Troisième partie.
Le passage de l’espace projectif à l’espace euclidien ^a 🔗

[p. 355] Tant du point de vue de la construction axiomatique des géomètres que de celui de la genèse psychologique de l’espace, il existe, entre l’espace projectif et l’espace euclidien, deux sortes de rapports. En premier lieu, tous deux dérivent, et indépendamment l’un de l’autre, de l’espace topologique. Du point de vue mathématique, une correspondance projective ou homologie est une homéomorphie topologique, mais conservant les droites ainsi que certains rapports quantitatifs (rapports anharmoniques), tandis que l’on passe directement des rapports topologiques aux rapports métriques généraux comprenant, à titre particulier, la métrique euclidienne. Psychologiquement, nous avons vu comment les intuitions topologiques élémentaires engendrent la notion de la droite ainsi que les rapports projectifs initiaux, par subordination à un système de points de vue ; nous verrons, d’autre part, en un second ouvrage ¹, comment l’enfant procède des mêmes intuitions topologiques aux notions de distance et de mesure euclidiennes. De ce double point de vue mathématique et psychologique, l’espace projectif et l’espace euclidien s’élaborent donc tous deux et indépendamment l’un de l’autre, à partir de l’espace topologique. Mais, outre ce premier type de rapports (caractérisé entre autres par le fait, dont la connaissance est due à Hilbert, que les axiomes nécessaires à la construction d’un système de coordonnées sont équivalents aux axiomes nécessaires à la géométrie projective), il en existe un second : on peut construire entre l’espace projectif et l’espace euclidien une série de termes de passage, constitués par les affinités et les similitudes. C’est ainsi que, du point de vue mathématique, les affinités sont des correspondances projectives (homologies) conservant entre autres les parallèles ; les similitudes sont des affinités conservant les angles, et les mouvements sont des similitudes conservant les distances : de l’homologie projective au déplacement euclidien, on passe ainsi par une série de transitions ou de spécifications successives. En est-il de même du [p. 356] point de vue psychologique ? C’est ce problème que nous aimerions discuter en la dernière partie de cet ouvrage.

Il s’agit donc d’abord d’étudier la conservation des parallèles, non pas sur un terrain simplement perceptif, mais sur celui de la transformation des figures respectant le parallélisme de certains de leurs éléments : c’est ce que nous ferons au chapitre XI en analysant les réactions de l’enfant à un cas particulièrement simple de transformations « affines », celui des losanges s’élargissant ou s’amincissant dans le dispositif connu sous le nom de « ciseaux de Nuremberg ». Le chapitre XII nous conduira ensuite à la découverte des proportions et des similitudes et à la conservation des angles. Au cours du chapitre XIII nous étudierons les systèmes naturels de coordonnées, liés à la construction des horizontales et des verticales. Enfin, le chapitre XIV, consacré à la construction des schèmes topographiques (plan d’un village, ou d’un jardin, etc.), nous permettra de retrouver, à propos de la solution d’un même problème général, les notions de « point de vue » perspectif, de parallélismes, de proportions et de coordonnées, et de dégager ainsi les rapports d’ensemble entre les notions projectives et les notions euclidiennes.