Chapitre V.
Les notions du point et du continu ^{1 a} 🔗

La conversation avec le sujet porte essentiellement sur quatre questions :

1. Pour introduire au problème principal, qui est de savoir comment l’enfant conçoit le sectionnement d’une figure ou d’une ligne jusqu’en ses éléments ultimes, nous commençons par poser une question déjà étudiée par A. Rey ³. Voulant utiliser pour le diagnostic de l’intelligence, l’un des mécanismes opératoires que nous avions analysés à propos de la formation du nombre, la sériation des grandeurs, A. Rey a imaginé de combiner la sériation avec deux sortes de limites imposées par les conditions techniques du dessin. Étant donné un carré quelconque dessiné sur une feuille blanche, on demande au sujet de dessiner « ici à côté, le plus petit carré qu’il soit possible de dessiner ; dessine un carré si petit qu’on ne puisse pas le faire plus petit » (on répète, mais en évitant les gestes pouvant suggérer la grandeur). Ensuite on demande « le plus grand carré qu’il soit possible de faire sur cette feuille » (une autre feuille, blanche et carrée). Ces premières questions, sans toucher encore au continu ni au point, présentent l’avantage de nous orienter au préalable sur la capacité du sujet à sérier ou à emboîter des grandeurs. En effet, dessiner le plus petit carré visible, ou réalisable par traits au crayon, suppose, comme nous le verrons, que l’esprit parcoure, par une anticipation fondée sur un schème opératoire de sériation, la série même des carrés que l’on pourrait intercaler entre le carré de départ et le carré [p. 155] de 2-3 mm de côté constituant la limite pratique désirée. Il en est de même du plus grand carré possible sur la feuille, et, si ce carré englobe le dessin initial, la sériation s’effectue alors sous la forme d’un emboîtement des carrés eux-mêmes. Or, ces opérations de sériation ou d’emboîtement, fondées sur l’ordre des grandeurs (et comparables aux opérations d’ordre) sont précisément parallèles à celles qui interviennent dans le sectionnement des figures ou des lignes devant aboutir à l’élément ultime, et c’est pourquoi il nous a paru utile de commencer l’interrogatoire par l’examen de cette question, à propos de laquelle les réactions s’avèrent si différentes les unes des autres en fonction de l’âge.

2. Le second problème posé est celui du sectionnement de la figure donnée (carré, cercle, triangle, etc.) ou de la droite, et des limites ou de la possibilité illimitée d’une telle partition. On procède, par exemple, par dichotomie : pour une droite donnée on demande au sujet de dessiner la moitié de cette droite, puis la moitié de la moitié, etc. Lorsqu’il en est aux petitesses impossibles à dépasser par la représentation graphique, on lui demande s’il ne pourrait pas continuer « par la pensée. Tu peux faire beaucoup de chose par la pensée : si tu as un camarade plus fort que toi tu peux quand même le battre en pensée, dans ton jeu, même si tu ne peux pas le battre vraiment ? Alors essaie de penser que tu continues à couper ce petit bout sans t’arrêter. Qu’est-ce que ça donnera tout à la fin ? » Si l’enfant répond « une petite ligne », on lui dit : « C’est bien. Mais continue à couper encore cette toute petite ligne par la pensée. Tout à la fin qu’est-ce qu’il y a ? » Etc. Pour rendre plus intuitive la capacité indéfinie de partition, on peut ainsi prier le sujet de couper en deux un élastique, puis on étire l’une des parties restantes et on recommence : on montre ainsi que, si petite soit la partie résiduelle, on peut toujours la concevoir comme étirée et susceptible de nouvelles partitions. Il est souvent plus facile alors de voir si le sujet peut concevoir les partitions comme illimitées et de lui faire prolonger en pensée les opérations esquissées matériellement.

3. La troisième question est celle de la forme de l’élément résiduel ultime de la partition. Il s’agit donc essentiellement de savoir si le terme ultime est un point et quelle configuration (ou absence de configuration) aura le point. Si l’enfant prononce le mot « point » il faut donc lui demander s’il a une forme et laquelle (pour les petits un point d’un carré reste carré, un point de triangle demeure triangulaire, etc.), ou [p. 156] s’il n’est vraiment plus allongé (dans le cas de la ligne) et sans forme. Notons, à cet égard, que l’enfant déclare souvent qu’au terme de la partition il n’y aura « plus rien du tout ». On demande en ce cas ce qu’il y aura « juste avant rien du tout », et la question de la forme du point se repose alors.

4. La quatrième question est celle de la recomposition du tout à partir de ses éléments : peut-on concevoir une ligne ou une surface comme constituée par un ensemble de points ? À cet effet, il faut, outre la question verbale, demander au sujet de dessiner des points successifs, puis d’en intercaler entre deux, etc. (ou simplement d’intercaler autant de points que possible entre deux points limites donnés) en cherchant à savoir si, selon lui, cela constituera une ligne. Il se peut, en effet, que l’enfant reconnaisse qu’en fait les points contigus apparaissent sous la forme d’une ligne tandis qu’il nie, en droit, qu’une ligne consiste en un ensemble de points.

Les stades obtenus au moyen de ces quatre sortes de questions sont au nombre de trois, qui s’étagent entre le stade II distingué jusqu’ici (le stade I ne diffère pas du II à cet égard) jusqu’au stade IV (pensée formelle). Il est inutile de vouloir subdiviser ces trois niveaux essentiels, étant donnée la lenteur de l’évolution observée, du moins jusqu’au niveau formel de 11-12 ans.

Une première période (stades I et II réunis) dure jusque vers 7-8 ans. Du point de vue de la question 1, elle est caractérisée par l’incapacité de parvenir d’emblée au plus petit et au plus grand des carrés possibles, et cela faute d’un schème opératoire de sériation. Du point de vue des sectionnements d’une ligne ou d’une surface (question 2), les partitions conçues comme possibles sont en nombre très limité (souvent même la moitié de la moitié n’est pas comprise), et (question 3) elles aboutissent à des éléments soi-disant ultimes mais de grandeur très perceptible et, chose intéressante, de forme en général isomorphe au tout : les éléments d’un carré sont carrés, les points d’une ligne sont de petits segments, etc. Enfin (question 4) il y a défaut de réversibilité entre le sectionnement et la composition : en particulier une ligne n’est pas conçue comme un ensemble de points et, si l’on a eu l’imprudence de diviser les segments en points, ceux-ci demeurent à jamais discontinus.

Le stade III s’étend de 7-8 à 11-12 ans. La question 1, du plus petit et du plus grand carrés, est résolue grâce au schème anticipateur constitué par le groupement des opérations de sériation. D’où une plus grande mobilité des opérations de [p. 157] partition (question 2) ; mais, si le sujet admet un grand nombre de partitions possibles, elles ne sont pas encore illimitées. En outre (question 3), elles ne dépassent pas le niveau des opérations concrètes : elles ne se généralisent pas encore au-delà du fini, c’est-à-dire du visible et du manipulable ; les éléments d’un tout, sans lui être isomorphes comme au stade II sont encore censés dépendre du mode de sectionnement et ne constituent nullement des points sans surface en nombre infini. Enfin (question 4), la composition du tout à partir des éléments est conçue en réciprocité réversible avec la partition, mais elle n’aboutit qu’à un continu intuitif, et le sujet découvre, à l’égard de l’illimité, une contradiction qu’il ne parvient pas à lever entre le caractère discontinu des points réunis et la continuité du tout issu de cette réunion.

Au stade IV, enfin (qui débute vers 11-12 ans) on assiste à la libération de la pensée formelle par rapport à l’intuition quasi perceptive des débuts et aux opérations concrètes encore enfermées dans le cadre de la représentation et de la manipulation réelles. Les opérations de sériation (question 1) ne posent naturellement plus de problème, et la partition (question 2) est conçue comme illimitée. Quant à la structure des éléments ultimes (question 3) elle est conçue dorénavant comme indépendante de la forme du tout et du mode de sectionnement : les points, ou atomes spatiaux, n’ont plus ni forme ni surface, et surtout ils sont homogènes entre eux, qu’ils appartiennent à une ligne ou à une surface définie. Les compositions (question 4) constituent l’inverse de cette décomposition illimitée, sans que le sujet ne voie plus de contradiction entre le caractère discontinu des éléments et la continuité du tout. Plusieurs enfants arrivent d’eux-mêmes à l’idée d’une correspondance bi-univoque entre la suite des points composant la ligne et la suite des nombres considérés comme inépuisables (mais sans naturellement entrevoir la notion des nombres irrationnels venant combler les lacunes éventuelles).

Le propre des réactions initiales, lesquelles durent jusqu’au stade II inclusivement, est de n’admettre que ce qui est perceptible (par opposition aux éléments dépassant en petitesse les limites du domaine perceptif) et encore sans la mobilité opératoire qui esquisserait, sur le terrain visible, le processus de décomposition et de recomposition susceptibles de généralisations ultérieures :

[p. 158]Zur (4 ; 6) dessine trois carrés (quest. 1) de tailles très légèrement décroissantes et un quatrième un peu plus grand que le troisième. Il n’arrive donc ni à anticiper un tout petit carré, ni même à le trouver par progression décroissante. Même réaction dans le sens inverse, pour le plus grand carré : le troisième est plus petit que le second. Quest. 2 : il n’arrive pas mieux à la dimidiation des lignes. Composition (quest. 3) : « Si on met des points juste à côté les uns des autres, ça fait une ligne (dessin) ? — Non, c’est faux. — Pourquoi ? — … »

Fran (5 ; 6), en partant d’un carré de 4 cm², donne une première réduction d’un quart, puis un deuxième carré encore réduit de moitié, un troisième en peu plus petit et un quatrième égal au deuxième. Pour le plus grand carré, il agrandit le modèle en le doublant sous forme de rectangle, puis en l’allongeant encore, mais en utilisant seulement les espaces vides, sans parvenir à dessiner sur l’ensemble de la feuille en englobant les dessins déjà faits dans un carré bordant les frontières.

Pour le partage de la ligne, Fran ne parvient pas à dessiner la moitié, ni, quand on la lui construit, la moitié de cette moitié. » Et si on coupait avec des ciseaux, comment ça serait ? — Comme ça (dessine des segments plus petits, mais sans régularité). — Et si on coupait ça ? — (Encore plus petit). — Et ça ? (Idem). — Et si on coupait tout le temps, tout le temps, qu’est-ce qu’on aurait à la fin ? — Une toute petite ligne (dessine un segment de 2 mm). — Et si on coupait encore ? — On ne pourrait pas. — Mais on dira qu’on peut encore. C’est comme dans un jeu : on peut dire et penser tout ce qu’on veut quand on joue. Tu peux dire que tu es une maman, quand tu joues. Eh bien on dit qu’on coupe tout le temps plus petit : qu’est-ce qu’on trouve à la fin ? — Une toute petite ligne. — Comment elle sera ? — Comme ça (montre les 2 mm) ».

Clau (5 ; 6). Le plus petit carré : décroissance par tâtonnements progressifs, mais sans anticipation du résultat. Le plus grand : d’abord agrandissement du double, puis allongement progressif : « Tu ne peux pas en faire un plus grand ? — Il n’y a plus de place. — Mais autour des autres ? — (Ne comprend pas) ».

Ligne : il dessine la moitié. « Et maintenant la moitié de la moitié ? — (Il fait l’autre %). — Mais la moitié de ça ? — (Il dessine une troisième ligne de longueur égale). — Et toujours plus petit ? — (Il arrive à diminuer progressivement). — Et à la fin c’est comment ? — J’sais pas. — Dessine. — Tout petit (il montre 2-3 mm entre ses doigts). — Et si on coupe ça ? — Encore plus petit. — Comment ça s’appelle quand c’est tout, tout petit ? — Un point. — Dessine ce point. — (Il le fait sous la forme d’une ligne de 2 mm). — Mais si on continue à couper toujours ? — (Même chose). — Tout à la fin c’est comme une petite ligne ou comme un petit point ? — Comme une petite ligne ». — On donne ensuite un carré à diviser : « Tu peux le faire toujours plus petit (on le coupe en quatre à titre d’exemple) ? — (Clau partage un quart en 4 et ainsi de suite). — [p. 159] Et si on continue comme ça jusqu’à la fin, qu’est-ce qu’il y aura ? — Plus rien. — Très bien. Mais juste avant qu’il n’y ait plus rien ? — Un petit carré. — Et si on le coupe encore, ça fera un petit carré, un point ou une ligne ? — Encore un petit carré ». Un triangle sectionné au moyen d’une seule ligne en triangles semblables de plus en plus petits : « À la fin ? — Un tout petit clocher. — Et tout à la fin ? — Une petite pointe (il montre son sommet) ».

Neu (6 ; 1) parvient, mais par tâtonnements successifs, à dessiner des carrés de plus en plus petits et de plus en plus grands.

Partition : « Partage cette ligne. — (Il dessine ½). — Et encore. — (¼ et ⅛). — On pourra toujours la partager ? — C’est trop petit, on ne peut pas faire plus petit. — Et si on continue rien qu’en pensant. Comme quand tu joues… etc. On trouve quoi ? — … — (On lui dessine des points contigus). Comme ça ? — Oui. — Si on a des points qui se touchent ça fait une ligne ? — Non. Ce n’est plus des points : on voit presque rien qu’une ligne ».

Bru (6 ; 2) : « Mets-moi des points entre ici et là (deux points à 5 cm de distance). — Il met quelques points équidistants). — Tu peux les faire plus serrés ? — (Il met le double). — Et si les points se touchent, ça va ? — Non, c’est des petites lignes ».

Jub (6 ; 8). Des points en ligne : « On peut en mettre plus ? — Non, il n’y a pas de place. — Mais entre les deux ? — Non, ça se toucherait. — Et alors ? — On verrait une ligne. — Mais ce n’est pas juste si on fait un point pour une toute petite ligne ? — Non, c’est un point. Si on fait une toute petite ligne, on peut mettre dessus un point et pas plusieurs ». Le point n’est donc pas la limite de la ligne ni la ligne un ensemble de points.

Char (6 ; 10) parvient par étapes lentes au plus petit carré possible, mais pour le grand, il laisse un grand espace en bordure de la feuille.

« Combien de points peux-tu mettre entre ces deux points ? — 15 (il les met). — Pourquoi si espacés ? — (Il en rajoute). — Et encore ? — Non, il n’y a plus d’espaces. — Et là ? — Oui, mais ce serait trop serré. — Et alors ? — Ce ne seraient plus des points. On ne pourrait plus les compter ».

« Tu peux partager ce carré en morceaux ? — (Il fait 4 carrés). — Et encore ? — (Il continue). — Tu peux les partager autrement ? — Oui, comme ça (diagonales). — Et si on le partage longtemps, qu’est-ce qui reste à la fin ? — Plus rien. — Mais juste avant ? — Un petit bout carré. — Pourquoi carré ? — Parce que c’était en carré. — Et avec ce cercle ? — Il le coupe. — Et à la fin ? — Il n’y a plus rien. — Et juste avant qu’il n’y ait plus rien ? — Il restera des petits morceaux de rond. — Montre-moi ? — (Il les dessine ronds) ».

Rap (7 ; 0). Plus petits carrés : il arrive à un carré beaucoup plus petit que le modèle, mais par décroissance lente. Grand carré : d’abord à peine plus grand, puis emboîtement du premier dans un plus grand, puis emboîtement du second dans un plus grand ; [p. 160] enfin plus grand emboîtement du premier, mais sans carré maximum emboîtant le tout.

Ligne : « Si on la coupe toujours plus petit, qu’est-ce qu’on trouvera à la fin ? — Zéro. — Très bien, mais avant zéro ? — Un. — Un quoi ? — … — Un trait ou un point ? — Un trait. — Et si on le coupe encore, on peut le couper plus petit ? — Oui. — Si on le coupe toujours plus petit ? — Un trait. — Et si on le coupe encore ? — Un zéro. — Mais juste avant zéro ? — Un petit trait ».

Le carré : « … à la fin ? — Zéro. — Mais juste avant ? — Un petit carré. — Et si on le coupe encore ? — Zéro. — Mais juste avant zéro, la dernière chose qu’on trouve, c’est un carré, un trait ou un point ? — (Longue hésitation). Un petit carré ».

Triangle : mêmes réactions : « Juste avant zéro ? — Un petit triangle ».

Buc (7 ; 3) arrive progressivement aux plus petit et plus grand carrés. « Et maintenant dessine-moi le plus petit trait possible. — (2 mm). — On peut le faire encore plus petit ? — Non, ça ferait un point. — Et dans le trait (2 mm) il y a des points ? — Non. — Essayons de partager cette ligne (une autre : il le fait). On peut continuer longtemps ? — Non. — Pourquoi ? — Ça ferait un petit point. — Et alors ce ne serait pas juste, pour une ligne partagée ? — Non, un point, c’est pas un trait ! — Combien de petits traits faut-il pour en faire un grand comme ça (1 cm) ? — (Il compte mentalement en regardant) Dix. — Et combien de points y a-t-il entre les deux points ? — Cent (il en fait 23). — On pourrait en mettre 100 ? — Non, les points seraient trop serrés ensemble. — Et alors ce ne serait pas juste ? — Non, quand c’est des points, ce n’est pas un trait ! »

Partage du carré : « Et à la fin ? — Il n’y a plus rien. — Mais juste avant, quelle est la dernière chose qui resterait ? — Un petit carré penché (parce que coupé et parce que Buc n’est plus très sûr de sa régularité !) ».

Telles sont les réactions élémentaires que l’on observe au cours du stade I et qu’il nous faut analyser question par question.

Le problème du plus petit et du plus grand des carrés qu’il est possible de dessiner sur une feuille blanche a donné lieu à des réactions d’un grand intérêt. Les sujets les plus primitifs (Zur et Fran, et en général le sujet de 4 à 5 ans) non seulement ne rapetissent ou n’agrandissent qu’à peine le carré de départ, mais encore, après trois ou même deux essais décroissants ou croissants, perdent le sens de la progression et l’inversent sans s’en douter. Les sujets un peu plus évolués parviennent à une progression décroissante ou croissante, mais très lente et par tâtonnements successifs (neuf ou dix essais avant d’atteindre [p. 161] 2-3 mm² ou les bords de la feuille). Les plus évolués du stade, enfin, parviennent plus rapidement aux plus petits ou plus grands carrés possibles, mais encore et toujours par approximations successives et non pas par anticipation directe ou résultat final, comme au stade III (après 7-8 ans).

Cette expérience mérite quelque commentaire, bien qu’elle porte sur des figures euclidiennes et dépasse par conséquent de ce point de vue le domaine des notions topologiques que nous examinons dans cette première partie de notre étude. Mais la métrique n’y joue aucun rôle et la grandeur en jeu reste purement « intensive » : si les carrés considérés étaient remplacés par des figures fermées, susceptibles de simples étirements ou contractions, les opérations demandées à l’enfant seraient exactement les mêmes, étant de nature simplement qualitative.

Or, une telle remarque fait immédiatement apercevoir l’analogie qui existe entre les réactions négatives données au début de ce stade à cette première question et les réactions observées au niveau correspondant (II A) quant au problème de l’ordre et des nœuds. De même, en effet, que les petits de 4-5 ans ne savent pas traduire un ordre cyclique, perçu sur un collier, en ordre linéaire ou ne reconnaissent pas l’homéomorphie d’un nœud serré, d’un nœud légèrement étiré ou d’un nœud déployé en forme de trèfle, de même ils ne parviennent pas à se détacher de la configuration perceptive du carré initial déjà dessiné, pour imaginer le même carré se contractant jusqu’à 2-3 mm² ou s’étirant jusqu’à rejoindre les limites de la feuille. Dans les trois cas, la perception actuelle obstrue et supprime d’avance toute velléité de transformation. La motricité est subordonnée à la perception au lieu de la prolonger en anticipation d’autres perceptions possibles : il y a centration de la représentation intuitive sur la perception donnée, et non pas encore décentration dans le sens des modifications que l’action pourrait introduire.

Mais, dans les trois cas, le comportement statique initial est ensuite assoupli par une articulation progressive de l’intuition, dues aux anticipations de l’action, donc à un début de revanche de la motricité sur la perception actuelle : aux niveaux II B et intermédiaire entre II B et III l’ordre se conserve malgré les altérations de la ligne qui le constitue, le nœud reste invariant bien que l’on étire ou contracte le cordon, et le carré devient susceptible de rapetissements et d’agrandissements successifs. Les étapes de cette articulation graduelle de l’intuition correspondent à peu près les unes aux autres jusqu’à la fin du stade II, avec, nous l’avons vu, une légère avance pour [p. 162] l’ordre et un léger retard pour les nœuds, ainsi que, nous le constatons maintenant, pour la question des carrés.

Que manque-t-il donc aux sujets de ce stade II pour parvenir à résoudre en une seule fois la question du plus petit et du plus grand des carrés possibles ? Un schème anticipateur, au sens de Selz et de Bergson, qui fournisse le canevas de la solution avant d’être « rempli » par les actions aboutissant effectivement à celle-ci. Mais la notion de schème anticipateur, si exacte soit-elle, ne constitue qu’une bonne description et il s’agit de comprendre comment un tel schème se construit et fonctionne. Or, la chose est possible du point de vue du mécanisme opératoire de l’intelligence. Les articulations de l’intuition sont, en leur point de départ, dues à la motricité qui permet aux actions d’anticiper quelque peu leur réalisation, une fois en cours, et de constituer par leur répétition, le schème de leurs succès antérieurs. L’accommodation motrice se prolonge d’autre part, en imitations extérieures ou intériorisées, ces dernières constituant les images qui servent d’expression symbolique aux actions et confèrent ainsi une dimension représentative ou intuitive aux anticipations et reconstitutions initialement motrices ⁴. Mais ces anticipations et reconstitutions ne trouvent elles-mêmes leur point d’équilibre qu’au moment où l’action, ainsi intériorisée en représentation imitative ou imagée, devient réversible, c’est-à-dire se constitue en opérations. Le schème anticipateur n’est donc pas autre chose que le « groupement » des opérations, autrement dit la composition des diverses opérations directes et inverses possibles.

Le sujet ne saura donc dessiner d’emblée le plus petit ou le plus grand des carrés compatibles avec l’emploi d’un crayon et d’une feuille de papier que le jour où il saura également ordonner, en une série qualitative, une suite de carrés ABCD… tels que A < B < C < … < K < L < M… < S < T…, le modèle L étant à la fois L > K ; …, C ; B ; A et L < M ; …, S ; T… Et, de fait, nous savons bien, par nos recherches antérieures, que les petits de ce stade II ne savent pas sérier qualitativement des grandeurs lorsqu’il s’agit de les comparer deux à deux, et qu’ils n’y parviennent précisément que vers 7 ans pour ce qui est des hauteurs. Or, cette sériation des grandeurs, qui est la vraie source du schème anticipateur en jeu dans cette expérience, n’est elle-même qu’un dérivé (sur le plan logique) [p. 163] des opérations d’ordre et sans doute aussi d’enveloppement : ordonner des grandeurs, lorsque la mesure n’intervient pas et que seuls sont en jeu les rapports intensifs de type A < B, c’est, en effet, simplement ordonner des différences emboîtées : c’est construire une suite d’emboîtements tels que la grandeur A soit comprise en B, la grandeur B en C, etc. quels que soient les intervalles métriques (numériques) entre A et B ou entre B et C. (Remarquons à cet égard, la difficulté notée chez Fran et Rap, etc. d’emboîter matériellement le carré modèle dans le plus grand.) C’est donc, en définitive, faute des opérations d’ordre, que la sériation des grandeurs n’est pas encore possible, et faute de ce « groupement » qu’est la sériation des relations qualitatives A < B, etc. que celles-ci ne sauraient être conçues d’avance comme un tout, c’est-à-dire ne sauraient constituer un schème anticipateur ⁵.

Or, ces quelques remarques vont nous aider à interpréter maintenant les réactions aux questions 2 à 4, c’est-à-dire l’absence systématique observée chez nos sujets de toute notion opératoire du continu (par opposition à la notion intuitive fondée sur la perception d’éléments voisins indiscernables), donc de toute décomposition des lignes ou surfaces en points « serrés ensemble », pour parler comme l’un des enfants cités (qui se refuse précisément à admettre la notion qu’il exprime si bien).

Le caractère le plus étonnant de ces réactions est, en effet, la difficulté éprouvée par les petits à la partition des lignes et des surfaces (question 2). Ainsi Fran ne peut dessiner la moitié d’une ligne et, quand on la lui montre, il ne comprend ce qu’est la moitié de cette moitié et montre l’autre moitié. Clau échoue à cette même question. Puis, lorsque l’enfant admet ce point de départ de la partition, ses parties successives décroissent de moins en moins. Enfin quand il parvient à des partitions plus ou moins régulières (Neu, etc.) il vient rapidement un moment où l’élément ultime lui paraît atteint : c’est, par exemple, une ligne de 2 mm pour la droite ; 2 mm² pour le carré, etc. Or, cet élément conçu comme ultime est encore très visible : néanmoins le sujet croit impossible de le diviser plus avant, et c’est là le fait intéressant. Fait d’ailleurs complexe, qu’il s’agit d’analyser.

[p. 164] On retrouve ici, en premier lieu, l’attachement d’abord irréductible de l’intuition à la perception elle-même : les éléments ultimes doivent être visibles, sans quoi ils n’ont plus de réalité, ou, comme dit Char, « on ne peut plus les compter » (dans le sens de distinguer). Il intervient naturellement une équivoque possible : s’il ne s’agit, comme à propos du plus petit carré (question 1) que de ce qui peut être dessiné au crayon, l’enfant a en partie raison… mais en partie seulement, parce qu’il pourrait tout de même aboutir à un point, ce à quoi il se refuse précisément de la façon la plus systématique. Or, l’équivoque est vite levée : nous précisons, en effet, que l’on pourrait continuer « en pensée » comme dans le jeu d’imagination. Pourquoi donc le sujet, qui sait tout obtenir en imagination dans le symbolisme ludique est-il alors incapable de couper « en pensée » un élément pourtant bien visible de 2-3 mm de longueur ou de côté ? C’est qu’une hypothèse est autre chose qu’une fiction et qu’un raisonnement hypothético-déductif est un système d’opérations formelles inaccessibles avant que soient construits tous les « groupements » d’opérations concrètes, donc jusque vers 11-12 ans.

Mais il y a plus. Si le sujet de ce niveau ne choisit pas le point comme élément ultime, les réponses à la question 3 montrent qu’il y a à cela une raison : cet élément doit en général conserver, aux yeux de l’enfant, une forme définie parce que semblable à celle du tout dont il est issu. C’est ainsi que pour Fran l’élément ultime d’une ligne est « une toute petite ligne », elle-même insécable. Pour Clau c’est « un point » mais de forme allongée « comme une petite ligne », tandis que l’élément résiduel d’un carré est « un petit carré » et celui d’un triangle « un petit clocher » ou une pointe. Pour Char le résidu élémentaire d’un carré est « un petit bout carré », même si l’on coupe ce carré en diagonale, et celui d’un rond consiste en « petits morceaux de ronds » eux-mêmes arrondis. Pour Rap, en coupant une ligne on ne trouve à la fin qu’« un zéro », mais, juste avant zéro, il y a encore « un trait », etc. Enfin Buc, qui part de la même idée, n’est plus très sûr que l’élément ultime du carré, avant « plus rien », soit vraiment carré : il en fait alors « un petit carré penché ! »

Il n’est pas besoin de chercher bien loin pour expliquer cet isomorphisme de l’élément ultime et du tout dont il est issu. C’est la même raison qui rend compte de l’incapacité des petits à la partition indéfinie du continu et de cet isomorphisme : il s’agit dans les deux cas du caractère perceptif de l’intuition initiale. Dans la mesure, en effet, où il est inconcevable de chercher des éléments au-delà des limites du champ de la [p. 165] perception, il est clair que le tout ne saurait être décomposé en « points » perceptibles, qui soient ronds et discontinus, car un tout continu et non circulaire ne saurait être formé de parties aussi différentes de ses propres caractères : en principe il faudra donc que le tout soit formé d’éléments semblables à lui, si l’on veut expliquer ses qualités distinctives.

D’où, enfin, les réactions à la question 4 : la recomposition du tout à partir de ses éléments. C’est sans doute sur ce terrain qu’il faut chercher les raisons les plus profondes de l’attitude du sujet, et c’est dans l’irréversibilité ou l’absence de réciprocité entre la décomposition de la figure totale en ses parties ultimes et de la recomposition du fond que l’on aperçoit le mieux les difficultés de l’intuition initiale.

En effet, pour les sujets de ce stade II, il y a trois et non pas deux réalités à concilier : 1) la figure totale, qui est continue, mais dont le continu est de caractère perceptif c’est-à-dire indécomposable, car on ne saurait le morceler sous peine de lui faire perdre précisément sa qualité essentielle ; 2) les parties du tout qu’on lui demande de dissocier : il consent bien à les séparer, mais il conçoit alors le continu comme rompu et le reporte par conséquent à l’intérieur des parties, en se refusant à une partition trop poussée et en assurant à chaque élément une forme isomorphe au tout (de manière à conserver toute la continuité possible) ; 3) les points conçus comme discontinus et sans rapport avec le tout ni avec ses parties isomorphes, mais naturellement considérés en même temps comme le résultat possible d’une partition trop poussée, ou plutôt maladroitement menée et illégitime.

Demandera-t-on alors au sujet de reconstituer le tout (1) à partir de ses éléments (2) ? Il n’y verra point d’obstacle, à condition de pouvoir recoller les parties disloquées, mais il faut bien comprendre qu’il ne s’agira point encore d’un jeu d’opérations réversibles : il n’y a là qu’un simple retour empirique. En effet, la partition de l’enfant est intentionnellement limitée, pour les raisons que l’on vient de voir, et il sait bien qu’en continuant on pourrait arriver à des points. Bue dit, par exemple, « ça ferait un petit point » en prévoyant une telle éventualité. Mais il n’en veut rien parce qu’« un point ce n’est pas un trait » (donc ce n’est pas l’élément d’une ligne). Dès lors une recomposition à partir des parties isomorphes, volontairement conservées en vue d’un recollage éventuel ne saurait être conçue comme une opération générale et réversible : c’est encore une simple action de retour, c’est-à-dire un retour intuitif à l’état antérieur.

[p. 166] Le vrai problème est donc la relation entre le tout ou ses parties isomorphes (1) ou (2) et les points eux-mêmes (3), auxquels le sujet s’obstine à refuser la qualité d’éléments tout en ne pouvant ignorer qu’en coupant davantage ses « petites lignes », « petits carrés », ou « petits clochers », etc., il tomberait fatalement sur une réalité punctiforme. Sur cette conviction, avouée ou non, de nos sujets, il ne saurait y avoir de doute : ils savent tous, et le disent souvent (cf. Clau, Dub et Bue) qu’une ligne trop petite, un carré trop petit, etc. deviennent des points, mais cela est dû, selon eux, à une imperfection du sectionnement, qui manque alors l’élément ultime par le fait qu’il le gâte ou l’altère en le dépassant ! En effet, ces hypo-éléments, au lieu d’être conçus comme des éléments, ou des parties de parties, ce qui semblerait facile (et ce qui constituerait précisément l’opération générale et réversible) sont considérés comme inaptes à reformer ni le tout ni même les petites parties isomorphes à ce tout, et cela au prix des contradictions les plus flagrantes.

Nous nous sommes bornés, à cet égard, à demander aux sujets si l’on ne pourrait pas concevoir une ligne comme un ensemble de points. Or, la réaction a été catégorique : si les points restent visibles et discontinus, ce n’est pas une ligne, et s’ils se touchent de manière continue (perceptivement parlant), ce ne sont plus des points ! C’est ainsi que Neu dit : « Non, c’est pas des points : on ne voit presque rien qu’une ligne ». Bru s’exprime de même. Dub précise qu’un petit segment de ligne (1-2 mm) ne peut comporter qu’« un point et pas plusieurs ». Bue estime que, quand les points se touchent, ils « sont trop serrés ensemble » pour demeurer des points, et que, quand ils ne se touchent pas, « c’est des points et ce n’est pas un trait » !

On voit donc à quel résultat aboutit l’intuition initiale fondée sur l’image copiant la seule perception : hétérogénéité radicale entre le continu et les points ; décomposition du continu en éléments isomorphes au tout, mais avec le danger que ces parties soient altérées au cours du sectionnement, auquel cas elles se disloquent précisément en points rendant impossible leur recomposition ainsi que celle du tout…

Vers 7-8 ans l’enfant devient capable d’opérations concrètes, c’est-à-dire que le domaine du visible et du manipulable, jusque là réservé à la seule intuition préopératoire, est structuré [p. 167] par des opérations générales, composables et réversibles. Mais, au-delà des limites de ce domaine, la pensée demeure impuissante et ne travaille qu’au moyen d’analogies empruntées au concret. D’où le caractère intermédiaire entre l’intuitif et l’opératoire des réactions suivantes, dès qu’elles dépassent le manipulable, et leur caractère déjà opératoire sur le terrain fini :

Rac (7 ; 3) aboutit d’emblée au plus petit carré et au plus grand. Puis (quest. 2) il partage une ligne en 2, 4, 8, etc. sans hésitation : « Tout à la fin qu’est-ce qu’il y aura ? — Rien du tout. — Mais juste avant ? — Un petit trait, ou bien un point. — Combien il y a de points sur une ligne comme ça (2 cm) ? — … — Mille, cent ou moins ? — Moins que cent… cinquante. — Un point c’est la dernière partie avant rien ? — Ouï. — Et ici il y en a seulement cinquante ? — Oui ».

Le carré : partitions successives immédiates. « Et à la fin ? — Un point. — Quelle forme ? — Pas de forme. — La même forme que celui de la ligne ? — Il aura quand même une petite forme : il sera un petit peu carré. » Le triangle : il le sectionne en triangles semblables, de plus en plus petits. « À la fin ? — Un point. — Il aura une forme ? — La forme de rien du tout. — Comme le point de la ligne ou du carré ? — De la ligne, parce que le point du carré est quand même un petit peu carré (il montre la manière dont il l’a sectionné) tandis que le triangle, il y aurait encore deux choses en dessus (les côtés) comme une pointe ».

And (7 ; 3) réussit le plus petit carré en deux approximations et le grand d’emblée. Il décompose la ligne par dichotomies successives : « Je n’arrive plus. C’est trop petit. — Mais si tu le fais en pensant seulement, ça devient comment ? — Toujours plus petit. — Et à la fin ? — Ça donne un point. — Combien de points y a-t-il dans une ligne comme ça (1 cm) ? — Une dizaine ». Je découpe ensuite le carré : « Et à la fin ? — Un point. — Comme celui de la ligne ? — Non, parce que c’est un carré. — Alors comment il sera ? Comme un trait. — Et celui de la ligne ? — Comme un point (donc une dimension de moins chaque fois). — Mais si on découpe le carré jusqu’au bout on ne trouve pas un point ? — Non, un trait. — Combien de points dans le carré ? — 40. — Pourquoi ? — J’ai compté combien il y avait de lignes (donc 4 × 10 puisqu’il y a 10 points dans la ligne !). Le triangle : « Tout à la fin il y aura quoi ? — Une ligne. Plus rien qu’une petite ligne. — Un triangle est formé de points, comme la ligne, ou pas ? — On trouve des traits. — Pourquoi ? — Parce qu’on fait des traits comme ça (il montre sa décomposition en triangles semblables). — Et juste à la fin ? — Un petit triangle ».

Zoi (7 ; 11) réussit au premier essai un carré de 2 mm² (quest. 1) puis de 1 mm². Le plus grand carré est réussi d’emblée. « Et si on [p. 168] fait un carré encore plus petit que ça (1 mm²) on trouve quoi ? — Rien. — Et juste avant ? — Une pointe, un point. — Ça a une forme ? — Ronde ». Il en attribue, « en pensée » et non au crayon, deux ou trois au carré de 1 mm², « au moins vingt » au modèle de 3 cm². « Et si on les fait plus petits ? — Je crois cent, ou bien un peu moins ».

La ligne : à la fin « un point. — Il a une forme ? — Un peu ronde. — La même forme que celui du carré ? — Non, parce qu’il est en largeur. — Et si on le coupe ? — Ça fait un point plus petit. — Comme celui du carré ? — Non, un peu long. — Mais si on coupe tout le temps, en pensée, on trouve quoi à la fin ? — Un petit trait. — Et si on le coupe ? — Un point. — Avec une forme ? — Long ».

Le point du triangle est lui-même « un peu pointu ».

Lep (7 ; 11). « Tu vois ces deux points : combien peux-tu en mettre entre deux ? — Peut-être 20, non 15 (il les dessine). Il faut que ça se touche ? — Comme tu veux. — (Il les fait discontinus). — Pas plus ? — Non, sans ça ils sortiraient du trait. — Mais s’ils étaient tout petits ? — Peut-être 100, 115. — Si on partageait une ligne comme ça, ça donnerait quoi ? — (Il procède par dichotomie). Une toute petite ligne. — Et si on continue ? — Une barre, comme ça (points allongés). — Et si c’était élastique (on coupe un bout d’élastique que l’on étire) ? — Ça ferait jusqu’à 30 fois, peut-être jusqu’à 100. Je ne sais pas, moi, ça se peut ». Mais ce seront toujours de « petites lignes ». Par contre la décomposition d’un cercle donnera comme éléments ultimes de tout petits rectangles si on le découpe en lignes droites.

Pie (7 ; 11) dessine d’emblée le plus petit des carrés. « Et si on le faisait encore plus petit, ça donnerait quoi ? — Un point ». La ligne à partager : dichotomie spontanée. « Et à la fin ? — Aussi un point. — Comme celui du carré ? — Non, l’autre est un point carré et celui-là une petite barre. — Mais si on la coupe ? — Il aura encore la forme d’une barre ».

Bli (8 ; 6) : « Entre ces deux points on peut en mettre ? — Une centaine environ. — Et plus serrés ? — 200. — Et plus serrés ? — 400, il y en aura peut-être 500. — Si on les met les uns à côté des autres, c’est juste ? — Oui. — On pourra encore les compter ? — Peut-être plus. — Alors ? — Ce sera des petits points les uns à côté des autres (il dessine). Quand il y a un espace, on peut encore en mettre. On pourrait en mettre encore entre les points, mais ça donne une ligne. — Beaucoup de points donnent une ligne ? — (Hésitation). — Une ligne c’est beaucoup de points ? — (Pas de réponse). — Fais-moi la moitié de cette ligne, etc. Peut-on continuer longtemps ? — Oui. — Et à la fin ? — Ça devient comme un point allongé ».

Le triangle donné à la fin « un point allongé de chaque côté, comme un angle » et la ligne « un point allongé couché ».

[p. 169]Pat (8 ; 11) déclare d’emblée que le plus petit carré possible « c’est un point. — Ça a une forme, un point ? — Ça peut avoir beaucoup de formes : rond, carré. — Mais suppose un point qui serait carré. Est-ce qu’on peut imaginer par la pensée qu’on peut le couper ? — Oui, ça donne un tout, tout, tout petit point. — Il a une forme ? — On ne peut pas voir. — Alors il n’a pas de forme ? — Il a quand même une forme ». La ligne : « Pour finir il y aura un point. — Il aura une forme ? — Il sera rectangulaire. — Et si on le coupe ? — Carré. — Et si on le coupe ? — Rectangulaire. — Et à la fin ? — Il n’y aura plus rien. — Tout d’un coup plus rien ? — Si il y aura un tout, tout petit rectangle ».

« Combien de points y a-t-il dans une ligne comme ça ? — Beaucoup, beaucoup. — Ils se touchent ? — Oui, parce que sans ça ça ne ferait pas une ligne. — Mais il y aura de l’espace vide entre deux ? — Non, on peut en mettre beaucoup et puisqu’on peut en mettre au milieu ».

Fred (9 ; 9). Partition de la ligne : « Et à la fin ? — Plus rien. — Mais juste avant ? — Un tout petit bout de ligne. — Alors on peut le couper ? — Non. — On ne peut pas, si c’est un bout de ligne ? — Ah oui. — Qu’est-ce que ça donne ? — Rien du tout. — Combien il y en a de ces bouts de lignes dans une ligne comme ça (1 cm) ? — Un peu moins que 100. — Mais cette ligne, on peut la couper jusqu’à ce que ne soient que des points, ou bien ce sera toujours des lignes ? — On pourrait… Oui… Non, ce sera toujours des bouts de lignes ».

Bro (10 ; 3) : le plus petit carré possible est « comme un point. — Un vrai point ? — Non. C’est plus petit, un point. — Alors ? — Ce serait rempli au milieu, ce ne serait plus un carré. » Partition de la ligne : « On peut la couper encore longtemps ? — Non, ce ne serait plus qu’un point. — Combien de points peux-tu mettre entre ces deux ? — 30. — Pas plus ? — Oui. — Encore beaucoup ? — Non, ce serait une ligne. — Mais une ligne et beaucoup de points ce n’est pas pareil ? — Non… (hésite). — Si on les met tous ? — Ça ferait une ligne. »

Gin (10 ; 4). Le plus petit carré possible est « un point. — Il a une forme ou pas ? — Rond. — Si on coupe cette ligne sans s’arrêter ? — Ça finirait par rien du tout. — Et juste avant ? — Un trait. — Et si on le coupe ? — La moitié, puis la moitié de la moitié. — Et à la fin ? — Le dernier trait. — On peut le couper ? — Oui. — Alors on a quoi ? — Des points. — Dans cette ligne il y en a combien ? — Vers les 200. — Et entre deux ? — C’est la ligne. — Mais si on la coupe, c’est des points ? — Oui, tellement petits qu’on ne peut plus rien faire. — Mais dans une ligne il y a seulement des points ou il y a autre chose ? — C’est une grande ligne. — Mais si on la coupe en pensée ? — Ça fait 9000 points, peut-être davantage. — Et le carré ? — Des centaines. — Ils ont une forme ? — Ronde. — Ils se touchent ? — Oui ».

[p. 170] Nous avons multiplié les citations de ces réactions du stade III, car elles sont d’un intérêt évident, malgré la difficulté trop visible de poursuivre une interrogation aussi délicate sans suggestionner ou inhiber le sujet.

Le progrès accompli depuis le stade II est la conquête des opérations de sériation et de partition, dont le fonctionnement réversible s’affirme dès 7-8 ans. C’est ce qui explique que les questions du plus petit et du plus grand des carrés possibles (question 1) soient résolues sans difficulté dès le présent niveau. D’autre part, et de ce fait même, le sujet ne témoigne d’aucune hésitation à entreprendre, en présence d’une ligne ou d’une surface, une suite de partitions dichotomiques, sachant bien qu’il pourra les continuer sans obstacle jusqu’aux limites du visible et du manipulable et que, parvenu à ces limites perceptibles, il pourrait aussi bien revenir de la partie au tout. Bref, tant qu’il s’agit d’opérations concrètes, portant sur le terrain du fini et de l’action possible, le progrès est manifeste par rapport au stade II.

Mais qu’en est-il sitôt dépassées les limites du perceptible et du manipulable, autrement dit de l’action possible dont l’intériorisation représentative constitue les opérations concrètes par le jeu de ses compositions réversibles ? Les difficultés réapparaissent alors, parce que les opérations concrètes ne sont pas hypothético-déductives et que seule la pensée formelle est capable de s’engager dans la direction de l’infini ou de l’illimité, c’est-à-dire dans l’analyse du continu. Aussi assistons-nous, durant tout ce stade III, à un effort pour concilier les opérations découvertes sur le plan concret avec les intuitions analogiques imaginant l’invisible sur le modèle du visible, sans réussir à lever les contradictions inévitables faute du mécanisme formel.

Le premier fait à noter à cet égard, est le caractère encore limité des partitions conçues comme possibles (question 2). Jac pense par exemple que la dichotomie d’une ligne de 2 cm aboutit à une cinquantaine d’éléments punctiformes. And en attribue dix à une ligne d’un centimètre et quarante à un carré d’un cm³, etc. Ces nombres modestes, qui simplifieraient grandement la théorie mathématique des ensembles de points et la topologie, augmentent d’ailleurs avec l’âge, selon une progression amusante. Bli, qui a 8 ans, en est à 400 ou 500 points ; Pat, qui a presque 9 ans, en est à « beaucoup, beaucoup », et Gin, à 10 ans accorde « 9000 points, peut-être davantage », ce qui l’engage sur la voie de l’infini. Mais aucun des sujets de ce stade n’a le sentiment de la partition illimitée et c’est ce qui explique les difficultés suivantes.

[p. 171] Pour ce qui est, en effet, de la forme de l’élément ultime (question 3), on assiste bien, d’une part, à une simplification des notions si embrouillées du stade II, mais la solution proposée ne dépasse pas le plan du fini, faute de mécanisme formel. Tandis qu’au stade II, l’enfant se trouvait en présence de trois réalités distinctes, la totalité continue, les parties possibles isomorphe au tout, et les points, étrangers à la composition de l’ensemble, mais pouvant résulter d’une décomposition trop poussée et irréversible, les sujets du stade III n’admettent plus que deux réalités, le tout et ses éléments, et les conçoivent comme pouvant s’engendrer l’une l’autre par des opérations inverses de décomposition et de recomposition. Mais en quoi consistent ces éléments finis ? L’élément ultime est, de façon générale, le point lui-même, mais un point qui hérite en partie des propriétés réservées durant le stade II aux parties visibles isomorphes au tout, c’est-à-dire qu’il constitue encore une surface ayant une forme, et que sa forme dépend à la fois de celle du tout et du mode de sectionnement appliqué à ce tout.

C’est ainsi que pour Jac le point du carré n’a « pas de forme » mais présente « quand même une petite forme ». And enlève l’une des dimensions du tout pour se représenter l’élément correspondant : celui de la ligne est un point, mais celui du carré « un trait ». Zoi pense que le point du carré est rond, mais celui de la ligne « en largeur ». Pie énonce explicitement la notion d’un « point carré » et Bli d’un « point allongé couché ». Pat dit spontanément qu’un point « ça peut avoir beaucoup de formes » et il en a encore si « on ne peut pas voir ». Seul Gin, qui a dix ans, après avoir admis comme son contemporain Bro que les points sont « ronds » (« rempli au milieu » dit Bro) commence à les concevoir comme « tellement petits qu’on ne peut plus rien faire » ce qui nous achemine dans la direction du stade IV, mais ces sujets sont encore loin d’une partition indéfinie. Bref, pour tous ces enfants, les éléments sont des points : ce sont les points eux-mêmes que les sujets du stade II distinguaient des parties isomorphes au tout ; mais les points ont une forme et sont distribués en nombres finis.

Quant à la recomposition à partir de ces éléments (question 4), c’est la solution de ce problème qui est l’œuvre essentielle de ce stade et dont la construction se poursuit de 7-8 à 10-11 ans, au fur et à mesure que le nombre des points se multiplie. Au début du stade, cette recomposition ne fait plus de difficulté et se présente comme une opération d’autant mieux définie qu’il n’y a plus, comme au stade II, dualité entre les vrais éléments et les points : l’élément étant le point lui-même [p. 172] avec sa forme, la recomposition est l’inverse exact de la décomposition, et cette réversibilité est facile à concevoir pour quelques dizaines de points possédant une surface. Ainsi Lep (7 ans) pense que si les points sont trop nombreux ils « sortiront du trait » et les dessine discontinus pour éviter cet excès ; mais il admet spontanément qu’ils peuvent se toucher et en accorde 100 à 115 s’ils sont tout petits. Seulement, au fur et à mesure que les points augmentent en nombre, l’enfant trouvera plus difficile de reconstituer la continuité du tout à partir de ces éléments discontinus et sentira une contradiction croissante entre ces deux réalités, contradiction rappelant la difficulté analogue du stade II, mais située sur un autre plan, puisque c’est maintenant dans la mesure seulement où les points dépassent le perceptible et s’engagent dans la direction de l’infiniment petit qu’ils soulèvent 1e. problème de leur conciliation avec le continu. C’est ainsi que Bli, à 8 ans déjà, imagine 400 ou 500 « points les uns à côté des autres » entre deux points séparés par 2,3 cm et ajoute « quand il y a un espace on peut encore en mettre… mais ça donne une ligne ». Ces simples mots sont révélateurs : d’une part, ils témoignent de la tendance du sujet à dépasser le visible en multipliant les points ; seulement, d’autre part, Bli dit « mais » et non par « et » pour exprimer le passage de ces points à la ligne, et, quand on lui demande de trancher la question de l’identité de la ligne avec une suite de points, il se refuse à répondre, parce que le continu intuitif du tout lui semble, malgré tout, distinct de la discontinuité des éléments finis (ce en quoi il a bien raison, sauf qu’il ne soupçonne pas encore, faute d’opérations formelles, que la réponse est à chercher dans l’infini). Pat s’avance davantage : il y a « beaucoup, beaucoup » de points et ils sont bien forcés de se toucher « parce que sans ça ça ne ferait pas une ligne » : en cas d’intervalle, on peut en mettre « au milieu », ce qui est presque la solution formelle… mais le point, quoique « tout, tout, tout petit » a « quand même une forme » (le point de la ligne est un « tout, tout petit rectangle » !) Enfin Bro et Gin marquent les dernières hésitations du stade : trop de points « ce serait une ligne », dit Bro, une ligne n’est pas un ensemble de points, mais cependant si on les met tous « ça ferait une ligne » ; d’autre part, entre les points, selon Gin « c’est la ligne » car, dans la somme des points, il y a autre chose que ces points, puisque « c’est une grande ligne » ; cependant une ligne et une surface sont formées de milliers de points qui se touchent et « tellement petits qu’on ne peut plus rien faire » c’est-à-dire de les représenter.

[p. 173] Il y a donc, au total, composition réversible du tout à partir des éléments ou des éléments à partir du tout, mais la composition restant « concrète » et non pas « formelle », c’est-à-dire finie et perceptible (ou analogue à ce qui est perceptible), et non pas infinie et purement intellectuelle, il demeure une contradiction latente et, pour le moment, insoluble : le tout est continu et ses éléments discontinus. Deux différences séparent donc cette attitude du stade III de celle du stade II à l’égard du rapport entre les points et la ligne : d’une part cette précédente attitude revenait à opposer simplement les points visibles discontinus et cessant d’exister comme points lorsqu’ils se touchent (parce qu’alors ils se fondent dans la ligne) à la ligne visible continue et consistant pas en points, tandis que la contradiction sentie par les sujets du niveau III porte au contraire sur la multiplication des points au-delà du visible et devient intellectuelle plus qu’intuitive ; d’autre part, et surtout, le sujet du stade II conclut du conflit entre le point et la ligne que le premier n’est pas l’élément de la seconde, tandis que précisément la découverte du stade III consiste à admettre et même à postuler la composition réversible de la ligne à partir d’éléments punctiformes : il s’agit alors pour le sujet de lever la contradiction en conciliant ces termes extrêmes et non pas en supprimant l’un des deux comme au stade II où le point est considéré comme un résidu irréversible.

On voit l’intérêt de ce conflit : c’est le problème même du continu qui est ainsi posé par le progrès spontané des opérations elles-mêmes, et de la façon la plus analogue à celle dont la question est développée historiquement en mathématiques. Le continu perceptif, dont se contentaient les sujets du stade II apparaît, en effet, comme un défaut de séparation entre éléments voisins. Selon la célèbre analyse de Poincaré, le continu intuitif repose sur la contradiction suivante : de trois éléments voisins ABC, A n’est pas distingué de B, ni B de C et on a donc perceptivement A = B et B = C ; mais A est distingué de C et apparaît ainsi tel que A ≠ C. Rappelons d’abord que c’est de la même manière que W. Koehler énonce l’existence des seuils perceptifs différentiels (intervenant dans la loi de Weber) ce qui montre assez la signification psychologique de ces rapports, soit d’indifférenciation entre A et B ou B et C, soit de distinction entre A et C. Dans le langage que nous avons adopté dans les chapitres I-IV de cet ouvrage, nous pouvons donc dire que le continu perceptif ou intuitif est une synthèse entre le voisinage (procédant de la « proximité » perceptive) et la séparation (séparation entre éléments spatiaux [p. 174] distingués par l’analyse, qu’ils soient voisins ou non ⁶), mais une synthèse inachevée, car A et B sont perçus comme voisins (puisqu’indifférenciés), mais non séparés, B et C également, tandis que A et C sont séparés, et perçus comme plus voisins qu’ils ne le sont en réalité. Cela dit, le continu intellectuel débute lorsque la séparation est généralisée en fonction d’opérations de partition et n’est plus limitée à la différenciation perceptive : une nouvelle synthèse est alors à trouver entre le voisinage et la séparation et cette synthèse ne sera complète que lorsque tous les éléments voisins seront séparés, ou séparables par l’analyse. Cette condition nécessaire n’est d’ailleurs nullement suffisante pour concevoir le continu, et il faudra ajouter qu’en tout entourage d’un point, si petit que soit cet entourage, il existe encore au moins un autre point de l’ensemble : le continu apparaîtra ainsi comme une synthèse des rapports de voisinage, de séparation, d’enveloppement (l’entourage d’un point) et d’ordre (les entourages étant connus comme de plus en plus petits, donc comme distribués selon un système d’emboîtements ordonnés). Mais, pour ce qui est des réactions du stade III que nous discutons maintenant, c’est surtout le progrès de la séparation qui s’affirme et qui entraîne le reste : le sujet se met à séparer les uns des autres des points non discernables perceptivement (tous en les concevant par analogie avec des points visibles), et c’est seulement en second lieu qu’il invoque l’ordre et les enveloppements (voir Bli et Pat qui intercalent des points « dans l’espace » situé « entre » deux autres, ou « au milieu » de deux autres, etc.).

Or, la contradiction sentie par ces sujets tient précisément à ceci, que le progrès des séparations toujours plus poussées, dues aux opérations de partition, semble à leurs yeux entraîner une rupture des voisinages, et même une discontinuité irréductible, faute de comprendre suffisamment la seconde condition du continu : c’est que, tout en multipliant les points séparés, il s’agit d’assurer la présence d’au moins un point voisin en tout entourage, si petit soit-il, de chaque point considéré. Pourquoi donc cette synthèse du voisinage et de la séparation par le moyen des enveloppements ordonnés ne s’effectue-t-elle point encore ? C’est simplement faute d’opérations formelles capables de pousser la partition de façon illimitée et de concevoir un nombre suffisant, c’est-à-dire [p. 175] indéfini, de points : sans un nombre infini de points il est, en effet, impossible de combler les lacunes et c’est ce que sent bien l’enfant de ce niveau, sans pouvoir y remédier, n’étant pas encore capable de cette généralisation illimitée de la séparation opératoire ou partition. Ce sera l’œuvre du stade IV que de trouver la synthèse par le moyen des opérations hypothético-déductrices ou formelles.

Au niveau du stade III l’enfant est en possession, sur le plan des opérations concrètes, de chacun des rapports de voisinage, de séparation, d’ordre et d’enveloppement, mais il ne parvient pas à en effectuer cette synthèse que constitue le continu faute d’opérations formelles aptes à pousser la partition (séparation) de façon illimitée et à réunir les éléments ainsi séparés en des entourages (enveloppements) en nombre également illimité. Or, c’est vers 11-12 ans, comme nous l’avons constaté en bien d’autres recherches, que débute la pensée formelle ou hypothético-déductive, c’est-à-dire le système d’opérations au second degré qui opère sur des propositions abstraites, se référant elles-mêmes à des opérations concrètes, conçues comme simplement possible et posées à titre d’hypothèses. C’est donc ce niveau qu’il faut attendre pour que les éléments ultimes du continu soient élaborés à titre de points invisibles et purement hypothétiques eu égard à leur manipulation, mais déductibles et composables en pensée, de façon illimitée.

Mais dès 10 ans on observe déjà des réactions intermédiaires entre les stades III et IV, dont voici quelques exemples :

Alf (10 ; 2). Le plus petit carré (quest. 1) : il fait un point minuscule. « Quand on coupe une ligne, etc., qu’y a-t-il à la fin ? — Un point. — On peut la couper en pensée ? — Oui, il sera toujours plus petit, et après il n’y en a plus ». Entre ces points (très rapproché) on peut en mettre encore ? — Ah oui, si on fait directement un trait : Un trait c’est des tout petits points réunis ensemble. — On peut les compter ? — Non, parce qu’ils sont tous réunis. — Combien ? — Des centaines. — Et entre deux ? — Il n’y a rien du tout (= ils se touchent) entre deux. — Dans le carré il y a des points ? — Oui. — Ils ont une forme ? — Ronde. — Et dans la ligne ? — Aussi ronde. — Combien y a-t-il de points dans un carré (3 cm²) ? — Des milliers. — Et sur cette table ? — Des milliards. — Tu sais compter jusqu’où ? — Je pourrais aller toujours plus loin je pense. — Et un monsieur arriverait au bout des nombres ? — Non jamais, parce que personne n’est arrivé au bout ».

[p. 176]Mag (10 ; 3). Partition : « On peut encore couper 200, 500, 1000 fois. À la fin on ne saura plus le nom du nombre. — Combien y a-t-il de points entre les deux ? — Une centaine ou 500 au plus, mais je ne pourrai plus les compter, parce que les points se toucheraient : ça ferait une ligne. »

Dis (10 ; 3) pense qu’il y a « des millions de points » dans une ligne de 2-3 cm et qu’« ils se touchent ; peut-être pas tout à fait » mais si on en met encore « il n’y aura plus d’espace entre eux. — Il y en a autant que dans la suite des nombres ? — Peut-être ; non, je ne crois pas, parce que cette ligne est petite ».

Muh (10 ; 10). « Combien de points ? — On ne peut pas tout savoir parce qu’avec les yeux on ne peut pas les compter. » Partition : « Le dernier morceau serait un point, parce que la ligne est faite de petits points. »

Stei (10 ; 7) pense qu’on trouve des points au terme de chaque partition parce qu’« on ne peut pas couper sans qu’il reste quelque chose » et qu’« un point c’est plus petit qu’un rond (qu’un point circulaire visible) ».

Pau (10 ; 2) pense d’abord que dans un carré de 1 cm² « il y a 2000 points ronds », de même que sur une ligne. « Ils se touchent tous parce qu’ils sont tellement petits. — Mais il y aura encore des creux vides ? — Oui, mais on peut toujours y mettre d’autres points. — Combien ? — On peut en faire jusqu’à la fin des nombres. — Les nombres ont une fin ? — Non, on pourra toujours compter toute sa vie et ça n’aura pas de fin. — Et dans ce carré, si tu comptes les points, ça aura une fin ? — Oui, parce qu’il a un bord. — Et les points de cette table ça a une fin ? — Oui, parce qu’elle a un bout. — Et ceux de tout le carton, il y aura une fin ? — Oui. Les nombres ne finissent pas, mais quelque chose (de réel), ça finit ».

Et voici des cas francs de ce stade IV :

Bet (11 ; 7) : « Combien de points pourrait-on dessiner sur cette ligne ? — On ne peut pas dire. C’est innombrable. On peut faire des points toujours plus petits (cf. les emboîtements décroissants). — Combien y en a-t-il dans le rond ? — Impossible à dire. — Mais à peu près : 10 000, 100 000, 1 000 000 ? — C’est impossible à dire, on ne peut pas dire tant il y en a. — Dessine-moi comment est la plus petite ligne possible ? — Ah non, on ne peut pas, parce qu’on pourrait toujours la faire plus petite ».

Zum (11 ; 7). Partition d’une ligne : « Ça va jusqu’où ? — Tout le temps. — Pourquoi ? — Il reste toujours un petit bout. — Et combien de points dans le petit bout ? — On ne peut pas les compter tant il y en a ».

Duc (12 ; 9). « Peut-on mettre des points entre ces deux-là ? — Tant qu’on veut. — Et tu peux partager cette ligne jusqu’où ? — Indéfiniment. — Mais à la fin, on trouve ? — Des sortes de points. À la fin ils se mélangent ».

[p. 177]Dan (11 ; 7) : « Et si on continue à couper ? — C’est encore des points. — C’est comment les points ? — Comme de la poussière qui voltige dans l’air (cf. l’atomisme). — Combien y en a-t-il dans un petit trait ? — On ne peut plus y compter : ça ne finit plus ».

On constate ainsi qu’au niveau où la pensée devient hypothético-déductive, c’est-à-dire où les opérations se détachent de leur contenu concret pour fonctionner en vertu de leur seule composition formelle, le sujet parvient à dépasser les notions de partition et de point perceptibles pour prolonger les mécanismes de décomposition et de recomposition au-delà de toute limite effective. Par le fait même, une synthèse opératoire du continu devient possible.

Il semble que nous employions là une expression bien forte pour des notions en partie spontanées (mais sans doute en partie seulement), et peu systématiques, d’enfants de 10 à 12 ans. Et, de fait, il n’est guère besoin de les serrer de près pour faire hésiter le sujet ou l’amener à des contradictions et à des reculs. Aussi n’allons-nous pas lui prêter une théorie des points d’accumulation ni la prescience de l’axiome de Weierstrass.

Mais une chose nous paraît certaine et elle suffit pour parler de continu opératoire : c’est qu’à un moment donné le sujet prend conscience du dynamisme même de l’opération en tant que composition formelle indéfinie, et qu’alors sa partition ou sa recomposition cessent de faire figure de simples opérations additives portant sur des objets concrets et finis pour s’attacher à la série illimitée, comme telle, des emboîtements ou des déboîtements. Telle est, d’ailleurs, la vertu des opérations formelles qu’étant un système d’opérations portant sur des opérations, elles marquent un tournant décisif dans la libération du dynamisme intellectuel.

Lorsque Bet, par exemple, se refuse à construire la plus petite ligne possible parce que « on pourrait toujours la faire plus petite », et que Zum considère la partition comme pouvant durer « tout le temps » parce qu’« il reste toujours un petit bout », lorsque ces deux sujets se refusent à évaluer le nombre des points, qui est « innombrable » ; lorsque Dan dit « on peut toujours y mettre d’autres points » et que Duc précise « tant qu’on veut » et « indéfiniment », ces enfants entrevoient cette vérité fondamentale que l’infiniment petit n’est pas un résidu statique : c’est l’expression d’un processus indéfini de décomposition.

Quant à la recomposition, il n’y a plus, comme disait encore Gin à la fin du stade III, d’une part, les points et, d’autre part, [p. 178] « la ligne » elle-même en tant que totalité : les points réunis et la ligne comme telle sont une seule et même chose, parce qu’un « trait c’est des petits points réunis ensemble » (Alf) et qu’on peut toujours insérer de nouveaux points dans les lacunes (Pau). Aussi lorsque Duc précise qu’« à la fin ils se mélangent » ce n’est plus l’indiscernable perceptif (A = B ; B = C et A ≠ C) qu’il invoque, puisque ce mélange contient des points « tant qu’on veut » mais le caractère d’un seul tenant de continu formé par l’ensemble des points voisins.

Comment donc expliquer la synthèse ainsi obtenue, et que le stade III ignorait encore, bien que possédant tous ses ingrédients ? L’essentiel est donc la capacité de poursuivre les opérations de façon illimitée, par opposition aux limites du concret encore respectées au cours du stade III. Mais ce dynamisme illimité se déploie en deux directions complémentaires, et c’est leur réunion qui constitue le continu. En premier lieu, la séparation entre points voisins est poursuivie indéfiniment, les notions de voisinage et de séparation n’étant plus opposées comme dans l’intuition perceptive : autrement dit, la séparation intellectuelle, due à la partition opératoire, l’emporte sur la séparation intuitive et s’appuie sur le voisinage même. En second lieu, tout entourage d’un point est susceptible d’être meublé par de nouveaux points : « il n’y aura plus d’espace libre entre eux » dit Duc, « on peut toujours y mettre (dans les creux vides) d’autres points », dit Pau, et cela « jusqu’à la fin des nombres ». Bet exprime la même idée non pas sous la forme d’un remplissage des lacunes, mais sous celle d’un découpage intérieur aux « points toujours plus petits » ou aux segments de la ligne « qu’on pourrait toujours faire plus petits », ce qui est une sorte de systèmes d’emboîtements décroissants par opposition aux coupures de Dis et de Pau. Bref, les entourages ordonnés (enveloppements à une dimension pour la ligne : lacunes situées « entre » les points ; ou à deux dimensions pour les surfaces : lacunes « autour » du point) sont eux-mêmes pourvus de points à la fois voisins et intellectuellement séparables, ce qui assure la synthèse entre les quatre rapports de voisinage, de séparation, d’ordre et d’enveloppement déjà acquis au stade III, mais non composables entre eux à ce niveau faute de partitions ou d’emboîtements illimités.

Mais si l’ossature logique du continu est ainsi acquise grâce aux opérations formelles, il n’est pas besoin d’insister sur le fait qu’il s’agit encore essentiellement d’une ossature qualitative. Ce qui manque à nos sujets pour fonder leur notion du continu, c’est, bien entendu, d’abord la notion du [p. 179] nombre irrationnel : ils font simplement correspondre les points à la suite des nombres entiers, et même avec certaines réserves pleines d’intérêt, comme celle de Pau (« les nombres ne finissent pas », tandis que « quelque chose » de réel, c’est-à-dire de physiquement spatial, « ça finit »), et ils ignorent l’espèce spéciale des nombres destinés à combler les lacunes subsistant entre les points dénombrables. Mais il leur manque aussi une théorie des limites ou des points de condensation assurant une quantification extensive des emboîtements par opposition aux purs emboîtements logiques (intensifs). Seulement cette notion du continu extensif leur fait-elle réellement défaut ou ne parviennent-ils simplement pas à la formuler ? Le rapport « toujours plus petit » invoqué par Bet n’en est certainement pas loin.

Au total, la construction du continu, à laquelle nous font assister les sujets du stade IV aboutit à une synthèse des rapports topologiques élaborés au cours des stades I à III. En tant que séparation intellectuelle (et non plus perceptive ou intuitive) des points voisins, les opérations de partition trouvent dans le continu leur expression généralisée et réalisent la conciliation entre les rapports de voisinage et de séparation. En tant que remplissant les entourages de chaque point, le continu permet aux opérations d’ordre et d’enveloppement de trouver également leur forme générale applicable aux lignes, surfaces et espaces à trois dimensions, et fournit ainsi un fondement rationnel à leurs manifestations intuitives, dont nous avons vu la précocité à propos des rapports de frontière, d’ouverture et de fermeture. Il en résulte que le continu, tout en terminant plus tardivement son élaboration que tous ces autres rapports, puisqu’il en constitue la synthèse, parachève la construction des notions topologiques propres à la représentation enfantine de l’espace, notions dont nous achevons ici l’étude.