Chapitre III.
L’ordre linéaire et l’ordre cyclique ^{1 a} 🔗

L’analyse qui suit porte sur cinq questions principales :

I. Reproduire un ordre linéaire direct. On donne au sujet un modèle consistant par exemple en 7 ou 9 perles de couleurs distinctes, enfilées sur une tige rigide et l’enfant doit en enfiler un autre jeu dans le même ordre sur une autre tige rigide. On s’assure au préalable que le sujet sait reconnaître les couleurs en lui faisant associer les perles de mêmes couleurs ; on se sert de préférence de grosses perles en bois de manipulation facile et l’on offre naturellement à choix plus de perles de teintes variées qu’il n’y en a sur le modèle, pour que la reproduction des derniers éléments ne soit pas simplement déterminée par l’absence de choix possible.

[p. 104] On présente, d’autre part, deux « cordes à lessive » (deux ficelles) suspendues l’une à quelques cm au-dessus de l’autre. Des petites pièces de linges (7 à 9 imitées en papier) sont alignées sur la première et le sujet, après les avoir dénommées (en les associant directement, par recouvrement, avant la suspension : « donne-moi une même robe rouge », etc.), doit aligner les pièces correspondantes dans le même ordre (avec de nouveau plus d’objets à choix qu’il n’y en a sur la corde modèle). On demande de constituer cette correspondance ordonnée soit en regard du modèle (chaque linge étant placé en dessous de son double) soit avec un décalage de quelques éléments pour que la correspondance ne découle pas simplement de la configuration perceptive.

On peut, de même, faire imiter un ordre cyclique en faisant correspondre des perles de couleur, à enfiler le long d’un cordon métallique souple (ou d’un fil solide), en regard d’un collier disposé en cercle sur la table.

II. Traduction de l’ordre cyclique en ordre linéaire simple : faire correspondre aux 7 à 9 perles d’un collier, des perles de mêmes couleurs variées à enfiler le long d’une tige rectiligne rigide.

III. Établir l’ordre inverse : copier dans l’ordre inverse les perles alignées le long d’une tige rigide. On fait exécuter cette correspondance inverse juste au-dessous et en regard du modèle. On choisira un nombre impair d’éléments, par exemple ABCDE de façon à ce que l’objet placé au milieu de la suite inverse EDCBA, soit C, se trouve en regard des mêmes éléments dans l’ordre direct. De même on fera construire un collier dans l’ordre inverse de celui du modèle. Et surtout on fera ranger les vêtements de la lessive dans l’ordre inverse au-dessous du modèle donné dans l’ordre direct.

IV. Ordre d’empilement direct ou inverse : mettre en pile les linges de la lessive dans deux corbeilles en prenant les objets soit de gauche à droite, soit de droite à gauche, et prévoir l’ordre de succession.

V. Copier un collier disposé en 8 (fig. 10), soit sur un fil souple permettant de l’ordonner aussi en 8, soit sur une tige rectiligne rigide (quelques fois avec perles serrées quand le modèle est composé de perles espacées). Nous rencontrons avec cette dernière question certains problèmes que nous retrouverons à propos des nœuds, mais avec « séparation » des éléments discontinus, tandis que les nœuds du chapitre IV porteront sur des objets continus.

[p. 105] Les réactions à ces quelques questions permettent de distinguer trois stades (sans compter le stade 0, caractérisé par l’absence de toutes correspondance même par ressemblance et indépendamment de l’ordre) : celui des correspondances intuitives simples, limitées à la correspondance des objets sans ordre ; celui de l’ordre linéaire direct (et non cyclique) puis, des intuitions articulées permettant de faire correspondre un ordre cyclique à un ordre linéaire et de trouver par tâtonnement l’ordre inverse ; et celui des correspondances opératoires avec inversions systématiques faciles.

Le stade I peut être subdivisé en deux sous-stades. Au niveau I A l’enfant, invité à reproduire un collier de perles dans l’ordre donné ou à suspendre une lessive dans le même ordre que le modèle, se borne à établir une correspondance par ressemblance d’éléments : il place les mêmes objets (mêmes couleurs de perles, mêmes vêtements, etc.), mais sans respecter l’ordre de placement. Ce sous-stade I A s’étend de 3 à 4 ans environ. Auparavant (stade 0) l’enfant de 2 à 3 ans place dans n’importe quel ordre n’importe quels objets sans se soucier de copier le modèle. Au niveau I B, il parvient à construire des couples selon le principe du voisinage, mais non à les coordonner entre eux.

Au cours du stade II (de 4 à 6 ans), la correspondance d’ordre devient possible. Durant un sous-stade II A elle ne l’est encore que si les objets peuvent être mis en regard les uns des autres et l’on observe de nombreux contrôles perceptifs que soulignent la nécessité de cette condition limitative. Par contre, dès que le dispositif ne permet plus une correspondance visuelle, le sujet perd toute possibilité de reproduire l’ordre. De plus, on n’observe à ce niveau aucune compréhension de la relation « entre ». Au cours du sous-stade II B, par contre, on observe une plus grande mobilité dans les correspondances d’ordre, celles-ci devenant possibles sans identité de configuration perceptive entre le modèle et la copie. C’est ainsi que l’ordre cyclique peut être traduit en ordre linéaire, mais sans que l’ordre inverse puisse encore être construit. À un niveau intermédiaire entre II B et III, enfin, l’ordre inverse se constitue par tâtonnements successifs, mais sans sûreté et sans que des configurations plus complexes, telles que le 8, donnent lieu à une correspondance exacte.

À partir de 6 à 7 ans, on peut parler d’un stade III de caractère opératoire, l’ordre inverse étant d’emblée construit par une réversibilité de la pensée et non plus seulement par tâtonnements semi-moteurs semi-intellectuels. La traduction du 8 [p. 106] en ordre linéaire et celle des rangées à intervalles espacés constitue une légère difficulté en plus, mais trop rapidement surmontée pour qu’il soit nécessaire de distinguer deux sous-stades à cet égard.

Au total l’évolution des correspondances d’ordre montre une évolution très continue, à partir des ressemblances simplement perceptives jusqu’à l’opération d’ordonner en sens direct ou inverse, et cela par l’intermédiaire de coordinations motrices de divers niveaux et de la représentation intuitive élémentaire ou articulée.

Les sujets de 2 à 3 ans que nous avons priés de copier une suite d’objets ordonnés se sont révélés incapables de comprendre cette consigne : ils ont placé n’importe comment des objets choisis au hasard, sans s’occuper de chercher ceux qui étaient pareils à ceux du modèle. Il y a là un comportement négatif comparable aux gribouillages sans essai de copie, qui préludent au dessin. Il est inutile de citer des exemples de ce stade 0, mais voici un cas intermédiaire entre ce niveau et ce sous-stade I A :

Tea (3 ans), pour le collier, ne donne qu’une perle sur deux semblables à celles du modèle. Pour les linges, on commence par faire recouvrir chaque objet (avant la suspension) par son semblable : après la suspension Tea parvient alors à leur faire correspondre sur la corde intérieure des objets pareils, mais sans ordre. On reprend les perles : le résultat est un peu amélioré quant aux ressemblances des couleurs, mais toujours sans ordre.

Tea est donc du stade 0 en ce qui concerne les perles, mais il atteint le niveau I A pour ce qui est des linges suspendus : il retrouve alors les mêmes objets, sans cependant tenir compte d’aucun voisinage, même par couples AB ou BA. Voici un autre exemple de ce sous-stade I A :

Eli (3 ; 7) connaît tous les noms des linges et en suspend lui-même sept l’un à côté de l’autre. Prié de copier son propre modèle sur la corde inférieure et en regard, il replace tous les mêmes éléments (7 sur un choix de 12) mais sans aucun ordre. « C’est tout à fait juste ? — Oui. — Il n’y a rien à changer ? — Non. — La robe est à côté de la chemise sur cette corde (modèle) ? — Oui. — Et ici ? — Non. — Etc. — Alors essaie de faire comme tu as fait ici ». Eli recommence, mais à nouveau sans ordre. Un seul voisinage est respecté, mais fortuitement car il ne parvient pas à en retrouver d’autres.

[p. 107] Perles : exactement les mêmes éléments, mais à nouveau sans ordre. « C’est juste ? — Oui. — Pourquoi ? — La bleue est ici et la bleue là, etc. ». Aucun voisinage correct à la seconde copie.

De trois et demi à quatre ans, on observe, par contre, un comportement caractéristique d’un niveau I B et qui est au point de départ des correspondances conduisant à l’ordre : le sujet place dans sa copie les mêmes objets que sur le modèle, également sans ordre général mais avec quelques essais d’ordre partiel, par couples ou petites suites incoordonnées entre elles. En d’autres termes, le sujet place les objets en ligne, conformément à la configuration d’ensemble du modèle, mais en ne réussissant à déterminer les voisinages que par couples d’éléments et sans s’occuper du sens selon lequel deux termes A et B sont voisins (AB ou BA) ni surtout le conserver lorsqu’il ajoute un couple à un second (ABCD ou CD AB etc.) :

Syl (3 ; 6) suspend elle-même les linges sur la corde les uns à côté des autres, dans un ordre que nous appellerons ABCDEFG. Priée de faire la même chose sur l’autre corde, elle reprend exactement les mêmes objets (7 sur 12 à choix) mais les met sans aucun ordre et se déclare satisfaite. Comme on lui demande si la copie est entièrement exacte, elle découvre alors que la robe verte D et le bas rouge E qui sont voisins sur le modèle ne le sont pas sur la copie. Priée de corriger sa copie sur une troisième corde, elle pose alors ED et non pas DE. Puis, constatant que B et C sont voisins, elle met BC après DE. On lui demande si le bas E est à côté de la chemise C sur le modèle : elle met alors C à côté de D, d’où DCEB, etc.

Alignement de perles : Syl prend à nouveau les mêmes éléments mais dans un ordre quelconque : « C’est pareil maintenant ? — Oui. — Pourquoi ? — Parce que. — Mais explique-moi un peu plus. — Là il y en a une comme ça (rose) et là aussi. Là il y a celle-là et là encore la même, etc. (correspondance par ressemblance des couleurs, mais indépendante de l’ordre). — C’est tout à fait juste ? — Oui. — Et la rose est à côté de laquelle ? — De la verte. — Et sur ton aiguille ? — Non ». On lui fait recommencer : la copie est à nouveau sans ordre général, mais avec quelques voisinages exacts : EF pour EF, mais CB pour BC, etc., par couples sans aucune coordination de ceux-ci entre eux.

Jac (4 ; 0) marque une légère avance en donnant dès la première copie un couple exact et en corrigeant peu à peu le reste, mais sans parvenir à la solution juste. Les linges suspendus dans l’ordre ABC… G donnent d’abord la copie AEDBFG (avec oubli d’un élément). « C’est tout à fait la même chose ? — Oui. — Qu’est-ce qu’il y a à côté du pantalon ? — La chaussette (ajoute C). — Et à côté de la chaussette ? — Une robe jaune. — Alors arrange encore tout la même chose. — (Pose ABDECFG avec donc les [p. 108] couples extrêmes corrects ainsi que le couple DE). — Et la jaquette bleue (D) elle est à sa place ? — (Pose ABCEDFG). — Maintenant le vent a soufflé ; la dame veut mettre sa lessive autour d’elle (on place A… G en un cercle, G se trouvant donc voisin de A). Veux-tu faire la même chose ? — (Pose ACFBDEG) ». Avec les perles l’ordre cyclique n’est pas mieux reproduit, pas plus que n’est réussie la traduction du cyclique en rectiligne.

Ordre inverse : « Tu vois on met le dernier d’abord G et tu vas continuer comme ça (démonstration par gestes) ». Jac pose GFB CDEA, puis met F entre E et A.

Hen (4 ; 0) copie le modèle des linges suspendus A … G dans l’ordre ABC + EFG + D puis le corrige en ABCD + GFE puis en AEBGCDF et ABGECDF, ce mélange croissant étant dû au désir de corriger terme à terme les séries primitives de 3 ou 4 éléments (on remarque l’inversion GFE dans la seconde suite). — L’ordre cyclique A … GA donne AH (non représenté dans le modèle) FGECDB puis AHFEDGCB. — L’ordre inverse donne CDGEFA. L’ordre cyclique n’est pas mieux traduit en ordre linéaire.

Ces réactions élémentaires nous font comprendre les conditions psychologiques de la construction d’un ordre. Pour qu’il ait reproduction exacte de l’ordre donné en une suite d’éléments voisins, il s’agit d’abord de conserver les voisinages. La correspondance des ordres suppose, en effet, que deux éléments A, B, voisins sur le modèle le soient encore sur la copie : donc A₂B₂ ou B₂A₂. Dans le cas d’un troisième objet C₁, le modèle donne le voisinage C₁D₁ d’où une copie C₂D₂ ou D₂C₂. Mais dans le modèle A₁B₁C₁ l’élément C₁ est voisin de B₁ et non pas de A₁, ce qui exclut les copies B₂A₂C₂ ou A₂C₂B₂ et autorise A₂B₂C₂ ou C₂B₂A₂. Bref, la coordination des voisinages conduit à elle seule à déterminer un sens constant de placement, soit direct soit inverse, ce qui introduit la notion de deux seuls sens possibles de parcours. La notion d’ordre suppose en outre que le voisinage soit conçu comme relatif, c’est-à-dire indépendant de la valeur des intervalles et notamment de la proximité perceptive : par exemple en la suite linéaire A… B… C, l’élément B sera toujours plus voisin de A que C, quels que soient les termes intercalés entre eux (et à ne considérer que cette suite, indépendamment de la forme qu’elle pourra prendre dans l’espace euclidien). Quant au sens de parcours lui-même, par exemple entre deux éléments AB, il n’est conditionné, si l’on fait abstraction des notions projectives (de gauche et de droite par rapport au corps du sujet, etc. ainsi que des systèmes euclidiens de coordonnées) que par le sens de l’énumération AB ou BA effectuée par le sujet lui-même. La nécessité de cette énumération orientée dans un sens ou dans l’autre [p. 109] rend indispensable la séparation préalable des éléments à ordonner. Au total, l’ordre suppose ainsi le voisinage, la séparation et un sens constant de parcours.

Or, dans le cas des sujets cités, on constate d’abord l’apparition d’une condition préliminaire, qui fait défaut à 2-3 ans : la capacité de reproduire un modèle en retrouvant les mêmes éléments grâce aux ressemblances qualitatives (couleurs, etc.). Par contre, ce qui manque, au moins au point de départ (I A), c’est l’imitation des voisinages, c’est-à-dire la conservation du rapport de proximité donné dans le modèle. C’est ainsi que le sujet Eli, qui a retrouvé tous les éléments perçus sur le modèle, les place en complet désordre, puis, rendu attentif au fait que la robe n’est pas « à côté » de la chemise, etc., ne parvient pas davantage à conserver les voisinages au cours de sa seconde copie. Au niveau I B Syl commence de même, mais découvre spontanément qu’elle n’a pas mis l’un à côté de l’autre les éléments D et E : elle construit alors les couples ED et BC mais sans les coordonner, etc. Jac parvient d’emblée spontanément à construire un couple exact, mais ne réussit pas non plus la coordination des couples successifs. Hen, enfin, réussit des séries de trois (ABC et EFG) et même de quatre éléments, mais s’embrouille en voulant ordonner ces ensembles entre eux et finit par détruire leur ordre intérieur lui-même.

À quoi sont dues ces difficultés ? Le problème est le même que dans le dessin des ensembles complexes, tels qu’un bonhomme, etc. Nous avons vu au chapitre II que, sitôt capable d’abstraire une forme fermée, mais encore inapte à rendre la différence entre les carrés ou triangles et les cercles, le sujet réussit déjà à dessiner un petit cercle près de la frontière d’une surface quelconque (soit à l’extérieur soit à l’intérieur soit même à cheval sur cette frontière) : l’enfant possède ainsi, à ce stade I B, une représentation correcte du voisinage pour des figures ou couples simples, mais, lorsqu’il s’agit de représenter un bonhomme, il attachera encore longtemps les bras à la tête, etc., sans aucun souci des voisinages exacts (incapacité synthétique). Dans ces deux cas du dessin ou de l’ordre on peut donc attribuer à l’incapacité synthétique les raisons suivantes : si le voisinage est le rapport spatial le plus primitif, il suffit cependant que l’analyse des éléments voisins les sépare, soit afin de les représenter au moyen du dessin, soit afin de les reproduire en un ensemble correspondant, pour que cette séparation altère les voisinages mêmes, en rendant nécessaires la reconstruction de ces rapports initiaux dissociés en cours de route. La synthèse du voisinage et de la séparation supposera alors le [p. 110] choix d’un ordre de succession constant dans l’analyse ou l’énumération, mais cette constance ne peut précisément être obtenue que par la coordination des voisinages entre éléments séparés. Il y a donc cercle.

En effet, le grand intérêt de ces réactions du sous-stade I B est de nous montrer que le sujet ne saurait parvenir à suivre un ordre constant de parcours dans ses correspondances, qu’en s’appuyant sur la coordination des voisinages eux-mêmes, faute d’autres critères. Il n’est pas question pour l’enfant, tout d’abord, de situer les éléments en fonction d’un système de coordonnées, puisqu’il ne parvient même pas à l’ordre linéaire et ne sait encore composer entre elles ni distances ni longueurs. Quant aux notions projectives de la gauche et de la droite, on constate que, lorsqu’il reproduit un couple isolé, il le place aussi bien dans l’ordre AB que BA, faute de juger de leur orientation. M^lle Descœudres a montré, par les tests de loto de Decroly, que des images des sabots ne sont orientées sur la gauche ou la droite qu’à 5 ans 6 mois en moyenne et que des drapeaux à situer selon les quatre rapports à gauche ou à droite et en haut ou en bas, ne sont ainsi orientés qu’à 6 ans ², etc. Indépendamment de tout jugement verbal portant sur la gauche et la droite, ce ne sont donc pas ces rapports qui vont permettre le choix d’un sens de parcours constant.

Pour construire l’ordre, le sujet en est donc réduit à procéder par couples et à les coordonner les uns aux autres selon la méthode décrite au début de cette discussion. Mais, pour parvenir à cette coordination, encore faut-il que l’enfant s’en tienne lui-même à un ordre de succession gauche → droite ou droite → gauche et nous voyons le plus avancé des sujets de ce niveau Hen, pour coordonner ABCD à EFG, aboutir d’abord à ABCD + GFE par inversion involontaire de la succession, puis tout embrouiller quand il cherche à déplacer le terme final E. Pour ordonner les couples les uns par rapport aux autres, il faut donc que le sujet parvienne à une coordination motrice suffisante, lui permettant de conserver son propre sens de parcours, mais, pour parvenir à cette coordination, il faut qu’il procède de proche en proche et s’appuie ainsi sur la coordination externe des voisinages et des couples. C’est ce cercle qui, demeurant vicieux au présent niveau, fait obstacle à la découverte de l’ordre général, tandis que la difficulté sera surmontée au niveau suivant par l’articulation d’ensemble du voisinage, [p. 111] de la séparation et du sens de parcours, chacun de ces trois rapports s’appuyant sur les deux autres.

L’enfant de 4 à 5 ans parvient à l’ordre dans le cas où il peut sans cesse le contrôler en mettant en regard les éléments du modèle et ceux d’une copie exécutée directement en dessous, mais il échoue dès qu’il s’agit d’un ordre inverse, ou direct et cyclique, ou même dès que la copie d’une série rectiligne est demandée avec un léger décalage de côté :

Mon (4 ; 9) copie sur une tige rigide une suite de perles présentées de la même manière. Il commence, comme au stade I, par chercher les mêmes perles, mais sans se soucier de l’ordre, puis il rapproche sa tige de celle du modèle et constate que les perles de même couleur ne sont pas en regard les unes des autres. Il recommence, en vérifiant chaque élément successivement, par application nouvelle de la copie sur le modèle.

Par contre un collier (ordre cyclique) à copier sur une tige rigide rectiligne donne lieu à une reproduction complète quant aux éléments choisis, mais sans ordre. Mon essaie de comparer par superposition, mais n’y parvient pas. On ouvre alors le collier modèle pour le disposer en ligne droite, et Mon reconnaît ses erreurs. On remet le collier en cercle et Mon recommence : l’ordre est à nouveau absent, sauf deux couples BC et FE, le second inversé. En ligne droite, mais avec décalage (modèle en dessus et un peu à gauche), les premiers termes ABC sont corrects, mais la suite ne respecte pas les voisinages sauf un couple renversé.

Nouvel essai avec ordre cyclique et retour de la même couleur tous les deux termes (ABACAD) : « Où regardes-tu, sur ce collier pour savoir où tu en es ? — Un bleu (B), puis après un jaune (A). C’est un peu dur ! Encore un jaune (A) puis un vert (C) » : les trois éléments BAC sont réussis, mais ensuite Mon pose AAD. On aligne parallèlement : juste d’emblée.

De nouveau en collier : mêmes difficultés. On cherche à lui faire pointer du doigt les éléments correspondants : un doigt sur la tige et l’autre sur le collier. « Laquelle est entre la verte et la bleue ? — (Les énumère toutes, sans comprendre) ». Ne parvient pas à suivre l’ordre sur le cercle, tout en le suivant sur la droite, faute de coordination tactilo-motrice et visuelle.

On lui demande de reconnaître deux colliers de même ordre direct parmi trois dont un en ordre inverse (avec naturellement les mêmes éléments et les mêmes voisinages dans les trois) : il échoue, les trouvant les trois pareils, faute de coordination visuo-motrice dans la comparaison.

[p. 112]Pel (4 ; 7). Perles à enfiler sur des types rectilignes : au premier essai toutes les couleurs y sont mais pas l’ordre, sauf quelques couples orientés dans les deux sens et incoordonnés. En rapprochant la copie du modèle, Pel constate ses erreurs puis recommence et réussit par superpositions. L’ordre cyclique à traduire sur une tige droite donne lieu à un échec complet.

La correspondance ordonnée directe des linges sur les deux cordes à lessive est réussie du premier coup lorsque la seconde est située sous la première. Échec lorsqu’il y a décalage de côté. L’ordre inverse est également manqué.

On demande à Pel de désigner sur un collier de perles (en ordre direct) « entre quelle couleur et quelle couleur se trouve la rouge (B) ? » Il désigne alors toutes les autres couleurs, sans comprendre.

Lil (5 ; 4). Lessive à suspendre. On essaie d’emblée avec décalage sur la droite : Lil réussit AB mais ne peut continuer. On met la corde inférieure sous la corde supérieure : réussite de l’ordre avec oubli du 6^e élément (sur 7), puis correction en suivant du doigt terme à terme. Nouveaux essais avec décalage de la seconde corde du côté droit : d’abord ADCE, puis repousse E sur la droite et donne ABCFE. Lil enlève B et fait ADCFE puis dit « Ah non, ça va à côté » et permute en EF. Nouvel essai : ADBCFEG puis ADBCEFG : « Qu’est-ce qu’il y a à côté de (A) ? — Ah oui, la chemise (donne enfin ABCDEFG) ».

« Voilà. Maintenant la dame met sa lessive en rond. Tu vas faire la même chose. » Lil réussit à copier le cercle, mais sans suivre l’ordre : elle pose A à l’un des pôles puis DE à l’autre pôle, puis C avant D et G à côté de A, F entre E et G et B entre A et C, d’où une reproduction entièrement correcte. On prie alors Lil de copier le même cercle (et dans le même sens) mais en intervertissant les pôles, pour voir si Lil saura le reproduire en suivant l’ordre lui-même, et non plus en sautant d’un pôle à l’autre comme précédemment : Lil place d’abord BAE, qui recommence en sens inverse : ABGCE (en sautant donc d’un côté à l’autre du modèle), puis commence en cercle et continue en suivant la tangente : ABGFCED. « Mais il faut mettre ta lessive en rond » : Lil pose (mais à nouveau en suivant l’ordre inverse) : ABFCEDG et, après une série de corrections faites sur suggestions, parvient à l’ordre exact, mais inversé et rétablissant les pôles primitifs. Un collier à copier en ligne droite donne lieu à une suite de couples incoordonnés entre eux : BADCFE (aucune traduction possible du cyclique en linéaire simple).

Fran (5 ; 6) réussit immédiatement la correspondance des linges sur les deux cordes en regard. Réussit de même à les reproduire en ordre circulaire, mais lorsqu’on intervertit les pôles il procède par couples incoordonnés : ABGFEDC corrigé en ABCD EFG par suggestions successives de l’expérimentateur. Un nouvel essai (éléments changés) donne GFCAD puis ABFCED puis ABCDGFE.

[p. 113]Ul (5, 8) construit d’emblée l’ordre direct pour 7 perles. Ordre inverse : « Tu peux commencer cette fois de l’autre côté (on montre G à mettre à la place où il vient de débuter par A) ? — J’sais pas comment on y fait. J’peux pas faire ça (il pose GED en sautant F, puis D se trouvant en regard du même D médian sur le modèle). Il y a quelque chose qui m’énerve là (D ! Il recommence alors à G et dit) Il n’y a rien qui m’énerve là (GFE), mais il s’achoppe à nouveau à D). Échoue également à traduire l’ordre cyclique en ordre linéaire.

Il réussit l’ordre direct pour la lessive, puis se met à empiler les linges en les décrochant un à un. On demande alors d’avance : « Le pantalon (médian D) pourrait arriver dessus ? — Non, parce qu’il est à côté de ça (E). — Et celui-là pourrait arriver au-dessus (E) ? — Non… oui, ça pourrait aller ». Ordre inverse : réussit GFE puis s’embrouille à partir de D.

Nous avons constaté, au stade I que, les voisinages une fois disloqués par l’analyse (laquelle provoque une séparation entre les termes), l’introduction d’un sens de parcours constant était nécessaire pour réajuster ces voisinages entre éléments ou couples d’éléments) successifs : chaque couple d’éléments voisins A et B pouvant être orienté en deux sens AB ou BA, CD ou DC, etc., leur coordination suppose, en effet, la distinction entre les deux sens de parcours et la possibilité de conserver chacun d’eux à part. C’est précisément ce que les sujets de ce niveau II A permettent de contrôler de la manière la plus nette, puisqu’ils réussissent à reproduire l’ordre en certaines situations et échouent complètement en d’autres, ce qui rend possible d’isoler les facteurs en jeu et de les étudier séparément.

Tout d’abord, il est bien visible que la découverte propre à ce niveau, c’est-à-dire la reconstruction de l’ordre direct au cas où la copie est effectuée juste en dessous du modèle, est due précisément à la capacité, nouvellement acquise par le sujet, de suivre un ordre constant de parcours. Par exemple, Mon commence (comme au stade I) par placer les mêmes perles que sur le modèle, mais sans se soucier de leur ordre, puis constate spontanément cette absence d’ordre en rapprochant sa tige du modèle : il trouve alors pour son second essai un système qui consiste à vérifier chaque élément successivement par superposition de cet élément sur son correspondant : la constance du sens de parcours est ainsi maintenue automatiquement et permet au sujet de retrouver les voisinages selon une seule et même orientation. Pel emploie le même procédé pour le collier et réussit également à reproduire l’ordre des vêtements suspendus sur une corde à lessive lorsque les éléments [p. 114] de sa copie sont placés exactement en dessous des modèles, à quelques centimètres de distance mais bien en regard. La conservation du sens d’orientation est donc à nouveau assurée par une coordination des mouvements du sujet en fonction d’une configuration perceptive simple.

Mais que l’on complique tant soit peu cette configuration perceptive, en déplaçant par exemple le modèle de côté, de manière à ce que les mouvements nécessaires au sujet pour passer des éléments successifs de ce modèle à ceux de la copie en soient légèrement handicapés, et l’on voit immédiatement réapparaître le système des voisinages par couples, incoordonnés entre eux, comme au niveau I B : Lil donne ainsi une suite telle que ADBCFEG, où l’on retrouve des couples, BC ou FE, mais orientés en sens inverse l’un de l’autre : les voisinages sont donc plus ou moins respectés, mais les couples d’éléments voisins ne peuvent être ajustés les uns aux autres faute de mouvements du sujet assurant un sens unique de parcours, comme ceux que rendait possible la configuration perceptive simple. On voit assez, en un tel cas, l’intervention de deux sortes de facteurs dans la construction de l’ordre, sans parler de la séparation des éléments, nécessaires à leur reproduction successive, c’est-à-dire à leur analyse représentative : d’une part, rétablir les voisinages disloqués par cette séparation, mais d’autre part, choisir un sens de parcours parmi les deux sens possibles AB ou BA, et le maintenir sans oscillation de l’un des sens à l’autre. Or, dès qu’il y a décalage dans l’espace entre la copie et le modèle, c’est ce maintien qui devient difficile, faute de coordination motrice.

La chose est encore plus claire lorsqu’il s’agit soit de reconstruire un ordre cyclique (cercle constitué par les pièces de linge posées sur le sol), de le copier en changeant de pôle le point de départ, ou simplement de traduire l’ordre d’un collier en une suite rectiligne : Mon met ainsi les perles en désordre, puis, grâce au jeu des voisinages, il parvient à effectuer correctement quelques rapprochements de deux ou trois éléments, mais sans coordination du tout. Lil arrive à copier le cercle des linges mais à la condition de ne pas procéder par ordre et en plaçant les objets selon leur position, par rapport aux pôles : sitôt qu’il s’agit de suivre l’ordre en changeant la position du terme initial, ce sujet procède comme au niveau IB pour l’ordre linéaire, en donnant par exemple ABGFCED, c’est-à-dire deux couples en sens inverse l’un de l’autre AB et GF puis un élément isolé C et un nouveau couple inversé ED. Fran réagit de même. Or, on voit en quoi consistent les difficultés spéciales à l’ordre [p. 115] cyclique, difficultés intéressant à la fois la séparation et l’ordre de parcours, et qui ramènent ainsi le sujet aux réactions analogues des petits eu égard à l’ordre linéaire. Du point de vue de la séparation des éléments, le cercle étant une forme fermée et ne comportant pas de points de repère comme le segment de droite avec ses deux extrémités ³, le sujet aura beaucoup plus de peine à séparer par l’analyse tous les éléments sans en oublier un seul. Lorsqu’il s’agit ensuite de reconstituer les voisinages entre les termes ainsi disloqués, le cercle présente en outre cette difficulté particulière que les deux sens de parcours conduisent aux mêmes éléments, et que, en suivant à tour de rôle de haut en bas (ou de bas en haut) les deux côtés du cercle, le sujet intervertit sans s’en douter le sens d’orientation. C’est pourquoi les couples d’éléments voisins qu’il construit sont orientés comme au niveau I B tantôt dans un sens tantôt dans l’autre.

Il est très intéressant, à cet égard, de constater que les cas inférieurs de ce sous-stade II A ne parviennent même ni à suivre du doigt dans l’ordre les perles du collier, en correspondance avec celles de la tige rectiligne, ni à reconnaître du regard si deux colliers circulaires sont pareils quant à l’ordre (Mon) : ni les mouvements des doigts ni ceux de l’œil ne peuvent donc conserver un même sens de parcours dans la comparaison entre un collier et une suite rectiligne, ou entre deux colliers.

Il n’est pas surprenant, en ces conditions, que l’ordre inverse soit impossible à obtenir, même dans les cas de deux cordes à lessive superposées verticalement, parce qu’une fois acquise une opération directe telle que le placement des objets selon un ordre donné, l’opération inverse suppose, au point de vue moteur, une mobilité dépassant de beaucoup les capacités d’un sujet qui éprouve déjà tant de difficultés à coordonner ses mouvements oculaires ou manuels dans le cas de deux figures à suivre selon le même ordre mais non superposées. On comprend ici, de la façon la plus claire, les raisons sensori-motrices de la non-réversibilité de la pensée des petits, cette absence de réversibilité tenant essentiellement à la non-réversibilité initiale de la motricité et de la perception elles-mêmes. Il s’y ajoute, chez le plus avancé des sujets cités, Ul, qui réussit après tâtonnements à inverser les trois premiers termes GFE, qu’une fois parvenu au médian D, correspondant au même médian D de l’ordre direct ABCD…, le sens de parcours inversé se perd à cause des deux possibilités de continuation DCBA ou [p. 116] DEFG : l’identité du médian l’« énerve », et il perd la direction comme un rameur inexpérimenté qui, voulant faire marche arrière, repart en avant tous les quelques coups de rame.

À noter, enfin, l’intéressante difficulté que présente ces sujets du niveau II A de comprendre le sens de l’expression « entre ». Priés d’indiquer « entre » quelles perles (par exemple A et C) se trouve un élément déterminé (B), Mon et Pel se trouvent incapables, pour l’ordre cyclique direct, de répondre autrement qu’en énumérant toutes les autres ⁴. Quant à Ul, il s’imagine qu’en empilant les éléments d’une suite A … G alignés devant lui, le terme E pourrait se trouver au sommet de la pile. Pourtant il a déjà commencé celle-ci et c’est en cours de route qu’il admet ainsi l’arrivée en tête d’un élément situé entre les termes extrêmes.

La correspondance intuitive réussie au niveau II A est rigide et limitée au cas d’une superposition directe entre le modèle et la copie. Au cours des réactions suivantes, l’intuition se manifeste sous une forme plus mobile et parvient à dépasser, sur quelques points, les configurations par contact optique. Ce progrès ne porte tout d’abord que sur les correspondances linéaires avec décalage entre le modèle et la copie ou sur la traduction de l’ordre cyclique en ordre linéaire, sans réussite de l’ordre inverse (linéaire pas plus que cyclique) ni de la traduction du 8 en ordre linéaire :

Joc (4 ; 11) copie exactement une rangée (rectiligne) de huit perles, en suivant chaque perle des yeux sans les toucher ni se tromper une seule fois. Mais pour l’ordre inverse on n’obtient (plusieurs essais) que HABC… Le collier à copier en ligne droite ne présente plus aucune difficulté.

Le 8 : Joc fait le tour de la boucle supérieure de gauche à droite, puis, après le croisement, continue de droite à gauche, sans donc s’occuper de ce croisement.

Lessive (il doit prévoir dans quel ordre les vêtements seront empilés dans les paniers en les prenant dans l’ordre perçu sur la corde) : il échoue d’abord verbalement (les énumère sans ordre), puis, après avoir empilé effectivement les objets dans l’ordre A (dessous) BC… G (dessus), il est prié de les transvaser d’une [p. 117] corbeille à l’autre en mettant G dessous et en continuant dans l’ordre GFE… ; il manque alors toute prévision, croyant par exemple que le terme médian D se trouvera au haut de la pile ; que les éléments supérieurs demeureront dessus (sous le médian) et les éléments inférieurs dessous.

Del (4 ; 10). Collier à transcrire en ordre linéaire : d’emblée juste. Avec intervalles entre les éléments : également juste.

En présence de trois colliers dont l’un est d’ordre inverse, Del les juge pareils sans remarquer l’inversion : « Tu vois cette perle argentée : elle se trouve où ? — À côté de la verte (il montre la verte à droite sur l’un et à gauche sur l’autre) ».

Lessive : ordre direct correct, inverse manqué (couples incoordonnés). Il ne parvient pas à prévoir l’ordre d’empilement, ni inverse ni même direct.

Get (5 ; 4). Ordre linéaire direct mais avec grands intervalles entre les éléments : ACB, puis ABCE, etc. Avec petits intervalles aucune difficulté.

Deux colliers, dont l’un en ordre inverse : ne voit aucune différence : « À côté de la rose ? — La bleue (montre à droite). — Et sur celui-là ? — C’est pareil (montre à gauche) ». On retourne l’un des colliers : ne voit pas la différence (comme dans le cas de l’écriture en miroir).

Lessive : réussit l’ordre direct avec décalage du modèle sur la gauche. L’ordre inverse est réussi jusqu’au médian GFED mais parvenu à D Get est incapable de continuer !

And (5 ; 4) manque également l’ordre inverse (lessive) depuis le médian D, mais traduit correctement en ligne droite l’ordre des perles d’un collier : « C’est pareil ? — Oui (montre avec le doigt chaque correspondance). — Mais (A) est à côté de (G) sur le collier ? — Ah oui (il enlève A pour le mettre en queue d’où BCDEFGA). — Mais (B) est à côté de (A) ? — Ah oui (fait CDEFGAB). — Mais (C) est à côté de (B) ? — Ah oui (il fait DEFGABC). Ah, c’est toujours la même chose ! (il comprend enfin…)

Trois colliers dont un inversé : « C’est pareil, mais celui-là est comme ça et celui-là comme ça (geste de sens inverse) ».

Mon (5 ; 9) réussit d’emblée la traduction de l’ordre cyclique (collier) en rangée rectiligne mais a peine à s’arrêter : il pose AB… FGAB… FGA. Ordre linéaire avec grands intervalles : juste.

Ordre inverse (lessive) : GF puis DE corrigé en ED, puis BC, etc. (retombe sans cesse dans l’ordre direct).

Empilement : parvient, après avoir empilé les trois premiers termes ABC, A étant dessous, à prévoir que G sera le terme supérieur. Mais il ne réussit pas à prévoir le renversement par transvasement dans l’autre panier : on met G au fond du second panier et il ajoute F et E mais ne prévoit pas que A sera le dernier.

Lot (5 ; 10) réussit du premier coup à traduire l’ordre du collier en une droite : « Voilà, c’est tout à fait le même » (il vérifie spontanément en ouvrant le collier et en l’appliquant contre sa rangée).

[p. 118] Ordre inverse (collier) ; commence par ABC… puis essaie plusieurs fois de suite à se corriger GAB, etc. et retombe dans l’ordre direct. Mais lorsqu’on lui aide en posant GFE, Lot continue DCB, seulement ne reconnaît pas la différence entre deux colliers, l’un en ordre direct, l’autre inverse, présentés un peu après.

Lessive : ordre inverse impossible. On pose GF et Lot continue ED et ne sait comment continuer après le médian DE, qui est commun à l’ordre direct et à l’ordre inverse. Il réussit par contre à copier l’ordre cyclique, que l’on pose le linge de départ A à l’un des pôles ou à l’autre.

Ces faits sont très instructifs quant à la psychologie de la représentation intuitive et notamment au rôle de la motricité dans les articulations de l’intuition et dans le développement de la réversibilité. D’une manière générale, on peut dire, en effet, que les réactions de ce niveau marquent un début de mobilité dans les coordinations motrices, et que c’est cette mobilité croissante qui explique à la fois les progrès dans l’abstraction de l’ordre et les quelques annonces d’anticipation intuitive que l’on voit poindre chez certains sujets.

Cette mobilité plus grande se marque tout d’abord dans la copie de l’ordre linéaire direct, qui est réussie du premier coup, même sans superposition ou sans faire correspondre les éléments du doigt (Joc, etc.). Une difficulté intéressante, qui subsiste chez Get, mais est d’emblée surmontée par Del, Mor, etc., tient à la proximité perceptive des éléments : lorsqu’on introduit de grands intervalles entre les éléments, le sujet a plus de peine à conserver leur ordre en rangs serrés. Il est ainsi bien visible que l’ordre dépend, au début, des voisinages absolus (= proximités perceptives) ; c’est seulement au présent niveau que le sujet s’en libère en ne tenant plus compte que des voisinages relatifs et qu’il situe B après A et C après B quelle que soit la valeur des intervalles qui les séparent.

En second lieu, l’ordre cyclique est reproduit correctement, en sens direct, que l’on mette l’élément de départ A au même pôle que sur le modèle ou au pôle opposé (Lot). D’autre part, l’ordre cyclique est traduit en ordre linéaire par tous les sujets sans plus aucune difficulté de construction ⁵. Certains comprennent d’emblée qu’un collier ouvert devient une ligne, qu’il suffit d’étirer pour la rendre droite (Lot), mais il est intéressant de constater que, si cette transformation est comprise, le sujet [p. 119] semble parfois garder quelque résistance à admettre l’idée qu’en ordre linéaire le dernier terme ne peut plus être voisin du premier comme en une suite cyclique. Ainsi Mor ne sait comment s’arrêter dans sa construction et pose ABCDEFGABCDEFGA. D’autres, comme And, dont le cas est particulièrement net, déplace le premier terme pour le mettre après le dernier, puis le second, puis le troisième, jusqu’au moment où il comprend que cela pourrait ainsi continuer sans fin.

Quant à l’ordre d’empilement, la plupart des sujets échouent encore (sauf vers la fin du sous-stade, comme Mor), à résoudre ce problème, qui suppose une rotation de 90°, les rapports gauche-droite étant transformés en rapports dessus-dessous : non seulement l’enfant ne parvient pas à cette traduction, mais encore on voit couramment des sujets supposer que le sommet de la pile sera occupé par un terme situé vers le milieu de la suite horizontale, tel que le médian D lui-même. Il y a là un nouvel exemple de la non-conservation de la relation « entre » avant que les opérations inverses soient construites. Bien entendu, l’empilement en ordre inverse n’est a fortiori pas compris : l’enfant ne réussit pas à saisir qu’en transvasant un à un les linges d’un panier à l’autre, le dessus passe dessous et réciproquement (voir Mor et Joc, qui, après avoir empilé les éléments dans l’ordre ABC … G, s’imaginent que le médian D sera le dernier dans la pile effectuée en ordre inverse).

Si l’ordre cyclique est correctement traduit en ordre linéaire la figure disposée en 8 ne donne pas lieu, par contre, à une telle traduction : les sujets de ce niveau (voir Joc) suivent simplement le pourtour de chaque boucle successivement sans s’occuper du croisement. Nous retrouverons au chapitre II la même difficulté à suivre les demi-enlacements et à distinguer les faux nœuds des nœuds proprement dits.

On constate donc que si la mobilité croissante de l’intuition propre à ce niveau conduit aux articulations nécessaires pour copier l’ordre linéaire avec décalages dans l’espace ou à traduire l’ordre cyclique direct en ordre linéaire, les problèmes de rotation ou de demi-enlacement ne sont pas encore résolus. Le point le plus remarquable à cet égard est la difficulté à reproduire un ordre linéaire ou cyclique dans le sens inverse : Joc donne la rangée HABC … G. Del et And commencent par GH, mais procèdent ensuite par couples incoordonnés, chacun étant placé d’abord en ordre direct. Un grand nombre de sujets parviennent à suivre l’ordre inverse jusqu’au médian, mais celui-ci étant le même dans l’ordre direct et inverse si la suite est impaire, ils sont perdus par cette coïncidence et ne savent [p. 120] plus comment continuer (cf. « l’énervement » de Ul au niveau précédent).

Or, cet échec à l’opération inverse, quoique général aux niveaux intuitifs, est d’autant plus remarquable dans le cas des opérations de placement (d’ordre) que la plupart de ces mêmes sujets sont victimes de la même illusion quasi perceptive qu’au niveau II A : ils ne distinguent pas, en présence de deux ou trois colliers, dont l’un orienté en sens inverse, la différence d’ordre des perles. Ainsi, Del estime les colliers pareils parce que la perle argentée est « à côté de » la verte, sans voir qu’il montre celle-ci tantôt à gauche tantôt à droite. Le sujet Get ne comprend même pas l’inversion quand on retourne le collier pour le remettre en ordre direct. Seul And distingue les sens d’orientation, tous les autres cas examinés demeurant aussi inaptes à cette distinction qu’ils le seront, au chapitre III, à reconnaître parmi les nœuds la différence entre un « trèfle à gauche » et un « trèfle à droite », comme disent les topologistes.

Or, cette illusion ne peut, semble-t-il s’expliquer que par une insuffisance de coordination motrice, le sujet ne parvenant pas encore à exécuter deux sortes de mouvements cycliques de sens inverse assez rapidement l’un après l’autre pour pouvoir les comparer. Notons que cette illusion ne se présente pas sur une suite rectiligne, car, sur une droite, les directions directe et inverse conduisent à deux pôles exactement opposés. Dans le cas des cercles, au contraire, les deux directions ramènent les mêmes éléments et retrouvent le terme d’origine au même point. Il se produit alors un phénomène entièrement analogue à celui qui fait obstacle, au niveau II A encore, à la traduction de l’ordre cyclique en ordre linéaire simple, et qui réapparaît ici lorsqu’il s’agit de comparer deux ordres cycliques inverses l’un et l’autre : pour faire la comparaison, le sujet est obligé de « séparer » d’abord les uns des autres des couples ou de petites suites, puis seulement de réajuster ces suites entre elles selon un ordre contraire de parcours ; mais dans le cas de deux cercles, ce sens de parcours est alors constamment troublé par le fait que, déjà, sur un seul cercle, les deux sens possibles conduisent précisément aux mêmes éléments et que, en comparant deux ordres cycliques inverses l’un de l’autre, cette confusion est renforcée du simple au double. Sautant d’un couple d’éléments à l’autre sur les deux cercles, en suivant tantôt un sens d’orientation, tantôt l’inverse, le sujet voit indifféremment des suites telles que AB ou CB, etc. d’où l’impossibilité de comparer ni de discerner autre chose qu’un ordre unique.

[p. 121] On comprend donc ce qui empêche les mêmes sujets de construire un ordre inverse en présence d’un modèle à ordre direct : il retombe constamment sans s’en douter dans l’ordre direct habituel, de même qu’il confond les deux orientations dans la perception de deux ordres cycliques. Mais on comprend surtout comment les insuffisances de coordination motrices vont se prolonger, ainsi que nous le verrons au cours de tout ce volume, en difficultés à coordonner les points de vue perspectifs (relations de gauche et droite et perspectives en général) et à construire des systèmes de « coordonnées » dans l’espace euclidien (verticale, horizontale et inclinaisons diverses selon des axes à trois dimensions différenciées). À cet égard, les complications de la construction des relations d’ordre sont révélatrices de complications à la fois motrices et intellectuelles de caractère très général et dont un cas particulier bien connu est l’écriture en miroir ⁶.

La leçon de tout cela est l’importance de la motricité et de l’action effective dans l’élaboration de la pensée intuitive et de la représentation spatiale imagée. On se rappelle que la construction initiale de l’ordre (passage des niveaux I A à I B et à II A) suppose déjà une coordination des mouvements oculaires, c’est-à-dire une activité perceptive à la fois sensorielle et motrice en dehors de laquelle l’ordre ne saurait être perçu, puis une coordination des mouvements de la main (des doigts qui touchent un à un les éléments de la rangée) avec ceux des yeux de manière à renforcer cette activité perceptive par cette manipulation motrice. Ainsi les voisinages donnés par la perception deviennent conciliables avec les séparations introduites par l’analyse nécessaire à la reconstruction, cette conciliation étant assurée par le choix d’un même sens d’orientation maintenu par voie motrice au cours de l’action. Mais, au niveau II A cette synthèse ne suffit pas à assurer la correspondance entre un ordre cyclique et un ordre linéaire, puisqu’il s’agit là de deux formes perceptives distinctes : le problème est résolu en II B par une articulation des intuitions précédentes due à nouveau à l’action : action d’ouvrir le collier et de le déplier en ligne droite. C’est ce mouvement, intériorisé en une imitation imagée (cf. Lot) qui marque le début des anticipations et reconstitutions intuitives, dépassant le champ de la perception actuelle. Mais à cela se borne la découverte propre au [p. 122] niveau II B : lorsqu’il s’agit de distinguer les deux sens de parcours de trois colliers nous venons de constater l’échec dû au défaut de coordination visuo-motrice ou tactilo-motrice suffisante ; lorsqu’il s’agit surtout d’inverser un ordre linéaire ou un ordre cyclique donnés, la motricité, qui est en son essence irréversible, échoue à résoudre le problème. Pour rendre possible cette inversion et la réversibilité en général, il faudra que la motricité et l’activité perceptive, rendues toujours plus mobiles par leur développement même, se prolongent en anticipations et reconstitutions imitatives plus poussées. C’est ce que nous allons voir au niveau de transition suivant, en attendant que cette réversibilité représentative naissante s’intègre, par une sorte de rejaillissement, la motricité qui a conduit à une telle élaboration des opérations et qui, une fois soumise à leur mécanisme, devient apte à travailler dans les deux sens successivement.

Ce n’est qu’au stade III que le problème de l’ordre inverse sera résolu d’un seul coup : à un niveau intermédiaire entre II B et III il ne l’est encore que progressivement, par régulations intuitives. Certaines questions voisines ne le sont même en général pas du tout, telle que celle de l’ordre cyclique direct, mais disposé selon la forme perceptive d’un 8 (qui est homéomorphe au cercle, mais présente un demi-enlacement). Voici quelques-uns de ces cas de transition, à commencer par un sujet appartenant encore presque au niveau IIB :

Mar (4 ; 10 avancée) réussit l’ordre linéaire simple avec décalages spatiaux, puis avec éléments espacés, et parvient sans difficulté à la traduire en ordre cyclique. Elle réussit ensuite, avec une ou deux inversions corrigées après coup, à inverser l’ordre cyclique ainsi qu’une rangée droite de 7 éléments. Par contre, la traduction de l’ordre cyclique en ordre linéaire compte encore une inversion de sens à la fin (GF). C’est le seul cas où cette dernière épreuve semble un peu plus difficile que celle de l’ordre inverse.

Dup (5 ; 1 avancé) aligne les linges de la lessive sur une première corde. « Maintenant la dame veut les mettre, mais en commençant par l’autre côté. Tu vois ici (sous le A du modèle) elle veut mettre la robe verte (G). Qu’est-ce qui vient ensuite ? — (met F, puis CDFG). — Essaie encore. — (Ne réussit pas mieux GFCDEAB.) »

Par contre les réactions au collier sont supérieures. On montre d’abord trois colliers pareils dont un en ordre inverse : « Ils sont [p. 123] pareils ? — Oui (montre les voisinages justes sur les deux d’ordre direct). — Et celui-là ? — … — À côté de l’argentée, c’est quoi ? La bleue. — Et ici ? — C’est pas du même côté ». Après quoi Dup reproduit correctement le collier en ordre linéaire. « Maintenant tu vas faire pareil mais en le tournant de l’autre côté. — (Suit du doigt élément par élément et réussit juste.) »

Un 8 de neuf éléments à traduire en ordre linéaire : suit le pourtour sans s’occuper du croisement. « Et maintenant on va le remettre en rond, comme tu l’as vu avant. Ça fera juste sur ton aiguille ? — Oui. — (On fait vérifier : Dup est étonné des inversions partielles.) — Et maintenant on le remet en 8. Comment feras-tu ? — Je remettrai pareil (échec). »

Syl (5 ; 4) copie d’emblée juste un premier collier. On lui en montre trois dont un inverse : constate d’emblée la différence d’ordre en l’indiquant du doigt et en mettant le collier inverse à côté de l’autre. « Tu peux me copier le collier sur cette aiguille droite ? — (Le réussit sans faute, mais en ordre inverse sans s’en douter). — Et maintenant comme ça (geste), à l’envers ? — (Le copie en sens direct de nouveau sans s’en douter mais le retourne spontanément pour avoir l’ordre inverse !) Lessive de six éléments à inverser : trouve FECDB, puis corrige en FCDEB puis enfin en FECDBA.

Hof (5 ; 6). Lessive de sept éléments à inverser : pose GFEDBCA puis suit du doigt en découvre la faute BC, mais ne peut pas intervertir sans recommencer le tout.

« On va mettre les linges dans le panier en commençant par (G). Qu’est-ce qui sera au milieu ? — … — Et au-dessus ? — (A). Bien. Et au milieu ? — (Pointe un à un du doigt.) Le bas (D). — C’est juste. Maintenant si on retourne le panier dans celui-là, qu’est-ce qui sera en haut ? — (G). — Et au fond ? — (A). — Et au milieu ? — (D) ». Donc inversion correcte.

Trois colliers dont un inverse : les croit un moment pareils, puis découvre l’inversion en suivant du doigt. Retourne alors spontanément le collier renversé, pour retrouver l’ordre direct.

Glo (5 ; 10). Lessive à inverser : commence juste GFED, mais arrivé au médian D, veut continuer en ordre direct, EF, puis constatant FEDEF se corrige en DCBA. Pour l’empilement Glo prévoit que si A est au fond G sera au-dessus, et inversement : « Si on retourne le panier ? — (A) tout dessous et (G) dessus. — Pourquoi ? — Parce que vous avez tourné ! — Et ça (D) ? — Au milieu. — Et si on tourne ? — De nouveau au milieu. Ça reste la même chose ».

Cha (6 ; 4) réussit correctement la traduction de l’ordre cyclique (collier) en une suite rectiligne et obtient sans trop de peine l’inverse d’un ordre linéaire simple. Par contre, il échoue à résoudre la question habituellement résolue au niveau II B, de l’ordre cyclique direct à copier en changeant de position (de pôle) l’élément de départ : après avoir reproduit correctement en cercle 7 linges selon la configuration perceptive on lui demande de recommencer [p. 124] en mettant A non pas au pôle supérieur du cercle mais au pôle inférieur (ou côté du sujet) ; Cha pose alors ABCD correctement, mais ne peut continuer, puis recommence en ABEDCFG et, après une série de tâtonnements, est obligé de remettre le tout selon la configuration du modèle.

Fin (6 ; 4). Lessive : ordre direct juste mais, pour l’ordre inverse, pose AGFEDEF en s’accrochant au médian D, puis corrige et aboutit à la série entière. Distingue le collier inverse parmi les trois : « Celui-là est à l’envers ». Quant au collier en 8 il néglige le croisement : lorsqu’on le remet en cercle il constate la différence entre sa copie et le modèle et essaie alors de mettre le sien en 8 comme l’autre : « Voilà, c’est comme ça. Ah non, il y a ça qui n’est pas juste (montre un segment) ». Mais il n’en réussit pas davantage à l’essai suivant.

Kos (6 ; 5) inverse un collier sur une tige : GFEDBC, puis il met A avant G : « C’est ça ? — Ah non (le remet après B sans comprendre que cela reviendra au même quand on fermera son collier). — Comment peux-tu voir si c’est juste ? — (Il retourne d’emblée correctement sa tige) ».

Le 8 : manque le croisement, mais, après qu’on ait remis le modèle en cercle, il se corrige.

On constate ainsi que ces sujets, parvenus aux articulations les plus mobiles du stade II et, par conséquent, au seuil des opérations du stade III, n’aboutissent à l’inversion du modèle donné qu’au prix de grandes difficultés et après de nombreux tâtonnements ou régulations intuitives.

Chose curieuse, il semble que parfois (par exemple Dup) l’ordre inverse soit plus facile à réaliser pour une suite cyclique que pour une suite rectiligne, malgré les difficultés antérieures plus grandes que présentait la copie de l’ordre cyclique. Le phénomène n’est pas général, puisque Cha, par exemple, échoue encore à reproduire un ordre cyclique lorsqu’on intervertit les pôles (la position de l’élément de départ). Mais lorsqu’il se produit on peut l’expliquer à nouveau pour des raisons motrices. Les mouvements correspondant aux deux sens de parcours du cercle sont moins différents quant à leur direction que ceux d’une droite : les premiers convergent tandis que les seconds divergent toujours davantage. On peut donc admettre qu’une fois en voie de différenciation ces deux mouvements inverses s’appellent l’un l’autre, dans le cas du cercle plus facilement que dans celui de la droite. Le cas de Syl est curieux à cet égard : ce sujet copie l’ordre direct en ordre inverse sans s’en douter, mais fait ensuite le contraire lorsqu’on lui demande l’ordre inverse et agit enfin presqu’opératoirement en retournant cette suite directe pour avoir l’inverse ! On assiste [p. 125] ainsi au passage spontané de la différenciation progressive des deux mouvements à la compréhension de l’inversion. Notons, en outre, que presque tous les sujets de ce niveau distinguent perceptivement les colliers de sens direct et inverse, contrairement aux réactions du sous-stade II B (voir Dup, Syl et Hof).

Quant à l’ordre linéaire inverse, il est réussi par les sujets de ce niveau, mais avec tâtonnements ou après l’entraînement provoqué par les questions antérieures. On ne saurait donc encore parler d’opération réversible comme ce sera le cas lorsque la solution sera immédiate et reliée à l’ensemble des opérations du système. Il est intéressant, à cet égard, d’observer l’enfant lorsqu’il travaille à construire cet ordre inverse : c’est en touchant élément après élément par des mouvements contraires des deux mains qu’il passe du dernier terme du modèle au premier de la copie, et ainsi de suite. Or, malgré cet adjuvant moteur, il s’achoppe à nombre d’obstacles tout en comprenant bien le sens général de l’effet à obtenir ⁷ : en particulier l’élément médian, point de croisement entre le parcours direct et le parcours inverse (le médian en ordre direct étant en regard du médian en ordre inverse pour les suites impaires) est encore occasion à de nombreux rebroussements, corrigés ensuite avec peine ; d’autres fois un couple est brusquement remis en ordre direct dans une série inverse, etc.

Par contre, l’empilement donne lieu à des intuitions presqu’immédiatement exactes : non seulement l’enfant comprend bien que le dessus devient dessous et réciproquement selon que l’on construit la pile en prenant dans un sens ou dans un autre les linges alignés sur la corde, mais encore il découvre l’invariance du terme médian qui reste toujours « entre » les extrêmes (cf. Les Notions de mouvements et de vitesse chez l’enfant, chapitre I).

Vers 6 à 7 ans, en moyenne, l’enfant atteint ce que l’on peut considérer comme l’état d’équilibre des intuitions précédemment construites en ce qui concerne l’ordre direct et l’ordre inverse : il les conçoit enfin comme ne faisant plus qu’un et parvient alors à reconstruire la série aussi facilement dans un sens que dans l’autre. Au niveau précédent déjà, on voyait parfois le sujet, pour retrouver l’ordre direct, retourner [p. 126] sa tige, sur laquelle il avait plus ou moins laborieusement établi l’ordre inverse, mais il ne s’agissait là que d’une intuition globale n’excluant pas les erreurs de détail. Dorénavant cette articulation se retrouve en chacun des mouvements et cette réversibilité générale transforme ainsi l’action intuitive en opération. Voici d’abord quelques sujets parvenus à ce niveau III pour l’ordre inverse mais qui éprouvent encore quelque résistance pour l’ordre cyclique avec semi-enveloppement (8) avant de trouver la solution exacte :

Rys (6 ; 6) après avoir aligné les éléments sur la corde à lessive : « Tu veux faire le contraire de ce que tu as fait là-haut et commencer par ici (G) ? — (Il s’exécute sans hésiter). C’est juste la même chose, c’est les mêmes. — Pourquoi ? — J’ai pas commencé pareil, mais comme ça (mouvement du doigt dans les deux sens). C’est aussi amusant que la récréation. — Et si tu fais le contraire de ça (inverse de l’inverse). Ce sera comme ça (montre l’ordre direct) ⁸ ». Pour l’empilement, Rys prévoit correctement, dans les deux sens de construction, le dessus, le dessous et le milieu.

Collier à traduire en ligne droite : juste. « Pourquoi la jaune (la dernière) n’est pas à côté de celle-ci (première) ? — Si c’était courbé en cercle ça serait comme ça, mais ici pas ».

Trois colliers dont un en sens inverse : « C’est les mêmes (il remarque bien l’ordre inverse mais le retourne aussitôt pour montrer qu’il revient alors à l’ordre direct) ». Ordre inverse à construire en ligne : aucune difficulté. Par contre, lorsque l’on retourne en ordre direct sa copie inverse et qu’on la dispose en un 8 il se laisse d’abord prendre par le demi-enlacement : « Ah non. C’est faux ! (Il le déplie, compare, puis le remet en 8). Non, c’est quand même la même chose ». Il comprend donc après tâtonnement.

Lonz (6 ; 6) : inversion immédiate, mais, pour le 8, il construit deux ordres cycliques séparés avant de comprendre par la manipulation le rapport de demi-enlacement.

Pis (6 ; 10) : mêmes réactions pour l’inversion. Commence par suivre le pourtour du 8 puis s’écrie : « Ah je me suis trompé, parce qu’il était croisé et j’ai continué ».

Voici maintenant des sujets qui réussissent d’emblée le 8 en plus de l’inversion des ordres linéaires et cycliques :

Lep (6 ; 10) inverse sans difficulté un collier, une ligne de linges et leur empilement. Pour le collier en 8 il suit l’ordre exact en tenant compte du croisement « parce que ça passe là-dessus ».

[p. 127]Gra (7 ; 5). Trois colliers dont un inverse : « C’est les mêmes perles, mais pas enfilées la même chose. Là c’est la blanche puis la rose. Ici je dois retourner en arrière pour la rose. — Et si tu le copies en allant comme ça (indication de l’ordre) ? — Ça fera comme l’autre ».

Le collier en 8 est copié sur une ligne droite en tenant compte du croisement, puis relié en cercle et tordu en 8 spontanément.

Telles sont les réactions obtenues en moyenne dès 6 ans à 7 ans (nous avons même vu une petite fille de 5 ans moins quelques jours réussir du premier coup à inverser le collier, la lessive alignée et à copier le collier en 8 dans le bon ordre en suivant au préalable le trajet du doigt). On constate qu’elles se distinguent de celles du niveau précédent : bien que le résultat final de l’inversion soit le même, il n’est pas indifférent, en effet, qu’il soit obtenu par tâtonnements successifs ou par solution immédiate, parce que dans le premier cas la représentation ne dirige pas encore entièrement la motricité et se borne à la précéder quelque peu après en avoir subi les avatars, tandis que dans le second cas la réversibilité simple, atteinte sur le plan de la pensée, rejaillit sur l’activité motrice en l’orientant.

La principale conclusion à tirer de l’étude que nous achevons avec l’examen de ce troisième stade, est la différence essentielle qui oppose à la simple perception de l’ordre la représentation du même ordre, c’est-à-dire sa reproduction par le moyen de l’intuition imagée ou d’une imitation matérielle correspondant au modèle perçu. La perception de l’ordre implique, en effet, simplement celle des voisinages, la séparation des éléments voisins et un sens de parcours dans la centration successive des éléments ainsi séparés ⁹. Or, la représentation ou reproduction de l’ordre ne procède pas autrement. Seulement tant l’image mentale, sur laquelle s’appuie l’intuition, que la reproduction matérielle de l’ordre au moyen d’éléments correspondants sont l’un et l’autre comparables à une imitation ou à un dessin, avec tout ce que cela comporte (nous l’avons vu au chapitre II) de décomposition du modèle en vue de la mise en correspondance et de recomposition à distance. Aussi bien, les voisinages perceptifs sont-ils loin de suffire à la construction d’un ordre représentatif, car une séparation des éléments est nécessaire à la fois à leur transport mental entre le modèle et la copie imitative et à l’analyse préalable indispensable à ce [p. 128] transport même (puisqu’il s’effectue élément après élément, ou couple après couple, etc.). Cette séparation ayant pour effet de disloquer les voisinages perceptifs, il s’agit donc de les reconstituer. Or, c’est ici, comme nous l’avons vu sans cesse, qu’intervient le sens de parcours ou d’orientation, qui doit être maintenu constant au cours des transports mêmes et les diriger de manière à conserver ou à rétablir les voisinages disloqués par eux. Comment donc cette permanence du sens d’orientation est-elle assurée ?

Nous l’avons constaté : de la fin du stade I jusqu’au stade III inclusivement, c’est l’action sous sa forme la plus effective et la plus motrice, qui est chargée de cette mission et qui assure ainsi l’élaboration de l’intuition et des opérations elles-mêmes. C’est d’abord, au niveau II A, l’action de parcourir et de transporter de proche en proche les éléments séparés jusqu’à reconstituer un ordre linéaire simple. Puis, au niveau II B c’est l’action consistant à modifier l’ordre perceptif (par exemple cyclique) jusqu’à le réduire également à un ordre linéaire simple. C’est ensuite au niveau de transition II B à III l’apprentissage des mêmes actions, mais déroulées selon le sens d’orientation inverse. Enfin, au stade III, une fois ces anticipations et reconstitutions suffisamment articulées, c’est le groupement de ces actions sous la forme d’une coordination mobile et rapide, leur composition réversible les transformant ainsi en opérations.

Pas plus que les rapports topologiques élémentaires de voisinage, séparation, etc. que nous avons étudiés à propos de la stéréognosie et du dessin, la représentation de l’ordre ne résulte ainsi d’une simple abstraction à partir de l’objet : c’est de la coordination croissante des actions consistant à suivre, à déplacer (transporter mentalement) et à replacer de proche en proche, que l’ordre est abstrait. L’ordre est donc le produit d’une reconstruction de l’objet parle moyen des actions ordonnées, et non pas une qualité directement extraite de l’objet comme tel, dont l’ordre physique est simplement reconstitué grâce à une accommodation de ces actions qui sont à la source de l’ordre géométrique.