Chapitre XIII.
Les systèmes de référence et les coordonnées : l’horizontale et la verticale ^{1 a} 🔗

Le système de coordonnées le plus naturel et le plus simple dont puisse sans doute user le sujet est celui qui lui est fourni par la nature physique elle-même, sous la forme des axes horizontaux (fronto-parallèles ou en profondeur) et, de l’axe vertical, encore que ces notions soient évidemment relatives à notre échelle d’approximation pratique, puisque, à une échelle supérieure de peu, le niveau de l’eau apparaît déjà courbe et que les fils à plomb ne sont plus parallèles entre eux ! L’horizontalité est donnée pratiquement par le plan sur lequel reposent presque tous les objets habituels : le sol lui-même, lorsqu’il s’agit d’une plaine, ou du moins le sol artificiel constitué par les planchers, les terrasses, etc. Il intervient en outre un facteur décisif : l’horizontalité des niveaux [p. 449] de liquides, qui, pour nos petits Genevois, est illustrée chaque jour par la surface du lac, sans parler du niveau des boissons dans les verres ou les tasses. Quant à la verticale, elle est fournie par les parois des chambres et les murs des maisons, par les poteaux, les cheminées, certains arbres, etc.

Seulement l’étude de l’horizontale et de la verticale soulève deux problèmes bien distincts, dont la dualité complique en un sens nos expériences, ainsi que l’interprétation des résultats, mais dont l’enchevêtrement inévitable est, en réalité, fort instructif pour la discussion du fait géométrique lui-même, sous son double aspect déductif et physique. D’une part, en effet, les concepts de verticalité et d’horizontalité sont de nature physique et non pas mathématique, puisque exprimant simplement la direction selon laquelle les corps pesants sont attirés par la terre et orientés vers son centre ou selon la perpendiculaire à cette direction. Mais, d’autre part, la construction des notions d’horizontale et de verticale soulève une question indépendante de toute physique, ou du moins dont l’indépendance à l’égard de la physique est précisément en cause dans la recherche dont nous allons discuter ici les résultats : c’est celle de l’élaboration d’un système de coordonnées en tant que simple système de référence géométrique. Cette indépendance, au moins relative, se marque d’emblée dans le paradoxe suivant : physiquement les verticales ne sont pas parallèles et la surface du niveau d’un liquide est courbe, comme nous le rappelions à l’instant, tandis que, géométriquement, la découverte de la verticale et de l’horizontale est l’occasion privilégiée qui conduit à la construction d’un système d’axes rectangulaires ne correspondant au fait physique, dont ils sont l’expression, que dans les limites d’une certaine échelle d’approximation.

Psychologiquement, la dualité de ces questions physique et géométrique soulève donc un problème d’une importance évidente, que sa solution s’engage dans la direction de l’indépendance des deux sortes de facteurs ou d’une interdépendance dont il s’agirait alors de préciser la nature. Le problème n’est rien moins, en effet, que celui de la nature physique et expérimentale, ou au contraire déductive et a priori des mathématiques, avec toutes les solutions intermédiaires qui peuvent trouver place entre ces deux extrêmes : or, ce problème se retrouve, sous une forme bien primitive mais d’autant plus impressionnante, en chacun des faits observés que nous allons relater, et c’est dès l’organisation de l’interrogation que l’on se voit aux prises avec le dualisme et cependant l’interdépendance des facteurs en jeu.

[p. 450] Pour présenter à l’enfant le problème des coordonnées, on est bien forcé, en effet, de se référer à ces axes naturels que sont l’horizontale et la verticale, puisqu’il y recourt lui-même tôt ou tard. Mais, pour déterminer si l’enfant est en possession de ces notions, ce sont de véritables lois physiques dont il s’agit de rechercher comment il les découvre au cours de ses inductions expérimentales : la loi de la constance de la forme prise par le niveau des liquides, quelle que soit l’inclinaison des récipients, ou de la constance de la direction d’un fil à plomb, quelle que soit l’orientation des objets voisins, etc. Seulement, pour analyser la manière dont l’enfant parvient à la lecture même de ces faits expérimentaux, on en est à nouveau conduit à analyser le schème au moyen duquel il enregistre ce qu’il perçoit, ce qui nous ramène à la question du système de références ou de coordonnées, etc. Dès l’abord, on tourne donc en une sorte de cercle entre la physique et la géométrie, et le premier problème est de trouver une technique qui respecte l’existence de ce cercle de départ sans préjuger de la manière dont il sera dénoué.

En ce qui concerne l’horizontale, la meilleure technique à cet égard s’est montrée la suivante. On présente aux enfants deux bocaux, l’un à parois parallèles, l’autre arrondi (avec goulot), contenant chacun un peu d’eau (au quart environ de leur capacité), légèrement colorée en bleu au moyen d’encre, et l’on demande de prévoir comment se placera l’eau par rapport à la bouteille lorsqu’on inclinera celle-ci. Des bocaux vides, de mêmes formes, étant à la disposition de l’enfant, on prie celui-ci d’indiquer d’abord du doigt quel sera le niveau de l’eau aux différentes inclinaisons du verre. Les tout petits doivent en outre montrer d’un geste la surface de l’eau (de manière à s’assurer qu’ils la conçoivent comme un plan, incliné ou horizontal), et, l’expérience étant faite immédiatement sous leurs yeux, on leur demande en outre de dessiner sans plus ce qu’ils voient. Quant aux plus grands (dès 5 ans en moyenne), on leur offre des dessins au trait représentant les bocaux selon différents angles d’inclinaison, en les priant de dessiner, avant de voir les résultats de l’expérience, la manière dont l’eau se placera dans ces différentes positions du bocal (il va de soi qu’on varie l’ordre de présentation des inclinaisons, de manière à éviter les persévérations ou erreurs systématiques). On a soin en outre de faire dessiner, soit la ligne de la table, soit celle du support en bois (horizontal également) sur lequel est placée la bouteille, de manière à ce que cette horizontale perçue directement puisse éventuellement guider l’orientation des niveaux du liquide. Le dessin anticipateur une fois terminé, [p. 451] le sujet le confronte avec l’expérience (on a soin que la ligne de niveau soit à la hauteur des yeux de l’enfant ou un peu au-dessus, pour qu’il perçoive bien la surface de l’eau sous une forme horizontale), et l’on fait corriger le dessin, ou refaire un nouveau dessin, après quoi l’on passe éventuellement à de nouvelles prévisions.

Cette technique initiale peut être utilement complétée par les procédés suivants. On offre une série de cartons découpés figurant les bocaux ronds ou carrés, sur lesquels le niveau de l’eau est déjà dessiné et l’on demande de les placer dans leur inclinaison convenable en tenant compte de cette ligne de niveau. En second lieu, on présente aux sujets une série de cartes mobiles (de la forme et des dimensions des cartes postales) sur lesquelles sont dessinés les bocaux en différentes positions : le niveau de l’eau y est marqué, de façon soit correcte soit fausse, et l’enfant est invité à les trier en choisissant les justes. Dans certains cas, on a également présenté une seule grande feuille comprenant les représentations des bocaux en toutes leurs positions, avec de nouveau indication des niveaux corrects ou faux, en demandant au sujet de choisir les dessins exacts (cette grande feuille reste donc immobile, par opposition aux cartons mobiles). Enfin on a parfois utilisé une représentation en papier d’une tasse (découpée), avec son contenu figuré sur un autre papier (également découpé), en priant le sujet d’ajuster par superposition le second de ces papiers au premier, pour les différentes inclinaisons de la tasse.

Quant à l’étude de la verticale, nous avons adopté les différentes techniques que voici. En premier lieu, lors des expériences précédentes sur les bocaux à parois planes ou rondes, nous avons placé sur l’eau elle-même un petit flotteur en liège, surmonté d’une allumette verticale plantée dans ce liège : l’enfant est prié de dessiner d’avance la position du « mât » de ce « bateau », lors des différentes inclinaisons du bocal, puis de corriger ses dessins après expérience. En second lieu, nous avons utilisé les bocaux rectangulaires, mais sans eau, en suspendant au couvercle un fil à plomb (sous la forme d’un poisson de métal pendu à une ficelle mince) : on demande à l’enfant de prévoir la direction du fil, soit en dehors de la bouteille, soit dans le bocal vide, incliné de diverses manières. Après les prévisions de l’enfant on fait avec lui le contrôle et l’on demande de nouveaux dessins. En troisième lieu, on présente à l’enfant une montagne (de sable, de pâte, etc.) en le priant de planter des poteaux « bien droits », soit au sommet, soit à plat à côté de la montagne, soit sur les pentes. Il est intéressant [p. 452] de préciser avec le sujet ce qu’il entend par « droit » et par « penché » quant à la position de ces poteaux (des dessins à choix facilitent à nouveau l’interrogatoire). On fait également dessiner à l’enfant la grande montagne en le priant de représenter graphiquement les poteaux « bien droits » ou penchés. Enfin nous avons parfois combiné l’expérience du fil à plomb avec celle de la montagne, en faisant prévoir la direction du fil suspendu à des crochets plantés sur les flancs, ou au sommet, etc.

Ces diverses techniques combinées nous ont permis d’établir les stades généraux suivants (voir fig. 26). Durant un premier stade (jusqu’aux environs de 4-5 ans), le sujet ne parvient à abstraire, ni la surface de l’eau à titre de surface plane, pour ce qui est des niveaux horizontaux, ni la surface de la montagne pour ce qui est de la détermination des verticales. En effet, pour ce qui concerne l’eau, non seulement l’enfant n’a nullement la notion d’un plan horizontal, mais encore il n’a pas la notion du plan lui-même : ou bien il dessine l’eau sous la forme de gribouillages dépassant les limites du verre lui-même, ou bien, lorsqu’il surmonte les difficultés motrices auxquelles on peut attribuer cette réaction de départ, il dessine l’eau sous la forme d’une tache circulaire ou d’une petite boule à l’intérieur du verre, sans abstraire la ligne droite ou le plan, ni situer l’emplacement de l’eau par rapport à la bouteille. À ce même niveau I les arbres et les maisons sont dessinés soit accolés au bord de la montagne en un faux parallélisme (la maison est comme couchée le long de la pente) soit figurés arbitrairement contre la montagne.

Au cours du stade II par contre, les directions de l’espace sont déterminées en fonction de la configuration envisagée, mais non point encore d’un système de référence extérieur à elle : il n’y a donc pas encore découverte de l’horizontale ni de la verticale. Au niveau II A, il y a déjà abstraction des surfaces et des lignes de niveau, mais, lorsque l’on incline la bouteille le sujet se représente le déplacement de la ligne de niveau, non seulement sans aucune référence à un système extérieur à la bouteille (support ou table), mais encore sans référence aux côtés mêmes du bocal, par opposition à sa base : il conçoit l’eau comme se dilatant ou se contractant simplement ou comme augmentant ou diminuant de quantité, c’est-à-dire en fait comme se rapprochant ou s’éloignant du goulot ; se figurant ainsi le déplacement du niveau de l’eau comme étant simplement orienté vers le goulot (lorsque la bouteille est inclinée pour être vidée) ou comme un retrait en sens inverse (lorsque l’on redresse la bouteille), le sujet dessine constamment

[p. 454] ce niveau comme parallèle à la base, sans que la partie inférieure de l’eau quitte cette base, (ou parfois au contraire avec un espace vide entre la base et l’eau, celle-ci étant comme suspendue en l’air, mais sa partie inférieure restant alors parallèle à la base du bocal). Chose intéressante, les enfants de ce niveau II A, comme ceux du stade I, demeurent à peu près incapables, lorsque l’on incline effectivement l’eau devant eux, de procéder à une lecture objective de l’expérience, et cela faute de savoir utiliser les systèmes de référence extérieurs ou même intérieurs à la bouteille. Du point de vue de la verticale, ils dessinent les poteaux perpendiculairement aux flancs de la montagne, sans souci de la verticalité, et ne savent déterminer la direction des fils à plomb le long de la montagne.

Au cours du sous-stade II B, par contre, l’enfant après avoir simplement indiqué du doigt sur le bocal en voie d’inclinaison la direction que prendra l’eau, mais sans savoir dessiner le nouveau niveau, parvient ensuite à le détacher de sa direction parallèle à la base du bocal. Mais il ne coordonne encore nullement ce niveau prévu avec un système de référence immobile et extérieur au bocal (table ou support) : il cherche simplement à l’accrocher aux coins du bocal et lui imprime ainsi des orientations obliques aussi bien que fortuitement horizontales. Mais lorsque le bocal est renversé, l’horizontale est atteinte. Quant aux verticales, les sujets de ce sous-stade savent en général planter verticalement une tige sur les flancs d’une montagne de sable, mais la dessinent encore perpendiculairement aux versants et échouent toujours à prévoir la direction du fil à plomb dans des bocaux inclinés.

Après une dernière étape, intermédiaire entre les sous-stades II B et III A, et au cours de laquelle l’enfant réussit à prévoir l’horizontalité de l’eau dans les seuls cas où le bocal à côtés rectangulaires est, soit renversé à 180°, soit couché sur l’un des côtés (et où le niveau est donc parallèle à ce côté), l’horizontalité et la verticalité sont enfin découvertes et généralisées : tel est le propre d’un stade III, qui débute vers 7-8 ans. Il faut d’ailleurs distinguer encore deux sous-étapes à cet égard : un sous-stade III A (de 7-8 à 9 ans environ) au cours duquel la généralisation n’est que progressive (les sujets débutant par la prévision de positions obliques faute de références aux systèmes immobiles extérieurs au bocal), puis un sous-stade III B (dès 9 ans en moyenne) où les verticales et les horizontales sont anticipées immédiatement, constituant un système d’ensemble de coordonnées.

Au cours d’un premier stade, qui s’étend jusque vers quatre ans (ou un peu au-delà), les réactions de l’enfant à qui l’on demande de dessiner le niveau de l’eau ou les arbres sur les versants de la montagne, présentent ce grand intérêt de ne pouvoir abstraire les plans : la surface de l’eau n’est, en particulier, représentée, ni par une ligne, ni par une surface, mais par une espèce de boule (une fois dépassée l’étape du simple gribouillage) : l’eau est donc conçue essentiellement en fonction de la relation topologique de l’intériorité par rapport au bocal, et non point encore en fonction des notions euclidiennes de droites et de plans, de positions et de dimensions. Voici quelques exemples :

Vil (3 ans) ne parvient à représenter l’eau, même dans la position normale du bocal, que sous la forme de gribouillages dépassant les limites du verre, mais destinés à figurer l’intérieur de la bouteille (celle-ci étant dessinée d’avance par l’expérimentateur).

Dan (4 ; 1), en présence d’une bouteille droite, dessinée d’avance, figure l’eau sous la forme d’une tache située sur la gauche près du goulot. Il sait néanmoins naturellement dessiner des traits sur copie, mais ne parvient pas à les orienter même dans la position normale de départ.

Man (4 ; 6) dessine l’eau à l’intérieur du bocal comme une sorte de petite boule située sans rapport avec les côtés ni avec la base, quelles que soient les inclinaisons. On lui dessine alors, pour les positions dressée et couchée du bocal, des lignes figurant, soit le niveau horizontal, soit les axes (horizontal et vertical), en priant Man de situer l’eau : il situe alors ses boules en chaque emplacement libre, sans souci des positions.

Quant à la verticale, on peut citer les jolis cas suivants :

Nil (3 ; 11) en présence d’une montagne à pentes de 45° environ, dessine les arbres et les bonshommes parallèlement à la base, puis deux maisons accolées aux versants par leurs murs latéraux eux-mêmes, la base de la maison, y compris les portes d’entrée soigneusement représentées, demeurant ainsi suspendues en l’air.

Geh (4 ; 2) dessine les maisons et les arbres les uns couchés le long de la pente de la montagne, d’autres en plein contre la montagne, mais orientés de façon quelconque sans que l’on puisse décider s’il se les représente, comme situés sur le versant vu de face ou comme simplement attachés à l’objet.

Kup (4 ; 11) dessine les maisons non seulement couchées le long de la montagne, mais encore orientées de façon quelconque, y compris une belle maison (avec portes, fenêtres, cheminée et colonne de fumée) dessinée à l’envers, la base en l’air et le toit en [p. 456] bas, avec la fumée descendant (avec un angle de 20° environ par rapport à la verticale) de haut en bas. Pourtant, lorsque l’on demande à Kup quelle direction il faut suivre pour monter sur la montagne, il indique naturellement la marche exacte.

Ber (4 ; 8) dessine les arbres le long des versants de la montagne comme les sujets précédents, c’est-à-dire plus ou moins parallèlement au versant de la montagne, mais au-dessous de la ligne figurant le bord, comme s’il craignait de les figurer dans l’espace vide. On lui demande s’ils sont « debout, penchés ou droits. — Ils sont tous debout. Je ne sais pas comment les faire penchés ». Autrement dit il les voit dressés à la manière de son corps tout en les dessinant obliquement. D’autre part, le fil à plomb (bouton suspendu à une épingle) donne lieu aux réactions suivantes : l’enfant répond chaque fois : « Il va tomber par terre » mais la ligne suivie n’est verticale que lorsque le trajet du fil n’est pas influencé par les côtés de la montagne et est perçu par rapport à l’enfant ; dans les autres cas, le trajet est représenté obliquement, non pas parce que le bouton est censé rouler le long des parois de la montagne, mais parce que, l’épingle étant vue de côté sur une corniche surplombant l’espace vide, l’enfant se refuse à diriger le fil au travers de cet espace vide et lui imprime une certaine inclinaison comme si la montagne attirait l’objet au lieu de le laisser tomber verticalement !

Al (4 ; 9) dessine les sapins sous forme d’une suite d’éléments (chaque sapin est figuré par une barre surmontée d’un ovale) accolés les uns aux autres (chaque barre est posée sur l’ovale du sapin précédent) et parallèle à la pente de la montagne ; ils sont en outre situés à l’intérieur du versant et non pas dans l’espace vide.

Pour ce qui est du bouton suspendu à une épingle, Al indique une série d’obliques possibles à partir de la tête de l’épingle, même après avoir vu le bouton suspendu en une ou deux positions.

Jul (4 ; 11), après avoir dessiné l’eau sous forme de grandes taches dans les bocaux, en des positions quelconques ou près du goulot (cf. Dan), est prié de dessiner les bateaux avec leurs mats (rondelles de liège avec allumettes verticales) : il les place dans toutes les directions, y compris parallèles aux bords de la tache, mais chose curieuse, ils sont tous dessinés comme s’ils étaient dans l’eau et non pas sur la surface. Jul dit bien qu’ils sont « dessus » mais ils sont comme plongés dedans en des positions diverses.

Jos (5 ; 9) dessine les arbres, les poteaux et les bonshommes sur la montagne de façon exactement parallèle à la pente (et intérieure à la ligne frontière) malgré une facture graphique bien supérieure à celles des sujets précédents. On lui montre alors des barres à choix dessinées verticalement sur la montagne ou perpendiculairement ou enfin parallèlement au bord : Jos exclut les verticaux. (« Celui-là il est faux, il n’est pas droit », etc.) mais retient les autres positions.

[p. 457] Les réactions de ce premier stade sont hautement instructives, en ce qu’elles font comprendre les raisons de l’absence initiale de tout système de coordonnées chez l’enfant. Il est clair, en effet, que les rapports exprimés par ces représentations graphiques sont de caractère essentiellement topologique et non point encore euclidien : il s’agit de rapports d’enveloppements et de voisinage et non point encore de formes définies par des droites et des plans, ni surtout de directions dans l’espace. Il est frappant, à cet égard, de constater ce que l’on pourrait appeler la crainte de l’espace vide chez les sujets : le fil à plomb de Ber ne descend pas verticalement quand il est suspendu à une corniche, mais est attiré par la montagne, les bateaux de Jul sont dans l’eau et non pas sur la surface, et les arbres sont plus volontiers dessinés en deçà des bords de la figure représentant la montagne que dans l’espace libre. Sans doute sont-ils conçus comme extérieurs à cette montagne, et l’eau comme intérieure au bocal, mais ces relations simples d’enveloppement et surtout les voisinages priment tous les rapports de direction, d’inclinaison ou même de forme, faute précisément de coordonnées, ou de relations quelconques établies dans l’espace vide. C’est ainsi que le niveau de l’eau n’est représenté, ni par une surface plane, ni par une ligne, mais par des taches ou des figures fermées situées à l’intérieur du récipient sans souci de la position ni de la forme prise eu égard aux parois. Quant aux arbres et aux maisons situés sur la montagne, l’enfant les représente sans plus comme attachés à celle-ci, c’est-à-dire à la fois comme voisins d’elle et lui restant extérieurs, mais sans souci d’orientation. Les uns sont couchés le long des flancs (vus de profil), ce qui pourrait ressembler à une recherche de parallélisme mais ce qui marque simplement le voisinage (avec parallélisme très approximatif et dû aux commodités du dessin) ; les autres sont dessinés en des positions quelconques à l’intérieur de la surface vue de face. Seulement ni les uns ni les autres ne sont orientés verticalement, n’étant même pas situés convenablement par rapport au haut et au bas : on voit ainsi des maisons attachées à la montagne par leurs murs latéraux (leur base restant suspendue dans le vide), d’autres placées à quelques mm du bord et d’autres enfin simplement renversées, la base dirigée vers le haut et le toit vers le bas, la fumée qui sort de leurs cheminées descendant le long de la montagne au lieu de s’élever !

Au total, les réactions de ce premier stade montrent ainsi clairement que l’absence de coordonnées structurées selon la verticale et l’horizontale tient, au début, non seulement à une [p. 458] indifférence générale quant à l’orientation des objets, faute de toute relation établie dans l’espace vide, mais même à une difficulté d’abstraction des formes et des plans, conformément à ce que nous avons vu au cours des chapitres I et II : il va de soi, en effet, qu’une telle abstraction constitue la condition préalable des possibilités d’orientation, dont nous allons voir combien elles demeurent rudimentaires encore au stade suivant.

Lorsque l’enfant devient capable d’abstraire la surface du liquide à titre de plan et de situer les arbres par rapport à celle des flancs de la montagne, il ne comprend pas, pour autant, ni l’orientation du niveau de l’eau, en cas d’inclinaison du bocal, ni la direction des arbres par rapport aux versants obliques. Pour ce qui est de l’eau, il la considère comme se dirigeant du côté du goulot, mais non pas grâce à un simple déplacement : elle est conçue comme se dilatant, ou comme augmentant de volume, et c’est à cause de cet accroissement qu’elle se rapproche du goulot lorsque l’on incline la bouteille. Le niveau de l’eau demeure ainsi parallèle à la base :

Wil (5 ; 3) : « On va pencher le bocal de ce côté. Que fera l’eau ? — Elle va bouger. — Comment va-t-elle se mettre ? Montre sur le verre. — (Il montre un niveau de 1 cm plus haut que le précédent, sur tout le pourtour, le nouveau niveau demeurant donc parallèle à l’ancien ainsi qu’à la base). — Et si on penche de l’autre côté ? — (Même réaction) ». On lui demande de marquer le niveau sur des bocaux dessinés au trait et inclinés de diverses manières : il indique chaque fois un niveau parallèle à la base. « Montre encore avec les doigts sur le verre comment va se mettre l’eau quand je pencherai (il montre une fois de plus un niveau incliné, parallèle à la base). Et maintenant regarde si c’est juste (on penche le bocal alors qu’il a encore les doigts posés aux endroits qu’il prévoit). — Oui, c’est juste. — Il y a vraiment de l’eau vers ton doigt ? — Non. — Et si on penche le bocal encore plus, où sera l’eau ? — (Il montre à nouveau un niveau oblique, parallèle à la base du bocal.) — Regarde (on fait l’expérience). C’est juste ? — Non. — Et si on penche encore plus ? — (Il remontre une fois de plus un niveau incliné, parallèle à la base.) — Regarde maintenant (on fait l’expérience) et dessine ce que tu vois. — (Il dessine une parallèle à la base 1) »

On prend alors le bocal rond pour éviter un dessin parallèle à la base : « Dessine comment est l’eau (goulot vers le haut). — (Il dessine correctement un niveau horizontal). — Maintenant on le [p. 459] mettra comme ça (45°). Dessine comment sera l’eau ? — (Il dessine un niveau presque vertical). — (On fait l’expérience). C’est juste ? — … (Il se refuse à dire que non) ».

Lia (5 ; 7) montre de même, avec ses deux doigts, le niveau présumé de l’eau, lorsque le bocal sera penché, en se bornant à élever de 2-3 cm le niveau primitif et à indiquer une ligne parallèle à la base. — « On va voir si c’est juste (expérience). — Non (il déplace spontanément ses doigts pour les ajuster au niveau constaté). — Alors dessine ce que tu vois (on lui présente le schéma, au trait, du bocal incliné). — (Il dessine un niveau parallèle à la base !) », etc. La suite montre que Lia n’est capable d’aucune généralisation à partir des niveaux constatés de visu, ni d’aucun dessin correct par copie immédiate de ces mêmes niveaux.

Her (5 ; 3) est en léger progrès sur les sujets précédents : « Que va faire l’eau quand on penchera le bocal : elle va rester comme ça ou va-t-elle changer de place ? — Elle va rester (on lui présente deux schémas au trait, l’un du bocal en position droite et l’autre du bocal incliné de 45° : il dessine l’eau horizontale dans le premier et inclinée de 45° dans le second !) — Montre avec tes doigts sur le bocal comment sera l’eau. — (Il montre quelques cm plus haut mais parallèle au premier niveau). — Nous allons voir si c’est juste. — Ici c’est plus haut (côté de l’inclinaison) et là elle est descendue. — Et si on penche le bocal encore plus ? — Là ça monte encore plus et là ça descend encore plus bas. — Tu peux dessiner ce que tu veux dire, sur ce bocal tout à fait penché (dessin au trait du bocal à 90°) ? — Comme ça (il dessine un niveau vertical parce que parallèle à la base du bocal). — On va voir si c’est juste (expérience). — Non. — Alors dessine ce que tu viens de voir. — (Il fait un dessin curieux consistant en un compromis entre la position verticale conforme à son schème et la position horizontale qu’il vient de constater : l’eau est ainsi appliquée à la fois contre le côté latéral du bocal couché horizontalement et contre la base verticale, sa surface demeurant incurvée). — (On montre alors le bocal en forme de ballon). Dessine comment est l’eau (Dessin correct). On va maintenant le pencher. Dessine comment se mettra l’eau. — Elle va monter ici (sur un schéma au trait du bocal incliné de 45°. Her dessine l’eau comme s’appliquant en croissant de lune contre tout un côté du bocal, c’est-à-dire que le niveau de l’eau est en moyenne lui aussi incliné de 45°). — Et si on penche de l’autre côté ? — Dessin inverse) ».

Pad (5 ; 8) prévoit lui aussi systématiquement que les niveaux de l’eau demeureront parallèles à la base du bocal, quelles que soient les inclinaisons de celui-ci. Lorsque le bocal est renversé entièrement (vertical), il dessine l’eau comme suspendue en l’air et collée contre la base. Dans le cas du bocal cylindrique les positions de l’eau sont les mêmes, mais la surface de celle-ci demeure plane (inclinée en fonction du bocal). Mis en présence des données d’expérience elles-mêmes, Pad réagit de trois manières : tantôt il [p. 460] continue de dessiner les niveaux parallèles à la base, sans se soucier des faits, tantôt il les décompose en deux parties dont l’une parallèle à la base du bocal et l’autre à celui de ces côtés orientés dans le sens de l’inclinaison (comme Her), tantôt enfin il dessine l’eau comme accolée aux trois côtés du bocal : la base et les deux côtés latéraux !

En progrès sur ceux du stade I, puisqu’ils représentent dorénavant la surface de l’eau sous la forme d’un plan (ou de plusieurs), ces sujets se révèlent néanmoins incapables de concevoir ce plan comme demeurant horizontal. Il peut y avoir à cela deux sortes de causes, les unes physiques et les autres géométriques, qu’il nous faut essayer d’analyser concurremment.

Du point de vue physique, ces sujets ignorent le fait essentiel de la constance d’inclinaison (nulle) du niveau de l’eau. Ils savent tous que, dans le cas où le bocal à côtés rectangulaires est posé en situation normale (verticale), l’eau est « couchée » c’est-à-dire qu’elle présente un niveau horizontal, parallèle à la base et perpendiculaire aux côtés. Mais, chose extraordinaire, et qui montre à l’évidence combien les faits d’observation courante sont mal enregistrés par l’esprit, lorsque celui-ci n’est pas en possession des schèmes assimilateurs nécessaires à cet enregistrement, ces sujets n’ont jamais remarqué les positions successives occupées par l’eau au fur et à mesure de l’inclinaison de la bouteille, ni la constance de l’horizontalité des niveaux. Rien n’est pourtant plus courant, pour des enfants de tous âges, que de voir une carafe inclinée jusqu’au point où le goulot touche le verre que l’on remplit, et rien ne semble plus facile que de constater en ce cas l’horizontalité de la surface du liquide à verser. Néanmoins nos sujets s’imaginent que le niveau de l’eau demeure d’orientation constante, par rapport non pas aux systèmes de référence extérieurs à la bouteille (ce qui reviendrait à comprendre la permanence de l’horizontalité), mais à la bouteille elle-même, ce qui revient à supposer que l’eau s’incline en même temps que le bocal et que sa surface peut prendre toutes les positions, même verticale ! Pour expliquer comment l’eau, dont la surface demeure ainsi parallèle à la base du bocal et perpendiculaire aux côtés, parvient néanmoins au goulot, les petits s’imaginent alors simplement que l’eau s’élève sans que son niveau change d’orientation, comme si elle se dilatait pour sortir ! (voir Wil et Lia, ainsi que Her au début).

Le second fait à noter (d’ordre à la fois physique et géométrique) est l’imperméabilité à l’expérience, dont témoignent [p. 461] des esprits ainsi orientés par le faux absolu de la permanence de direction de la surface de l’eau, considérée comme toujours parallèle à la base du bocal. Non seulement, en effet, ces sujets n’ont rien vu de la constance de l’horizontalité dans l’observation quotidienne des carafes inclinées, mais encore, ce qui est bien plus curieux, ils ne parviennent pas à lire le résultat de l’expérience lorsqu’elle se déroule sous leurs yeux, et qu’il s’agit simplement de confronter les données perçues avec leur hypothèse préalable : c’est ainsi que Wil se refuse à reconnaître les faits, bien qu’ayant les doigts sur le verre à titre de moyen de contrôle ; Lia semble se rendre, mais son dessin continue de reproduire imperturbablement son erreur initiale, etc.

Or, ces deux réactions intéressant l’intelligence physique de l’enfant soulèvent naturellement un problème géométrique essentiel. Il est évident, en effet, que la lecture même des données expérimentales suppose, chez le sujet, la capacité de mettre en relation le niveau d’eau observé avec un système de référence déterminé. Cette mise en relation pourrait s’effectuer de deux manières. La plus simple consisterait à relier la surface de l’eau à un solide extérieur à la bouteille, par exemple, à la voir parallèle à la surface de la table ou à celle de la boîte servant de support au bocal. Mais une seconde méthode est possible : il suffirait à l’enfant, sans recourir aux objets extérieurs à la bouteille, de constater que le niveau de l’eau change sans cesse d’orientation par rapport à la base ou aux côtés du bocal. Or, les réactions citées montrent précisément qu’aucune de ces deux mises en relation n’est effectuée par l’enfant : le sujet ne cherche, ni si les niveaux restent parallèles à la table, ni s’ils changent de direction par rapport à la base du bocal, et, s’ils semblent affirmer sans cesse l’existence d’un parallélisme entre la surface de l’eau et cette base, c’est simplement par persévération de ce qu’ils observent dans la situation initiale et faute de regarder ou de structurer suffisamment les positions ultérieures.

Mais alors se pose le vrai problème géométrique de l’horizontale : si ces sujets ne parviennent pas aux mises en relations élémentaires, qui assureraient la lecture correcte des faits, n’est-ce pas simplement qu’ils en sont incapables et que la question n’a pas encore de signification pour eux ? Autrement dit, ne serait-ce pas l’incapacité à construire un système géométrique de référence ou de coordonnées, qui expliquerait la difficulté à enregistrer les faits physiques relatifs à l’horizontalité ? Or, si l’absence de prévision de l’horizontalité ne suffit sans doute pas, à l’âge de nos sujets, à prouver l’incapacité [p. 462] à concevoir un système de coordonnées (car le défaut de prévision pourrait résulter d’un manque d’intérêt, d’attention, etc.), la difficulté systématique à la lecture des faits perçus eux-mêmes est d’une tout autre portée : cette difficulté traduit assurément un défaut de mise en relation des données perceptives entre elles du point de vue de l’orientation des lignes et des plans, autrement dit précisément un défaut de coordination. Qu’est-ce, en effet, qu’un système de coordonnées, sinon l’ensemble de ces mises en relations entre les positions et les directions ou orientations des objets : si la mise en relation ne se fait pas, c’est donc évidemment que le problème ne se pose même pas, pour le sujet, de relier les divers objets entre eux selon un système tel que les solides immobiles servent de référence aux mobiles, et c’est faute de comprendre la nécessité d’un tel système de références que les données perceptives ou physiques ne peuvent donner lieu à aucune lecture correcte. Plus précisément, l’inclinaison du bocal produit un déplacement du niveau de l’eau, mais, pour situer un déplacement dans l’espace physique, il s’agit de rapporter les éléments mobiles (la surface du liquide) à un système de référence immobile (table, etc.) et c’est cette mise en relation qui constitue les opérations géométriques génératrices du système des coordonnées : c’est donc faute de telles opérations que l’enfant de ce sous-stade II A échoue à la lecture même des faits physiques concernant l’horizontalité.

Mais, ce n’est pas à dire que les sujets du niveau II A n’aient pas accompli de grands progrès eu égard à ceux du stade I. Non seulement ils savent abstraire le niveau de l’eau à titre de surface ou de plan, mais encore ils mettent cette surface en relation avec celle de la base du bocal, c’est-à-dire avec un début de référence, non pas immobile, mais elle-même mobile. Or, si ces deux découvertes ne suffisent nullement à la construction d’un système de coordonnées, elles en constituent néanmoins les étapes préliminaires. Le système des axes de coordonnées inhérent à l’espace euclidien représente, en effet, l’aboutissement d’un ensemble progressif de mises en relations des objets entre eux, au sein de l’espace vide, lesquelles débutent par la construction de droites, de plans, de parallèles, d’angles, etc. et se terminent seulement par celle d’axes permettant la généralisation de ces mises en rapports. Or, les sujets du niveau II A, comparés à ceux du stade I, dominent précisément déjà l’emploi des droites et des plans, dans certaines conditions de référence à des éléments qui leur sont parallèles (voir chapitre VI, section I, etc.), et la mise en relation qu’ils effectuent entre [p. 463] la surface de l’eau et la base du bocal témoigne d’un début d’intuition du parallélisme : parallélisme entre plans ou entre lignes formant des figures rectangulaires (par opposition aux parallèles avec angles aigus étudiées au chapitre XI). Ces intuitions, si modestes soient-elles, représentent néanmoins un début de conquête de l’espace vide, c’est-à-dire un début de coordination entre objets séparés par certaines distances.

Cette conquête de l’espace vide est encore plus sensible dans le domaine de la verticale. On se rappelle, en effet, que les sujets du stade I n’osaient pour ainsi dire pas dresser des arbres ou des poteaux dans l’espace vide, sur le flanc des montagnes, et les couchaient parallèlement au versant, faute de savoir comment les orienter. Or, en relation avec la découverte des plans et du parallélisme en figures rectangulaires, dont témoignent les réactions précédentes, du point de vue de l’horizontalité de l’eau, les réactions à la verticalité des arbres ou des poteaux manifestent une découverte corrélative, et elle aussi essentielle à titre de condition préalable aux futures constructions des systèmes de coordonnées : ces objets sont dorénavant dessinés, non pas en position verticale (pas plus que le niveau de l’eau n’est encore horizontal), mais assez exactement perpendiculaire aux flancs de la montagne, l’intuition de l’angle droit venant ainsi compléter celles du plan et du parallélisme en figures rectangulaires :

Mac (4 ; 6) place poteaux, maisons, arbres et bonshommes perpendiculairement aux flancs de la montagne de sable. Pour faire monter et redescendre un bonhomme, il le situe constamment de façon perpendiculaire. Sur ses dessins du bonhomme grimpant, il en va de même. On présente un bonhomme sur le toit d’une maison, en demandant comment descendra une pierre lâchée par lui (sans être lancée) : Mac figure une droite oblique.

Mar (4 ; 7) mêmes réactions pour la montagne de sable et le dessin des arbres et poteaux, sur un versant incliné. Fil à plomb : lorsque l’épingle est piquée sur un versant face à l’enfant, le fil tenant le bouton est représenté verticalement, tandis que suspendu sur une paroi concave vue de profil par l’enfant, le fil est censé suivre la concavité sans être vertical.

Notons encore un dessin spontané de Mar représentant une maison : la cheminée est perpendiculaire au toit incliné. Nous présentons alors à Mar deux pentes (en forme de moitié de courbe en cloche) avec, sur l’une, des traits perpendiculaires à la ligne, et, sur l’autre, des traits verticaux : « ils sont droits » dit Mar des premiers et « ils sont penchés » des seconds !

Ver (4 ; 8) dessine une belle montagne en forme de triangle et place sur les versants deux grandes fleurs à tiges droites, ainsi [p. 464] qu’une maison élevée à toit pointu : ces trois objets sont rigoureusement perpendiculaires à la pente.

Pie (5 ; 1). Constructions sur le sable et dessins tous perpendiculaires : « Comment ils sont, ces bonshommes ? — Debout. — Quand tu montes sur une montagne tu es comme ça (perpendiculaire) ou comme ça (on dessine un bonhomme vertical) ? — Oui, comme ça (perpendiculaire) sans ça c’est penché ». Fil à plomb : comme Mar.

Jos (6 ; 4). Même dessins et constructions. On reprend le détail en introduisant sur une pente (en cloche) des éléments verticaux et d’autres perpendiculaires. Sur la pente même, Jos appelle « penchées » tous les éléments verticaux et « droits » les éléments perpendiculaires, donc obliques, tandis que sur le sommet il appelle « droit » ce qui est vertical mais également perpendiculaire à la ligne et « penché » ce qui est effectivement incliné.

Spe (7 ; 1) dessine une montagne triangulaire et place des arbres, poteaux, maisons et bonshommes perpendiculaires aux versants (dessinés dans l’espace vide). Mais un bonhomme tient à la laisse un très long crocodile figuré à l’intérieur des lignes représentant la montagne, et parallèlement au versant oblique : tout le dessin se réduit ainsi à des perpendiculaires et à des parallèles.

L’intérêt géométrique de ces représentations, bien connues de tous ceux qui, depuis Kerschensteiner, Luquet et tant d’autres étudient les dessins des enfants, est évident : une réaction aussi générale et systématique démontre que la notion de l’angle droit, comme celles du plan, des parallèles, etc., nécessaires à la construction d’un système de coordonnées, sont acquises bien avant qu’un tel système soit construit. Pourquoi donc en ce cas, des enfants capables de figurer des poteaux, des arbres, etc. perpendiculaires aux parois des montagnes ne parviennent-ils, ni à les dessiner verticalement, ni à représenter l’eau horizontalement en un bocal incliné ? Tout simplement parce que les angles droits ou perpendiculaires et le parallélisme (limité d’ailleurs aux figures rectangulaires), dont disposent ces sujets, demeurent intérieurs à un seul objet ou à un complexe d’objets voisins, mais isolés en leur configuration totale (la montagne avec les objets qui la recouvrent, etc.), tandis que la verticale et l’horizontale supposent une mise en relations plus vaste et plus étendue, entre objets distants aussi bien que proches, et surtout au travers de cet espace vide que les sujets du stade I craignaient encore tant et que ceux de ce sous-stade II A commencent à peine à meubler, sans parvenir encore à le traverser en pensée. C’est pourquoi, et par le fait même qu’ils limitent leur représentation spatiale à l’intérieur d’un seul objet complexe, les enfants de ce niveau en arrivent, [p. 465] comme Mar et Jos, à appeler « droit » tout ce qui est incliné (mais perpendiculaire aux versants) et « penché » tout ce qui est vertical, faute de référence aux objets extérieurs au système constitué par cette configuration restreinte.

Entre les réactions précédentes et la découverte progressive de l’horizontalité et de la verticalité (stade III) s’étagent une série de réactions intermédiaires, qu’il vaut la peine d’examiner avec quelque soin, car ce sont les hésitations et les tâtonnements de l’enfant qui fournissent souvent la clef de la construction des systèmes opératoires ultérieurs.

Un premier progrès est accompli lorsque le sujet parvient à indiquer sur le bocal lui-même, dans quelle direction l’eau va se déplacer lors de l’inclinaison du récipient ; mais, lorsqu’il s’agit de dessiner le niveau de l’eau, l’enfant continue, comme en II A, de le représenter parallèlement à la base du bocal. Les verticales, de leur côté (étudiées par exemple grâce aux flotteurs à mâts), demeurent perpendiculaires aux niveaux quelle que soit leur inclinaison. Voici des exemples de ces cas intermédiaires entre les niveaux II A et II B :

Pag (5 ; 1) : « L’eau restera comme ça si je penche le bocal ? — Elle se mettra penchée (il montre un niveau plus élevé du côté droit où l’on va incliner le bocal et moins élevé du côté gauche, ce qui semblerait donc annoncer une prévision correcte). — Dessine (on donne un schéma du bocal incliné). — Elle est penchée (surface de l’eau parallèle à la base). — Et si je mets ce bateau sur l’eau ? — Il se penche aussi (mât perpendiculaire à l’eau). — Et si je penche davantage ? (Il dessine l’eau encore plus inclinée). Et si je couche tout à fait la bouteille (90°) ? — (Il dessine l’eau avec niveau vertical, le mât du flotteur étant lui-même horizontal I) — Montre encore avec tes doigts. — (Il montre d’abord juste pour une série de positions, mais finit par montrer des niveaux parallèles entre eux comme si l’eau montait simplement en gardant sa position). — Regarde maintenant (on fait l’expérience). C’est juste ? — Oui. — Dessine ce que tu vois. — (Il représente un compromis entre l’horizontale et la surface parallèle à la base) ».

An (5 ; 6) commence également par montrer avec ses deux doigts le sens du déplacement du niveau de l’eau en cas d’inclinaison de la bouteille, mais il se trompe de sens en l’inversant régulièrement. Quant au dessin correspondant à ces prévisions, An représente l’eau comme suspendue en l’air, du côté du goulot, la surface inférieure du liquide étant parallèle à la base du bocal : « C’est parce que l’eau, quand on penche, elle monte. » Il dessine ensuite le flotteur sous l’eau et non pas dessus, le mât étant perpendiculaire à la surface inférieure du liquide. Lorsque le bocal est [p. 466] couché horizontalement le niveau (inférieur) de l’eau devient vertical. Bocal sphérique : mêmes réactions. Confrontations avec l’expérience : An trouve corrects les dessins de l’eau dans le ballon de verre : « Oui, c’est juste parce que l’eau arrive tout au bord du bocal », mais corrige les autres dessins dans le sens de l’horizontale (sans y parvenir jamais) en prenant les coins comme système de référence (ce qui annonce l’étape suivante).

Ul (5 ; 2) prévoit correctement dans quel sens se déplacera l’eau en cas d’inclinaison du bocal mais dessine, pour toutes les inclinaisons, des niveaux rigoureusement parallèles à la base. Lorsqu’on lui demande, d’autre part, de dessiner le fil à plomb suspendu à une canne à pêche dans le bocal (avec manipulation préalable pour constater la verticalité), il le représente perpendiculaire au niveau de l’eau mais d’autant plus oblique que le bocal est plus penché, sans souci de la verticale. De même pour les bateaux et leurs mâts.

Mic (6 ; 7) réagit de la même manière mais de façon d’autant plus paradoxale qu’au lieu d’indiquer ses prévisions en mettant simplement ses doigts sur le verre du bocal, il montre la position probable de l’eau en appliquant un long crayon sur les côtés du bocal que l’on va incliner : « Bon. Maintenant dessine ce que tu viens de montrer. — (Il dessine l’eau parallèle à la base). — On va pencher le bocal de l’autre côté. Montre avec le crayon comment sera l’eau. — (Il montre à peu près juste). — Et dessine, — (Il refait l’eau parallèle à la base). — C’est plus haut d’un côté que de l’autre, sur ton dessin ? — Non, c’est la même chose des deux côtés. — Maintenant regardons l’eau (expérience). C’est juste ? — Oui. — C’est comme tu as dessiné ? — Oui », etc. On n’arrive pas à lui prouver son erreur.

Quant aux bateaux et au fil à plomb, Mic les dessine constamment perpendiculaire à l’eau et incliné en diverses positions, sans souci de la verticale. Enfin, pour le ballon sphérique, Mic dessine le niveau de l’eau régulièrement proche du fond et incurvé, l’eau étant censée monter le long des parois en cas d’inclinaison. Sur des dessins à choix, il choisit les niveaux inclinés et incurvés et rejette les horizontales.

Muh (7 ; 0) réagit comme Mic en montrant avec une règle comment se déplacera l’eau, puis en la dessinant parallèle à la base du bocal. En présence de l’expérience, il prétend vérifier son dessin en l’appliquant contre le bocal lui-même et ne parvient pas à se corriger : « Montre avec la règle comment est l’eau dans le bocal (demeurant incliné devant l’enfant). — Comme ça (il l’applique horizontalement devant le niveau de l’eau). — Et met maintenant la règle sur le dessin pour montrer comment doit être l’eau. — (Il la place sur son dessin parallèlement à la base du bocal). — C’est la même chose ? — Ah non (il essaie de se corriger en faisant un compromis entre l’horizontale et la parallèle à la base, puis il dessine un niveau incurvé. Finalement une partie de la surface de l’eau est horizontale et l’autre partie parallèle à la base 1) ».

[p. 467]Al (6 ; 10) réagit et dessine comme les précédents. On lui présente alors la série des cartons mobiles représentant les niveaux de l’eau en différentes positions avec prière de les orienter correctement. Or, au lieu d’incliner les bocaux de façon adéquate, Al les met tous le goulot vertical sans se soucier des niveaux d’eau qui sont alors obliques ou verticaux aussi bien qu’horizontaux. Quant aux dessins à répartir en justes et faux, il les juge tous d’après la position de la bouteille et non pas d’après les rapports entre l’eau et cette position.

Le seul progrès dont témoignent ces premiers sujets consiste donc en ce qu’ils ne se bornent plus à prévoir, sur le bocal lui-même, que l’eau montera simplement d’un ou de plusieurs crans dans la direction du goulot en demeurant parallèle à la base, mais qu’elle s’engagera dans la direction dans laquelle on inclinera la bouteille (sauf un cas d’inversion chez An). Mais cette découverte, de caractère simplement physique, ne s’accompagne encore nullement (même dans l’observation du bocal lui-même et indépendamment du dessin), d’une mise en relation avec un système de référence extérieur au bocal, tel que la table ou le support horizontaux : l’enfant sait simplement que l’eau s’engage du côté du goulot, sans coordonner géométriquement un tel déplacement avec les objets immobiles. Aussi lorsqu’on lui demande de dessiner le niveau prévu, le sujet se borne-t-il à représenter la surface de l’eau parallèle à la base, comme au niveau II A, et cela même lorsqu’il s’agit de la surface inférieure, l’eau étant censée être suspendue en l’air comme chez An. Dira-t-on que cet échec et cette réaction résiduelle tiennent aux difficultés techniques du dessin ? Mais si l’on présente les cartons mobiles à orienter ou les dessins tout faits à choix (voir Al), le mépris de l’horizontale est tout aussi complet. De plus, confronté avec l’expérience (voir Mic et Muh), le dessin de l’enfant ne peut être corrigé faute de mise en relations suffisantes. Il en est de même pour les verticales, qui demeurent toutes perpendiculaires à leur base immédiate, sans références à distance.

Bref, pas plus que les sujets du sous-stade II A, ceux-ci ne parviennent à mettre le niveau de l’eau en relation avec des systèmes de référence immobiles. Cela est d’autant plus intéressant qu’ils prévoient, en progrès sur les précédents, que l’eau se déplacera dans le sens de l’inclinaison : cette découverte de caractère physique demeure donc inutilisée, faute d’une lecture géométrique possible de l’expérience, dans le sens d’un système de coordonnées embrassant les directions horizontales et verticales de l’espace réel. Et pourtant ces sujets, mieux encore [p. 468] que ceux du niveau II A, témoignent d’une connaissance intuitive des angles droits et des perpendiculaires (voir les mâts de leurs bateaux ou leurs fils à plomb suspendus dans le bocal) : ces notions géométriques qui constituent un début de mise en relation des directions ou orientations propres aux divers objets considérés ne suffisent donc pas à assurer la détermination des horizontales et des verticales, lesquelles supposent cette coordination d’ensemble qui ne s’achèvera qu’avec la construction d’un système de coordonnées proprement dites.

Examinons maintenant les cas francs du sous-stade II B, qui témoignent enfin d’un progrès appréciable par rapport aux réactions de II A : ces sujets accordent, en effet, désormais une mobilité réelle à l’eau par rapport au bocal, et ne représentent donc plus la surface du liquide comme constamment parallèle à la base du récipient ; mais, ne parvenant pas encore à orienter cette surface en fonction de références extérieures et immobiles, ils la dessinent sous forme de lignes obliques accrochées aux coins du bocal :

Mar (5 ; 10) commence, comme en II A, par croire que l’eau monte simplement en conservant un niveau parallèle à la base du bocal, puis il cherche à dessiner le déplacement de l’eau dans le sens de l’inclinaison : il relie alors d’un trait le coin droit supérieur au coin gauche inférieur du bocal, ce qui produit un niveau voisin de l’horizontale. Mais, pour des positions encore plus inclinées, il continue à représenter les niveaux en reliant les coins opposés, ce qui les éloigne toujours davantage de l’horizontale. De plus, les mâts des bateaux ainsi que les fils à plomb, demeurant perpendiculaires à l’eau, sont de plus en plus penchés au fur et à mesure de l’inclinaison du bocal et parallèles à ses côtés.

Fel (5 ; 11) montre sur le verre comment l’eau se déplacera du côté de l’inclinaison, puis dessine le niveau futur en partant de l’un des coins inférieurs du bocal et en rejoignant le côté opposé en un point quelconque. D’où des niveaux légèrement obliques et dont l’inclinaison augmente sur les dessins suivants au fur et à mesure que l’on penche davantage le bocal. Pour le bocal couché (90°), il prévoit un niveau incliné allant du goulot à l’un des coins. Pour le bocal renversé, par contre (180°), il prévoit l’horizontale (parce que parallèle à la base). — Lorsqu’ensuite on penche l’eau réellement, Fel est prié de tenir un crayon dans la position de chaque niveau précédent : il est alors très surpris de constater que le crayon demeure immobile et « droit » (horizontal) mais n’en tire aucun enseignement pour ses prévisions ultérieures.

Gui (6 ; 3) : « Montre le niveau de l’eau dans le bocal (dressé). — Elle est toute plate (il place son crayon horizontalement). — Et quand on penche le bocal ? — Elle est penchée (il penche le crayon parallèlement à la base). — Et de l’autre côté ? — (Réaction [p. 469] inverse). — Maintenant dessine comment sera l’eau. — (Série de dessins dont le premier montre un niveau presque parallèle à la base et dont les suivants, au fur et à mesure de l’inclinaison, relient de plus en plus les coins opposés, ce qui rend le niveau toujours plus oblique). — Et quand le bocal est couché (90°) ? — (Il dessine un niveau vertical 1). — Et comme ça (renversé, goulot en bas) ? — Comme ça (= horizontal parce que parallèle à la base comme dans le dessin précédent) ».

Cha (7 ; 9) tient un crayon horizontal pour marquer le niveau initial : « Si on penche le bocal ? — L’eau sera de côté. D’un côté il y en aura plus. — Et si je penche de l’autre côté ? — Elle ne bouge pas (entrevoit donc la solution physique). Non, elle ne reste pas comme ça ; il y aura beaucoup là et peu là, elle monte là et là elle descend (il montre un niveau oblique). — Dessine. — (Niveau partant du coin inférieur et atteignant le milieu du côté opposé : oblique). — Et si on penche plus ? — (Il dessine des niveaux de plus en plus obliques jusqu’à relier les deux coins opposés) ».

Mâts des bateaux et fils à plomb : perpendiculaires à l’eau et parallèles aux côtés inclinés du bocal.

Fis (7 ; 6) est intéressant par ses réactions après expérience. Avant d’avoir vu l’eau dans le bocal incliné il réagit comme les précédents : « Elle sera penchée (dessins du niveau à partir des coins inférieurs du bocal) ». De deux dessins présentés à choix, l’un à eau inclinée et l’autre à l’eau horizontale (dans un bocal incliné à 45°), il choisit l’eau inclinée. « On va voir maintenant si tes dessins sont justes. Regarde avec cette règle (il maintient la règle horizontale contre le bocal). — Ce n’est pas juste. — Pourquoi ? — Ça reste droit (= horizontal). — Et maintenant on va pencher ici, comment sera l’eau ? — (Il penche la règle). — Je crois qu’il faut la laisser droite, moi. — Non, ce n’est pas possible. — Regarde (expérience). — Ah oui ! C’est juste ! — Et si on penche plus ? — Elle sera plus haute (il l’incline à nouveau) », etc.

On voit le progrès sensible accompli par ces sujets eu égard à ceux du sous-stade II A et des cas intermédiaires cités au début de ce paragraphe. Ils ne se contentent plus d’annoncer le déplacement de l’eau en cas d’inclinaison du bocal, mais parviennent à exprimer ce déplacement par le dessin, c’est-à-dire à détacher la surface de l’eau de sa position parallèle à la base du bocal. Le niveau de l’eau cesse ainsi d’être lié de façon rigide à l’inclinaison de la bouteille pour acquérir une orientation nouvelle.

Mais en quoi consiste cette orientation ? C’est ici que se marquent les limites de ce sous-stade II B par rapport aux étapes ultérieures. L’orientation du niveau à prévoir n’est, en effet, pas encore mise en relation avec un système de référence immobile et extérieure au bocal, c’est-à-dire avec la table ou [p. 470] le support : l’enfant se borne à prévoir que l’eau changera de position par rapport aux côtés du bocal, mais, pour déterminer cette position nouvelle, il ne cherche ses références qu’au sein de la figure constituée par l’ensemble du bocal lui-même. Se refusant dorénavant à considérer le niveau de l’eau comme parallèle à la base, il songe alors aux coins du bocal ou il attache la ligne de niveau à un point quelconque des côtés du récipient, l’abandon du parallélisme le conduisant donc ipso facto à construire sa figure selon certains angles : seulement, ne sachant coordonner entre eux ces angles selon un système d’axes fixes, faute de référence aux objets immobiles extérieurs au bocal, le sujet demeure en plein arbitraire et manque les déterminations de l’horizontale et de la verticale.

Il convient ici de dissocier les facteurs inhérents à la technique du dessin et les facteurs proprement géométriques. Mais les premiers sont parfois révélateurs des seconds. C’est ainsi que, quand l’enfant de ce niveau veut dessiner l’ensemble constitué par le bocal incliné et son support horizontal, il arrive souvent qu’il ne parvienne pas à décoller la base, c’est-à-dire à figurer l’angle constitué par la base du bocal penché et par le support : il dessine alors correctement les côtés inclinés du bocal, mais les prolonge l’un et l’autre jusqu’au support comme si le récipient émergeait de celui-ci sans base visible et cela faute de savoir indiquer les angles.

Mais venons-en à l’essentiel : ne sachant sur quel système de référence s’appuyer pour représenter le niveau de l’eau non parallèle à la base du bocal, ni comment déterminer l’angle compris entre le niveau et les côtés du récipient, les sujets commencent par se référer simplement aux coins de ce dernier. C’est ainsi que Mar relie simplement les coins opposés du bocal par une droite, quelle que soit l’inclinaison, d’où des niveaux d’eau de moins en moins horizontaux. Fel procède de même, mais relie également le goulot à l’un des coins. Avec Gui les lignes de niveau partent également de l’un des coins, mais tendent vers un point quelconque du côté opposé, ce qui témoigne d’une recherche en fonction de l’inclinaison comme telle, mais aboutit à des niveaux de plus en plus penchés (jusqu’au bocal couché à 180° dont le niveau d’eau est dessiné comme vertical !). Seul le bocal renversé sur lui-même (goulot en bas et côtés verticaux) donne, lieu généralement à une prévision exacte, parce qu’alors la surface de l’eau demeure, comme en la position normale, parallèle à la base.

Bref, l’horizontalité n’est encore nullement atteinte en ce sous-stade II B. Les sujets de ce niveau en sont encore si [p. 471] éloignés, faute de références extérieures au bocal, qu’ils sont encore peu capables de tenir compte de l’expérience. Certes, contrairement aux enfants des stades inférieurs, ils s’attendent à ce que la direction du niveau de l’eau change et découvrent même, en présence des faits, que le niveau « reste droit » (Fis), c’est-à-dire qu’une règle appliquée contre le verre en face du niveau de l’eau demeure immobile lorsqu’on penche le bocal.

Mais ce début de lecture de l’expérience demeure si insuffisant, faute de système de coordonnées, que l’enfant ne parvient pas à l’utiliser pour une prévision des expériences ultérieures. C’est ainsi que Fis, immédiatement après la constatation que l’on vient de rappeler, se refuse à maintenir la règle « droite » pour l’inclinaison suivante : « Non, ce n’est pas possible » répond-il, comme si l’expérience antérieure ne pouvait être généralisée. On ne saurait mieux exprimer la non-compréhension de l’horizontalité !

Quant à la notion de la verticale, dont on a déjà vu quelques exemples dans les observations précédentes, à propos du mât des bateaux et du fil à plomb suspendu dans le bocal, l’analyse comparée des constructions sur le sable et des dessins d’arbres sur la montagne permet de déceler un progrès analogue à celui des prévisions du niveau de l’eau, sur le bocal même ou dans le dessin : on peut dire en gros que les sujets du sous-stade II B placent verticalement les maisons et les poteaux sur une montagne de terre, tandis que le dessin leur conserve une position perpendiculaire aux versants ou intermédiaires entre la perpendiculaire et la verticale :

Jac (5 ; 0) place verticalement tous les objets sur les flancs de la montagne de sable : bonshommes à la montée et à la descente, maisons, sapins et poteaux. Mais quand il s’agit de les dessiner, il les situe tous perpendiculairement à leur base, donc avec inclinaisons variées selon la pente : « C’est la même chose que sur le sable ? — Oui. — Sûr ? — Oui. — Essaie de dessiner un arbre droit, un arbre penché et un arbre très penché. — (Le premier est perpendiculaire, le deuxième incliné vers le bas et le troisième vers le haut). — Lequel est droit ? — Celui-là (premier) ».

Après quoi on plante des épingles le long d’une pente et on fait prévoir la direction du fil tenant un bouton : la prévision est trois fois verticale, mais le dessin figure deux fils perpendiculaires à la pente et un seul presque vertical (avec modèle sous les yeux dans les trois cas.

Mich (5 ; 1) met sans hésiter les objets verticalement sur la montagne de sable. L’expérimentateur en met un perpendiculaire : « Ils sont plantés pareils ? — Non, le vôtre est penché, le mien droit. — Qui a raison ? — Moi. — Très bien. Alors dessine ces poteaux [p. 472] sur la montagne. — (Il les dessine tous perpendiculaires à la pente, sauf un ou deux presque verticaux mais par hasard). — Montre-moi ceux qui sont droits. — (Il montre les perpendiculaires). — Et les penchés ? — (Il montre ceux qui sont presque verticaux). — Lesquels sont justes ? — (Les premiers) ». Fil à plomb : comme Jac.

Fran (5 6) place tous les objets verticaux sur la montagne de sable puis les dessine tous perpendiculaires. On lui présente deux dessins de deux pentes semblables, l’un’ avec poteaux verticaux et l’autre avec poteaux perpendiculaires : « Ils sont pareils ces deux dessins, ou pas ? — Oui. — Absolument pareils ? — Oui. — Il n’y en a pas qui soient penchés ? — Non. — Et regarde ces deux autres dessins (toit avec cheminée perpendiculaire et l’autre avec cheminée verticale). Les cheminées sont pareilles ? — Oui. — Laquelle est la mieux faite ? — Il y a une cheminée plus penchée, là (perpendiculaire). — Rajoute d’autres cheminées. — (Il en dessine une verticale à côté de la verticale et une perpendiculaire à côté de la perpendiculaire) ».

Nor (6 ; 2) place verticalement tous les objets sur les flancs de la montagne et les dessine tous perpendiculairement à la pente : « C’est bien dessiné ? — Oui. — C’est juste la même chose penché ? Oui. — Tiens. Essaie de nouveau. — (Il donne cette fois un mélange de perpendiculaires pures et de positions intermédiaires entre la perpendiculaire et la verticale). — Tiens. Voilà une montagne très raide (dessin au trait). Dessine-moi un arbre bien droit. — (Il le fait perpendiculaire). — Et maintenant un arbre penché. — (Il le dessine incliné vers le bas à 45°).

Lid (6 ; 3). Un fil à plomb (ficelle avec poisson en pâte à modeler) est suspendu au centre du bouchon du bocal à côtés rectangulaires : « Comment est le fil ? — Il est droit (= vertical). — Et si on penchait, comment serait le fil ? — Penché (il dessine le fil parallèle aux côtés du bocal incliné). — Regarde (on fait l’expérience). Comment est le fil ? — Il est penché. — Regarde avec cette règle (placée verticalement devant le fil) ? — Elle est droite. — Et le fil ? — Il est droit. — (Nouvelle position, avec dessin). — Comment est le fil ? — Il est toujours droit. — Et sur ton dessin ! — Il est penché. — C’est juste ou faux ? — Faux. — Alors corrige ton dessin. — (Lid éprouve une grande difficulté à corriger, parce que dominé par le parallélisme entre la ligne et les côtés du bocal : il les refait perpendiculaires au bouchon) ».

On passe alors au dessin des arbres sur une montagne : il les fait tous perpendiculaires à la pente. On lui en dessine deux, un perpendiculaire et l’autre vertical : « Lequel est le plus juste ? — Celui-là (perpendiculaire). » Il dessine également une cheminée perpendiculaire au toit. Enfin on reprend le bocal en mettant un flotteur sur l’eau : il dessine constamment le mât perpendiculaire à l’eau, pour les positions inclinées (l’eau elle-même cessant alors d’être horizontale).

[p. 473]Kel (6 ; 11). Flotteur : mât perpendiculaire à l’eau et parallèle aux côtés du bocal. Fil à plomb dans le bocal : même réaction que Lid et grande difficulté à reconnaître l’erreur avec la règle verticale, que Kel incline inconsciemment pour la rendre parallèle au dessin du fil incliné. Déclare que « c’est droit » sans distinguer la verticale et les inclinaisons légères. On suspend alors le fil à plomb au bouchon (grand disque de quelques cm de diamètre) mais en dehors du bocal : « Si je penche le bouchon, le fil sera comment ? — Il sera penché. — Regarde (expérience). — Il est droit. — Il restera toujours droit si je penche le bouchon davantage ? — Non. — Alors tourne le bouchon pour que le fil ne soit pas droit. — (Il le tourne de 90°.) Ah non, il est encore droit. — Alors dessine-moi tout ça (on lui dessine des bouchons en différentes inclinaisons pour qu’il rajoute le fil à plomb). — (Il les dessine tous perpendiculaires.) — C’est juste ? — Oui ».

Ces faits sont d’un certain intérêt par leur complexité même, due à l’interférence des facteurs perceptifs, représentatifs et graphiques. Le caractère commun à tous ces sujets est que chacun d’entre eux est capable d’atteindre la verticale en certaines situations, mais incapable en d’autres. Or, il est facile d’expliquer cette contradiction apparente par la diversité des contextes étudiés, et par conséquent des systèmes de référence sur lesquels peut spontanément s’appuyer l’enfant. Il est évident, en effet, qu’à ce niveau II B la construction de la verticale ne saurait être encore opératoire, puisque celle de la droite elle-même ne l’est pas (voir chapitre VI, section 1) : étant intuitive, il est donc naturel qu’elle dépende en chaque cas particulier du contexte perceptif (comme nous l’avons vu dans le cas des droites quelconques), ce qui correspond précisément aux faits cités à l’instant.

Le premier point essentiel à noter à cet égard est que, malgré ce que pourraient donner à penser les observations précédentes, comparées aux réactions obtenues à propos de l’horizontale, la verticale n’est pas plus précoce que cette dernière : lorsque l’on analyse, en effet, les deux directions dans un même contexte perceptif, représentatif et graphique, tel que celui des bocaux en différentes positions, la verticale n’est ni plus ni moins difficile à construire que l’horizontale. Seulement, pour ne pas allonger indéfiniment les exemples à citer, nous nous en sommes tenus, pour l’horizontale, au niveau de l’eau dans des bocaux, tandis que les faits connus dans le domaine du dessin enfantin nous ont poussés, pour la verticale, à étudier également d’autres contextes : d’où l’hétérogénéité des résultats obtenus, mais qui, répétons-le, disparaît dans le cas d’un seul et même contexte.

[p. 474] Pour ce qui est, en effet, soit du flotteur à mât vertical posé sur l’eau du bocal, soit surtout du fil à plomb suspendu au bouchon (et dont la direction est donc indépendante en elle-même de la présence ou du niveau de l’eau), on constate que Lid et Kel (sans parler des faits cités plus haut à propos de l’horizontale) s’en tiennent à une position rigoureusement perpendiculaire à l’eau (pour les mâts) ou au bouchon (pour les fils à plomb) et, dans ce dernier cas, parallèle aux côtés du bocal, Kel maintient cette conception même en dehors du bocal, alors que dans cette situation le problème est en général un peu plus vite résolu. On constate surtout la difficulté de ces sujets à la lecture de l’expérience elle-même, faute de références immobiles en dehors du bocal.

Par contre pour ce qui est des arbres, bonshommes ou poteaux sur les montagnes, les réactions sont tout autres, selon qu’il s’agit de placer ces objets sur une montagne de sable réelle ou de les dessiner sur une paroi inclinée. Contrairement aux sujets du stade I qui collent ces objets parallèlement aux parois, et à ceux du sous-stade II A qui les placent perpendiculairement aux versants, tous les enfants cités à l’instant savent les planter verticalement. La raison en est sans doute que, la montagne de sable étant un objet situé dans la chambre, la verticale est donnée en référence avec les parois du local, avec les pieds des chaises, des tables, etc. Au contraire, le dessin du même motif donne lieu systématiquement à des représentations perpendiculaires, parce que se référant aux seules parois de la montagne (et non pas au papier perçu comme un simple « fond »). Or, ce n’est qu’au début du stade suivant que cette manière de représenter la verticale peut être mis au compte d’un automatisme graphique ⁵. Chez les sujets du présent niveau, au contraire, on constate, soit une difficulté systématique à distinguer la perpendiculaire et la verticale (voir Fran), soit même un jugement fondé sur les angles seuls et non pas sur les coordonnées, les objets perpendiculaires étant dits « droits » et les verticaux « penchés » (Jac, Mich, Nor, etc.).

Au total, on peut donc dire qu’à la fin de ce stade II il n’y a pas encore de verticale généralisée, parce que la direction des objets dressés est jugée en fonction de systèmes partiels de [p. 475] référence, sans que ces systèmes englobent l’ensemble des éléments du champ. Bien plus, en un même contexte déterminé, tel que celui des bocaux inclinés, la verticale n’est pas mieux construite que l’horizontale faute d’un système extérieur de référence, c’est-à-dire d’axes de coordonnées s’appuyant sur les éléments les plus immobiles du champ.

Les interprétations qui précèdent reçoivent une confirmation très nette au cours du stade III, du fait que l’horizontale et la verticale ne sont nullement découvertes en un seul temps, comme ce serait le cas si seuls les facteurs techniques du dessin avaient empêché les petits de répondre correctement à nos questions. Si le stade I est caractérisé par l’absence d’abstraction des droites et des plans, si le stade II l’est par l’absence de systèmes de références extérieures à la configuration envisagée, le stade III marque, au contraire, la conquête progressive de ces systèmes de référence extérieure, donc la construction d’axes de coordonnées généralisés à l’ensemble du champ spatial. Mais cette conquête et cette construction ne sont que graduelles. Nous distinguerons à cet égard trois ensembles de réactions : d’abord des comportements intermédiaires entre les niveaux II B et III A avec découverte de l’horizontale lorsque le bocal est couché à 90° et avec découverte également partielle de la verticale ; ensuite un niveau III A avec construction progressive des horizontales et des verticales dans toutes les positions et enfin un niveau III B avec généralisation opératoire immédiate.

Il est intéressant, tout d’abord, de noter l’existence d’un type de réaction intermédiaire entre les stades II et III, donc plus précisément entre les niveaux II B et III A. Il est caractérisé par un seul progrès, mais important eu égard à l’élargissement du système de référence trop étroit dont se contentaient les sujets du stade II : c’est la découverte de l’horizontale dans le cas où le bocal est couché sur le côté (à 90°), et où le niveau prévu n’est donc, ni parallèle à la base, ni accroché à aucun coin (on se rappelle qu’au niveau II B l’enfant dessinait déjà le niveau horizontal lorsque le bocal est renversé à 180°, mais alors la surface de l’eau est parallèle à la base, celle-ci étant simplement placée au haut et le goulot au bas de la figure). En ce cas l’horizontale est découverte par parallélisme avec les côtés du bocal, mais ce parallélisme, différant de celui de la position initiale (surface de l’eau parallèle à la base du bocal) suppose un début de mise en relation avec le système de référence [p. 476] extérieure au bocal (du moins dans sa position momentanée) :

Ros (7 ; 2) débute comme en II B : « L’eau sera plus haut ici (dans le sens de l’inclinaison), et là plus bas (il dessine un niveau oblique partant du coin inférieur et atteignant le milieu du côté opposé). Il en est de même pour toutes les autres demi-inclinaisons. Mais pour le bocal couché sur le côté (90°), il fournit un dessin très curieux : l’eau part du coin inférieur et débute obliquement (comme dans les cas précédents), mais, à la hauteur du goulot, sa surface part horizontalement dans la direction de celui-ci, la figure représentant l’eau consistant ainsi en un trapézoïde.

Les mâts des flotteurs sont tantôt verticaux, tantôt perpendiculaires aux niveaux inclinés.

Char (7 ; 6), avec le bocal sphérique, dessine le niveau oblique pour toutes les inclinaisons, sauf quand le bocal est couché avec le goulot de côté (90°) : la surface est alors dessinée horizontalement. « Pourquoi fais-tu comme ça ici (90°) ? — Parce qu’elle est droite (= horizontale). — On va voir si c’est juste (on fait l’expérience pour toutes les inclinaisons). — Non, l’eau est droite et je l’ai dessinée penchée : elle doit toujours être droite. — Et comme ça (nouvelle prévision : 135°) ? — Elle est toujours droite ». Char semble donc avoir découvert l’horizontalité générale, sous l’influence de l’expérience. Mais avec le bocal à faces rectangulaires, tout est à recommencer : il dessine le niveau oblique, pour une inclinaison de 45°. « L’eau pourrait se mettre comme ça (on montre une pente plus forte) ? — Oui si la bouteille est plus penchée. — Mais tu m’as dit que l’eau serait droite ? — Elle n’est pas droite », etc. Il dessine des plans de plus en plus inclinés, sauf à nouveau quand le bocal est couché à 90°. — Les mâts des flotteurs demeurent perpendiculaires à la surface de l’eau.

Web (7 ; 9) commence par dessiner les niveaux du bocal arrondi sous forme d’ellipses de plus en plus incurvées jusqu’au point de constituer une sorte de boule autour du goulot (pour les grandes inclinaisons). On fait l’expérience et il constate que « l’eau est droite ». Dans ses dessins suivants il dessine des niveaux tous horizontaux, tenant donc bien compte de ce qu’il vient de constater. Mais, lorsqu’on passe au bocal à côtés rectangulaires les niveaux prévus sont à nouveau entièrement obliques sauf à 90°. On fait alors l’expérience et il vérifie avec une règle : « C’est juste, ce que tu as dessiné ? — Non, c’est faux. — Et si je penche davantage ? — L’eau sera penchée. — Regarde avec la règle. — Penchée (il a beaucoup de peine à juger de l’horizontalité de la règle). — Sûr ? — Non, elle est droite. — Et l’eau ? — Alors elle est droite, puisqu’elle est dans la position de la règle. — Arrange-moi ces cartons (cartons mobiles représentant le bocal sphérique avec niveaux d’orientation différentes). — (Il les arrange tous justes.) — Et ceux-ci (id. représentant le bocal à faces rectangulaires). — (Il place les premiers avec eau inclinée sauf celui couché à 90°). — [p. 477] Mais tu as dit qu’elle était toujours droite ? — Non, elle est penchée. — Mets la règle contre le bocal. Comment est-elle ? — Penchée. — Tu crois vraiment ? — Ah ! oui, elle est droite ! (Air très étonné) ». — Les mâts des flotteurs sont tantôt verticaux, tantôt perpendiculaires à la surface de l’eau.

Dor (7 ; 2), avec la technique des cartons mobiles, place correctement presque tous ceux qui correspondent au bocal sphérique. Pour ceux qui correspondent au bocal à faces rectangulaires, il réussit les positions couchée (90°) et renversée (180°), mais pour les positions inclinées il admet une certaine obliquité et dit : « elle descend » après avoir soutenu pour le bocal sphérique que « l’eau est droite, elle ne descend jamais ». On lui montre alors les bocaux eux-mêmes et l’on fait les expériences correspondantes : en cas d’inclinaison quelconque du bocal, Dor voit alors inclinée la surface de l’eau elle-même, tandis qu’à mesure que l’on se rapproche de 90° il la revoit droite. On lui demande de contrôler avec une règle mais il se met à mesurer spontanément avec ses doigts à partir de la table prise comme système de référence, mais, ce procédé restant peu précis, il maintient son opinion : « Des fois ça penche, des fois c’est droit ! ».

Cab (7 ; 2) prévoit que l’eau penchera sauf pour les positions couchée (90°) et renversée (180°). Dans les derniers cas il dit « l’eau sera comme ça » en parcourant la table du plat de la main, ce qui montre bien qu’il se réfère alors à ce système extérieur. Pour les positions inclinées il maintient que « l’eau est penchée quand même » (ce « quand même » marque d’ailleurs le caractère résiduel de cette croyance) et, dans le cas du bocal sphérique, il atteint l’horizontale en presque toutes les positions.

Ces réactions méritent un examen attentif, puisqu’elles marquent la première prise de conscience de l’horizontalité. En effet, la position accordée à l’eau dans la situation couchée du bocal (90°) constitue la première forme authentique d’horizontalité découverte par l’enfant, par opposition à la position renversée (180°), où l’horizontale n’est due qu’au parallélisme avec la base du bocal. Comment donc les sujets de ce niveau parviennent-ils à la découverte partielle de l’horizontalité, pour l’inclinaison de 90°, et pourquoi cette découverte n’est-elle pas étendue à tous les autres cas ?

Que l’expérience joue un rôle essentiel dans la découverte de ce fait physique qu’est l’horizontalité de la surface de l’eau, cela ne saurait être contesté. Mais cette expérience se fait en deux étapes dont l’une et l’autre impliquent une structuration géométrique dépassant le donné physique. Il s’agit d’abord de dégager la constance d’une certaine forme : la surface de l’eau constitue un plan, et n’est pas courbe comme la dessine le sujet Web ni anguleuse comme le trapézoïde imaginé par Ros, pour [p. 478] l’une des inclinaisons. Or, c’est évidemment l’expérience qui révèle cette forme plane (dès les débuts du stade II par opposition au stade I) et qui permet à Web et à Ros de corriger leurs erreurs résiduelles, mais, si simple qu’elle soit, cette lecture de l’expérience suppose assurément la possibilité de concevoir un plan. En second lieu, et ceci est beaucoup plus délicat à observer pour l’enfant, l’expérience physique atteste la constance d’orientation de ce plan qu’est la surface de l’eau, c’est-à-dire qu’une règle appliquée contre le verre d’un bocal, à la hauteur du niveau de l’eau, peut coïncider sans changement avec un nouveau niveau si l’on incline davantage le bocal. C’est ce second aspect de l’expérience qui stupéfie Web et bien d’autres sujets, et qui est d’ailleurs loin d’être acquis par les enfants cités, tout en commençant à s’imposer sous la forme exprimée par Web : l’eau est « droite, puisqu’elle est dans la position de la règle ».

Mais en quoi consiste cette expérience du plan et de sa constance d’orientation ? Elle est due d’abord à certaines actions particulières ou spécialisées, telles que des contrôles exercés au moyen du regard et de la règle, etc., portant sur quelques aspects délimités des objets extérieurs (ici la forme et l’orientation) et aboutissant à une certaine abstraction, qui revient à extraire de l’objet ces aspects délimités pour les enregistrer et les assimiler à l’acquis conceptuel du sujet.

Seulement, si la notion de l’horizontalité était construite par le seul moyen de telles expériences physiques, on ne comprendrait vraiment pas sa difficulté et son apparition si tardive. C’est donc qu’il intervient autre chose. Or, une expérience n’est possible que si son résultat peut, en premier lieu, être constaté (lecture de l’expérience) et surtout, en second lieu, interprété ; et, tant cette lecture que cette interprétation supposent toujours un système déductif susceptible d’assurer l’assimilation intellectuelle de l’expérience elle-même. Autrement dit, il ne suffit pas d’exercer certaines actions spéciales sur certains secteurs particuliers du réel pour tirer une connaissance précise, mais il s’agit en outre de coordonner ces actions (simultanées ou successives) entre elles. Or, cette coordination des actions n’est précisément plus affaire d’expérience physique mais caractérise, au contraire, le mécanisme de l’intelligence comme telle et se trouve par conséquent au point de départ des opérations logiques et mathématiques y compris les opérations géométriques. Toute coordination des actions consiste, en effet, soit à les ordonner les unes par rapport aux autres en sériant leurs résultats, soit à emboîter leurs schèmes [p. 479] les uns dans les autres. En ces deux cas, la coordination des actions aboutit donc à une mise en relation des objets sur lesquels elles portent, mais cette mise en relation ne consiste plus, comme dans le cas de l’action isolée ou spécialisée, à abstraire des objets certains de leurs caractères : elle ajoute, au contraire, aux objets des caractères nouveaux, non extraits de leur nature physique, mais s’accordant simplement avec elle. C’est ainsi que des rapports comme ceux que constituent les nombres, ou les classes et relations logiques, ou les notions géométriques fondamentales, sont relatifs aux actions dont ils expriment la coordination plus qu’aux objets sur lesquels ils portent (puisqu’il suffit, par exemple, d’inverser le sens de parcours de ces actions pour inverser ces rapports). À cet égard même la notion du plan, dont nous venons de voir qu’elle constitue une abstraction à partir de l’objet lorsqu’il s’agit simplement de constater que la surface de l’eau est plane, suppose au préalable une abstraction par rapport à la coordination même des actions : nous avons suffisamment constaté, au cours des chapitres I et II, combien l’« abstraction des formes » suppose une telle coordination des actions comme telles pour n’avoir plus besoin d’y insister ici.

Quant à la constance d’orientation de la surface de l’eau, c’est-à-dire de l’horizontalité elle-même, elle est a fortiori l’une de ces notions que l’expérience physique ne suffit pas à constituer, car elle suppose une mise en relations complexe dont l’aboutissement sera la construction d’un système de coordonnées. Or, c’est précisément le début de cette mise en relations qui permet aux sujets cités à l’instant de découvrir l’horizontalité en certaines situations, et ce sont les difficultés de cette mise en relations qui expliquent que l’horizontalité ne soit pas généralisée à toutes les situations.

En effet, après avoir cherché, au cours du sous-stade II A à déterminer le niveau de l’eau en tant que parallèle à la base du bocal, les sujets du sous-stade II B s’engagent dans la recherche des angles et accrochent alors leurs lignes de niveau aux coins mêmes du bocal, continuant ainsi à ne se référer qu’à des systèmes intérieurs à la configuration envisagée. C’est ce procédé qui subsiste, dans les cas intermédiaires cités à l’instant, pour toutes les positions inclinées du bocal rectangulaire. Par contre, pour la position couchée (90°) ainsi que, dans bien des cas, pour des positions quelconques du bocal sphérique, la représentation de l’horizontale est trouvée. Or, la raison en est facile à découvrir. Dans le cas du bocal sphérique (qui se révèle ainsi plus favorable aux prévisions de l’horizontalité à [p. 480] partir du présent niveau de développement), elle est même évidente : faute de coins et d’angles, le sujet commence par diriger ses lignes de niveau de façon oblique à partir du goulot, mais ces inclinaisons demeurant sans points de référence à l’intérieur de la bouteille, le sujet en vient rapidement à chercher un système de référence en dehors du bocal. Dès lors, plus ou moins consciemment, selon les cas, il se réfère à la table ou au support même du bocal, ce qui lui aide à trouver que l’eau est « toujours droite » (Char, Dor, etc.), c’est-à-dire parallèle à ce support horizontal. Quant au bocal rectangulaire, ses côtés et ses coins continuent de servir de système de référence intérieur, pour les positions inclinées, quelconques, dans lesquelles le bocal n’est lui-même parallèle ni à son support ni à la table ; mais lorsque le bocal est couché à 90°, ses côtés étant donc parallèles au support, l’enfant se réfère alors à ce support ou à la table, c’est-à-dire à un système extérieur à la bouteille d’où sa découverte de l’horizontalité. C’est ainsi que Cab prévoit que l’« eau sera comme ça » en montrant la surface horizontale de la table, indiquant par là qu’il a cherché ses références en dehors du bocal.

Ainsi la découverte partielle de l’horizontalité n’est-elle pas autre chose, chez ces sujets intermédiaires entre ces sous-stades II B et III A, que le résultat d’un début de mise en relation de la surface de l’eau avec les systèmes de référence extérieurs au bocal, limitée aux situations dans laquelle cette mise en relation ne comporte que des rapports de parallélisme et de perpendicularités, sans angles aigus ou obtus. Il ne s’agit donc pas, malgré l’apparence empirique des résultats, d’une simple découverte physique, mais bien d’un début de construction de coordonnées, par coordination de l’objet considéré avec des objets extérieurs à lui, et distants.

Quant à la verticale, le processus est le même : dans la plupart des cas, ces sujets intermédiaires se bornent à dessiner les mâts des flotteurs perpendiculaires à la surface de l’eau, le système de référence demeurant ainsi intérieur au bocal, mais, en certains cas, ils sont représentés verticaux par référence à des solides extérieurs à la configuration de la bouteille.

Le stade III proprement dit (par opposition au niveau de transition discuté jusqu’ici) débute en moyenne entre 7 et 8 ans, c’est-à-dire lors de l’apparition des opérations concrètes : il est caractérisé, non plus par la simple esquisse de la notion d’horizontale en certaines situations privilégiées du bocal ou de la notion de verticale en fonction du contexte perceptif, mais par la conquête effective et générale de ces notions dans [p. 481] toutes les situations. Autrement dit, grâce au développement des opérations concrètes, qui prolongent et complètent les intuitions articulées du stade II, la mise en relation devient possible entre les éléments des configurations envisagées les systèmes de référence mobiles intérieurs à ces configurations et les systèmes de référence immobiles extérieurs à celles-ci. Mais cette conquête finale elle-même ne se fait pas en un seul temps comme celles des notions plus simples s’achevant en un système total vers 7 ou 8 ans (la droite, les parallèles, etc.) : l’horizontale et la verticale constituant un système de coordonnées, et celui-ci supposant la mise en relations de l’ensemble des objets du champ de l’action, cette coordination finale s’accomplit en deux étapes. Durant un sous-stade III A on assiste, au cours même des interrogations, à la généralisation progressive des notions d’horizontale et de verticale. Ce n’est qu’à partir d’un sous-stade III B (c’est-à-dire à partir de 9 ans en moyenne) que l’horizontale et la verticale sont appliquées systématiquement et logiquement à toutes les situations dès le début des interrogatoires.

Voici quelques exemples du sous-stade III A :

Wei (6 ; 4 avancé) prévoit un niveau oblique pour le bocal rectangulaire incliné à 45° : « Regarde (expérience). — Ah non. — Et si on penche un peu plus ? — L’eau sera un peu penchée tout de même (expérience). Non, c’est droit. — Et si on penche beaucoup ? — Ça restera droit, parce que c’est seulement le bocal qui changera. — Et si on penche vers moi ? — L’eau va se pencher de votre côté (il montre avec une règle puis la redresse spontanément). Non, avec la règle elle sera droite, l’eau : ça fait droit parce qu’on penche. — Dessine-là (Il dessine d’abord l’eau inclinée puis corrige en horizontale). — Et si on penche encore plus ? — (Il dessine la surface de l’eau très inclinée puis tourne sa feuille en tous sens en cherchant un système de référence). Tiens ! C’est pas juste (il corrige dans le sens de l’horizontale et dit). Je dessine d’abord la table et ensuite l’eau (!) ».

Bocaux sphériques : d’abord dessins tantôt horizontaux tantôt obliques, puis : « Ah ! C’est pas juste, parce que c’est toujours droit ». — Quant à une canne à pêche par rapport au lac, il fait quelques dessins justes (fil vertical et lac horizontal), mais aussi un dessin étrange sur lequel le lac est oblique et la canne à pêche figurée en dessous de la surface : « Il est penché le lac ? — Non. Quand il y a une tempête, oui. Sans ça il est tout plat. — Alors ce dessin ? — Il est penché. Mais quand on le met comme ça (il le renverse), il ne l’est pas ». Il a donc dessiné à l’envers, sans se soucier de l’inclinaison du papier, mais il sait néanmoins remettre tout en place en référence avec le bord de la table !

[p. 482]Hen (6 ; 11), pour la verticale, dessine des fils à plomb tantôt verticaux tantôt parallèles aux côtés du bocal et met les arbres d’abord perpendiculaires aux versants de la montagne puis tous verticaux.

Pour l’horizontale il prévoit, sur le bocal rectangulaire incliné à 45°, un niveau d’abord parallèle à la base, puis oblique (attaché à un coin) et enfin presque horizontal. Il généralise ensuite l’horizontale à presque toutes les positions.

Cartons à orienter : sphériques toujours justes ; rectangulaires encore obliques pour les positions inclinées. Puis, brusquement : « Non, c’est juste quand c’est plat ».

Wir (7 ; 3) commence par dessiner les niveaux obliquement (sur les schèmes du bocal rectangulaire) : « Mets cette règle contre le bocal pour voir si c’est juste (expérience). Ce n’est pas tout à fait juste, mon dessin, parce qu’il n’est pas droit. — (On penche davantage). Et maintenant ? — Je n’y comprends rien : ça ne devrait pas être comme ça (horizontal 1). — Regarde. Je mets le crayon plat (pendant ce temps on incline davantage le bocal). — Eh oui ! C’est tout droit, mais c’est drôle : le bocal n’est pas droit ! — Et si on penche beaucoup ? — Ça sera encore droit. Il y a quelque chose que je ne comprends pas : l’eau reste tranquille (= horizontale) et le bocal bouge ! — Et si on penche de ce côté ? — Ce sera encore droit. — Et vers toi ? — Aussi ». Il présente néanmoins quelques difficultés à figurer ensuite ces divers niveaux par des horizontales, mais il y parvient peu à peu.

Bocal sphérique : « Elle est plate tout le temps ».

Bor (8 ; 6), à la différence du précédent, procède par réglage implicite plus que par formulation réfléchie. Il commence par des niveaux obliques, partant du coin du bocal, puis atteint l’horizontale pour le bocal couché (90°). On lui demande alors d’ajouter des bateaux à ses dessins : il met les mâts verticaux sans s’occuper de la surface de l’eau. Après quoi on lui présente de nouvelles inclinaisons : il met l’eau « un peu penchée », et croit la voir telle lorsqu’on fait l’expérience puis enfin aboutit à l’horizontalité complète et générale.

Conv (8 ; 6) débute par des niveaux obliques divers, sans régularité, mais, lorsqu’il s’agit de mettre en position les cartons mobiles, il tâtonne un instant, puis aligne tous les niveaux en suite horizontale et dit : « Ça fait une seule ligne ». Après quoi il corrige spontanément ses dessins. On fait contrôler avec une règle sur le bocal : « Quand on penche la bouteille, la règle sera penchée… Non, droite, toujours droite. C’est la même chose qu’avant ».

Brau (8 ; 6) dessine d’abord des niveaux obliques, puis constate à l’expérience qu’ils sont horizontaux : « L’eau pourrait être quand même penchée ? — Oui, si le bocal était plus penché. — Regarde (expérience). — Ah non, elle reste droite. — Comment as-tu fait pour trouver ? — Je regarde la table ».

[p. 483]Fro (9 ; 6) commence de même, puis s’écrie à propos d’une inclinaison de 20-30° : « Non, mon dessin est trop penché, parce que l’eau ne peut pas se mettre penchée. Elle est toujours droite parce que l’eau doit être droite (= horizontale) ! »

Pau (9 ; 10) dessine un niveau d’eau oblique et un mât de bateau perpendiculaire à cette surface. On fait l’expérience : « J’ai fait tout faux. L’eau était comme ça (geste parallèle à la table) et le flotteur était droit (geste vertical) ». Mais, pour l’inclinaison suivante du bocal il prévoit encore un niveau oblique. Expérience : « Non, c’est encore plus faux. — Et si on penche le bocal encore plus ? — (Il dessine cette fois horizontal, en se servant d’une règle qu’il met intentionnellement parallèle à la table) ». Mais, chose étrange, pour une quatrième inclinaison il revient au niveau oblique, puis se corrige et refait les mêmes erreurs avec le bocal sphérique, jusqu’à horizontalité permanente.

Cheu (10 ; 3) dessine d’abord un niveau oblique : « Je ne sais pas si l’eau vient dans le coin du bocal (il relie un coin au côté opposé) mais le flotteur est droit (vertical). — Et si on penche le bocal ? — (Il dessine l’eau très inclinée et le flotteur perpendiculaire à sa surface. Après expérience, il cherche d’abord à tout concilier : « Ce sera quand même penché : l’eau sera droite, mais dans l’autre sens ce sera penché mais ce sera quand même droit (il dessine légèrement incliné). — Regarde avec cette règle. — C’est droit. — Et si on penche encore ? — Il faudra laisser la règle droite. — Et dans l’autre sens ? — Ce sera aussi droit. — Comment tu le sais ? — — J’en ai l’impression ». Enfin, avec les cartons mobiles, Cheu arrive à l’horizontalité générale « parce que sans ça l’eau monterait ici (d’un côté) et descendrait là (de l’autre) ».

Eis (10 ; 7) hésite au début : « Je ne sais pas s’il faut la mettre droite ou penchée » (il dessine l’eau inclinée et le flotteur perpendiculaire. Après une série de dessins inclinés : « Non, il faut faire plus plat. — Et si je penche de l’autre côté ? — Ce sera aussi droit », etc. « Comment fais-tu pour réussir ? — Je regarde les bords de la feuille ou la table ». Bocal sphérique : tout juste. « Je regarde la table ».

Trip (11 ; 4). Mêmes hésitations au début jusqu’au moment où, après expérience il déclare : « Ça reste toujours droit. Ça doit toujours être droit (il corrige ses dessins). — Comment fais-tu pour savoir si c’est juste ? — Je dessine parallèlement à la table ».

Notons encore deux faits relatifs à la verticale :

Geo (7 ; 9) place d’abord tous les objets perpendiculaires sur le sable : « Maintenant dessine. — (Également perpendiculaires à la pente). — Mets encore quelques poteaux. — (Les uns verticaux les autres perpendiculaires). — Tes arbres sont droits ? — Non, ils sont penchés (il corrige dans le sens de la verticale). — Et les maisons ? — (Il corrige). — Dessine un bonhomme qui monte et descend. — (Mélange de verticale et de perpendiculaire). —  [p. 484] Lequel est le mieux réussi ? — (Il montre le vertical). — Peux-tu rajouter des arbres ? — (Il les fait tous verticaux) ».

Carl (8 ; 2) dessine une montagne avec des séries d’arbre, de bonshommes, etc. Il commence par un mélange de perpendiculaires et de semi-verticales mais se corrige graduellement jusqu’à ne plus représenter que des éléments verticaux.

Il est clair qu’à ce niveau III A on peut enfin parler d’une découverte de l’horizontalité, généralisée à toutes les positions du bocal, et de la verticalité dans le même contexte ou sur les dessins de montagne. Mais on constate du même coup, et cette constatation a quelque chose de stupéfiant, que ces sujets s’étageant entre 6 ; 4 et 11 ans (avec parfois même quelques retardés de 12 ans) ne parviennent à cette mise en relation élémentaire qu’après de multiples tâtonnements reproduisant les erreurs propres au stade II, et après seulement avoir été obligés de lire le résultat de l’expérience sur le bocal lui-même. Le cas de Pau, malgré ses 9 ans 10 mois, est particulièrement net à cet égard. Ce n’est donc pas, sauf exceptions, au début du stade III et dès l’apparition des opérations concrètes (vers 7 ans en moyenne) que les notions de l’horizontale et de la verticale sont construites, mais au cours de ce stade III et en moyenne vers 9 ans, c’est-à-dire au terme seulement de l’organisation de ces opérations.

Cela dit, comment s’effectue la découverte de l’horizontale et de la verticale ? Les sujets dont nous venons de résumer les réactions permettent de répondre de la façon la plus simple à cette question délicate : les faits physiques de la constance d’orientation du niveau de l’eau ou de la direction du fil à plomb est bien, en un sens, au point de départ de la découverte, mais ces faits expérimentaux ne sont eux-mêmes susceptibles de constatation et d’induction généralisatrice qu’à la condition d’être assimilés à un ensemble de schèmes coordinateurs, dont la systématisation aboutit à la construction d’un système de coordonnées.

Ce qui frappe naturellement d’abord, c’est l’induction de la loi physique, en particulier dans le cas de l’horizontalité du niveau de l’eau. C’est ainsi que Wei reconnaît qu’il est sans cesse contredit par l’expérience et finit par admettre malgré lui que « c’est toujours droit ». Wir va plus loin encore dans la formulation du caractère empirique de la loi : « Il y a quelque chose… que je ne comprends pas : l’eau reste tranquille et le bocal bouge ! » etc. Il est donc évident que, sans l’expérience, le sujet n’arriverait pas à découvrir l’horizontalité de la surface [p. 485] de l’eau, laquelle est donnée et non pas déduite a priori. Seulement pourquoi cette expérience n’est-elle possible qu’au stade III ? Pourquoi met-elle tant de temps à donner lieu à une simple lecture d’abord (impossible encore au stade I), puis à une induction généralisatrice (impossible encore au stade II) ? Pourquoi, autrement dit, ces sujets sont-ils les premiers à conclure de la lecture de quelques faits, que le niveau de l’eau sera « toujours » horizontal ?

C’est ici qu’apparaît le rôle nécessaire du système des coordonnées : pour reconnaître l’horizontalité permanente de la surface de l’eau, ainsi que la verticalité permanente des mâts ou des fils à plomb, quelles que soient les inclinaisons du bocal, il s’agit, même sans dessin, et même en se bornant à tenir immobile une règle en face du niveau de l’eau ou du fil vertical, de mettre en relation ce niveau, ce fil ou cette règle avec un ensemble d’objets extérieurs au bocal, car sans cela rien ne prouve que les directions n’aient pas été modifiées parce qu’entraînées dans le mouvement d’ensemble du récipient (à la manière dont un mouvement relatif demeure incompréhensible sans système de référence extérieur au mouvement absolu). Or, il est très frappant de constater que nos sujets notent en général plus ou moins consciemment cette nécessité d’un point d’appui extérieur. Ainsi Wei, dont nous venons de rappeler le caractère empirique de sa découverte, déclare, lors de ses dessins corrects de la fin : « Je dessine d’abord la table et ensuite l’eau ». Brau dit que, pour atteindre l’horizontale, il « regarde la table ». Pau met visiblement sa règle en parallèle avec le plateau de la table, bien qu’il n’en dise rien. Eis admet explicitement : « Je regarde les bords de la feuille ou la table » et Trip : « Je dessine parallèlement à la table ». Certes, on pourrait leur demander à quoi ils rapportent l’horizontalité de la table, ce qui aboutirait à les renvoyer en fin de compte au niveau de l’eau. Mais on saisit d’emblée, en ce qui concerne ce second aspect des réactions de nos sujets, que ce n’est plus le problème physique qui compte, mais bien le problème géométrique de la mise en relations des diverses directions selon les angles, le parallélisme, l’ordre et les distances, c’est-à-dire selon un système d’ensemble qui constitue précisément le début d’un système d’axes de coordonnées.

Mais avant de discuter ce point ; il convient encore d’examiner les cas du sous-stade III B, qui sont d’emblée en possession des notions de l’horizontalité du niveau de l’eau ainsi que la verticalité des mâts et des fils à plomb, et les appliquent immédiatement à toutes les inclinaisons du bocal :

[p. 486]San (6 ; 6) : « Que va faire l’eau si on penche cette bouteille ? — Elle ira comme ça (montre avec l’index sur le verre une ligne horizontale). — Dessine. — (Dessin horizontal). Comme ça. Ça reste plat. — Et si on penche encore plus ? — Ce sera toujours plat ».

Stei (6 ; 7) dessine d’emblée les niveaux horizontaux et les bateaux à mâts verticaux. « Pourquoi fais-tu l’eau comme ça ? — Parce qu’elle reste tout le temps droite ». Dessins à classer et cartons mobiles : tous justes.

Ley (7 ; 0) hésite un instant à dessiner un niveau oblique, puis s’écrie : « Non, non, elle ne monte jamais, l’eau ». Cartons mobiles : les ajuste d’emblée en une ligne horizontale unique.

Fil à plomb dans le bocal : demeure vertical pour toutes les inclinaisons.

Han (7 ; 3) hésite un instant aussi puis dit : « C’est la bouteille qui se penche. L’eau reste droite, elle n’est pas collée à la bouteille, elle reste droite si on penche. Si on retournait celte armoire, les animaux qui sont dedans tomberaient, mais l’eau de la bouteille elle reste toujours droite ». Il dessine ensuite quelques niveaux horizontaux et, pour vérifier que « c’est droit », il mesure sur le dessin du bocal couché à 90° la distance entre la surface de l’eau et le côté de la bouteille, mais s’aperçoit au dessin suivant que cette vérification par l’équidistance ne joue plus et invoque alors le parallélisme par rapport à la table.

Wag (8 ; 5) : « Il faut que l’eau soit toujours droite. Elle reste comme ça ». Fil à plomb : juste également.

Pas (9 ; G) : « Elle reste horizontale. — Et le fil à plomb ? — Vertical. — Comment sais-tu que c’est juste ? — Je le vois à vue d’œil. — Peux-tu vérifier avec cette règle ? — (Il reporte la règle de la table au niveau pour montrer le parallélisme puis dessine la table sur sa feuille et mesure la distance de l’eau à la table aux deux extrémités du niveau dessiné). — Et pour le fil ? — (Il vérifie à vue d’œil la perpendicularité en regardant l’un après l’autre les deux angles droits) ».

Coi (10 ; 7) : « Elle est horizontale. — Comment fais-tu pour dessiner juste ? — Je regarde la table ».

Cué (11 ; 1) : « Le niveau est droit parce que l’eau reste toujours horizontale. — Comment être sûr ? — On peut mesurer si c’est la même distance à gauche et à droite (par rapport au support). — Et le fil à plomb ? — (Il tourne la feuille de 90°). Ça fait un angle droit ».

Tis (11 ; 6) : « Le niveau est toujours horizontal. Je le dessine d’après la table. — Comment vois-tu que c’est horizontal ? — Je dis que le support est horizontal et je dessine l’eau par rapport au support ». Il fait un beau dessin à trois dimensions en perspective sur une feuille droite puis le transpose sur une feuille disposée obliquement en représentant les horizontales parallèles aux côtés du papier et les verticales perpendiculaires.

[p. 487] Voici encore quelques cas concernant la verticale seule :

Lai (6 ; 10) dessine une montagne avec objets purement verticaux sur les versants. Le fil à plomb sur une montagne au trait : toujours vertical indépendamment des pentes et des corniches. Canne à pêche avec poids au bout du fil : vertical pour toutes les inclinaisons.

Dan (7 ; 6) ; Clai (8 ; 6) et Fred (9 ; 3) : mêmes réactions. On présente à ce dernier un dessin de maison perpendiculaire à une pente légère : « Aïe, aïe ! Les briques vont s’écrouler. On n’a jamais vu une maison comme ça ».

Ces cas s’étagent, comme on le voit, entre 7 ans (avec parfois quelques réactions précoces dès 6 ; 6) et les débuts du stade des opérations formelles, la moyenne de telles réactions étant à situer vers 9 ans. Si nous partons des cas supérieurs tels que Cué et Tis qui sont à la limite des opérations formelles, nous constatons que leurs systèmes de coordonnées est devenu quasi conventionnel ou hypothético-déductif : « Je dis que le support est horizontal, décrète Tis, et je dessine l’eau par rapport au support » après quoi il dispose l’ensemble des objets selon un ensemble de parallèles et de perpendiculaires sur une feuille de papier penchée aussi bien que droite. L’horizontalité et la verticalité physiques ne sont donc plus qu’une occasion à construire un dessin d’ensemble selon des axes de coordonnées rectangulaires. Quant aux cas les plus jeunes, de San à Coi, c’est la loi physique qui reste au centre de leurs affirmations, mais, à y regarder de près, on constate qu’elle est simplement à l’origine de leur prise de conscience, car la prise de conscience part du point d’application des actions à l’objet extérieur avant de remonter au mécanisme même de ces actions. Or, en analogie avec ce qui est devenu explicite chez Cué et chez Fis, ces jeunes sujets aussi ont dû fournir tout un travail de coordination avant de pouvoir être certains de l’horizontalité permanente du niveau de l’eau, et eux aussi construisent leurs représentations graphiques ou mentales de l’horizontalité et de la verticalité au moyen d’un système de parallèles et d’angles droits, qui constitue l’essentiel des coordonnées rectangulaires de nature géométrique et non pas physique. Le cas de Han est particulièrement remarquable à cet égard. Avec une clarté qui s’oppose aux tâtonnements du sous-stade III A, il déclare que l’eau « n’est pas collée à la bouteille » et qu’elle reste horizontale, malgré toutes les inclinaisons de cette dernière. Puis, lorsqu’il s’agit de justifier ces vues, il se livre à un ensemble de mesures, d’abord intérieures au bocal et par [p. 488] conséquent erronées, mais témoignant cependant du besoin de rapporter la ligne horizontale à l’ensemble des parallèles et des angles qu’elle forme avec les côtés, c’est-à-dire à un système total, lequel est ensuite élargi à la ligne de la table et par conséquent aux objets extérieurs au bocal.

En un mot, ce qui caractérise ce dernier sous-stade III B, c’est la coordination de l’ensemble des angles et des parallèles du champ entier des objets considérés, et c’est cette coordination totale qui rend possible la découverte de la constante physique du niveau horizontal de l’eau et de la direction verticale des fils à plomb, au lieu d’émaner sans plus de ces constatations expérimentales.

Avant de conclure cette étude de l’horizontale et de la verticale, qui constituent les axes du système naturel de référence fournis au sujet par le monde physique lui-même, cherchons encore à établir si, lors de la reproduction de certains ensembles de positions et de distances, l’enfant recourt spontanément à des systèmes de référence extérieurs à la figure considérée et supposant ainsi une construction active de la part du sujet.

Voici les techniques employées : 1. Nous posons sur la table un certain nombre de jetons (ou de perles carrées et stables), disposés selon une figure arbitraire (variant d’un essai à l’autre, avec plus ou moins d’éléments et une disposition plus ou moins compliquée), et nous demandons à l’enfant de reproduire exactement la même figure avec d’autres jetons ou perles. Après un premier essai, au cours duquel le sujet peut constater la difficulté d’une reproduction exacte, nous lui offrons un certain nombre de bandelettes rectilignes de papier (de 15-20 cm de long) en lui demandant si elles peuvent lui servir : nous lui montrons à cet effet (et à part) comment trois éléments, dont l’un sera à gauche, l’autre à droite et le dernier dans le prolongement d’une bandelette posée sur la table, peuvent donner lieu à la copie de la même configuration au moyen d’une seconde bandelette et de trois autres éléments.

2. Deux baguettes étant placées sur une feuille de papier (découpée arbitrairement sans contours réguliers), on demande au sujet de poser deux autres baguettes selon les mêmes directions sur une nouvelle feuille (également irrégulière) avec règles et papiers comme moyens de référence. La même épreuve peut être faite avec des baguettes qui se croisent (en ×) sur [p. 489] du papier soit tout blanc, soit quadrillé, ou avec un dessin représentant une marmite suspendue au point de croisement de deux bâtons (il s’agit en ce cas de reproduire le dessin graphiquement ou avec des bâtonnets manipulables, et cela toujours sur des feuilles de papier irrégulières pour éviter la référence aux bords rectilignes).

Le défaut de ces deux sortes de techniques est d’être assez imprécises. Néanmoins elles ont permis de relever un certain nombre de faits qu’il est intéressant de mettre en relation avec les observations précédentes, parce qu’ils dénotent assez clairement l’indifférence des petits à l’égard des systèmes de référence et le besoin croissant avec l’âge d’utiliser des axes de coordonnées.

Au cours du stade II encore (l’épreuve ne présente pas de signification au stade I) les sujets s’en tiennent, pour la reproduction des figures, à des procédés purement perceptifs, sans utilisation des systèmes de référence, ni même compréhension de leur usage dans le cas où on essaie d’en persuader l’enfant par suggestion :

Mar (6 ; 2). On arrange trois perles d’un côté de la table, en offrant les bandes de papier (avec exemple concret de leur utilité possible) : Mar dispose ses perles symétriquement (en gros) par rapport au modèle, sans s’occuper des papiers. « Tu vois, on peut mettre ces deux papiers près des perles (on les met en croix entre les perles). Tiens voilà les tiens. — (Mar place ses papiers tout autrement). Ah c’est plus penché ici (il déplace une perle et met les papiers en angle entre les trois perles). — Voilà maintenant quatre perles que je mets comme ça (autre figure). Fais la même chose. — (Mar copie la figure à vue, et de nouveau symétriquement sans s’occuper des papiers). — C’est bien juste ? — Non. — Si je mets les deux papiers comme ça (croix) ça peut t’aider à copier ? — (Il croise ses deux papiers de façon irrégulière, sans s’occuper du fait qu’un des quatre secteurs contient deux perles tandis que, sur le modèle, il y a une perle par secteur). — Et avec ces six perles ? — (Copie globale sans papier) », etc. Aucune aide n’est donc tirée des références possibles.

Al (6 ; 10) déjà cité au paragraphe 4 (stade II B). Technique des baguettes : il les pose à vue avec inclinaisons peu exactes et refuse la règle comme moyen de référence. Sur des papiers quadrillés il les met selon des inclinaisons également imprécises et trouve « plus difficile » à cause du quadrillé dont il n’a pas l’idée de se servir. On lui demande alors de reproduire sur une table voisine de celle du modèle l’inclinaison d’une seule baguette : il la place symétriquement, puis ayant le sentiment de quelque chose d’anormal il diminue l’inclinaison.

[p. 490]Ros (7 ; 2). Dessin des marmites : il reproduit à vue avec deux baguettes mais construit un angle plus obtus. « Je n’ai pas réussi. Le feu est trop près. — Comment faire ? — Il faudrait avoir deux règles pour voir comment c’est écarté. (On les lui donne mais il ne s’en sert pas). Ce serait pour voir si ça (= les lignes) serait plus droit ».

Il n’est pas nécessaire de multiplier ces exemples : le propre de la réaction de ces enfants est de ne considérer que la figure en elle-même, sans système de référence extérieur : d’où l’inutilité, pour eux, des bandelettes, des quadrillages ou des règles. On note en outre l’indifférence aux inclinaisons et aux angles déjà étudiés au chapitre XII.

Au cours du stade III, par contre, on assiste à un début d’utilisation des références extérieures aux éléments de la figure :

Chel (8 ; 3) n’utilise pas d’emblée les bandelettes de papier pour copier une configuration de cinq perles : « C’est tout à fait juste ? — Non. — Ce n’est pas commode si on regarde simplement. Ces papiers peuvent servir à quelque chose, pour mieux voir ? — (Il place une bande de chaque côté du modèle, puis une à côté de sa copie, en rajoute une troisième au modèle puis l’enlève pour la mettre de l’autre côté de sa copie : de cette manière la copie comme le modèle sont encadrés de deux bandes parallèles ce qui permet à Chel quelques rectifications.) — Avec dix perles (et figure plus compliquée), il commence de même sans utilisation des papiers, puis il entoure le modèle de deux bandelettes formant un angle aigu, reproduit le même dispositif sur sa copie et place les perles en s’aidant de ce système de référence.

Ich (8 ; 8) commence également par ne pas utiliser les bandelettes, puis en prend deux qu’il met en croix (×) traversant de part en part le modèle, et reproduit la même disposition sur sa copie, ce qui lui permet de le corriger. Mais si les positions des perles sont correctes eu égard aux quatre secteurs déterminés par la croix, les distances sont encore négligées. Plusieurs essais successifs : mêmes réactions.

Ine (9 ; 0) après avoir commencé à vue, entoure le modèle de trois côtés et place trois bandelettes correspondantes autour de la copie, qu’il corrige. Essai suivant : deux bandes à peu près parallèles pour le modèle et de même pour la copie mais avec un autre écartement.

Jac (9 ; 1) commence par des bandes parallèles, puis met deux bandelettes en croix (×) ; « c’est plus commode, sans ça on n’a pas les coins ».

Ger (8 ; 9) avec la technique des baguettes, mesure chacune d’entre elles, puis tourne la feuille de façon à ce que l’une des baguettes soit verticale mais décide à vue de l’inclinaison de l’autre. [p. 491] Après quoi il fait avec la règle et l’une des baguettes un parallélogramme, l’inclinaison de la seconde (qui s’engage à l’intérieur du parallélogramme) étant alors plus facile à estimer.

On constate ainsi, au cours du stade III, un progrès dans l’emploi et même dans la construction des systèmes de référence, mais sans que ces systèmes aboutissent à autre chose qu’à une comparaison qualitative des orientations et des placements ordonnés, et sans que ces relations d’ordre soient unies avec les distances en une seule coordination d’ensemble.

Ce n’est qu’à partir de 11-12 ans, c’est-à-dire au cours du stade des opérations formelles, que de vrais systèmes conventionnels de référence sont construits, qui permettent de juger simultanément des positions et des distances :

Cler (11 ; 2) commence par poser les bandelettes parallèlement des deux côtés du modèle et dispose les perles à l’intérieur de la configuration correspondante, mais il s’aperçoit qu’il n’est pas certain de l’égalité de largeur entre les deux bandes parallèles et, comme on lui refuse une troisième bande, il les met en croix (+) : « C’est plus ou moins juste qu’avant ? — C’est plus juste parce que comme ça les distances sont les mêmes. — Pourquoi ? — Parce qu’il faut qu’on ait toutes les dimensions ». Il place alors les perles en fonction des branches de la croix en tenant compte des distances.

Gil (11 ; 4) met d’emblée les papiers en croix : « Pourquoi ? — Parce qu’on trouve la place de chaque perle. — Et comme ça (parallèles), ça irait ? — Non, parce qu’on n’est pas sûr si la largeur est la même. — Et en croix ? — Oui, parce que c’est partagé ». Il fait quatre casiers égaux et place les éléments selon l’ordre et la distance à la fois.

Berl (11 ; 10). Deux baguettes : il mesure d’abord la droite reliant leurs bases sans être sûr de l’inclinaison. Il essaie ensuite de mesurer leurs distances en d’autres points et finit par prendre l’une des baguettes comme abscisse, en prolongeant la droite des deux côtés : il place alors perpendiculairement à cette ligne une droite en ordonnée et situe ces mesures par rapport à ce système de référence.

Ces sujets cherchent donc sans cesse à concilier l’ordre et les distances, ce qui revient à constituer un système proprement dit de coordonnées. Mais ce système n’est atteint qu’au niveau formel, par opposition aux verticales et aux horizontales, pour cette raison bien claire qu’il s’agit ici de l’imaginer arbitrairement, sans qu’il soit suggéré par les directions physiques privilégiées, tels que le fil à plomb ou le niveau de l’eau.

Mais il est inutile de poursuivre ici cette analyse, le problème des coordonnées conventionnelles se retrouvant sous [p. 492] une forme correspondant à des besoins beaucoup plus spontanés de l’enfant dans un domaine qu’il nous reste à étudier en un dernier chapitre de cet ouvrage : celui de la construction des cartes ou des plans, tels que le plan d’un village ou d’un jardin, etc.

Nous avons étudié au chapitre VI de cet ouvrage (section I), comment la notion de la droite est engendrée simultanément par la méthode projective de la « visée » permettant d’aligner les éléments selon la direction du regard et par la méthode euclidienne de la conservation d’une même direction (direction d’un mobile quelconque et non plus seulement du regard). La droite suppose ainsi les notions d’ordre, de continu, etc. qui sont de caractère topologique, mais subordonnées, soit à un point de vue, soit à une direction. Le chapitre XI nous a permis ensuite de constater que, sitôt acquise l’idée de droite, le sujet est capable d’imprimer la même direction à deux ou plusieurs droites, d’où la notion des parallèles, qui se conservent au cours des transformations affines. Le chapitre XII nous a enfin montré qu’à ce même niveau III A, où se constituent les droites et les parallèles, l’enfant est non seulement conduit à découvrir la similitude des triangles grâce au parallélisme de leurs côtés, mais encore, et par cela même, à prendre en considération l’égalité des angles par la méthode de superposition avec rotation. Cette comparaison des angles qui trouve son équilibre au niveau III B aboutit à la construction d’un groupement systématique d’opérations, reposant sur la mise en correspondance co-univoque et qui engendre la notion de proportions, complément nécessaire de la similitude.

Or, corrélativement aux progrès de la mise en correspondance co-univoque, on assiste, aux mêmes niveaux, et à partir également des notions de droites et de parallèles, à une seconde mise en correspondance entre les points ordonnés de l’espace, mais obéissant à un autre principe multiplicatif ; celui des correspondances bi-univoques à plusieurs dimensions selon des axes de coordonnées rectangulaires.

Rien ne paraît plus simple, au premier abord, qu’un espace structuré d’après un tel principe. En regardant les objets qui nous entourent, nous les voyons disposés à l’intérieur d’un réseau de droites parallèles, se coupant perpendiculairement selon les trois dimensions. Et, si cette vision des choses nous paraît aller de soi, c’est que l’expérience physique elle-même semble nous imposer une telle structuration, en fonction [p. 493] de toutes les verticales que nous percevons parallèles entre elles, et de toutes les horizontales que nous reconnaissons également parallèles et coupant les premiers à angles paraissant droits. Bien plus, n’importe quel papier quadrillé, quel carrelage ou quelle marqueterie, n’importe quel ensemble d’avenues ou de bâtiments semblent suggérer la même notion indispensable d’axes de coordonnées. Bref, un système de coordonnées est comparable à une table à double ou à triple entrées, dans laquelle tous les objets de l’espace sont ordonnés en correspondance bi-univoque les uns avec les autres selon les diverses colonnes ou les divers casiers prévus, et rien ne paraît plus élémentaire qu’une telle coordination.

Les faits décrits en ce chapitre démontrent au contraire, de la manière la plus nette, combien il est illusoire d’attribuer au sujet humain la connaissance innée ou psychologiquement précoce d’un espace d’ensemble structuré selon un système de coordonnées rectangulaires à deux ou à trois dimensions. Même les notions physiques et physiologiques de verticale et d’horizontale ne donnent lieu à aucune prise de conscience immédiate, et cela pour une raison que les analyses précédentes révèlent même bien simple : c’est qu’une perception ne porte jamais que sur des champs restreints, tandis qu’un système de coordonnées suppose au contraire la coordination opératoire de tous les champs entre eux.

Le système des coordonnées n’est, en effet, pas au point de départ de la connaissance spatiale, mais au point d’arrivée de la construction psychologique entière de l’espace euclidien ; de même que les notions de succession et de simultanéité, de synchronisme et d’isochronisme, etc., qui définissent un temps homogène, marquent l’arrivée et non pas le départ de la construction du temps. Un système de coordonnées suppose d’abord les notions topologiques d’ordre et de dimensions, c’est-à-dire un ensemble de relations d’ordre permettant de sérier les objets selon n dimensions : par exemple O → A₁ → B₁ → C₁ → … etc. selon une dimension ; O → A₂ → B₂ → C₂ → … etc. selon une autre dimension ; etc. Mais il y a plus, car la correspondance topologique entre deux ordres (ou homéomorphie) ne tient pas compte des distances entre les éléments ordonnés, tandis que la correspondance entre 2 ou n ordres selon un système à 2 ou n axes de coordonnées O A₁ B₁ C₁ … et O A₂ B₂ C₂… ; etc. maintient égales les distances A₁ B₁ = A₂ B₂ ; B₁ C₁ = B₂ C₂, etc. et introduit en outre une égalité métrique entre unités successives de distances O A₁ = A₁ B₁ = B₁ C₁ = … = O A₂ = A₂ B₂ = B₂ C₂ = …, etc. Par le fait même, les dimensions en jeu [p. 494] dans un tel système donnent lieu à une transformation fondamentale à partir de la notion topologique de dimension. Celle-ci repose au début, comme nous l’avons vu (chapitre IV), sur les simples notions d’entourage ou d’enveloppement, sans intervention des notions de droite ni d’angle, tandis que les axes d’un système élémentaire de coordonnées consistent en droites qui se coupent à angles de 90° selon les dimensions considérées. Enfin toutes les droites considérées à l’intérieur du système soutiennent entre elles des relations de parallélisme (c’est-à-dire d’angle nul) ou d’angles de diverses valeurs. Au total, un système de coordonnées est donc le produit d’une multiplication logique des relations d’ordre, avec intervention des droites, des distances, des parallèles et des angles, selon n dimensions. On voit en quoi un système d’axes de coordonnées suppose, en plus des rapports topologiques élémentaires, l’ensemble des notions euclidiennes appliquées à la mise en relation de tous les objets entre eux, quels que soient leur proximité ou leur éloignement : c’est donc la structuration d’ensemble de l’espace euclidien que constitue un tel système, et c’est pourquoi sa construction est si tardive.

Cela dit, on comprend aussi pourquoi la perception ne saurait suffire à une telle organisation d’ensemble. La perception fournit bien, il est vrai, une estimation grossière de l’ordre, des droites, des distances, des parallèles et des angles, et surtout elle s’appuie toujours, comme l’intelligence elle-même, sur des systèmes élémentaires de référence : chaque objet perçu est, en effet, situé dans un « cadre », et c’est par rapport à ce cadre ou contexte perceptif qu’il est mis en position et estimé en sa grandeur et ses dimensions. Seulement, toutes les fois que l’occasion se présente de serrer d’un peu près, et sur des faits précis, les relations entre la perception et l’intelligence, on aperçoit combien demeure sommaire la connaissance perceptive. Nous l’avons vu d’abord (chapitre I) en ce qui concerne la structuration des formes en général, qui supposent l’intervention d’une « activité perceptive » dirigée par l’intelligence. Nous l’avons vu ensuite (chapitre VI) à propos de la droite elle-même, dont la construction implique des opérations proprement dites. Les parallèles (chapitre XI) nous sont apparues comme organisées opératoirement à un moment où leur estimation perceptive demeure encore bien défectueuse, cette organisation opératoire rejaillissant sur la perception et la corrigeant après avoir été seulement préparée par elle. L’analyse de la construction des angles, des similitudes et des proportions (chapitre XII) nous a montré ensuite combien les « transpositions » [p. 495] perceptives restent grossières, tant qu’elles ne sont pas affinées par une mise en relation intellectuelle. Quant au « cadre » même de l’espace perceptif, les expériences de Wursten sur l’appréciation des inclinaisons et surtout sur l’estimation des longueurs des droites inclinées montrent à l’évidence, comme nous y avons déjà souvent insisté, combien l’espace perceptif des petits, avant 8-9 ans, est peu structuré du point de vue des coordonnées rectangulaires : d’une part, en effet, les petits évaluent beaucoup moins bien que les grands les inclinaisons elles-mêmes, faute de savoir se servir des systèmes de référence qui leur fourniraient l’ensemble des parallèles et des angles nécessaires à cette appréciation ; mais, d’autre part, ils estiment avec une précision bien supérieure à celle des grands (et même des adultes) les longueurs des droites inclinées en tous sens, précisément parce qu’ils ne tiennent pas compte des inclinaisons et ne situent pas ces droites inclinées en un système bien structuré, qui gênerait la comparaison de leurs longueurs par rapport aux verticales. Or, il est extrêmement frappant de constater que c’est justement vers 9 ans que se présente le sommet de la courbe ascendante de la coordination du champ perceptif, de même que c’est vers 9 ans que nous trouvons l’achèvement de la construction des verticales et des horizontales à titre d’axes de coordonnées possibles.

Cette coïncidence entre la coordination perceptive et l’organisation intellectuelle des coordonnées soulève naturellement un problème causal : est-ce le progrès perceptif qui est cause du progrès intellectuel ou l’inverse ? Or, en premier lieu, on ne comprendrait pas pourquoi un progrès purement perceptif serait si tardif. Au contraire, on comprend bien le rôle possible de l’intelligence, qui consiste à mettre en relations durables (selon des distances spatio-temporelles toujours plus grandes) les champs perceptifs entre eux, et non pas seulement à intervenir à l’intérieur de chacun de ces champs successifs : d’où une orientation possible de l’activité perceptive par un mécanisme opératoire, qui impose la considération des directions virtuelles et non pas seulement actuelles. En second lieu on comprend bien pourquoi ce progrès intellectuel est tardif : il suppose, comme nous l’avons vu, non seulement l’achèvement des opérations d’ordre (et non pas simplement de l’intuition de l’ordre), puisque les coordonnées sont des multiplications logiques entre relations d’ordre selon deux ou trois dimensions. Mais encore il suppose l’achèvement et la réunion en un seul tout opératoire de toutes les notions propres à l’espace euclidien : droite, distance et mesure, parallèles et angles.

[p. 496] En conclusion, contrairement aux relations topologiques, qui demeurent intérieures à chaque objet ou à chaque configuration, les relations euclidiennes, qui trouvent leur achèvement dans la construction des systèmes de coordonnées, sont avant tout des rapports établis entre les objets et entre les figures (tout en rejaillissant naturellement à l’intérieur de celles-ci), en tant que situant les uns et les autres en un système d’ensemble structuré à titre de système total. C’est pourquoi la construction des systèmes naturels de coordonnées (horizontale et verticale) est contemporain de la coordination des perspectives, c’est-à-dire des rapports projectifs constituant également des systèmes d’ensemble reliant entre eux les objets ou les figures. Mais l’espace projectif constitue essentiellement une coordination des points de vue, réels ou possibles, en même temps que des figures considérées comme relatives à ces points de vue, tandis que les coordonnées, qui expriment la structure de l’espace euclidien, constituent une coordination des objets envisagés en eux-mêmes dans leurs placements et leurs déplacements objectifs, ainsi que dans leurs relations métriques. L’âge moyen de 9 ans, situé au milieu du stade des opérations concrètes, marque donc un tournant décisif dans la construction de l’espace : celui de l’achèvement de l’ossature propre aux systèmes d’ensemble euclidien et projectif. Il est intéressant de noter que c’est également celui où se termine la construction de ce grand système d’ensemble qu’est le temps ou coordination des mouvements et de leurs vitesses.