme modèle, choisit la parabole. Après la section, il dessine le rectangle sans difficulté.

Parallélépipède (section longitudinale) : il dessine un grand rectangle, mais à l’intérieur duquel sont inscrit trois petits rectangles, deux à l’une des extrémités et le troisième à l’autre : « Qu’est-ce que c’est que ça ? — On verra les trois côtés ».

[p. 300]Bru (6 ; 5). Cylindre (coupe transversale) : « Ce sera tout rouge. — Mais quelle forme ça aura ? — Plat (il dessine un grand carré qu’il hachure). — Et si on le coupe comme ça (section longitudinale) ? — (Il dessine un long rectangle, mais avec une ligne extérieure parallèle à l’un des grands côtés et figurant la moitié de l’objet, entr’ouverte). — Et cette boule qui est creuse dedans, si on la coupe ? — (Il dessine un ovale à partie supérieure contenant un beau cercle mais dont la moitié du pourtour se confond avec celui de l’ovale) ».

Ces réactions méritent un examen attentif. Il serait trop simple, en effet, de soutenir que l’enfant n’a pas compris la question posée, et se borne à dessiner la moitié de l’objet sectionné faute d’avoir saisi qu’on demande seulement la surface de sectionnement. À cette objection préalable, on peut répondre de deux manières : d’une part, les enfants du niveau II B, qui découvriront peu à peu la solution correcte, partent des mêmes erreurs que ceux de ce sous-stade II A, tout en ayant bien compris le problème (puisqu’ils le résolvent en partie) ; d’autre part, les sujets cités à l’instant ne dessinent l’ensemble de l’objet coupé que pour mieux se représenter la surface de section, cette dernière représentation demeurant donc, non pas négligée, mais indifférenciée de la représentation totale, dont il s’agit pour l’enfant de l’abstraire dans la mesure du possible.

Pour comprendre de tels faits, il convient de les replacer dans l’ensemble des conduites projectives de l’enfant. Supposons d’abord, à cet égard, qu’au lieu de demander aux sujets de représenter par anticipation ce que sera la surface de section, nous nous bornions à le prier de dessiner cette surface une fois la section déjà réalisée, le problème se réduirait alors à celui étudié au chapitre VI : imaginer un objet vu sous une certaine perspective, c’est-à-dire reconstituer le côté visible d’un certain point de vue, par opposition à l’ensemble de l’objet. Or, nous savons qu’à ce niveau II A l’enfant ne parvient précisément pas à différencier le point de vue considéré, et demeure attaché à la forme d’ensemble telle qu’il la perçoit habituellement et qu’il représente selon un « mélange de points de vue ». Nous savons de plus que, lorsqu’il s’agit des projections de l’ombre (chapitre VII), ou de la représentation d’un complexe d’objets (chapitre VIII), la réaction est la même : la configuration totale exclut encore toute différenciation.

Or, dans le cas de la section, il intervient deux conditions nouvelles, dont l’une facilite en partie la représentation et dont la seconde ne la complique pas autant qu’il le semblerait, [p. 301] mais dont ni l’une ni l’autre ne permettent encore de dépasser le niveau moyen des intuitions projectives de ce sous-stade. Le premier de ces facteurs nouveaux est que la section esquissée, en tant qu’opération euclidienne, transformera réellement l’objet et non pas seulement la perspective : d’où une centration possible de l’imagination sur le résultat de cette transformation. La seconde condition paraît par contre compliquer de beaucoup les choses : au lieu d’effectuer la section réelle, on demande simplement au sujet de se représenter le résultat d’une section possible, c’est-à-dire d’imaginer projectivement l’intérieur même de l’objet, sectionné par un plan idéal. Mais chacun sait que le dessin des petits, au niveau où ni les rapports euclidiens ni les rapports projectifs ne sont encore différenciés des représentations topologiques élémentaires d’enveloppement, etc. (voir chap. II § 2), figure précisément l’intérieur des objets aussi bien que l’extérieur (par exemple, l’intérieur d’une maison vu par transparence ; des pommes de terre vues dans le sol ou dans un estomac, etc.). Cette seconde condition constitue donc un obstacle moins grave qu’il ne semblerait au premier abord. Seulement, cet « intérieur » n’est pas imaginable projectivement, pas plus que la section esquissée n’est encore représentable euclidiennement : aussi l’enfant de ce niveau en demeure-t-il à un dessin caractérisé par le « mélange des points de vue », où il juxtaposera pêle-mêle l’image de l’objet coupé vu de l’extérieur, celle de l’objet entier vu de l’intérieur et du dehors à la fois, celle de la section en tant qu’action de la lame de couteau, celle du plan de sectionnement, etc., sans pouvoir différencier aucun de ces « points de vue ».

Les faits cités se caractérisent donc par deux réactions : d’une part, le « point de vue intérieur » constitué par la surface du sectionnement annoncé n’est ni mieux ni plus mal différencié des autres points de vue possibles que l’un des points de vue perspectifs ou projectifs quelconques relatifs au même objet ; d’autre part, le dessin devant représenter cette surface de sectionnement constitue un mélange inextricable de tous les points de vue, y compris (mais sans différenciation définie) ce point de vue intérieur.

Nous voyons, par exemple, Bra représenter le cylindre coupé transversalement par une ellipse où figure sur le même plan la forme allongée du cylindre et l’incurvation de sa base (ou de ses tranches possibles). Ros dessine un carré pour marquer l’angle droit que fera le couteau par rapport aux côtés du cylindre, et un angle aigu pour figurer l’entaille du couteau sur l’arête du prisme, mais il ferme son carré et ensuite son triangle pour [p. 302] y englober la surface de sectionnement. Ebe insiste d’abord sur le volume intérieur de l’objet (« c’est dedans, c’est tout plein ») puis, pour donner à ce contenu une forme, il exprime à la fois la longueur de la surface de coupe (longitudinale) par une ellipse, et la surface extérieure de la base et du sommet du cylindre par deux cercles. Fin partage d’abord un long rectangle par une ligne figurant l’acte même de la section, puis dessine un demi-rectangle pour montrer la partie sectionnée, en arrondit les extrémités pour figurer la surface de section et va jusqu’à inscrire un cercle à l’intérieur des extrémités du demi-rectangle, puis à l’intérieur de l’une d’entre elles en laissant l’autre intentionnellement ouverte : tous les points de vue sont donc mêlés, successivement ou simultanément. La forme la plus fréquente attribuée aux sections du cylindre consiste ainsi à réunir l’image de la structure d’ensemble de l’objet à la représentation d’une surface quelconque de section, y compris souvent une ligne ou un angle figurant le début de l’acte même de sectionner. Or, la preuve que, tout en incluant dans son dessin un plan quelconque de sectionnement, le sujet n’a pas différencié la forme de cette surface, est, d’une part, qu’il ne reconnaît ni le cercle ni le rectangle (sections transversale ou longitudinale) dans les dessins tout faits présentés à choix, et, d’autre part, qu’il est toujours fort étonné, la section une fois effectuée, par la surface de coupe qu’il perçoit alors : « Ah c’est rond ! » disent Bra et Per, et surtout : « on peut penser maintenant qu’on a coupé ! » (Sul).

Les représentations des sections du prisme, du parallélépipède et même de la boule creuse (malgré sa facilité relative) ne donnent pas d’autres résultats : on y retrouve, d’une part, le mélange des points de vue, c’est-à-dire l’indifférenciation des différents plans, juxtaposés et non pas coordonnés entre eux, et, d’autre part, l’indifférenciation entre la surface de section et les pourtours du volume entamé par l’action même de couper (par exemple, pour la coupe transversale du prisme, Pel figure une surface vaguement rectangulaire parce que ce sera « plat dedans », jointe à une petite pointe représentant l’arête entamée par le couteau, etc.).

Si le sous-stade II A correspond ainsi exactement à l’indifférenciation des points de vue déjà constatée aux chapitres VI et VII à propos de la perspective des objets isolés et de la projection de leurs ombres, le sous-stade II B témoigne du même parallélisme en marquant un début de différenciation des plans, la surface de section étant dégagée en certains cas du pourtour du volume :

[p. 303]Ans (6 ; 2) commence, comme en II A, par dessiner un long rectangle pour représenter la coupe transversale du cylindre, puis il le coupe par une droite transversale et dessine un rectangle plus court de moitié : « Mais peux-tu dessiner seulement le côté coupé ? — C’est difficile, si vous ne coupez pas. Non je ne sais pas (il regarde le couteau sur la surface du cylindre et arrondit les angles de son rectangle). Ah, ce sera rond. Si on coupera, ce sera rond (il dessine un cercle) ». Pour le prisme, par contre, il manque le triangle et en reste à une sorte de rectangle.

Ren (6 ; 3) commence également par un rectangle coupé transversalement (pour la section transversale du cylindre), puis ajoute deux cercles sous les extrémités (comme Ebe au sous-stade II A), puis, lorsqu’on commence à sectionner l’objet il dessine un nouveau rectangle qu’il arrondit aux extrémités et qui finit par une ellipse. Pour la coupe longitudinale, il débute également par un rectangle avec un cercle sous chaque extrémité, puis il relie l’un à l’autre de ces deux cercles par un trait figurant la section et termine ses essais par une figure irrégulière ressemblant à un trapèze.

Rau (6 ; 4) trouve d’emblée, pour la coupe transversale du cylindre, que « ce sera rond ». Par contre, pour la coupe longitudinale, il dessine un arc de cercle avec sa corde en précisant « là (l’arc) c’est ça (la courbure de la surface) là (la corde) c’est la ligne coupée (le plan de sectionnement) ». Ce n’est qu’une fois la section presque achevée qu’il dessine un rectangle. Mais, pour une section oblique (ellipse), il aboutit presque : « Je ne peux pas dessiner. — Alors cherche dans ces dessins. — (Il montre la parabole). C’est ça. — Pourquoi ? — … — Ça pourrait être un autre ? — Ça (ellipse) irait aussi. — Et ça (triangle) ? — Non. — Et ça (cercle) ? — Ça pourrait aussi être comme ça. — Alors choisis (cercle, ellipse et parabole). — (Il regarde le cylindre). Si on coupe droit c’est rond, mais si on coupe comme ça (oblique) c’est ça (ellipse) ».

May (6 ; 4), pour le parallélépipède (coupe longitudinale), commence par un simple trait horizontal, puis fait un rectangle coupé par une médiane, enfin un rectangle simple. Pour le cylindre, par contre, il donne deux droites parallèles (coupe longitudinale) sans les fermer. Pour la boule creuse, il aboutit à un cercle dont un secteur est enlevé (comme un gâteau dont il manque une tranche).

Let (7 ; 2). Coupe transversale du cylindre : Let dessine d’abord un rectangle à extrémités arrondies, puis il inscrit un cercle dans l’une de ces extrémités, après quoi il dit : « Là, au bout, c’est rond, alors ce sera aussi un rond si on coupe au milieu ».

Mag (7 ; 4). Coupe longitudinale du cylindre : « Ce sera ovale (dessine une ellipse). Non, ce sera comme dehors (dessine un rectangle). » La sphère creuse : il dessine une hémisphère accolée à une droite et un demi-cercle, inscrit marquant le trou, figurant [p. 304] ainsi la section simple vue elle-même en coupe latérale, plus l’acte de sectionner figuré par la droite.

Var (7 ; 7) pour une coupe oblique du cylindre (ellipse) commence par dessiner un triangle curviligne puis dit : « Je ne peux pas. J’aimerais mieux que vous coupez ». Sollicité de prévoir quand même, il dessine alors le cylindre vu de côté, comme un rectangle et trace une diagonale figurant la coupe oblique ; après quoi il arrondit cette ligne oblique aux deux extrémités et aboutit ainsi à une sorte d’ellipse ouverte. Coupe transversale : cercle immédiat.

On assiste ainsi, au cours de ce sous-stade II B, à une différenciation progressive des points de vue, à partir d’un mélange semblable à celui qui caractérise le niveau II A. Or, le mécanisme de cette différenciation apparaît très visiblement dans les réactions précédentes et cela sous la forme d’un constant échange entre les intuitions euclidiennes et les intuitions projectives, c’est-à-dire entre les intuitions de mouvement, d’une part, et les changements de points de vue qui en résultent, d’autre part. Rappelons, d’abord, que cette mutuelle dépendance entre les intuitions euclidiennes et projectives est la règle, tant dans le domaine des perspectives et projections que dans celui des sections. Sitôt dépassé le niveau des intuitions topologiques élémentaires, dans lesquelles on ne distingue encore ni mouvements ni points de vue, c’est la représentation euclidienne des déplacements ou changements de position possibles qui conduit à imaginer les premières perspectives et les premières projections, et inversement ce sont ces perspectives et ces projections qui permettent de distinguer ces positions, et par conséquent de se représenter les mouvements. Or, il en va exactement ainsi en ce qui concerne les sections, l’opération euclidienne étant constituée par le mouvement même de sectionnement et l’opération projective par la transformation corrélative des points de vue, c’est-à-dire par la représentation des sections, laquelle implique la section, au moyen d’un plan imaginé, des divers volumes eux-mêmes imaginés projectivement.

Suivons à cet égard la marche du raisonnement de nos sujets, en la schématisant, mais sous une forme dont on retrouve un équivalent au moins partiel en chacun des cas précédents. Le point de départ est une représentation de l’objet lui-même, comportant, comme au niveau II A, tous les points de vue mêlés : le cylindre est, par exemple, un rectangle allongé, comportant deux cercles inscrits ou adjacents aux extrémités pour figurer la base et le sommet (voir Ren et Let) : cette [p. 305] représentation initiale n’est donc proprement ni euclidienne ni projective, mais indifférenciée et dominée encore surtout par les voisinages et enveloppements topologiques. Puis vient la représentation du sectionnement comme tel, en tant que mouvement ou intuition euclidienne du déplacement : Ans dessine ainsi une droite qui coupe transversalement son rectangle (et figure même ensuite le rectangle raccourci de moitié en tant que résultat du sectionnement) ; Ren figure la même droite transversale, ainsi que (pour la coupe longitudinale) une oblique reliant les deux cercles extrêmes ; Rau représente la section par la corde d’un arc, May par la médiane d’un rectangle, Mag par une droite accolée à l’hémisphère creuse, Var par une diagonale. La troisième étape consiste à incurver ces diverses droites de manière à ce qu’elles épousent la forme du volume sectionné. Cette troisième étape a donc une grande importance, en tant que marquant le passage de l’intuition euclidienne du mouvement de sectionnement (figuré par la droite simple) à la représentation projective de la surface de section, mais, avant de pouvoir atteindre la représentation de cette surface, il lui faut imaginer son pourtour, c’est-à-dire la ligne le long de laquelle le couteau va mordre sur le volume : c’est ainsi que Ans regarde le couteau sur la surface courbe du cylindre et qu’il arrondit les angles de son rectangle ; Ren procède de même ; Var incurve les extrémités de sa diagonale jusqu’à aboutir à une ellipse ouverte, etc. Enfin, en possession de cette représentation mi-euclidienne mi-projective (qui est une sorte de « développement » de la ligne de coupe) le sujet imagine projectivement la surface de sectionnement : « Ce sera rond » dit Ans après avoir arrondi son rectangle ; Ren aboutit à une ellipse (pour la coupe transversale du cylindre) ; Let passe directement des premières étapes à cette dernière par analogie avec la base du cylindre, etc.

Au niveau du stade III, enfin, la représentation projective du plan de section, autrement dit de la surface même de sectionnement, est obtenue d’emblée, et cela, dès le niveau III A, pour ce qui est des cylindres, prismes, parallélépipèdes et de la boule creuse :

Alo (5 ; 8 avancé). Cylindre (coupe longitudinale) : « Ce sera tout plat (il dessine un rectangle). — Et comme ça (transversal) ? — Ce sera rond. » La boule creuse : il dessine un petit cercle inscrit dans un grand.

Dan (6 ; 8). Mêmes réactions pour le cylindre. Pour la boule creuse il dessine un cercle en disant « il y aura un creux dedans » puis il inscrit un petit cercle dans le premier.

[p. 306]Dols (7 ; 2). Cylindre à couper transversalement : « C’est comme ça (il dessine un cercle). — Et si on coupe ici (longitudinal) ? Ça fera ça (un rectangle). — Et ça (un prisme, transversalement) ? — (Un triangle) ».

Ger (7 ; 11). Le cylindre transversalement : « un rond. — Et si on coupe de côté (ellipse) ? — Il est comme un tronc d’arbre, ça fera ça (ovale) ». On présente d’autres dessins à choix pour cette coupe oblique : il rejette la parabole « parce que ça devrait être aussi rond en bas ».

Deux questions se posent à propos de ce troisième stade : la représentation immédiate de ces sections suppose-t-elle, en fait, une section de caractère projectif, et pourquoi celle-ci paraît-elle plus facile que les perspectives et projections relatives aux mêmes objets ou à des objets analogues ?

Sur le premier point, il ne saurait plus y avoir de doute, précisément parce que la représentation de ces sections est quasi instantanée (par opposition aux étapes distinguées dans les réactions du niveau II B) et qu’elle a lieu avant toute section effective (c’est-à-dire euclidienne). Même pour l’adulte, un volume tel qu’un cylindre, un prisme, etc. (à commencer par un cube ou une sphère) ne saurait donner lieu qu’à une représentation projective, car, tout en étant capables de considérer une surface comme si nous la recouvrions en chacune de ses parties grâce à une sorte de congruence réelle (mesure) ou virtuelle, nous ne pouvons plus procéder ainsi pour un volume : nous pouvons certes imaginer, à titre de mesure, une série de petits plots cubiques remplissant tout l’espace et égaux entre eux si loin que nous les placions par rapport à nous, mais nous ne pouvons précisément établir leur égalité que par la congruence de leurs arêtes ou des surfaces de leurs côtés, et non pas par une congruence directe de leurs volumes. C’est pourquoi nous ne pouvons nous représenter un volume à la manière d’une ligne ou d’une surface, c’est-à-dire par une simple juxtaposition de points de vue successifs chacun d’entre eux résultant de l’application directe d’un objet sur les parties de cette ligne ou de cette surface (congruence) : la représentation du volume suppose la coordination de points de vue hétérogènes entre eux, c’est-à-dire précisément une intuition projective. Cela étant, lorsque l’enfant de ce stade III se représente la surface de section avant toute section effective, c’est-à-dire avant tout mouvement, il lui faut donc intuitionner le volume sous une forme projective, donc en tant que constitué par une gerbe de droites, et sectionner en pensée cette gerbe par un plan également imaginé de façon projective : c’est en ce [p. 307] sens que la représentation des sections euclidiennes suppose elle-même une section projective.

Mais alors pourquoi celle-ci est-elle plus facile que la représentation des perspectives ou des projections (ombres portées) relatives aux mêmes objets ? Le cylindre, par exemple, employé dans les présentes expériences, est comparable au bâton ou au crayon utilisé au chapitre VI : or, la section circulaire du cylindre est découvert souvent dès le niveau II B tandis que la perspective circulaire du bâton vu de « bout » n’est acquise qu’au stade III. La raison en est, sans doute, que les rapports entre les déplacements euclidiens et les points de vue projectifs est moins direct dans le cas des perspectives que dans le cas de la section où le mouvement de coupe suit la forme même du volume, et surtout où il détermine une nouvelle forme définie, tandis que la rotation de l’objet ou celle de l’observateur autour de l’objet modifient selon le point de vue l’ensemble des rapports qui caractérisent cet objet. Mais c’est surtout à propos des sections coniques que ce léger décalage va se marquer.

Appliquons maintenant le même procédé d’interrogation aux sections coniques, en posant les quatre questions suivantes : la coupe parallèle à la base du cône et donnant le cercle ; la coupe perpendiculaire à la base et passant par le sommet du cône, ce qui donne un triangle ; la coupe oblique des côtés du cône aboutissant à l’ellipse ; la coupe portant à la fois sur les côtés et la base, et donnant la parabole.

On retrouve les trois mêmes stades. Voici des exemples du niveau II A :

Ros (4 ; 6) : « Qu’est-ce que c’est que ça (le cône) ? — Un clocher. Bien. Si je le coupe comme ça (triangle) qu’est-ce qu’on verra sur le côté que j’aurai coupé (a déjà passé par l’épreuve du cylindre) ? — (Ros dessine un cercle, puis ensuite un triangle mais à base circulaire, représentant ainsi le demi-cône en entier) ». Coupe horizontale : « Ce sera plat (dessine une forme fermée vaguement circulaire) ». Parabole : dessine un grand cercle. « Montre où je vais couper. — (Ros montre correctement du doigt le pourtour de la section puis dessine un cône qu’il coupe d’un trait vertical). — Et ça (son dessin circulaire) où est-ce ? — (Il montre la base du cône). — Mais c’est tout ce qu’on verra si on coupe comme ça ? — Non (il met un point au milieu du cercle pour figurer le sommet du cône). — Mais dessine seulement la partie où c’est coupé, comme si on cachait le reste avec le doigt. — (Il dessine le cône entier). — Mais j’enlève ça (on montre sur le cône la section [p. 308] annoncée) ; que verra-t-on là ? — (Il dessine un carré et montre le côté supérieur comme équivalant au sommet de la parabole et les côtés latéraux comme correspondant aux branches de la parabole). — Tiens ces dessins, lequel est le plus juste ? — (Choisit le carré et le rectangle). — Pourquoi ? — Parce qu’on coupe. — Et ça (ellipse et parabole). — Peut-être. — Quel est le plus juste ? — (Le rectangle) ».

Pie (4 ; 11). Coupe horizontale : « (Il dessine deux cercles séparés par un petit espace). — C’est juste ? — Oui, parce que c’est rond dedans (il réunit les deux ronds par deux traits pour indiquer que le supérieur est le cercle résultant de la coupe et que l’inférieur est la base du cône). Non, ce sera long parce que ça (le cône) est long (il dessine un ovale). Non ça ne va pas (il dessine une droite horizontale figurant la coupe et surmontée d’un arc de cercle figurant le pourtour du cône) ». L’ellipse : il dessine un cône coupé par un trait oblique figurant correctement la ligne de section, puis figure une sorte de triangle mais à sommet et base arrondis. On lui présente alors des dessins à choix qu’il récuse tous sauf le triangle. On dessine ensuite une ellipse hachurée, un rectangle hachuré et de longs traits parallèles sans forme définie : il choisit le troisième « parce que ce sera long à travers ». Coupe triangulaire : il dessine un cercle surmonté d’un triangle (le tout figurant le cône entier) puis coupe le cercle d’un trait figurant la section.

Per (5 ; 10). Coupe horizontale : il dessine une sorte d’éventail, puis supprime le sommet pour ne retenir qu’un demi-cercle. Coupe triangulaire : il dessine d’abord un plan hachuré sans pourtour net mais de forme vaguement rectangulaire, en disant : « C’est plat. — Et sa forme ? — Ce sera rond (montre la base) et tout droit (section verticale). — Comme ça (modèle du triangle) ? — Il est maintenant comme ça, mais quand on aura coupé, ça sera rond ». Parmi les dessins à choix il désigne alors le rectangle, l’un des angles figurant le sommet du cône et la surface du rectangle le plan de section.

Jor (6 ; 2) prévoit un cercle aussi bien pour la coupe parabolique que parallèle à la base, par ce que « si on regarde au-dessus (du cône), on voit qu’il est rond. ³ — Mais si on le coupe comme ça (parabole) ? — Ça se ressemble, mais seulement ici (courbure supérieure de la parabole ébauchée). Le rond est sûr : on peut le mettre sur ce dessin (il pose le cône sur le cercle, comme si cela prouvait ce qu’il veut contrôler : voir note 1) ». Pour la coupe oblique (ellipse) il dit d’abord : « Si vous traversez ça donne ça (il dessine un cône traversé par un trait oblique). — Mais si on regarde à l’intérieur ? — (Il dessine un quadrilatère irrégulier). — Choisis dans ces dessins celui qui va le mieux. — (Il montre le rectangle). [p. 309] — Comment coupe-t-on ? — (Il montre correctement le pourtour) On part d’ici et on coupe jusque là. — Ce dessin irait (l’ellipse) ? — Peut-être parce qu’autour ce serait comme ça (montre le tour de la section). — Alors lequel est le plus juste ? — Ça (montre le rectangle) et pas ça (ellipse) parce que c’est trop épais. Ça sera ça (rectangle) parce que c’est plat ». De même, pour la parabole à laquelle on revient, il dessine une sorte de trapèze et choisit un rectangle « parce que ce ne sera pas rond, ce sera carré » (il pense à l’angle entre la base du cône et le côté).

On voit assez en quoi les faits confirment et complètent ceux du même niveau II A recueillis à propos du cylindre, du prisme, etc. : dans tous ces cas l’enfant ne parvient pas à abstraire la surface de section pour cette simple raison qu’il veut tout voir à la fois et que, se refusant à envisager le cône relativement à une perspective donnée, il n’arrive ni à isoler en pensée le côté qui sera coupé ni à se le représenter en coordination avec les autres.

Pour ce qui est des coupes parallèles à la base (cercle) ou perpendiculaires (triangle), la question est très analogue à celle des coupes transversales et longitudinales du cylindre, etc. Or, tout en sentant bien que la surface de sectionnement sera plus ou moins circulaire dans le premier cas et de forme analogue à celle du cône entier, dans le second cas, le sujet ne parvient pas à abstraire un cercle ou un triangle simples. Ainsi Pie, après avoir dit clairement que « c’est rond dedans », se croit obligé de figurer, outre le cercle de section, celui de la base et les côtés du cône tronqué, montrant par là que le premier cercle représentait moins la surface de coupe que la ligne d’incision : aussi, lorsqu’il veut abstraire la surface de sectionnement elle-même, commence-t-il par une ellipse pour tenir compte à la fois de la hauteur du cône et de sa base circulaire, après quoi il revient à un dessin mélangeant tous les points de vue. De même Per, pour la coupe triangulaire, veut indiquer à la fois la surface de sectionnement (« c’est plat ») la base arrondie et la hauteur (« ce sera rond et tout droit »), d’où l’impossibilité de figurer tout cela sur un même plan !

Quant à l’ellipse et à la parabole (qui seront découvertes au stade III et ne dépassent donc nullement le niveau moyen de compréhension des enfants de 7 à 8 ans !) leur représentation accentue naturellement encore le mélange des points de vue. C’est ainsi que Ros, pour imaginer la surface résultant de la coupe parabolique, regarde le cône d’en dessus et dessine d’abord un cercle contenant un point central figurant le sommet. Jor commence de même et en conclut que le rond est un [p. 310] des attributs du cône : « le rond est sûr », d’où la réduction de la parabole à un cercle ; quant à l’ellipse, dont le sujet suit parfaitement le pourtour sur le volume conique lui-même, Jor en fait une surface rectangulaire « parce que c’est plat ».

Au cours du sous-stade II B, ce mélange des points de vue fait place à une différenciation progressive :

Cha (5 ; 10) trouve d’emblée le cercle pour la coupe parallèle à la base, par comparaison avec celle-ci. Pour la coupe triangulaire il commence par un cercle, puis l’exclut « parce qu’à l’intérieur ce ne sera pas rond » et pense à un rectangle « parce que c’est plat comme ça ». Par contre pour la parabole, après avoir dit « ça sera un petit rond » il regarde la section projetée et dit « il faut faire plat comme ça (une ellipse), ce sera plus juste », puis, lorsqu’on commence à couper, choisit la parabole en constatant que les côtés ne se rejoignent pas. Pour l’ellipse il part aussi du cercle, mais en suivant la ligne de sectionnement, parvient à choisir l’ellipse parmi les dessins tout faits.

Clav (6 ; 2), pour le cercle, dessine un rond surmonté d’une pointe qu’il enlève ensuite. Pour l’ellipse, il débute par un rectangle puis dit que « si on coupe à travers… » sans finir sa phrase et choisit l’ellipse. Il manque par contre la parabole.

Ans (6 ; 2 cité au § 1, pour la coupe parallèle à la base), dit « il n’aura pas la pointe » et dessine d’abord la pointe à enlever, puis ajoute « ça sera comme ça après (montre la base). Après la coupe, il sera rond, parce qu’un bout aura la pointe et l’autre bout est rond. Si on coupe le cylindre, il est aussi rond ». Coupe verticale : « Ça donnera toujours cette forme (la forme triangulaire du cône, qu’il se met à dessiner) Ah ! mais c’est un triangle ! » Pris alors de doute, il le rend curviligne à la base. — Parabole : « C’est un peu difficile. Si vous coupez un petit morceau, ce sera comme ça (il dessine un cône avec un creux, vu en profil). — Mais la partie coupée sera comment ? — (Il dessine un triangle curviligne avec un côté convexe, l’autre concave et un petit cercle extérieur placé dans la concavité, puis il fait une ellipse, et découvre ensuite que les côtés descendants ne se rejoignent pas) ».

Mag (7 ; 4 cité au § 1) dessine, pour la coupe parallèle à la base, un cône tronqué vu de côté puis un cercle. — Parabole : il figure d’abord la coupe par un trait vertical sur le cône, puis dessine un rectangle, regarde la ligne de sectionnement, en arrondit les angles. Il lui substitue un triangle à l’intérieur duquel il inscrit enfin une parabole. Pour l’ellipse, il débute par une droite oblique, « ici c’est en pente » puis dit « c’est rond » et aboutit à une sorte d’arc de cercle, à corde droite et à arc elliptique ; il dessine enfin une ellipse penchée et, sur les dessins à choix, désigne l’ellipse, en précisant : « Oui, mais il faut voir en pente », c’est-à-dire conserver un axe incliné.

[p. 311] On retrouve, au début de chacune de ces réactions, le mélange des points de vue du niveau précédent. Mais au cours du sous-stade II A la surface de section demeurait indifférenciée parce que simplement juxtaposée aux autres plans, sans coordination : son caractère « plat » était, par exemple, affirmé à part, tandis que son pourtour restait indissociable de celui des côtés du volume antérieurs à la section. Par contre, dans les réactions qu’on vient de lire, un double mouvement de différenciation et de coordination permet de dégager la forme de la surface de section en opposant en pensée, le morceau coupé à celui qui reste et en s’appuyant sur la ligne de sectionnement pour déterminer la surface qu’elle enferme. Il est bien difficile de suivre les démarches internes qui déterminent ce progrès, mais on voit intervenir corrélativement (comme à propos des cylindres, etc. du paragraphe 1) l’intuition euclidienne des mouvements de sectionnement et la mise en relations projectives des points de vue successifs attachés à ces mouvements : alors qu’au niveau II A la ligne de sectionnement est simplement juxtaposée aux autres caractères de la figure, elle devient au présent niveau l’indice d’un point de vue nouveau distinct des précédents et à coordonner avec eux, cette coordination demeurant, par ailleurs, simplement intuitive, sans atteindre le caractère opératoire.

Au cours du stade III, par contre, la section apparaît comme immédiatement représentable et se coordonne avec l’ensemble des représentations projectives du volume, ce qui lui confère un caractère d’opération proprement dite :

Pau (6 ; 4). Coupe parallèle à la base : « Ça fera un rond, parce que c’est la même forme ». Coupe perpendiculaire à la base : dessine immédiatement un triangle. Ellipse : il regarde de côté la ligne de sectionnement ébauchée et dit « Ça aura cette forme ». Il dessine alors une ellipse. Parabole : il regarde la ligne de sectionnement et dessine immédiatement une parabole, avec trait horizontal à la base.

Mort (7 ; 11). Cercle : « Ce sera rond parce qu’en bas (la base) c’est rond ». Coupe triangulaire : d’emblée juste. Parabole : « Ça donnera un carré, parce que vous coupez là, non ce sera rond en haut (sommet de la section) ». Il dessine alors une parabole. Ellipse : « Ce sera la même chose, mais sans les coins ici (les angles de la base) ; ce ne sera pas tout à fait rond parce qu’il y a une descente ». Il dessine l’ellipse.

Bal (8 ; 0). Parabole : « Ça donnera un rond, non parce que ça va jusqu’en bas et ici il y aura des angles ». Dessine d’emblée la parabole. Cercle : « Ce sera rond comme en bas ». Ellipse : « Un rond, non un peu allongé » (dessine l’ellipse) ».

[p. 312] On est surpris de trouver, dès le début du stade III, des prévisions exactes de la section du cône en cercles et en ellipses, alors qu’il faut attendre le stade IV pour que l’enfant prévoie les mêmes formes lors de la projection des ombres portées (voir chapitre VII, paragraphe 5). On est encore plus surpris de voir des enfants de 7 à 8 ans d’âge mental découvrir la parabole en tant que résultant d’une section non encore effectuée, mais anticipée par la seule représentation. Or, dans le cas des sections intervenant dans la projection des ombres portées, il intervient, comme nous l’avons vu, un emboîtement des divers plans de sectionnement les uns dans les autres, de telle sorte que l’enfant doit imaginer le cercle de plus grand diamètre du cône comme interceptant la projection des autres parties de l’objet. Dans les sections intervenant ici, il ne s’agit au contraire que de se représenter la section correspondant au plan déterminé par la lame du couteau. Quant aux paraboles, on voit, par les cas de Mort et de Bal, qu’elles dérivent sans plus soit de rectangles dont on arrondit la partie supérieure, soit de cercles que l’on ouvre à la partie inférieure jusqu’au parallélisme des deux côtés ouverts. Sitôt acquise la méthode de mise en correspondance entre l’intuition des mouvements constituant la ligne de sectionnement et l’intuition des points de vue constituant la projection du volume et l’image du plan de section, la construction de la parabole n’excède donc pas en difficulté celles du cercle, de l’ellipse ou du triangle.

L’inconvénient des volumes précédents, que nous avons choisis pour permettre la comparaison de leurs sections avec les perspectives et les projections des chapitres VI et VII, est que la forme de la surface de sectionnement étant trop semblable à celle de l’objet entier ou de certains de ses côtés, on peut se demander si le mélange des points de vue caractéristique du niveau II A n’est pas influencé par le fait même. Nous avons donc tenu à contrôler les résultats précédents en examinant encore les sections transversales de diverses formes plus complexes. Il s’agira des structures suivantes :

(1) un anneau formé d’un cordon cylindrique de pâte à modeler, mais se refermant sur lui-même : la coupe demandée ne porte que sur un seul segment sectionné transversalement et se réduit donc à un petit cercle. (2) un anneau pareil au précédent, mais à section carrée et non pas circulaire. (3) un objet plat formé de deux disques reliés l’un à l’autre par une tige [p. 313] parallélépipédique : on demande alors la section transversale en un point quelconque (= rectangle court) et la section longitudinale totale (= long rectangle). (4) une étoile à quatre branches avec section, soit de l’une des branches (= petit rectangle ou carré), soit de l’extrémité d’une branche à celle de la branche opposée (= long rectangle). (5) un cornet formé de deux couches de pâte de couleur différente enroulées en spirale devant l’enfant. (6) une tresse formée de deux cordons de pâte enlacés. (7) une hélice formée d’un cordon de pâte à modeler enroulé à la manière d’un escargot allongé ou d’un tire-bouchon ⁴.

Dans le cas de ces diverses formes complexes, il est beaucoup plus visible encore qu’avec les formes simples qu’au niveau II A le sujet demeure toujours incapable d’abstraire la surface de section de la structure d’ensemble de l’objet :

Pie (5 ; 1) dessine, pour l’anneau (1), une ligne semi-circulaire interrompue sur quelques mm : « Pourquoi tu laisses ouvert là ? — Parce que c’est coupé. — Mais je voudrais que tu me dessines seulement ce qu’on verra à l’intérieur, là où le couteau a passé. — (Il dessine un trait vertical) ». Pour l’anneau (2) également, on n’obtient qu’un trait vertical. Pour l’escargot (7), il dessine un début de spirale, puis, comme on insiste sur la surface de section, il figure un double trait symbolisant l’acte de couper les deux bords. Dans les dessins à choix, il refuse tout ce qui ne comprend pas la forme extérieure de l’objet. Pour le cornet coupé transversalement il ne prévoit pas l’enveloppement et dessine horizontalement deux traits de couleur l’un sur l’autre (et non pas une spirale à deux couches superposées).

Mar (5 ; 9) dessine également un cercle interrompu, pour l’anneau coupé : « Mais qu’est-ce qu’on verra ici à l’intérieur, où le couteau a passé ? — (Il reproduit la figure ouverte). — Regarde (on coupe). — Un rond (il dessine le cercle de section). — Et avec celui-là (section carrée) ? — (Il dessine un double trait pour marquer la coupe) ». Le double disque (3) : il dessine l’ensemble de la forme avec des traits marquant les coupes. « Mais à l’intérieur ? — (Il dessine un nouveau trait vertical) C’est comme ça que passe le couteau. — Mais il ne fera pas simplement une ligne ; qu’est-ce qu’on verra dedans ? — (Il refait un trait lentement comme pour indiquer un plan) ». Pour l’escargot il s’en tient à la forme extérieure et pour le cornet il dessine un rond rouge inscrit dans un rond vert (sans tenir compte de la spirale, c’est-à-dire de l’enroulement du cornet tel qu’il vient de le constater).

[p. 314]Sol (6 ; 6). Double disque : il reproduit la forme générale qu’il sectionne d’un trait. L’étoile (coupe longitudinale) : il dessine deux tranches vues de dessus, à l’exclusion des deux autres. La tresse (6) : « Ce sera tout plat (dessine un rectangle). Le cornet (5) : il dessine un petit carré rouge inscrit dans un rectangle vert et accolé à l’un de ses côtés. Escargot : dessine un seul trait figurant la coupe.

Dan (6 ; 8). Anneau (1) : un cercle coupé par un trait. « Mais dessine ce qu’on verra dedans. — Je crois que c’est ce que j’ai fait. — Regarde (on coupe). — Ah un rond ! — Et avec celui-là (anneau 2 à coupe carrée) ? — Ce sera rond aussi. — Pourquoi ? — (Il montre la forme circulaire d’ensemble). Double disque : dessine tout l’objet, puis un plan sans forme extérieure. L’étoile : dessine un triangle très pointu pour rappeler l’un des bras.

Ry (6 ; 10). Double disque, coupe longitudinale. Il dessine tout l’objet traversé par une droite. On lui demande alors de fabriquer la moitié (en long) de l’objet avec de la pâte à modeler, en prenant comme modèle son propre dessin : « J’sais pas. J’ai jamais fait ça. — Mais tu pourrais le faire entrer ? — Oui (le fait juste). — Essaie maintenant de le faire coupé comme sur ton dessin. — (Il refait l’objet entier, mais plus mince, comme si la coupe portait sur l’épaisseur, contrairement à son propre dessin !). — (On partage). C’est ça ? — Non je ne peux pas. L’entier je peux, mais pas la moitié ! »

Avant de discuter ces faits, examinons ceux du niveau II B où, comme d’habitude, débute la différenciation entre la surface de sections et les autres plans caractérisant la forme d’ensemble de l’objet :

Met (6 ; 6) dessine l’anneau (1) coupé sous la forme d’un demi-anneau vu par-dessus. « Non, juste l’endroit où passe le couteau. — (Il dessine alors un petit cercle, mais à l’intérieur duquel il en inscrit un second, par confusion entre la surface de coupe et la forme de l’objet total). Ah non (il dessine un cercle simple). — Et avec cet anneau-là (2) ? — (Il dessine d’emblée un carré) ». Pour l’escargot de même, Met débute par une spirale tout en comprenant bien qu’il s’agit de représenter la surface de coupe. Après quoi il le remplace par une sorte de crochet en S puis par un rectangle, à l’intérieur duquel il finit par inscrire une suite d’arcs de cercle (ce qui est donc presque juste sauf l’inclinaison des tours de spire).

Par (6 ; 8). Anneau (1) : dessine d’emblée un petit cercle, mais pour l’anneau (2) à coupe carrée il dessine également un rond. « Tu crois ? — (Il regarde les côtés les uns après les autres). Ah non, ce sera carré ». Pour les deux disques (3) en coupe longitudinale il commence par dessiner une ligne semblable à une accolade (︸) et représentant simplement la moitié du pourtour extérieur de la figure, puis la rectifie mais sans atteindre la forme d’un rectangle. Pour la coupe transversale il dessine un demi-cercle [p. 315] (même principe : moitié du pourtour extérieur) puis atteint une sorte de carré. Pour l’étoile (4) il débute par un arc de cercle puis dessine un rectangle correct. La tresse (6) par contre donne lieu au dessin d’une longue ellipse entourée de petits arceaux juxtaposés, sans l’inclinaison. Le cornet (5) : un rond rouge entouré d’un rond vert, puis un début de spirale. Le tire-bouchon (7) : une sinusoïde.

Au cours du stade III (7-8 à 10-11 ans) les formes (1) à (4), qui ne dépassent pas en difficulté les volumes étudiés aux paragraphes 1 et 2, donnent lieu à des réponses correctes (avec un léger retard pour le double disque et l’étoile). Par contre, les formes (5) à (7), qui impliquent un principe de spirale, ne sont pas réussies malgré les tâtonnements progressifs présentés par les sujets :

Gil (7 ; 4). L’escargot (7) : d’abord une figure fermée en forme de haricot, puis un nœud à plusieurs enlacements, mais sans spirale. Le cornet (5) : un arc de cercle dont les deux segments extrêmes sont rouges et le segment médian vert. Tresse (6) : une sinusoïde.

Jea (7 ; 9). Escargot (7) : une série d’arcs de cercle emboîtés. Cornet (5) : une suite d’arcs de cercle superposés. Tresse (6) : comme l’escargot. Aucune de ces trois figures ne comporte donc de spirales.

Did (8 ; 2). Tresse (6) : deux suites d’anneaux symétriques aboutissant à la coupe d’un ver annelé mais non d’une spire ou d’une torsade. Escargot (7) : même principe mais en forme globuleuse, comparable à la coupe d’un chou-fleur avec ses boursouflures, sans indication de spirale. Cornet (5) : deux cercles concentriques, puis début de spirale.

Mic (8 ; 6). Escargot (7) : dessine d’abord un cercle, puis des arcs de cercle superposés. Cornet (5) : dessine des cercles concentriques sans spirale. Tresse (6) : « Ce sera un trou qui descend du haut en bas et des ronds autour » (= deux droites parallèles figurant aussi une partie médiane creuse et des arceaux successifs comme Did).

Gris (8 ; 6). Cornet en tresse comme les précédents. Mais Gris dessine l’escargot sous la forme de boules superposées à chacune desquelles est attaché un arc de cercle : or, ceux-ci au lieu d’être parallèles marquent les uns par rapport aux autres un décalage croissant, indiquant un début de spirale.

Epl (9 ; 3). Cornet : spirale simplifiée correcte. Escargot : boules superposées.

Dep (10 ; 2) fournit une jolie progression pour l’escargot : d’abord boules superposées, puis demi-cercles superposés, puis arcs de cercles emboîtés puis incurvation graduelle et enfin dessin d’une coupe exacte de spire ou de tournevis. Le cornet : cercles concentriques puis début de spirale.

[p. 316]Rou (10 ; 4). Escargot : dessine une spire vue extérieurement puis la traverse de deux droites parallèles et en tire un nouveau dessin représentant un demi-tour de spire vu de dessus. Renonce à la coupe. Réussit par contre le cornet sous une forme simplifiée (un seul recouvrement).

Vua (10 ; 8). Escargot : dessine une droite verticale coupée par une suite de segments horizontaux, puis (deuxième dessin) les rend obliques et aboutit à une coupe simplifiée de tire-bouchon. Le cornet donne d’abord une suite de cercles concentriques alternativement verts et rouges, puis les rattache les uns aux autres d’une façon annonçant la spirale. Tresse : échec.

Enfin, vers 11-12 ans, c’est-à-dire au niveau du stade IV, on trouve des solutions immédiatement correctes des coupes du cornet et de l’escargot, tandis que la tresse ne donne pas lieu à des solutions générales :

Vent (11 ; 2). Escargot : ellipses superposées, puis inclinaison en coupe de spirale. Le cornet : dessine d’abord une spirale avec le crayon vert puis la double à l’intérieur d’une ligne rouge suivant la même spirale. Tresse : échec.

Burg (11 ; 6). Escargot : ellipses superposées, d’emblée inclinées (coupe correcte). Cornet : comme Vent. Tresse : réduite à la coupe d’un tournevis comme l’escargot.

Ces faits intéressants fournissent ainsi tous les intermédiaires entre le mélange des points de vue avec indifférenciation entre la surface de section et la forme totale de l’objet (niveau II A prolongeant le niveau I inaccessible faute de dessins), la différenciation progressive de la surface de section avec des adhérences nombreuses d’éléments extraits des autres plans et de la forme générale de l’objet (niveau II B pour les formes simples et tout le stade III pour les formes spirales) et la représentation exacte de la surface de sectionnement (stade III pour les formes simples et IV pour les spirales ou torsades).

Les précisions nouvelles fournies par ces faits nous permettent de reprendre la discussion amorcée dès le début de ce chapitre sur le rapport des opérations euclidiennes et projectives. Étant donc entendu qu’un volume euclidien ne saurait donner lieu à une représentation autre que projective (géométrie des points de vue) et qu’inversement les points de vue inhérents à l’espace projectif sont toujours relatifs à des positions ou à des déplacements effectués dans l’espace euclidien (géométrie des objets), comment donc expliquer, d’une part, l’incapacité initiale à la représentation des surfaces de section [p. 317] et, d’autre part, la construction ultérieure de cette représentation ?

Le grand enseignement des réactions initiales observées au cours du stade II (et jusque durant tout le stade III pour les formes spirales) est que les difficultés à représenter la surface de section tiennent en dernière analyse à une indifférenciation encore très résistante entre la géométrie des points de vue et celles des objets. Cette indifférenciation est d’ailleurs également la vraie raison des échecs relevés aux mêmes niveaux en ce qui concerne les perspectives et les projections (chapitre VI-VIII), mais elle est particulièrement nette dans le cas des sections et c’est pourquoi il convient d’y insister ici. Parti des intuitions topologiques élémentaires (chapitre I-V) qui lui permettent de considérer chaque objet en lui-même, sans autres relations avec les objets extérieurs à lui que celles d’enveloppement de proche en proche ou de correspondance homéomorphique, le sujet se trouve obligé tôt ou tard soit de mettre les objets en rapport les uns avec les autres (distances, longueurs, mesure, coordonnées, etc., le tout en fonction d’un système à construire de déplacements convenablement groupés), soit de les mettre en rapport avec des points de vue (perspectives, projections et sections en fonction d’une coordination d’ensemble de ces points de vue). Il est donc naturel (et cela d’autant plus que ces deux sortes de constructions d’ensemble devront s’appuyer l’une sur l’autre pour s’effectuer) que, encore dominé par les intuitions topologiques initiales, le sujet commence par ne pas pouvoir dissocier les unes des autres les relations euclidiennes et projectives, toutes deux à leurs débuts et à peine en voie de formation. C’est pourquoi, lorsque l’on demandera aux petits de 4 à 6 ans (qui viennent d’apprendre à dessiner différemment les carrés et les cercles, etc.) de prévoir la forme d’une surface de section, ce qui les oblige simultanément à imaginer l’opération euclidienne de la coupe (déplacement inhérent à la géométrie des objets) et à se représenter le volume projectivement pour en dissocier le « point de vue intérieur » du plan de section (opération relevant de la géométrie des points de vue), il n’est pas surprenant qu’ils laissent tous les rapports indifférenciés : leurs dessins figurent donc à la fois la forme d’ensemble de l’objet, avec ses divers plans mélangés, le dessin de la ligne de section ou de l’acte même de couper (un trait) et du « plat » figurant le plan de sectionnement, mais sans forme ni frontière. Le « mélange des points de vue » caractéristique de tous les dessins de cet âge (réalisme intellectuel) s’oppose ainsi à la représentation de la surface de section, non pas parce qu’il [p. 318] exclut l’imagination d’un point de vue intérieur à l’objet (au contraire le « réalisme intellectuel » comporte cette figuration du dedans des volumes), mais parce qu’il est essentiellement indifférenciation entre la géométrie des points de vue et celle des objets et que cette indifférenciation s’oppose à l’abstraction d’un point de vue isolé et délimité comme celui de la seule surface de section : lorsque, regardant du dehors la ligne de sectionnement possible, le sujet veut en déduire la forme qu’aura la surface délimitée par cette ligne, il ne parvient pas à oublier les autres plans du volume, ni les caractères généraux de sa forme d’ensemble.

Mais, réciproquement, la découverte progressive de cette surface de section témoigne, non seulement d’une dissociation graduelle entre la géométrie des points de vue et celle des objets, mais encore d’une interaction et même d’une collaboration toujours plus étroite entre les opérations de projection et de section perspective inhérente à la première et les opérations de déplacement et de placement inhérente à la seconde. C’est ainsi que pour prévoir la forme que prendra la surface de section d’un cylindre, d’un cône, d’une spirale, d’une torsade, il est évident qu’il s’agit d’abord de se représenter exactement le mouvement du couteau et la ligne extérieure qu’il suivra en son déplacement (ligne d’intersection entre la surface de la lame et celle qui constitue la frontière du volume). Mais pour être capable de cette anticipation, non pas sur l’objet lui-même, dont les côtés sont perçus de proche en proche, mais sur le volume représenté dans son ensemble, il s’agit en retour de pouvoir imaginer ce volume projectivement, c’est-à-dire sous les différents angles perspectifs possibles. C’est pourquoi nous voyons, à chaque nouvelle étape du développement décrit en ce chapitre, la représentation euclidienne du mouvement au travers d’un volume supposer la représentation projective de ce volume avec ses plans différenciés, et vice versa. Or, ceci n’est pas vrai seulement des surfaces, mais également des lignes elles-mêmes. Un cas particulier spécialement important à cet égard est celui de la construction de la droite en tant que produit de l’intersection de deux plans, c’est-à-dire précisément de la section d’un plan, appartenant à l’objet présenté, par cet autre plan que constitue la lame du couteau. C’est ainsi que le plan donné sur la surface de l’anneau à coupe carrée (dont il a été question dans ce paragraphe) ou le plan de la base du cylindre (paragraphe 1), sectionnés par le plan de la lame du couteau, donnent des droites : celles du côté du carré pour la coupe transversale de l’anneau, ou des petits côtés du [p. 319] rectangle pour la coupe longitudinale du cylindre (sans parler des plans tangents aux côtés de ce cylindre, etc.). Or, la représentation de ces droites est loin d’être aussi aisée qu’il pourrait le sembler, puisque, au niveau II B encore, la coupe longitudinale du cylindre donne souvent lieu à la prévision d’un arc de cercle (voir le cas de Bau au paragraphe 1) et la coupe transversale de l’anneau (2) à la prévision d’un cercle (voir Par dans les faits de ce paragraphe). La droite en tant qu’intersection de deux plans, lorsqu’elle n’est pas perceptive mais représentative, n’apparaît ainsi qu’au niveau III A, c’est-à-dire qu’elle n’est pas plus facile à construire que la droite projective due à la visée (voir chapitre VI section I). Or, la chose est compréhensible, puisque cette intersection de deux plans suppose donc à la fois les opérations projectives de section et les opérations euclidiennes de mise en relation entre objets, si ce qui précède est exact.

D’une manière générale, la représentation des surfaces de section (ou des lignes d’intersection telles que la droite dont il vient d’être question) constitue un cas bien défini d’« abstraction de la forme » puisqu’il s’agit d’isoler cette surface, par rapport à la structure d’ensemble de l’objet. Mais cette « abstraction » comparée à celle des formes élémentaires que nous avons introduites à propos de la stéréognosie ou du dessin (chapitres I-II) suppose, bien plus encore, l’activité du sujet : loin d’être la simple extraction d’un caractère inhérent à l’objet, elle est une abstraction à partir des actions elles-mêmes, puisqu’elle implique non seulement l’intervention de deux sortes d’opérations — celles portant sur les objets et celles relatives aux points de vue — mais encore une mise en correspondance de ces deux catégories d’actions ou d’opérations. Il resterait à parler de la manière dont ces actions se prolongent ainsi en représentations imagées. Mais ce problème, que soulève chacun des stades de l’évolution étudiée en ce chapitre, va se retrouver bien plus clairement encore à propos d’un dernier aspect de la géométrie projective naissante, qu’il nous reste à analyser : à propos du « développement » des volumes et des « rabattement » de leurs plans.