Chapitre VI.
La droite projective et la perspective ^{1 a} 🔗

On dispose d’une table carrée (ou rectangulaire) et d’une table ronde, ainsi que d’un certain nombre d’allumettes dont chacune est plantée (par la tête) en une rondelle de pâte à modeler lui servant de support. On explique au sujet que ces allumettes verticales représentent des poteaux et qu’il va s’agir de les planter pour construire une ligne téléphonique bien droite le long d’une route elle aussi parfaitement droite. On commence par situer le premier et le dernier poteau (à 20, 30 ou 40 cm l’un de l’autre, selon les cas) à égale distance de l’un des bords de la table carrée, de façon à ce que le sujet, en intercalant les autres poteaux entre ces extrêmes, construise une droite parallèle au bord de la table. On ne fait naturellement aucune allusion à ce parallélisme, mais l’expérience montre que, sans le dire, le sujet se réfère effectivement à cette droite perceptive constituée par le bord de la table et qu’elle lui facilite grandement les choses. Cette première construction achevée, on place les deux poteaux extrêmes de façon à éviter cette fois tout parallélisme et toute diagonale, l’un près de l’un des côtés de la table et [p. 187]

[p. 188] l’autre le long du côté adjacent, la droite demandée formant donc un angle quelconque par rapport à chacun de ces deux côtés.

De même, on place les deux poteaux extrêmes en deux points de la table ronde, de façon à ce que la droite à construire suive soit l’un des diamètres, ou une corde simple, soit, au contraire, un trajet quelconque sans appui perceptif bien structuré.

D’autre part, et cela de préférence sur la table ronde, on présente à l’enfant une suite de poteaux déjà posés, mais selon une ligne peu droite (légère courbure ou zigzags, etc.), en priant le sujet de la rectifier. On lui demande alors où il lui faut se placer pour juger au mieux si la ligne est bien droite ou pas. Si l’enfant ne découvre pas tout seul la conduite de la visée, c’est-à-dire, s’il ne se met pas spontanément dans le prolongement de la série des poteaux pour les mieux aligner, on le place en différentes situations (de côté, dans le prolongement, c’est-à-dire de « bout », etc.) en le questionnant sur les avantages on inconvénients de ces diverses positions.

Les stades obtenus au moyen de ces quelques questions se sont trouvés les suivants (voir fig. 18). Au cours du stade I (avant 4 ans) l’enfant n’est pas plus capable de construire une droite même parallèle au bord de la table, qu’il n’est capable de dessiner les droites dont est fait un carré ou un triangle donné en modèle. Au cours du stade II (de 4 à 7 ans environ) le sujet construit avec plus ou moins d’aisance la ligne droite parallèle au bord de la table, mais il échoue à la reproduire lorsque la ligne fait un angle avec le côté le plus voisin de la table : durant le sous-stade II A (jusque vers 6 ans) il y a même impossibilité pour l’enfant, à se libérer des suggestions perceptives exercées par les bords, tandis qu’au niveau II B, il y a libération progressive au cours d’essais caractérisés en particulier par le rôle du geste. À partir du stade III (dès 7 ans, avec quelque cas plus précoces) la droite est construite en n’importe quelle position par rapport à la table et le sujet l’obtient par le moyen de « visées » spontanées en se situant dans le prolongement des poteaux à aligner.

Il est utile d’analyser d’un peu près les réactions du stade I, bien qu’elles soient parallèles à celles du même niveau révélées par l’étude du dessin (chapitre II) ou de la stéréognosie (chapitre [p. 189] I) ; plus clairement encore que ces réactions graphiques ou stéréognostiques, elles témoignent de la différence considérable séparant la représentation d’une droite de la perception de cette même droite toute construite, ainsi que du primat de la ligne topologique sur la droite projective ou euclidienne lors des débuts de la représentation. Les sujets du stade I, tout en percevant fort bien une droite et en la distinguant perceptivement d’une courbe, ne parviennent cependant pas à construire une droite, même parallèle à un modèle rectiligne (tel que le bord de la table) et ne réussissent leur construction que si elle est effectuée directement sur le modèle perceptif :

Alb (2 ; 6) est prié d’aligner les arbres (allumettes plantées dans des disques de pâte à modeler, appelés aussi des « enfants qui se donnent la main », etc.) en une « ligne bien faite » sur le bord même de la table (non pas parallèlement au bord, mais sur la frontière) : il y parvient sans peine. De même on lui dessine une droite sur laquelle il pose successivement huit allumettes sans difficulté. Mais lorsqu’il s’agit de refaire la même droite parallèlement au bord de la table (à 10-15 cm) il échoue complètement et se borne à juxtaposer les éléments selon le voisinage le plus, grand possible, aboutissant ainsi à une ligne ordonnée, mais ondulante, et non pas à une droite. On met alors à 2-3 cm du bord de la table et à une vingtaine de cm l’un de l’autre les deux éléments extrêmes en priant Alb d’aligner les autres entre deux, parallèlement à la ligne de ce bord de table : Alb met deux éléments à la suite du premier, puis deux autres près du dernier, mais il ne parvient pas à placer les deux restants dans l’alignement entre les premiers et les derniers, aboutissant ainsi à une ligne sinueuse et non parallèle au côté de la table.

Au point de vue du dessin, Alb en est au gribouillage et ne sait copier ni un cercle (sous forme de figure fermée) ni un carré. Il parvient cependant à poser les allumettes le long d’un cercle dessiné d’avance aussi bien que le long d’une droite.

Mic (2 ; 9) parvient de même à poser les allumettes dressées le long d’un cercle ou d’une droite dessinés d’avance ou encore sur le bord même de la table, mais à quelques cm déjà il ne réussit plus à faire une droite parallèle à ce bord, pas plus que sur le linoléum du plancher sans appui ni obstacle perceptif : il pose les éléments aussi serrés que possible en aboutissant à des lignes sinueuses.

Dessins du cercle et du carré semblables : griffonnages vaguement fermés.

Pau (3 ; 9) dessine un cercle sous une forme vaguement fermée et un carré d’une façon analogue mais contenant des angles et quelques segments de lignes isolables. Il manque également le dessin d’une droite simple. Il ne comprend pas (pas plus d’ailleurs que les sujets précédents) le mot « droite » dans l’expression « une route droite », etc. mais comprend ce qu’on lui veut lorsque l’on [p. 190] compare les allumettes à des enfants qui font une « ronde » ou se mettent « en ligne ». Pour la « ronde » il parvient à ordonner sept allumettes en une forme fermée (à 4-5 cm d’intervalles). Pour la ligne (à construire également par terre, sans appui ni obstacle perceptif), il serre les éléments autant que possible et aboutit à un arc de cercle. On essaie de les lui faire espacer (« ils se donnent la main comme ça, ils ne sont pas si serrés », etc.), mais il ne parvient pas à en construire une ligne même quelconque à éléments espacés.

« Maintenant fais un mur de là à là (on pose les extrêmes). — (Pau serre les éléments près de l’un de l’autre extrême, en ligne, mais ne parvient pas à joindre les deux segments). — Alors fais-le le long de la table (à 2-3 cm du bord, les extrêmes posés à nouveau d’avance). — (Pau aboutit à un arc de cercle) ». Plusieurs essais successifs au bord de la table donnent le même résultat que chez Alb et Mic : la droite est réussie sur la ligne même du bord, mais elle ne l’est déjà plus à 2-3 cm de distance, le parallélisme ne suffisant pas à guider la représentation. En outre, plus les éléments sont espacés, plus la ligne est irrégulière.

Il y a en outre échec complet lorsque les extrêmes sont posés de façon à ce que la droite à construire coupe un angle de la table. Mais, chose curieuse, on s’aperçoit alors que Pau, sans construire une droite parallèle au bord de la table, ne parvient cependant pas à abandonner la région voisine de ce bord, la suggestion perceptive constituée par la ligne du bord ne suffisant donc à permettre la construction d’une droite, mais s’opposant cependant à la représentation d’une ligne coupant le coin de la table.

Dan (4 ; 0) fait la transition entre le niveau des cas précédents (cas francs du stade I) et le niveau II A : il sait déjà dessiner des cercles et des carrés et parvient à construire une ligne presque parallèle au bord de la table, donc presque droite. Mais il échoue entièrement à réaliser une telle ligne sur un fond neutre (par terre, sans appui ni obstacle perceptif), contrairement aux sujets du niveau II A.

On voit l’intérêt de ces faits. D’une part, ces sujets savent bien reconnaître perceptivement une droite, puisqu’ils distinguent sans difficulté un carré d’un cercle (tout faits) et qu’ils suivent fort bien, en alignant leurs allumettes, une droite dessinée d’avance ou la ligne même du bord de la table. Mais ils n’ont pour autant aucune représentation claire de la droite, en tant que représentation symbolique dépassant le champ perceptif ou susceptible d’orienter une construction nouvelle au sein de ce champ. Verbalement, ils ignorent le mot « droite » et ne connaissent que la « ligne » et, graphiquement, ils ne savent pas dessiner des droites. Mais surtout, dès qu’il s’agit de construire une droite, même parallèle (à 2-3 cm de distance) au bord de la table, ils échouent totalement et se bornent à [p. 191] réaliser une ligne topologique, à éléments successifs très voisins (les notions de voisinage entre éléments séparés et d’ordre étant ainsi appliquées sans difficultés), mais sans rectitude et avec incurvations diverses (ligne sinueuse ou même arc de cercle). En outre, le voisinage semble être indispensable à l’élaboration de cet ordre linéaire, car, sitôt les éléments trop espacés, la ligne devient de plus en plus irrégulière et l’on ne peut plus même parler d’une seule ligne.

En bref, le stade I est bien caractérisé par les deux caractères annoncés : absence de représentation de la droite (malgré sa connaissance perceptive) et primat de la ligne topologique, déjà susceptible de construction ordonnée dans la mesure où les éléments demeurent suffisamment « voisins » les uns des autres.

Quant aux réactions du sous-stade II A, elles sont également d’un vif intérêt : devenu capable de mettre les poteaux en ligne droite sur un fond neutre (avec d’ailleurs quelques difficultés au début (et surtout lorsque cette ligne est parallèle à un bord de table servant d’appui perceptif à la construction, le sujet ne parvient pas à se libérer de la suggestion exercée par ce bord de table lorsque la droite à construire ne lui est plus parallèle :

Ber (4 ; 4) dessine un cercle sous forme d’une figure curviligne fermée, mais ne différencie pas l’un de l’autre le carré et le triangle, représentés tous deux par un trait droit complété par une parabole qui forme avec lui une figure à peu près fermée. Lorsqu’il s’agit de construire une droite sur un fond neutre, il y réussit spontanément lorsque l’on n’en détermine pas d’avance les extrémités et que les éléments sont suffisamment serrés ; lorsqu’au contraire on pose d’avance les deux poteaux extrêmes, Ber construit une droite, mais sans pouvoir y englober ces points limites. On met alors l’enfant à 1 cm d’une boîte (sur le plancher) en lui demandant de la rejoindre : il marche en trajectoire rectiligne, puis pose, à notre demande, un bâton sur ce trajet. Prié ensuite de poser les poteaux le long de cette ligne (le bâton une fois enlevé), il les aligne selon la bonne direction et de façon rectiligne, mais ne parvient pas à les espacer (sa droite ne parcourant ainsi que le quart du trajet). Il parvient ensuite à poser les poteaux sur le bord même de la table, puis parallèlement (à 30 cm) du bord, mais en ce dernier cas il n’arrive pas non plus à espacer les éléments. Quant à une ligne coupant un coin de la table, il échoue complètement et ne parvient à construire que deux droites suivant les deux côtés de l’angle.

Tea (4 ; 6) est prié de « mettre les enfants en ligne droite » sur le plancher : il ne parvient pas à espacer les allumettes, et, même après avoir parcouru le trajet selon la droite, sa ligne devient sinueuse dès que les éléments ne se touchent plus. Il réussit par [p. 192] contre « une ronde ». Il arrive en outre à construire une droite parallèle au bord de la table, mais elle n’est plus rectiligne lorsque les éléments sont serrés. Lorsqu’il s’agit de traverser un coin de la table, il ne peut se détacher des deux bords, et construit une ligne à angle droit, puis en arc de cercle ; on lui demande d’indiquer du doigt le trajet rectiligne, ce qu’il fait bien, mais il remet ensuite les allumettes en arc de cercle. Il en est de même dans un coin de la chambre, sous l’influence des parois à angle droit.

Mar (4 ; 8) : « Tu sais ce que c’est qu’une route toute droite ? Montre comment c’est ? — (Il esquisse une droite d’un geste de la main). — Et une route avec des tournants ? — (Il fait le geste de zigzags). — Les trois poteaux (placés le long de la table à quelques cm de distances mais irrégulièrement), ça fait une droite ? — Non. — Arrange-les (il les met en ligne droite). C’est bien droit comme ça ? — Oui. — On va maintenant les éloigner (on les écarte les uns des autres en altérant quelque peu l’alignement). C’est droit ? — Oui. — Depuis où faut-il regarder pour être sûr que c’est droit ? — (Il ne bouge pas). — Si tu te mets là (face au milieu de la rangée) ? — C’est droit. — Et si tu te mets là (dans le prolongement) ? — C’est pas droit (il les arrange). — Arrange-les maintenant ici, tout droit (parallèlement à un autre côté de la table : il en dispose quatre à peu près droit). C’est sûr que c’est droit ? — Pas tout à fait. — Depuis où vaut-il mieux regarder ? — (Il se place à nouveau de « bout »).

On prie alors Mar d’aligner en « une route toute droite » trois poteaux entre deux éléments extrêmes A et E dont l’un (A) est situé en face du milieu de l’un des côtés de la table carrée et l’autre (E) sur le côté voisin, la ligne à construire n’étant pas parallèle à l’un des bords, mais coupant le coin de la table. Mar pose alors B, C et D parallèlement au premier côté et dans le prolongement de E, le poteau A restant ainsi en dehors de cette droite. « Mais la route doit être droite. Elle fait un tournant ici (AB) ? — Ah oui (il met B entre A et C en ligne droite, mais le segment de droite ABC fait alors un angle avec le segment CDE). — Mais ça tourne ici (C). — Ah oui (il remet B au bord de la table) » ; Mar ne parvient pas à construire sa droite entre A et E : tantôt il remet B dans le prolongement de CDE, tantôt il revient aux deux segments droits ABC et CDE mais il n’arrive pas à déplacer C et D faute de pouvoir se libérer de la suggestion perceptive du bord de la table, bien qu’il n’en ait jamais été question verbalement.

Fran (5 ; 4) arrange de même sans difficulté trois poteaux en ligne droite parallèlement au bord de la table. Il s’en tient à une droite assez approximative, n’estimant pas utile de quitter sa place pour vérifier et ignorant comme Mar la conduite de la « visée » ; mais, en s’appuyant sur le parallélisme perceptif, il parvient néanmoins à une droite acceptable. « Maintenant le bonhomme veut aller de là (A = coin de la table) à là (E = face [p. 193] au milieu de l’un des côtés, mais à 20 cm du bord) sur une route bien droite. — (Fran arrange BCD après A en ligne droite parallèlement au bord, D étant proche de E mais sans que E soit sur la droite). Voilà. — Elle est bien droite, ta route ? Il n’y a pas de tournants ? — Rien qu’un ici (CDE). — Alors enlève-le pour que ça soit bien droit de là (A) à là (E). — (Fran veut déplacer E). — Non celui-là reste où il est. — Alors je peux pas — Essaie. — (Il serre BDC près de A, puis les espace et les met parallèlement au bord, mais dans le prolongement de E, de telle sorte que le segment EDCB est droit mais sans pouvoir englober A). — Il n’y a plus de tournant ? — Oui là (ABC). — Alors enlève-le. — (Il remet BCD dans le prolongement de A en négligeant E). — Regarde comment je fais (on met sous ses yeux les poteaux en ligne droite entre A et E). Ça fait un chemin droit ou pas droit ? — Tout droit. — Pourquoi ne l’as-tu pas fait comme ça ? — Parce que… je ne sais pas pourquoi. — Et si je les remets comme toi (ABCD parallèles au bord de la table et E en dehors de cette droite), il y a un tournant ou pas ? — Il y a un contour. — Alors mets-les comme il faut, tout droit. — (Il les arrange en arc de cercle entre A et E comme si la rangée était attirée par le bord de la table). — C’est juste ? — Non. — Alors mets-les en ligne droite. — (Il refait une parallèle au bord de la table ABCD sans pouvoir atteindre E !) ».

Lil (5 ; 3) fait une rangée droite parallèlement au bord de la table et corrige une suite en zigzags jusqu’à la rendre approximativement rectiligne, mais sans visée. On lui présente une droite toute droite, coupant le coin de la table : « C’est bien droit ? — Oui. — Où voit-on mieux si c’est droit là ou là (dans le prolongement ou de côté) ? — Là (de côté). — Alors mettons-nous à cette table (ronde) et fais-moi une droite entre le poteau et celui-là (A et E à 30 cm de distance). — (Lil intercale B, C et D, mais en suivant le pourtour curviligne de la table). — C’est droit ou c’est rond ? — C’est rond. — Alors essaie de faire droit. — (Lil replace les éléments B, C, D, cette fois un peu plus loin du bord mais avec encore une incurvation sensible). — C’est vraiment droit ? — C’est aussi en rond. — On doit faire une droite. — (Lil recommence). La même chose ! Je peux pas. Il faudrait la mettre là (diamètre de la table ronde : Lil place un élément au centre et construit une droite passant par ce centre). — Mais là (entre A et E : corde coupant le bord) ? — (Refait un arc de cercle). Non, mais c’est rond (vexé)… Ça allait si bien avant, maintenant ça ne va plus ! — Et là-dessus (table carrée) ? — Ça va (droite parallèle au bord). Maintenant c’est droit. — Pourquoi ? — Parce que cette table-là était ronde et celle-là elle, est droite. — Essaie encore sur la ronde. — Non, je ne peux pas ».

Rog (6 ; 0) met trois allumettes en ligne droite à 30 cm de distance les unes des autres, parallèlement au bord de la table. « Et comme ça (on déplace légèrement l’élément médian) ? — Non, c’est pas droit. — Comment vois-tu ? — … — Mets-toi où [p. 194] c’est le mieux pour voir. — (Il reste à sa place et rectifie l’alignement au jugé). — Comment sais-tu que c’est juste ? — J’ai fait une ligne avec le doigt (il a pointé, en effet, de l’index les extrêmes, mais sans système. — Et comme ça (deux poteaux extrêmes situés chacun au milieu de deux côtés adjacents) ? — (Rog pose les éléments intercalaires en suivant les deux côtés, ce qui fait un angle droit). — C’est droit ? — Non. — Alors arrange-les ? — (Il fait plusieurs essais successifs et aboutit à une courbe) ».

Noe (6 ; 6) arrive à la droite sans visée, mais en suivant du doigt, lorsqu’il s’agit de placer les poteaux parallèlement au bord de la table. Lorsque les extrêmes A et E sont l’un (A) au coin de la table et l’autre au milieu d’un côté voisin, mais à 20 cm du bord, Noe construit successivement un segment ABCD proche du côté parallèle, puis un segment BCDE parallèle au même côté, mais à 20 cm du bord, sans réussir à relier A et E par une droite non parallèle au côté ! Après de nombreux encouragements, il parvient à relier A et E par une courbe, à convexité toujours attirée par le même bord de table !

On voit combien sont instructives ces réactions. Sur le terrain de la perception, chacun de ces sujets sait fort bien reconnaître une droite et la distinguer d’une courbe ou d’une ligne brisée. Même lorsque la rangée des poteaux coupe l’un des coins de la table, c’est-à-dire se trouve dans la position où le sujet ne saura précisément pas reconstruire une droite, il perçoit fort bien si cette rangée est rectiligne ou non (cf. Lil). Mais dès qu’il s’agit de représentation, c’est-à-dire dès que l’on demande à l’enfant de construire, en pensée ou effectivement, une droite reliant deux éléments donnés A et E, les difficultés commencent et leur variabilité se trouve révélatrice. Il est un cas où cette difficulté est nulle : c’est lorsque la représentation peut elle-même s’appuyer sur une perception, c’est-à-dire sur un modèle donné dont il ne s’agit alors que de la suivre pas à pas pour orienter la construction. Telle est la situation quand la droite à construire est parallèle au bord d’une table carrée ou rectangulaire : tous les sujets de ce niveau réussissent alors la construction, mais nous ne pouvons cependant naturellement pas parler de pure représentation, puisque celle-ci ne consiste qu’en une sorte d’imitation guidée par une perception. Il est un second cas où la difficulté, quoique un peu plus sensible, demeure surmontable : c’est celui de la droite à construire sur un fond neutre ou à égale distance des côtés de la table. Par exemple, Lil réussit la construction lorsque la droite parcourt le diamètre de la table ronde, sans que la représentation soit alors gênée par les bords circulaires, et c’est également ce qui se passe sur un plateau suffisamment [p. 195] étendu (le plancher de la pièce, par exemple) pour qu’aucun obstacle ne contrecarre la construction. Mais, en un tel cas, la représentation peut également être conçue comme une sorte d’imitation, non plus actuelle mais intériorisée et différée : la droite imaginée reproduit, en effet, simplement les perceptions antérieures des droites connues et ne diffère pas de ce que sont, par exemple, les dessins d’une droite ou d’un carré exécutés de mémoire. Par contre, il est une troisième situation où la difficulté s’avère insurmontable : c’est celle où la droite à imaginer représentativement et à construire effectivement se trouve en conflit avec les droites ou les courbes perçues dans le voisinage, c’est-à-dire sur le « fond » (au sens perceptif du « fond » opposé à la « figure ») constitué par la table. Alors, en effet, la représentation ne consiste plus à imiter simplement me perception actuelle ou antérieure, mais à engendrer des rapports nouveaux au sein d’une configuration ne comportant que des rapports distincts de celui à trouver : une opération projective, fondée sur l’action de viser, ou euclidienne, fondée sur le déplacement, est alors nécessaire pour résoudre la question posée.

Or, l’intérêt des réactions précédentes est précisément de montrer que ces opérations ne sont point encore acquises au niveau considéré, pour des raisons qu’il s’agit de déterminer. Dans le cas des droites parallèles au bord de la table, le sujet se borne à un alignement approximatif, sans visée. Mar, placé successivement à côté ou dans le prolongement de la rangée, témoigne bien d’un contrôle meilleur dans cette seconde situation, comme il est naturel, mais il n’en tire aucun procédé systématique pour la suite et, à eux seuls, aucun de ces sujets ne songe même à se placer dans le prolongement de la droite pour la vérifier, lorsqu’on leur demande de trouver le meilleur point de vue à cet effet. Quant aux mouvements, Rog déclare « faire une ligne avec le doigt », mais il ne s’agit là que d’un mouvement imitatif, et non pas d’un système pour déterminer la plus courte distance ou pour conserver une même direction au cours du déplacement. Aussi bien, lorsqu’il s’agit de construire une droite non parallèle au bord de la table, les mêmes sujets demeurent-ils incapables, faute de visée ou de déplacement ordonné et métrique, de résoudre cette question si simple et cherchent à suppléer à l’opération projective ou euclidienne par un simple appel à la configuration perceptive.

Nous voyons par exemple Mar, pour relier obliquement A à E, commencer par une droite BCDE parallèle au bord, puis, constatant l’angle ABC, changer de place B pour rectifier le segment [p. 196] AC mais sans oser toucher à C et D : d’où deux droites ABC et CDE formant encore un angle. Nous voyons surtout Fran osciller entre les deux droites ABCD et BCDE, toutes deux parallèles au bord de la table mais l’une proche et comprenant A, l’autre plus éloignée et comprenant E : dans le premier cas la solution comporte l’angle CDE et dans la seconde l’angle ABC sans que l’enfant parvienne à se libérer de l’obsession du côté de la table et à relier A et E par une oblique rectiligne ! Ce cas de Fran constitue le comportement le plus habituel des sujets de ce niveau (voir aussi Noe). Or, cette réaction est d’autant plus extraordinaire que, même après nous avoir vu construire la droite AF, Fran n’arrive pas à la reproduire et finit par fournir une courbe à convexité orientée du côté du bord de la table ! Quant à Lil, travaillant sur une table ronde, ce sujet ne parvient pas à se libérer des incurvations et remplace les droites par des arcs de cercle. De même Rog, pour une droite devant couper l’un des coins de la table, suit les deux bords et construit ainsi d’abord une ligne avec angle de 90° et ensuite un arc de cercle.

On dira peut-être que ces faits intéressent la perception seule et non pas les opérations formatrices de la droite : ne parvenant pas à détacher la « figure » à construire au moyen des poteaux du « fond » constitué par la table, le sujet remplace les droites demandées par des lignes parallèles au bord de cette table. Mais il est à noter qu’il ne s’agit pas en ce cas d’illusion perceptive : l’enfant voit bien qu’il n’a pas construit une droite et s’essaie à la reconstituer comme telle, la configuration du fond n’intervenant qu’à titre d’obstacle intellectuel et non pas de facteurs déformant les perceptions elles-mêmes. L’intérêt de ces réactions tient donc bien à leur mécanisme intellectuel : parvenant à imaginer une droite, lorsque le « fond » perceptif en présente de toutes faites, parallèles à celle qu’il s’agit de construire, le sujet n’arrive plus à se représenter l’image d’une droite lorsqu’elle est indépendante de celles du fond perceptif ! Tel est le résultat observé, qui relève ainsi de la construction de l’image intuitive et non pas de la perception elle-même.

Or, ce résultat est extrêmement instructif. Il montre à l’évidence qu’il existe deux sortes de représentations spatiales : l’une, simplement intuitive, n’est qu’une imitation intérieure (image mentale) des données antérieurement perçues et se trouve donc favorisée ou inhibée par les configurations perceptives actuelles, tandis que l’autre (non encore constituée au présent niveau) se fonde sur les opérations et se libère par conséquent de toute configuration perceptive. Il faut ajouter naturellement [p. 197] qu’entre ces deux extrêmes se trouvent tous les intermédiaires, constitués par l’intériorisation des actions qui modifient la perception et dont l’organisation progressive conduit précisément à la formation des opérations.

Le problème qui se pose à propos des échecs initiaux décrits au paragraphe précédent, est de comprendre pourquoi l’opération de la « visée », qui permettrait au sujet de relier les deux poteaux extrêmes au moyen d’une droite en mettant simplement le plus éloigné dans le prolongement visuel du plus rapproché, ne donne pas lieu à une découverte plus précoce. Or, la réponse (comme nous le verrons sans cesse à propos des diverses questions soulevées par la construction de l’espace projectif) est assurément à chercher dans la direction suivante : la découverte d’un point de vue particulier, fût-ce même la prise de conscience du point de vue propre momentanément occupé par le sujet, est bien plus difficile qu’il ne pourrait sembler au premier abord, parce que cette découverte ou cette prise de conscience supposent en réalité la coordination de tous les points de vue possibles. L’opération de la visée n’est donc pas une action simple, mais le produit d’une différenciation et, par conséquent, d’une coordination des divers points de vue en jeu. C’est ce que nous allons voir en étudiant d’abord les réactions intermédiaires du sous-stade IIB puis les réponses justes du niveau III.

Au cours du sous-stade IIB on assiste, en effet, à une différenciation progressive des points de vue, dans le contrôle des droites construites parallèlement au bord de la table, puis, en corrélation avec cette différenciation même, à une libération graduelle de la configuration perceptive dans le cas des droites à construire indépendamment des côtés de la table :

Clau (5 ; 6) : « Tu vas faire une route bien droite avec ces trois poteaux. — (Clau les met droit devant lui, en prenant, mais sans intention, une position de visée, et il construit ainsi sa droite obliquement par rapport au bord de la table sans remarquer ce dernier). — Très bien. Maintenant regarde (on place les trois poteaux parallèlement au bord de la table, mais selon une ligne non entièrement droite). C’est bien droit, comme ça ? — Oui. — Sûr ? — Oui. — Est-ce qu’il y a une place où tu serais mieux, pour voir si c’est bien droit, que là où tu es maintenant ? — … (pas de réponse). — Si tu viens à côté de moi, ici, la route est bien droite ? — Oui. — [p. 198] Et d’un autre endroit ? — (Il tourne autour des trois poteaux et, lorsqu’il les voit de « bout », il s’écrie) Ah non (il les rectifie). — Mets-les à une autre place en ligne droite. — (Il les déplace et les aligne devant lui, sans se soucier du bord de la table). — Très bien. Maintenant je mets ces deux poteaux ici (A au coin de la table et F en face de l’un des côtés adjacents, mais à 30 cm du bord), mets-moi ces quatre poteaux entre deux pour que ça fasse une ligne droite. — (Clan met alors BC dans le prolongement de A, le segment ABC étant parallèle au bord de la table, puis il met D et E dans le même alignement que F le segment DEF étant également parallèle au bord de la table, mais en retrait et sans continuité avec ABC) Non ça ne va pas (il pose alors en une seule ligne BCDEF en négligeant A). — C’est droit ? — Ah non (il pose alors ABCDE parallèlement au bord en négligeant F). — Et maintenant c’est droit ? — Ah non, le contour est là (DEF) cette fois (il replace BCDEF à distance du bord mais parallèlement à lui et néglige A). — Et ça (ABC) ? — Ah oui (il remet ABCDE en négligeant à nouveau F) Ah non (il essaie enfin de relier directement A et F mais aboutit à une ligne sinueuse). — C’est droit ? — Presque. — Où faut-il se mettre pour bien voir si c’est droit ? — Là (il se met dans l’axe, mais sans se livrer à une visée proprement dite). — Alors arrange-les. — (Il refait une suite parallèle au bord de la table ABCD mais met E entre D et F, d’où deux segments droits ABCD et DEF et un angle en D !). — C’est droit ? — Non (il se remet dans l’axe AF et refait une ligne sinueuse entre deux). — (On enlève tout). Montre avec le doigt la route de (A) à (F) ? — (Le montre juste puis met les poteaux à peu près correctement mais sans rectifier au moyen d’une visée intentionnelle) ».

Luc (5 ; 11) débute par la construction d’une droite euclidienne tandis que Clau a spontanément commencé par un procédé projectif ². Tandis que Clau, en effet, a mis d’emblée ses poteaux dans la ligne de son regard, Luc cherche au contraire dès l’abord à leur imprimer une direction constante. On place A et G parallèlement au bord de la table : Luc met alors BCDEF serrés les uns contre les autres, à la suite de A, en les tenant entre les paumes de ses deux mains et en imprimant à ses mains la direction de F. « Il faut les mettre plus écartés, pour qu’il y en ait jusqu’ici (F). — (Luc les espace alors, en les tenant deux par deux entre ses mains orientées vers F et en répétant le procédé de proche en proche pour conserver la direction). — Si tu n’avais que trois allumettes ? — C’est facile (il fait un mouvement de la main de A à F et place une allumette à peu près au milieu sur la trajectoire). — Très bien. Mais es-tu [p. 199] sûr que c’est droit ? Où faut-il te mettre pour voir le mieux si c’est droit ? — (Luc tourne autour de la table sans se décider pour une position particulière). On y voit de partout. — Maintenant je vais planter le premier poteau ici et le dernier là (chacun au milieu de deux côtés adjacents de la table). Tu vas faire entre les deux une route bien droite. — (Il suit les deux bords de la table, d’où une route comprenant un angle de 90°). — Elle est droite ? — Non, il y a un contour. — Alors ? — (Il arrondit légèrement l’angle : d’où un arc de cercle). — C’est droit ? — (Il arrondit encore l’angle). Comment volerait un oiseau de là à là ? — (Montre une droite d’un geste de la main). — Alors mets les poteaux. — (Il les met selon une ligne légèrement incurvée). — C’est droit ? — Oui. — Regarde d’un autre endroit ? — (Il fait le tour et, de « bout », constate) Non, on y voit : celui-ci dépasse un peu (il rectifie). — Maintenant on va essayer sur cette table (ronde). — (Pour deux poteaux situés au bord de la table mais non pas aux deux extrémités d’un diamètre, Luc suit tout l’arc de cercle décrit par le bord, mais s’écrie spontanément). C’est pas droit. Comment faire ? — (On met les deux poteaux aux extrémités d’un diamètre). Et comme ça ? — C’est difficile (trace une ligne du doigt et arrive à faire une droite) ».

Ing (6 ; 1) met trois poteaux en ligne droite : « Mets-les plus loin les uns des autres (il le fait mais la route n’est plus très droite). C’est droit ? — Oui. — Il y a un endroit meilleur que là où tu es pour voir si c’est droit ? — (Il tourne autour de la table et vers 45° de l’axe, dit) Non, ce n’est pas droit. — D’où voit-on le mieux de là (45°) ou de là (prolongement de la rangée) ? — D’ici (45°). — Maintenant j’en mets un ici (A au coin de la table) et l’autre là (G à 20 cm en face du milieu d’un des côtés voisins), mets les poteaux entre deux pour que ça fasse une route bien droite » : il place d’abord BCDEF dans le prolongement de A parallèlement au bord de la table, d’où l’angle EFG, puis met EFG en ligne droite parallèle au bord de la table et laisse ABCD plus près du bord, puis il déplace D pour l’ajouter à EFG, d’où les deux segments ABC et DEFG non continus, puis il place B et C sur une droite oblique entre A et D, d’où deux droites ABCD et DEFG se coupant en D, selon un angle obtus, puis il met E et F dans le prolongement de ABCD et manque ainsi G. Enfin il construit la droite unique ABCDEFG, avec quelques sinuosités de détail. « C’est tout à fait droit ? — Non (il se met spontanément dans l’axe pour vérifier, mais sans visée proprement dite et il rectifie) ».

Mir (6 ; 2) aligne trois poteaux : « C’est sûr que c’est droit ? Tu peux regarder comme tu veux et te lever de ta place si tu veux. — (Mir fait le tour et finalement, dans l’axe de la rangée, dit) : C’est là qu’on est le mieux (les rectifie). — (On les aligne dans une autre direction). Ils sont droits comme ça ? — (Mir va se mettre dans l’axe et les rectifie). — Pourquoi tu te mets là ? — Parce qu’on voit directement comme ça (geste de la main dans le sens de la [p. 200] rangée). — Et avec ça (un poteau près du milieu d’un côté de la table mais à 30 cm à l’intérieur et l’autre au coin voisin) fait une route bien droite. — (Mir construit d’emblée un bel arc de cercle à convexité orientée vers le bord de la table puis regarde et s’écrie) Oh ! Vous voyez : elle fait une courbe, la route ! (Corrige légèrement puis va voir dans l’axe AG). C’est encore courbe (corrige à nouveau et retourne voir dans l’axe). Maintenant je la vois droite ».

Ces réactions intermédiaires nous font assister, comme on le voit, à la genèse de la droite représentative par opposition à la droite perceptive, seule accessible aux sujets du niveau II A. On constate, en effet, que chacun de ces enfants, après avoir présenté les mêmes hésitations qu’en II A lorsque la droite à construire est proche du bord rectiligne de la table sans lui être parallèle, parviennent ensuite à surmonter la difficulté et réussissent la confection de la droite. Comment donc y arrivent-ils ?

Notons d’abord que les méthodes projectives sont loin d’être les seules dont dispose l’enfant pour représenter ou construire une droite, puisqu’il existe au moins trois définitions de la droite relatives à l’espace euclidien et qui correspondent à des actions simples pouvant être directement intuitionnées : le plus court trajet d’un point à un autre (notion qui repose sur un cercle vicieux évident, envisagée axiomatiquement, mais qui exprime précisément l’interdépendance des actions ou opérations de déplacement rectiligne et de mesure), le déplacement conservant sa direction, ou la seule ligne conservant sa forme au cours d’une rotation autour d’un axe constitué par elle-même. Nous retrouverons plus loin cette dernière notion due à Leibniz (voir volume II chapitre X) et dont l’intervention n’est pas possible dans le dispositif utilisé en ce chapitre pour la construction de la droite. De même, la notion (à la fois euclidienne et projective) de la droite conçue comme l’intersection de deux plans ne saurait être invoquée ici et se retrouvera ultérieurement (chapitre IX du présent volume). Il reste donc la droite projective engendrée par la visée (alignement selon la direction du regard) ou conservant sa forme indépendamment des points de vue, et la droite euclidienne déterminée par le déplacement le plus court ou conservant sa direction. Or, les faits nous ont montré que, sitôt dépassé le niveau de la droite perceptive (jusqu’en II A), les constructions projectives et euclidiennes apparaissent simultanément et s’appuient les unes sur les autres.

C’est ainsi que Clau, Ing et Mir, sans employer encore une méthode exacte de visée (comme ce sera le cas au stade III), [p. 201] alignent les objets en fonction de la direction du regard et découvrent donc spontanément la droite projective par l’intervention du « point de vue ». Au contraire Luc (et tous les sujets semblables que nous aurions pu citer) utilise la méthode euclidienne de la conservation de la direction du mouvement. Mais il est clair que ces deux sortes de procédés sont en fait (c’est-à-dire psychologiquement) solidaires : l’alignement visuel invoqué par les premiers de ces sujets s’accompagne fréquemment de mouvements de la main pouvant être substitués à l’ordre perspectif du regard et la direction constante du mouvement invoquée par Luc s’accompagne d’un contrôle visuel de caractère projectif. Nous avons donc là un premier exemple de l’interdépendance des constructions projectives et euclidiennes, et nous retrouverons bien d’autres illustrations de cette corrélation qui s’avère générale.

Or, en nous limitant pour l’instant à l’analyse des notions projectives, comment les sujets cités parviennent-ils à découvrir l’alignement visuel, dont le perfectionnement ultérieur les conduira dès le stade III à la conduite de la « visée » ? C’est, comme nous le disions au commencement de ce paragraphe, par un début de différenciation, et par conséquent de coordination, des points de vue. Les enfants du niveau II A ne se préoccupent encore en aucune manière de l’angle sous lequel ils aperçoivent les rangées de poteaux : ce qui compte, pour eux, c’est la configuration perceptive considérée en elle-même ou plus précisément en tant qu’exprimant les caractères de l’objet comme tel. C’est ce réalisme initial qui explique à la fois l’antériorité de l’espace perceptif sur l’espace représentatif (donc de la droite perceptive sur la représentation de la droite) et la priorité des intuitions topologiques, n’intéressant que l’objet en lui-même, sur les intuitions projectives et euclidiennes supposant la coordination des objets entre eux (y compris le sujet). Or, au présent niveau II B, nous voyons l’enfant, en partant d’une attitude réaliste semblable, découvrir que la vision n’est pas la même des différents points de vue. « On y voit de partout » dit d’abord Luc, tandis qu’ensuite il découvre l’avantage de certaines perspectives sur d’autres, pour contrôler un alignement imparfait. D’où la formule de Mir : dans le prolongement même de la rangée « c’est là qu’on est le mieux… parce qu’on voit directement comme ça ». Autrement dit, il y a découverte de la droite projective lorsque l’enfant comprend que deux points X et Y peuvent être mis en relation avec l’observateur S lui-même par l’intermédiaire de la ligne du regard SXY : la droite représentative diffère ainsi de la droite [p. 202] perceptive (de même que de la ligne topologique quelconque) par la prise de conscience du rôle des points de vue.

C’est pourquoi, lorsqu’il s’agit de construire une droite non parallèle au bord de la table, ces sujets parviennent, après des tâtonnements reproduisant tous les errements du niveau II A, à une solution correcte due précisément à cette différenciation progressive des points de vue. Après s’être achoppé au détail de la configuration perceptive, l’enfant cherche, en effet, à relier directement les termes extrêmes X et Y de la suite des poteaux : or, pour entreprendre cette recherche, il lui faut déjà, en faisant abstraction du fond perceptif, unir X à Y soit par l’intermédiaire d’un mouvement (procédé euclidien supposant l’intervention d’un système virtuel de référence) soit par l’intermédiaire du regard. Dans ce dernier cas, il y a donc forcément différenciation des points de vue et c’est le choix du point de vue SXY qui permettra alors au sujet de rectifier l’alignement projeté.

À partir du stade III (en moyenne vers 7 ans, avec, par conséquent, des cas plus précoces et d’autres plus tardifs) cette différenciation des points de vue est suffisante pour permettre aux sujets des opérations spontanées de visées, consistant à assurer l’alignement des poteaux par leur projection les uns sur les autres, le premier marquant tous les suivants du point de vue de l’observateur :

Wil (5 ; 10) : « Fais une route avec des poteaux rangés bien droits. — (Il les aligne en les tenant deux à deux entre les paumes de ses mains et en conservant la direction, puis se baisse et vise les sommets pour rectifier l’alignement). — Et entre ces deux-là (deux poteaux des deux côtés de l’un des coins de la table) ? — Je dois faire comme ça (il montre du doigt le trajet entre les deux puis pose les poteaux intermédiaires). — Comment vois-tu que c’est droit ? — (Il vise en se baissant) Oui ».

Bur (6 ; 4) aligne une suite de poteaux et vise en mettant son œil à la hauteur des allumettes. « Il regarde si c’est droit ou s’il y a une bosse. — Et d’ici là (coupant le coin de la table) ? — (Il les aligne mais avec une légère incurvation dans la direction du bord puis il vise et dit). Ça fait un rond comme ça (rectifie).

Ton (6 ; 9). « Fais-moi un chemin avec ces trois allumettes. — (Il les pose et vise en se baissant jusqu’au niveau de la table). — Et avec ces sept ? — (Même procédé). Voilà. C’est droit. — On t’a appris à faire comme ça ? — Non. » La ligne oblique par rapport aux bords de la table est d’emblée droite.

Chel (7 ; 7) fait une suite rectiligne de six poteaux et les rectifie au jugé : « Où ça va-t-il le mieux pour voir ? — J’aime mieux être là (dans le prolongement mais sans visée proprement dite). — Et [p. 203] comme ça (oblique par rapport au bord de la table) ? — (Fait d’emblée une ligne droite et rectifie de nouveau sans se pencher). — Et ici où es-tu mieux pour voir ? — Je vois mieux de côté (où il est). — Comme ça (légère incurvation) c’est droit ? — Non, parce que vous avez mis ceux-là un peu de côté. — Fais encore une toi-même (le fait). C’est droit ? — (Se penche d’un côté, puis de l’autre et se met dans le prolongement pour finir). Oui (après correction) ».

Bon (7 ; 9) fait d’emblée une droite entre deux poteaux coupant un coin de la table puis corrige en visant d’un œil : « Comment tu vois si c’est droit ? — Parce que je vise, je regarde d’un œil (geste de la main montrant la longueur de la ligne) ».

Ces réactions, dont les unes témoignent d’une « visée » proprement dite (Wil, Bur, Ton et Bon), et les autres d’un alignement effectué visuellement d’un point de vue déterminé (dans le prolongement de la rangée : Chel) montrent à l’évidence ce qu’est la droite projective : une ligne topologique avec ses caractères d’ordre de succession, etc., mais telle que les éléments soient ordonnés relativement à un « point de vue » et se succèdent ainsi selon le rapport « devant × derrière », le premier des éléments masquant tous les suivants.

Mais la droite projective est encore autre chose : elle est, par opposition aux courbes, l’unique ligne conservant sa forme quel que soit le point de vue perspectif (sa longueur seule se transformant avec, pour limite, la réduction à un point). Or, nous verrons au cours de la section II que c’est précisément à ce même niveau III A que la droite est ainsi différenciée des courbes, lorsque intervient un changement de perspective : au cours des stades I et II, aucune perspective n’étant comprise, les droites et les courbes conservent naturellement leurs formes, mais faute de transformations projectives. Au cours du sous-stade III A, par contre, les cercles et les courbes sont modifiés dans la représentation perspective, tandis que la droite demeure rectiligne indépendamment de ses transformations dimensionnelles. C’est ce que nous allons constater maintenant.

Le problème posé aux sujets consiste à leur faire imaginer sous quelle forme apparente se présentera un objet placé en diverses positions, tel qu’une aiguille (pour la droite), un disque, etc. Deux difficultés techniques se rencontrent alors, l’une étant de bien faire comprendre qu’il s’agit de formes apparentes, donc de perspectives, et non pas de la forme euclidienne de l’objet, et l’autre étant de faire représenter cette forme sans être entravé par les difficultés inhérentes au dessin.

Pour ce qui est du premier point, nous employons tout à tour les deux techniques suivantes. L’une consiste à placer à côté de l’enfant (à 90°) une poupée figurant un bonhomme qui regarde le même objet et à demander de quelle manière le bonhomme voit l’objet. De cette manière une aiguille vue en toute sa longueur par l’enfant sera donc vue de « bout » par le bonhomme, et réciproquement : il en résulte que si l’enfant dessine l’aiguille dans sa longueur, on peut alors préciser qu’il ne s’agit pas de la forme de l’objet tel qu’il la voit, mais tel que le voit le bonhomme, ce qui facilite à la fois la compréhension de la perspective et la schématisation des formes limites (un point pour l’aiguille de bout, etc.) qui sont rarement perçues de façon exacte du point de vue propre. Mais l’intervention d’une poupée, c’est-à-dire d’un observateur autre que l’enfant lui-même, peut par ailleurs compliquer les choses, aussi convient-il d’alterner cette première technique avec une seconde, consistant à changer l’objet de position devant l’enfant lui-même et à lui faire prévoir la forme résultant de nouveaux [p. 205] changements. On fait, par exemple, subir à l’objet une rotation de 90° ou de 180° en faisant imaginer les positions intermédiaires ou, au contraire, on déplace l’objet de façon insensible en demandant la prévision des positions limites, etc.

Quant au mode de représentation de l’objet, il convient aussi d’employer simultanément deux techniques dont chacune a ses avantages et ses inconvénients. L’une est le dessin par l’enfant lui-même, révélateur de bien des idées ou des suppositions inexprimables par le langage seul, mais d’autant plus limité par les difficultés motrices que l’enfant est plus jeune. La seconde consiste à présenter à l’enfant un choix de dessins tout faits, les uns faux et les autres corrects en demandant de trouver celui qui correspond à la position de l’objet (les dessins inexacts sont confectionnés d’après les erreurs typiques du dessin spontané de l’enfant : par exemple des cercles diminuant de diamètre pour représenter la rotation, ou des arcs de cercle non fermés, etc.).

Les objets utilisés ont été avant tout une aiguille (ou un bâton) pour la droite et un disque de bois mince pour le cercle (ou un cercle de métal) ainsi que des ellipses, demi-cercles, etc. Mais, outre ces problèmes de perspective portant sur les diverses formes possibles d’un objet proche, nous avons posé une question relative à l’éloignement. Parmi les déformations perspectives les plus connues de l’enfant figure, en effet, celle de deux parallèles (deux rails rectilignes ou les bords d’une [p. 206] route droite, etc.) qui se rapprochent progressivement avec la distance (« fuyantes »). On peut donc soit faire dessiner à l’enfant de telles structures perspectives, soit lui présenter à choix des dessins tout faits représentant des lignes parallèles ou des fuyantes, et il est facile de l’interroger au sujet de ses dessins ou de ses choix.

Il est à noter, enfin, que, outre les modifications de formes, il convient d’analyser les questions de quantifications. Dans le cas du bâton ou de l’aiguille en rotation, la forme droite se conserve, mais la longueur diminue graduellement. Dans le cas de la voie vue en profondeur ou d’une barrière qui s’éloigne, on demandera à l’enfant de dessiner les travées perpendiculaires aux rails ou les barreaux verticaux se succédant jusqu’à l’horizon : marquera-t-il alors des différences régulières ou simplement des rapetissements quelconques ? C’est le problème de la quantification extensive ou intensive qui peut être abordé ainsi, indépendamment de toute métrique.

Les réponses fournies à ces diverses questions (voir fig. 19 et 20) nous ont permis d’établir les stades que voici, en corrélation avec ceux de la représentation de la droite projective (section I), avec ceux de la projection des ombres (chapitre VII) et de la coordination des perspectives complexes (chapitre VIII).

Le stade I (avant 4 ans), ne comportant pas de dessins adéquats des formes géométriques, n’entre pas en ligne de compte ici, ou plutôt les représentations de la perspective que l’on observe (et qui correspondent à une incompréhension de toute perspective représentative) se retrouvent jusqu’au début du stade II. Le stade II (de 4 à 7 ans en moyenne) est, en effet, caractérisé par l’indifférenciation, totale ou partielle, des points de vue possibles sur l’objet, celui-ci étant représenté en lui-même indépendamment de l’angle sous lequel le perçoit l’observateur.

Au cours d’un sous-stade II A, qui dure jusque vers 5 ans et demi, l’objet est, en effet, représenté en tant que conservant sa forme et ses dimensions quelle que soit la position de l’objet par rapport au sujet. Tout au plus les différentes positions sont-elles marquées par des changements de direction de la figure, mais celle-ci ne change pas en elle-même. En outre, il y a en principe confusion entre le point de vue du bonhomme et celui de l’enfant, mais avec, parfois, variations de direction.

Vers la fin du niveau II A on trouve des cas de transition manifestant une certaine conscience de l’inadéquation du dessin et de la représentation en profondeur. En particulier, pour

[p. 208] la position de « bout » l’enfant ne parvient pas à un dessin adéquat, mais veut mettre sa feuille en profondeur pour imiter la réalité donnée. Parfois aussi le cercle en perspective est déjà figuré par des ronds plus petits, etc.

Au cours d’un sous-stade II B, par contre, on assiste à un début de différenciation des points de vue, qui se reconnaît essentiellement dans la technique des dessins tout faits à choisir, laquelle marque à ce niveau une avance nette sur les dessins dus à l’enfant lui-même. C’est ainsi que les rails sont encore dessinés parallèles, mais donnent lieu au choix des fuyantes. Le cercle en perspective est parfois dessiné plus petit que de face, mais est déjà reconnu comme ellipse. Le bâton de bout est souvent dessiné de même grandeur ou même plus grand que de profil, mais est reconnu à titre de petit cercle, etc.

Avec le stade III (à partir de 7 à 7 ; 6 en moyenne) nous sommes en présence d’une différenciation nette des points de vue, mais s’effectuant en deux étapes, dont l’une (III A) n’intéresse que la forme sans quantification extensive et la seconde (III B vers 8 ; 6 à 9 ans) aboutit à la quantification extensive, et par conséquent à l’achèvement des modifications de forme.

C’est ainsi qu’au cours du sous-stade III A le dessin dû à l’enfant lui-même rejoint les choix opérés sur les dessins tout faits : les rails sont dessinés sous forme de fuyantes, ainsi que les barrières (mais sans diminution régulière de la dimension clés travées ou des barreaux), le bâton de bout est dessiné comme un petit cercle (mais sans que sa rotation donne lieu à la prévision d’une diminution graduelle de la longueur, comme si les étapes successives se présentaient par saccades), etc. Il y a parfois encore refus de se représenter le cercle en perspective comme une simple droite, mais, en gros, les changements de forme sont compris.

Enfin au niveau III B, dont l’âge de 8 ; 6 à 9 ans correspond au « réalisme visuel » du dessin, c’est-à-dire l’intervention systématique de la perspective dans le graphisme spontané de l’enfant, les modifications de forme sont exactement représentées et s’accompagnent de transformations quantitatives adéquates dans le dessin.

Voici d’abord des exemples du sous-stade II A, au cours duquel l’indifférenciation demeure complète quant à la forme et aux [p. 209] dimensions des objets, seuls des changements de direction marquant la diversité des points de vue sur l’objet, en fonction de ses déplacements :

An (5 ; 0) dessine un bâton vertical pour le bâton placé verticalement devant le bonhomme. Pour la position horizontale (toujours devant le bonhomme), An le dessine à nouveau vertical parce que lui-même le voit oblique de sa place, et dit : « Il le voit aussi penché, comme ça (montre son nouveau dessin vertical) : on ne peut pas le faire autrement. » Le crayon étant placé de « bout » ³ face au bonhomme (donc dans la longueur et horizontal pour l’enfant), celui-ci le dessine horizontal et conservant toute sa longueur.

On reprend les mêmes expériences devant l’enfant lui-même. Il dessine le bâton vertical lorsqu’il le voit vertical, horizontal lorsqu’il le voir horizontal, mais à nouveau vertical lorsqu’il le voit « de bout ».

Pour le cercle de face devant le bonhomme An le dessine bien rond. Il fait de même pour le disque vu horizontalement (vu sur la tranche), en disant : « Celui-là est en même temps debout et puis couché ». Ce qui revient sans doute à affirmer qu’un cercle couché est toujours un cercle (la constance de la forme primant la perspective). Pour le cercle vu obliquement il le dessine à nouveau bien rond en disant : « Il est tourné d’un côté, ça fait un peu penché d’un côté ». Pour les mêmes positions de l’objet devant l’enfant lui-même, les dessins continuent de donner invariablement des ronds. Même réaction pour les demi-cercles.

La barrière en profondeur donne un dessin sans perspective, le même que les rails qui demeurent parallèles.

Zum (5 ; 2) dessine verticalement le bâton vu vertical par le bonhomme et horizontalement vu horizontal. Mais il représente de cette dernière manière également le bâton vu de bout. « Regarde lien si c’est comme ça que le bonhomme voit le bâton quand il est comme ça. — Ah non (il le dessine cette fois verticalement) ». On offre alors les dessins tout faits, à choix, toujours pour les positions du bâton vues par le bonhomme. Les positions horizontales et verticales (sans modifications perspectives) sont retrouvées correctement mais, pour la position de « bout », Zum hésite entre les positions horizontale et oblique (mais à longueur complète).

Pour le disque vu de face il dessine un rond correct, mais pour la tranche (vue verticalement), il dessine à nouveau un plein rond : « Attention ! — (Il refait un rond). — Tu vois la même chose comme ça (de face) et comme ça (de tranche) ? — Non. — Pourquoi ? — Je ne sais pas. — Essaie de dessiner. — (À nouveau un rond). — Tiens ces dessins, essaie de retrouver le rond qu’on voit [p. 210] comme ça (face) ? — (Il montre le rond plein). — Et celui qu’on voit comme ça (sur la tranche seule) ? — (Il montre la demi-circonférence). Parce qu’il est comme ça (montre le pourtour du disque) ».

Les rails et la barrière vus en profondeur sont dessinés sous la forme de parallèles et non pas de fuyantes et, dans les dessins tout faits, Zum choisit les parallèles (sauf un choix fortuit de fuyantes, qu’il ne parvient pas à motiver).

Ul (5 ; 2). Bâton vertical et horizontal : juste. De bout : dessiné horizontal avec longueur pleine. Oblique (raccourci par la perspective) : dessine une oblique à longueur entière. Les dessins à choix donnent le même résultat.

Les disques de face et vu sur la tranche donnent tous deux un rond plein. « Regarde bien (de tranche). — Un rond, je vois. — Tu le vois de la même manière qu’avant ? — Oui, la même chose. — Et comme ça (oblique) ? — Encore la même chose (dessine à nouveau un rond plein) ». Dessins à choix : pour le disque vu sur la tranche il choisit d’abord une demi-circonférence, puis le cercle entier.

Rails en profondeur (dessin) : parallèles. Avec choix : idem.

Ger (5 ; 5). Bâtons : mêmes réactions pour le dessin (de bout dessiné verticalement). Dans les dessins tout faits Ger choisit un oblique de longueur entière pour représenter le bâton vu de bout. Cercles : mêmes réactions. Rails et barrière : parallèles. Deux dessins à choix pour les rails (parallèles et fuyantes) donnent une réaction spécialement nette : « Celui-ci est juste (parallèles). Celui-là (fuyantes) n’est pas juste parce que ce n’est pas droit ».

Nic (6 ; 7). Un crayon rouge vertical : « Je vois un crayon (le dessine vertical). — Et comme ça (de pointe) ? — Il le voit autrement (le dessine aussi long mais horizontalement). — Comment il le voit ? — Il voit le rouge au bout. — Et le reste ? — Aussi. — Et comme ça (oblique et raccourci) ? — Il le voit un peu de travers (le dessine penché mais de même longueur). — Il le voit avec la même longueur ? — Oui. — Il ne le voit pas plus long, ou moins long ? — La même chose ».

Et cette montre (de face) ? — Il la voit toute ronde. — Et comme ça (sur la tranche) ? — Il voit pas toute la montre (il dessine de nouveau un cercle, mais interrompu). — Comment tu la vois toi ? — Je vois deux lignes (dessine cependant un demi-cercle) »

Mer (6 ; 0). Rails : parallèles : « Ils sont aussi larges là-bas qu’ici quand on les voit de très loin ? — Ils sont les deux la même chose. — Et une barrière comme ça (on dessine le début) : continue là jusqu’au bout de cette longue route. — (Il continue à même hauteur). — Et à la fin on la voit aussi haute ou moins haute ? — La même chose. — Continue jusque très loin. — (Il continue, mais avec une petite différence qu’il corrige spontanément pour rétablir la même hauteur). Je l’ai dessinée plus petite. — Mais si on regarde une chose de très loin elle a l’air plus grande ou plus petite ? — Plus petite. — Alors dessine cette barrière comme on la voit de très [p. 211] loin ? — (Il maintient la hauteur constante). — Elle semble plus petite ou pas, au bout, là-bas ? — Elle n’est pas plus petite ».

Il n’est pas facile de déterminer au premier abord la vraie nature des difficultés qui empêchent les enfants de ce premier niveau de comprendre la diversité des perspectives possibles sur l’objet, en fonction de ses déplacements. Du point de vue de la perception, ils voient bien — et savent le dire explicitement — que l’objet change d’aspect selon ses rotations. Ainsi Nic affirme d’emblée que le bonhomme, mis en présence du rayon présenté de pointe « le voit autrement », et, mis en présence de la montre vue sur la tranche, ne « voit pas toute la montre ». De même Mer sait parfaitement qu’une chose vue de loin paraît « plus petite », etc. Pourquoi donc ces enfants ne se représentent-ils pas la perspective qu’ils connaissent si bien perceptivement ? Cela ne tient pas aux difficultés techniques du dessin, puisque, à ce niveau, la méthode du choix parmi des dessins tout faits donne exactement le même résultat que la méthode consistant à faire dessiner l’enfant lui-même. C’est ainsi que la demi-circonférence choisie par Zum pour le disque vu sur la tranche, et qui paraît spéciale chez lui à la méthode de choix (puisqu’il dessine le disque couché comme un rond plein), se retrouve chez Nic dans le dessin de l’enfant (celui-ci n’ayant pas été interrogé avec la méthode des choix). Une autre cause est donc à assigner à l’incompréhension de la perspective que la difficulté technique du dessin, et cette autre cause doit être assez générale pour expliquer le dessin sans perspective lui-même, car, dans bien des cas, rien ne serait plus facile à l’enfant de dessiner « ce qu’il voit » par opposition à « ce qu’il sait » de l’objet : un petit cercle pour un crayon ou une aiguille vus de pointe n’est pas plus compliqué à représenter qu’une boîte, et « les deux lignes » dont parle Nic pour décrire une montre vue sur la tranche sont aussi faciles à dessiner qu’un rond entier !

Cette cause tient donc à la différence essentielle qui subsiste entre la perception et la représentation des perspectives. Voir un objet selon une perspective donnée, c’est le regarder d’un certain point de vue, mais d’un point de vue dont il n’est pas nécessaire de prendre conscience pour percevoir exactement. Se représenter par une image mentale ou représenter par le dessin le même objet vu selon la même perspective, c’est au contraire prendre conscience simultanément du point de vue sous lequel il est perçu et des transformations dues à l’intervention de ce point de vue. En opposition avec la perception [p. 212] de la perspective, la représentation de la même perspective implique donc une coordination opératoire, ou tout au moins consciente, entre l’objet et le sujet, en tant que situés tous deux dans un même espace projectif débordant l’objet et comprenant l’observateur comme tel (puisque cet espace englobe le « tableau visuel », comme disent les géomètres, sur lequel l’objet est projeté). Or, l’étude des conduites de « visée » nous a précisément montré (section I) que cette coordination n’est pas encore possible au présent niveau. Bref, c’est faute d’une prise de conscience ou d’une différenciation représentative des points de vue que la perspective n’est pas représentable pour ces sujets, et c’est pourquoi ils s’attachent à l’objet en lui-même, auquel ils prêtent ainsi une sorte de pseudo-constance de la forme en vertu de ce mécanisme courant selon lequel l’inconscience du point de vue subjectif (ignorance propre à l’égocentrisme) engendre de faux-absolus.

Rien n’est plus propre à confirmer cette interprétation, que l’examen des conflits qui se présentent chez certains sujets entre la connaissance perceptive de la perspective et l’incompréhension représentative qui lui correspond à ce niveau. C’est ainsi que de représenter (avec Zum, Ul momentanément, Nic, etc.) le disque vu sur la tranche par une demi-circonférence ou un cercle interrompu, témoigne à l’évidence du fait que ces enfants distinguent perceptivement un disque couché d’un disque vu de face. Mais, sachant donc que perceptivement on voit seulement une partie de l’objet, ils dessinent, pour représenter ce que l’on perçoit selon cette perspective (ou bien ils choisissent parmi les dessins tout faits), non pas justement la figure projective (qui serait une simple barre horizontale), mais une structure exprimant sans perspective la moitié du pourtour de l’objet, c’est-à-dire une partie de ses propriétés considérées en elles-mêmes. Le « point de vue » n’intervient donc pas comme tel, mais sous la forme d’une dislocation de l’objet : est dessiné uniquement ce qui peut être vu, mais non pas précisément sous la forme sous laquelle cette partie perceptible est vue !

Il est vrai que cette réaction, qui n’apparaît pas encore chez les sujets les plus primitifs de ce niveau II A (tel que An), annonce déjà ce que sera le début de différenciation des points de vue, lequel s’affirmera au niveau II B. Entre deux, certains sujets légèrement supérieurs aux précédents font la transition entre les sous-stades II A et II B. Il est utile d’en citer quelques exemples pour suivre de façon plus continue cette différenciation naissante :

[p. 213]Lil (5 ; 2 avancée) : « Dessine le bâton (vertical) comme le bonhomme le voit. — C’est facile : n’y a qu’une ligne. — Et là (horizontal) ? — Voilà, comme ça. — Et posé comme ça ! (de pointe) ? — Mais alors il faudrait faire comme ça (passer à travers la feuille) mais ça je peux pas (dessine horizontalement avec longueur entière en disant). C’est comme ça. — Et toi comment tu le vois (de pointe) ? — (Dessin vertical). — Et si on montre ça au bonhomme (penché d’avant en arrière) ? — Ça on ne peut pas. C’est comme ça (dessine oblique à longueur pleine). — Et comme ça (penché vers l’avant) ? — Ça on ne peut pas du tout, il faudrait le faire comme ça (geste de traverser le papier avec le crayon). — Et ça (cercle de face) ? — Il voit ça (dessine un cercle). — Et si on le met comme ça (vu sur la tranche, horizontal). — C’est justement la même chose : j’ai déjà fait ça (refait un rond). — Et comme ça (de tranche mais verticalement). — Eh ! bien, on doit lire comme ça (geste indiquant le pourtour). — Dessine ce qu’il voit. — Non, on ne peut pas. — (On offre à choix les dessins tout faits). Et de ceux-là lequel est le juste ? — (Choisit le cercle entier). — Et ça (la barre représentant le disque vu sur la tranche) ? — C’est pas juste. — Regarde toi-même (on présente à Lil le disque vu sur la tranche horizontalement). — C’est celui-là (cercle plein). — Et comme ça (de tranche, verticalement) ? — Il n’y en a point. — Et ça (oblique) ? — Il n’y en a point (il y a pourtant des ellipses à choix) ».

Mus (5 ; 10). Bâtons vertical et horizontal : dessins corrects. « Et comme ça (vu de bout) ? — Comme ça (geste de piquer sa feuille), mais on ne peut pas le dessiner. — Et toi comment tu le vois (on lui montre le bâton vu de bout) ? — Et moi je mets la feuille comme ça (il prend le dessin du bâton horizontal et met sa feuille perpendiculairement au plan fronto-parallèle). Je le vois comme ça. — Choisis dans ces dessins lequel est le bon ? — (Il choisit le bâton à longueur entière). — Et ça (disque de face) ? — (Il dessine un grand rond). — Et si on le met comme ça (de tranche, horizontal) ? — (Il prend son dessin et le place horizontalement à la hauteur de ses yeux ; il ne voit alors plus rien et dit) : Mais, on n’arrive pas. Il faudrait une feuille qui soit comme ça. — (Disque vu de tranche mais vertical) ? — Ça c’est pas dur : c’est comme ça (il dessine un rond plein). — Et si je le mets devant toi ? — (même dessin). C’est ça ».

Cyr (5 ; 8). Mêmes réactions pour le bâton. Pour le cercle oblique (penché d’avant-arrière) il dessine une demi-circonférence : Quand c’est penché comme ça, c’est ça (montre la partie antérieure). — Et le bonhomme comment le voit-il (même présentation donc penché de gauche à droite du point de vue du bonhomme) ? — Comme ça (cercle plein). — Regarde (on lui montre le disque penché de gauche à droite). — Oui, c’est comme ça (le dessine en lus petit). — Pourquoi ? — Parce qu’il est en bas, c’est plus petit. — C’est plus petit quand c’est penché ? — Oui ». Cyr traduit donc [p. 214] la forme perspective elliptique en un cercle vu de face mais plus petit !

Rails en profondeur : entièrement parallèles.

Zbi (5 ; 8) dessine un beau rond pour le disque vu de face. On présente alors le disque vu de côté (tranche seule) en disant explicitement : « Bien, maintenant dessine-le comme ça tout couché. — Couché ? Ben (il prend sa feuille et la tient horizontalement), maintenant il est couché (puis il dessine un second cercle semblable au premier). — C’est le même ? — Non, parce que celui-là (le second) est couché et l’autre est debout. — Mais comment le sait-on en regardant ton dessin ? — J’sais pas comment. — Dessine comment le bonhomme le voit couché. — (Il dessine un troisième grand rond). — Et comme ça (penché en arrière) ? — (Il le dessine plus petit, comme Cyr). — C’est le même ? — Non, un est debout et l’autre est penché. — C’est exprès qu’il est plus petit ? — Parce que… autrement on ne savait pas qu’il est penché ».

Rails : parallèles. « Ça ne devient pas plus petit quand on voit là-bas loin ? — Oui… non plus grand plutôt, parce que le train, au bout (à l’horizon) il contourne ».

Mast (6 ; 0). Mêmes réactions : il dessine, chaque fois une droite entière ou un cercle plein, mais en admettant la différence sans pouvoir l’exprimer, ni verbalement, ni par le dessin : « Il voit la même chose qu’avant ? — Non, il ne voit pas la même chose, mais autrement ». Rails et lignes de poteaux : parallèles.

Bur (6 ; 4) dit du bâton vu par l’extrémité (de « bout ») : « Je ne peux pas faire comme ça : je vois une barre qui part tout loin ». Il la dessine alors verticalement avec longueur entière.

Nig (6 ; 7) de même, dit du cercle en métal vu couché (comme une barre) : « Il faut le dessiner en plat, c’est difficile ». Il fait alors un rond plein, en ajoutant : « On ne peut pas sur le papier : il sera la même chose que ça (de face) ».

Rails : parallèles sur le dessin et dans le choix.

Ces cas de transition témoignent d’un effort infructueux de différenciation des points de vue sur l’objet et relient ainsi de façon continue l’indifférenciation du niveau II A aux débuts de différenciation du sous-stade II B. Mais cet effort, si infructueux soit-il, marque un progrès décisif par rapport au sous-stade II A et constitue bien ainsi le début du niveau II B : alors que les sujets du niveau primitif II A représentaient, pour tous les points de vue, l’objet en lui-même ou une partie disloquée de cet objet, sans admettre que le dessin pût exprimer en quoi que ce soit la transformation perspective comme telle, ces cas de transition, tout en continuant à ne pas se représenter cette transformation perspective, formulent cependant le sentiment que le dessin est inadéquat et cherchent à montrer [p. 215] pourquoi. Il y a donc prise de conscience du problème, en tant que problème nouveau pour l’enfant, mais sans essai de solution sauf, chez certains, un début d’expression graphique, qui se retrouvera systématiquement au cours de tout le sous-stade II B et qui consiste à représenter le cercle penché par une circonférence complète, mais plus petite que pour le cercle vu de face.

Pour ce qui est de la prise de conscience du problème même de la perspective, la réaction typique est celle des sujets qui, pour le bâton vu de pointe (de « bout »), ont le sentiment qu’il faudrait dessiner une droite de longueur normale, mais présentée horizontalement, à la hauteur des yeux, exactement comme l’objet lui-même. C’est ainsi que Lil voudrait passer son crayon à travers la feuille de papier : « il faudrait faire comme ça, mais ça je peux pas ». Mus réagit presque selon les mêmes mots, puis il dessine le bâton avec sa longueur entière et met sa feuille de papier en face de ses yeux ; il fait de même pour le cercle vu de tranche. Bref, d’une part ces enfants dessinent l’objet comme il est, et en cela ils sont encore du niveau initial II A. Mais, d’autre part, ils ont déjà conscience du problème posé par le point de vue du sujet sur l’objet et en cela ils annoncent le niveau II B : seulement, incapables de modifier leur dessin pour exprimer graphiquement la transformation perspective due à ce point de vue, ils cherchent simplement à placer le dessin lui-même dans une position semblable à celle de l’objet ! Il n’est qu’un cas où le dessin comme tel est déjà modifié. C’est, nous venons de le voir, celui des cercles présentés obliquement et représentés par des cercles pleins, mais plus petits que ceux vus de face. Mais alors, il s’agit déjà d’une réaction du niveau II B. (Cyr et Zbi qui, pour le bâton de pointe, réagissent comme précédemment). Quant aux autres réactions, elles consistent simplement à exprimer verbalement que leur dessin est inadéquat (Mast, Bur et Nig).

Si nous passons maintenant aux cas francs du sous-stade II B, nous assistons, par contre, à un début de différenciation dans le dessin lui-même, ou du moins dans la manière dont le sujet choisit, parmi des dessins tout faits, celui qui lui paraît correspondre à la perspective donnée :

Rol (5 ; 5 avancé) dessine correctement le bâton vertical et le bâton horizontal. Pour le bâton vu de « bout », il le dessine horizontal regardé du point de vue du bonhomme et vertical de son point de vue à lui (longueurs entières). Mais lorsqu’on lui montre les dessins à choix, il désigne le petit rond comme correspondant à ce bâton vu de pointe : « Pourquoi celui-ci ? — Parce que c’est un [p. 216] petit point et là aussi (sur l’objet) c’est un petit point. — Mets-le comme il est sur le dessin. — (Il le place exactement) ».

Cercle regardé de face du point de vue du bonhomme : Roi dessine comme une ellipse verticale, ce qui constitue un progrès sur le niveau II A puisqu’il le voit lui-même comme une ellipse et exprime ainsi cette perspective propre par le dessin, mais ce qui traduit d’autre part une erreur de point de vue, puisqu’il assimile ainsi la perspective du bonhomme à la sienne propre. Le cercle vu par la tranche est également représenté par une ellipse, mais horizontale, et le cercle incliné par une ellipse oblique. Lorsqu’on présente à Roi lui-même le cercle dans ces trois positions, il dessine le cercle de face correctement, ainsi que le cercle incliné de ¾, mais pour le cercle vu de tranche, il dit : « C’est plus dur, ça » et le dessine comme une ellipse horizontale. Par contre, il découvre immédiatement la barre horizontale parmi les dessins à choix.

La rue avec poteaux en profondeur : pas de perspectives, les poteaux étant « rabattus » (au sens de Luquet) des deux côtés de la rue avec grandeurs constantes. Les rails sont dessinés parallèles et sur les dessins à choix, Roi désigne comme juste le dessin à lignes parallèles : « C’est juste, parce que c’est tout droit », tandis que les fuyantes « c’est pas juste ».

Mon (6 ; 10). Crayon vertical : juste. « Et comme ça (oblique) ? — (Le dessine de même longueur mais penché). — Il le voit aussi long ou moins long qu’avant ? — Moins long, non un peu plus long (il allonge son dessin). — Pourquoi ? — Sais pas. — Et comme ça (plus oblique) ? — Il le voit plus long. — Pourquoi ? — Parce qu’il le voit comme ça (montre la position oblique). — Et comme ça (de « bout » ? — Il voit seulement le pointu (dessine un cône, c’est-à-dire la pointe du crayon, mais vue de côté). — Et comme ça (nouvelle obliquité) ? — Plus long. — Plus que ça (vertical) ? — Oui ».

Gal (6 ; 10). Bâton, du point de vue du bonhomme : horizontal et vertical corrects ; de pointe dessiné horizontal à longueur entière. Points de vue propres : mêmes réactions : « Tu as dessiné la même chose (de pointe et horizontal) ; tu vois la même chose ? — Non ». Choix correct parmi les dessins tout faits. — Cercles du point de vue du bonhomme et du point de vue propre : de face correct, horizontal (de tranche) dessiné comme « un ovale couché » et, oblique, comme un cercle plus petit. — Barrière et rails : dessinés parallèles, mais le choix se porte sur les fuyantes « parce que les rails sont plus grands, puis toujours plus petits ».

Val (7 ; 0). Bâton vertical (point de vue propre) : correct. Penché en arrière : le dessine de même longueur en disant : « On n’arrive pas à le faire penché en arrière ». Horizontal (de côté) : correct. De pointe : le fait vertical, à longueur entière. Le choix donne (avec suggestion) un petit cercle pour ce dernier, mais pour le bâton penché en arrière Val dit : « Il n’y a rien là-dedans (= parmi les dessins offerts). — Ça reste toujours de la même longueur ? — Non… Oui, parce qu’il est la même chose couché ».

[p. 217] Le cercle de face : correct. Penché en arrière, il est dessiné comme une ellipse : « Ça fait comme ça. On dirait que c’est pas rond, mais c’est rond quand même ». De tranche, même dessin : « On peut pas le dessiner sur un bout de papier. — Comment ça se fait que ça devient tout mince ? — Je ne sais pas. En tout cas il devient comme ça (ellipse), on peut pas le voir autrement ». Choix correct parmi les dessins tout faits.

Rails : dessin avec parallèles, mais choix des fuyantes « parce que ça devient toujours plus petit (après hésitation) ».

Ul (7 ; 3). Bâton vertical : correct. Penché en arrière : il le dessine plus petit « oui plus courts parce qu’on le voit pas très bien », mais il refuse de le dessiner (et même de le reconnaître parmi les dessins à choix) comme un simple rond « parce que si c’est comme ça (couché) on voit encore la ligne ».

Cercle de face : correct. Penché en arrière : également circulaire, mais beaucoup plus petit. « Et si je le mets tout plat ? — On le verra tout plat (le dessine de nouveau circulaire) ». Mais, sur es dessins à choix, Ul reconnaît la barre horizontale comme correspondant au cercle vu sur la branche : « C’est peut-être celui-là ellipse) ? — Non, parce qu’il faut que ce soit plus bas ».

Ley (7 ; 4). Bâton vertical : correct. « Et comme ça (de pointe), qu’est-ce qu’on voit ? — Plus rien. Si un tout petit trait plus léger dessine un bâton horizontal, de longueur entière, mais d’un trait fin) ». Mais, sur les dessins à choix, Ley accepte le petit rond, après avoir contrôlé en action.

Cercle de face : correct. Penché : ellipsoïde. Rails : d’abord parallèles, puis fuyantes.

Mic (7 ; 7). Bâtons vertical et horizontal : corrects. De pointe : horizontal à longueur entière : « C’est la même chose ? — Non. — Il y a une différence ? — Oui. — Essaie alors de dessiner encore les deux. — (Il dessine deux horizontales parallèles, la seconde représentant le bâton de « bout ») ». On offre alors les dessins à choix, nais, au lieu de choisir le petit rond, Mic prend le dessin horizontal, le place devant le bonhomme et cache de la main les ⁹⁄₁₀ de la ligne sauf l’extrémité visible. Même conduite pour le bâton penché en arrière, sauf que la partie laissée à découvert est un peu plus longue.

Cercle de face, oblique, penché en arrière, etc. : dessine toujours le même cercle « c’est de nouveau la même chose, parce qu’on ne peut pas faire comme ça », mais, sur les dessins à choix, Mic montre l’ellipse, ou un cercle plein, mais dont il cache de la main n peu plus de la moitié.

Rails : parallèles (dessin et choix), mais barrières parallèles sur le dessin et fuyantes dans le choix.

On trouve encore des cas de ce genre à 8 ans, à 9 et même exceptionnellement à 10. Voici un exemple de l’un de ces sujets retardés :

[p. 218]Gol (10 ; 9) représente toujours les bâtons en toutes positions par des lignes, horizontales ou verticales, de mêmes longueurs. Mais, sur les dessins à choix, il accepte le raccourcissement et le petit rond. Les cercles également sont dessinés comme des ronds entiers, sauf le disque vu sur la tranche qui est représenté par un arc de cercle peu incurvé « parce que c’est rond devant ». Sur les dessins tout faits, il choisit une ellipse mais se refuse à aller jusqu’à la barre horizontale.

Les rails donnent par contre d’emblée des fuyantes.

Ces réactions ne traduisent plus simplement la prise de conscience du problème même de la perspective, comme les cas de transition entre les niveaux II A et II B, cités précédemment, mais marquent un début réel de différenciation entre les points de vue. Or, chose intéressante, cette différenciation naissante s’exprime davantage dans le choix de l’enfant, parmi les dessins tout faits qui lui sont présentés, que dans le dessin effectué par le sujet lui-même, comme si celui-ci, tout en ayant déjà le sentiment que le dessin doit figurer les transformations dues aux changements de point de vue, ne savait encore comment s’y prendre pour représenter ces modifications.

C’est ainsi que pour les bâtons vus de « bout » ou obliquement, l’enfant se borne à figurer des lignes de longueurs entières, verticales ou horizontales, mais accepte la représentation sous forme de point ou de petit rond sur les dessins à choix (Rol, Gal, Val avec refus pour le bâton incliné, etc.). Ul résiste encore parce que, sur le bâton vu de pointe, « on voit encore la ligne », et Mic cache le reste de la ligne horizontale, sauf le bout ; mais, en principe, cette première forme limite de perspective est acquise lorsqu’il s’agit de choix.

En ce qui concerne les cercles, il y a fréquemment déjà dessin spontané d’une ellipse pour la position de trois quarts, mais le cercle horizontal (vu sur la tranche seule) donne une » réaction analogue à celle observée à propos du bâton de « bout » : il est dessiné soit sous la forme d’une ellipse couchée (Rol, Gal et Val) soit comme un cercle entier (Ul), mais sur les dessins à choix il est reconnu comme une barre.

Les rails et barrières sont, en règle générale, dessinés sans fuyantes, comme si les lignes demeuraient parallèles malgré l’éloignement (ce qui prolonge sans plus les réactions du niveau II A ou des cas de transition), mais, sur les dessins à choix, le sujet reconnaît (sauf certains cas primitifs de ce sous-stade II B, comme Rol) la justesse de la représentation au moyen de fuyantes.

[p. 219] Bref, le propre de tous ces cas est d’entrevoir la différenciation des points de vue successifs du sujet, par rapport à l’objet, mais sans pouvoir, sauf dans le cas du cercle transformé en ellipse, figurer eux-mêmes le résultat de ces changements de points de vue. Le sujet Val nous fait bien comprendre pourquoi ils n’y parviennent point encore : en dessinant spontanément son ellipse pour représenter le cercle vu obliquement, il précise que « ça fait comme ça ; on dirait que c’est pas rond, mais c’est rond quand même ». Autrement dit le sujet est toujours partagé entre le réalisme de la représentation de l’objet en lui-même et le début de différenciation de la perspective, mais ce n’est qu’en voyant celle-ci figurée sur des dessins tout faits qu’alors cette perspective, détachée de son activité d’observateur est objectivée, pour ainsi dire, sous la forme d’une représentation déjà élaborée, est acceptée comme adéquate au point de vue considéré.

Avec le stade III, enfin (qui débute en moyenne vers 7 à 8 ans), la différenciation croissante des points de vue s’exprime sous la forme d’une représentation de la perspective dans le dessin même de l’enfant et non plus seulement dans le choix s’effectuant parmi des dessins tout faits. Mais, à cet égard, il se pose une question délicate de frontières entre les niveaux II B, III A et III B. Ce n’est que vers le milieu du stade III, en effet, c’est-à-dire à partir de 9 ans environ (niveau III B), et non pas dès le début de ce stade des opérations concrètes, que les problèmes de perspectives étudiés en ce chapitre sont tous résolus. Or, le début de la différenciation des points de vue se marque, comme nous venons de le constater au paragraphe 5, dès le niveau des intuitions articulées (II B), mais selon des formes encore peu cohérentes entre elles, comme cela est de règle lorsque les questions sont résolues par voie intuitive et non point par opérations groupées et réversibles. Comment donc délimiter entre deux le sous-stade III A, caractérisé dans le domaine de la perspective, par des solutions relevant toujours de l’intuition articulée, mais émanant de sujets déjà capables par ailleurs d’opérations concrètes bien groupées ? Le critère essentiel dont nous nous sommes servi est que le sujet découvre certaines lois de transformation, suffisantes pour élever ses dessins à la hauteur de ses choix parmi les modèles tout faits, [p. 220] mais insuffisantes, faute de quantification extensive systématique, pour résoudre l’ensemble des problèmes. Voici quelques exemples, à commencer par un cas intermédiaire entre les niveaux II B et III A :

Ther (7 ; 4) dessine d’abord le bâton vertical. On l’incline en arrière : Ther le figure de la même manière, puis dit « Non, on le voit plus petit », et elle le représente par un trait atteignant au plus la moitié de la hauteur du précédent. « Et quand il est tout à fait couché ? — Tout petit (petit trait de 2-3 mm) ».

Le cercle penché donne un cercle plus petit (comme fréquemment au niveau II B) ; encore plus incliné il donnera un tout petit cercle (mais toujours bien rond). Vu sur la tranche, par contre, il est figuré correctement par un trait horizontal ; la méthode des choix donne, de son côté, pour le cercle incliné une compréhension correcte de l’ellipse (le cercle rapetissé du dessin de l’enfant étant sans doute dû à l’influence de la droite décroissante).

Les rails et barrières sont représentés par des parallèles, mais il y a choix correct des fuyantes (ce décalage entre le dessin et le choix constituant un reste du niveau II B).

Jea (7 ; 6) dessine le bâton vertical et horizontal de longueur normale et le bâton incliné sous la forme d’une oblique plus courte. Le bâton vu de « bout » est représenté par une oblique encore plus courte.

Le cercle de face est un rond plein. « Dessine-le maintenant quand je le penche en arrière. — Il faut faire un trait comme ça (trait horizontal par anticipation de la position vue sur la tranche), ou un tout petit comme ça (fait un trait moins long, mais est tenté, à l’une des extrémités, de poursuivre par une incurvation représentant le pourtour ; il s’arrête alors aussitôt en disant) : Non, parce que ça deviendrait comme le rond. — Dessine-le maintenant quand il est tout plat en arrière. — (Ayant déjà représenté en son dessin précédent la situation présente, Jea dit) : Je ne sais pas (il dessine un petit cercle et ajoute, comme certains sujets du stade II B) : Il faudrait que le papier soit comme ça (relevé) ».

Le dessin des rails est d’emblée correct : « Oui, quand c’est loin les choses deviennent plus petites ». Mais il n’y a pas quantification régulière de la décroissance des intervalles entre les fuyantes, c’est-à-dire de la longueur des travées.

Tho (7 ; 6) dessine d’abord les bâtons horizontal et vertical. On lui montre en troisième lieu le bâton « de bout » : il représente alors spontanément une succession de cinq positions allant de la verticale à l’horizontale, en passant par trois obliques de mêmes longueurs mais dont les premières sont légèrement incurvées : « Il est courbe ici, le bâton ? — Un peu. — Que vois-tu quand il est comme ça (de pointe) ? — Qu’un petit bout. — Que faut-il dessiner ? — Un petit rond. — Et entre deux ? — Un dessin penché (il dessine cette fois une suite d’obliques dont les premières sont de mêmes [p. 221] longueurs et les plus inclinées de plus en plus courtes jusqu’au petit cercle figurant la position de « bout »).

Rails : Tho dessine, d’une part, des parallèles jusqu’à un certain degré d’éloignement et, à partir de là, il indique une décroissance progressive (fuyantes). Tho montre le point où il change ainsi de système et dit : « On fait tout petit (extrémité) puis après ça s’agrandit (jusqu’au point indiqué) et ça devient tout droit (parallèle) ». Autrement dit, il n’y a pas quantification régulière, mais modification brusque des fuyantes en parallèles.

Mur (8 ; 3) dessine correctement le bâton vertical, horizontal et de « bout » (petit cercle), mais ensuite, entre la verticale et la position de bout, il figure une série d’obliques de plus en plus inclinées et toutes de la même longueur : « Ça passe de ça brusquement au petit rond ? — (En fait une plus courte, mais se ravise) Non, il le voit grand (la rallonge) ». Dessins : choix analogues (sans diminution des longueurs).

Cercles : dessine des ellipses pour les inclinaisons et la position vue sur la tranche, mais sans quantifications exactes.

Rails : parallèles, puis fuyantes « parce qu’il les voit tout loin, parce qu’il les voit toujours moins bien, ça devient petit. » Mais les arbres au bord de la route ne sont pas rapetissées d’autant.

Wag (8 ; 6), de même, dessine correctement le bâton vertical et de « bout » (petit cercle). Pour une position presque de « bout », il dessine « la moitié » de la longueur, mais pour les autres inclinaisons, il figure des obliques de longueurs entières : « Alors tout d’un coup ça devient un petit rond ? Il les voit d’abord couchés, puis rond ? — Non, je ne crois pas ». Sur les dessins à choix, il tient alors compte de la décroissance quantitative.

Cercle : dessine des arcs de cercle toujours plus courts pour les positions inclinées, et une ligne presque droite pour le cercle ou sur la tranche. Choix : ellipses correctes.

Rails : d’abord parallèles puis fuyantes.

Ros (8 ; 7) dessine d’abord correctement un bâton vu verticalement, puis, penché en arrière, le figure « plus petit. — C’est exprès que tu le fais plus petit ? — Oui (peu sûr de lui, il prolonge ensuite son dessin). — Et comme ça (de « bout ») ? — Ça fait rond (dessine un petit rond puis vérifie avec son crayon). Oui, parce que quand il est devant nous on ne voit que ça ». Choix : revient à des longueurs intermédiaires pour les positions obliques « parce qu’on voit plus petit ».

Cercle : ellipses pour les positions inclinées et ellipse très étroite pour le cercle sur la branche. Choix : corrects.

Rails : parallèles, puis brusquement se rapprochent rapidement. Travées : égales entre elles jusqu’à diminution brusque et irrégulière.

Il faut noter, à propos de ce niveau comme du précédent, que, si l’âge moyen des sujets correspond à celui des cas cités, on trouve des exemples retardés jusqu’à 9 et même 10 ans.

[p. 222] La différence entre ces réactions et celles du sous-stade II B est évidente. D’une part, le sujet marque dorénavant sur son dessin lui-même la transformation perspective due aux changements de points de vue et ne se borne plus à accepter l’idée de ces modifications lorsqu’il se trouve en présence de dessins tout faits entre lesquels on lui demande de choisir celui qui correspond au point de vue considéré. Il y a donc bien représentation anticipée de la perspective et non plus simplement essai de différenciation. D’autre part, l’enfant ayant atteint par ailleurs un niveau opératoire (comme on l’a constaté, au cours de la section I de ce chapitre, pour le problème de la droite, précisément résolu à ce niveau III A), sa représentation naissante des perspectives constitue bien la représentation d’une transformation, et non pas seulement d’un état statique isolé. C’est ainsi que Ther figure la droite de plus en plus inclinée par des obliques de plus en plus courtes, jusqu’à la position de « bout » qu’il traduit par un trait de 2-3 mm. Jea raccourcit également le bâton penché. Tho commence par manquer le raccourcissement, mais voit d’emblée la série des inclinaisons. Il en est de même de Mur qui se décide ensuite en faveur du raccourcissement, mais pour se raviser en fin de compte, etc. Bref il y a nettement recherche d’une loi de transformation, et non plus simplement articulation d’intuitions fragmentaires.

Mais, et c’est en quoi ce sous-stade III A diffère du sous-stade III B, cette recherche n’aboutit point encore à une solution générale. Autrement dit, bien que ces sujets témoignent de capacité opératoire, leur solution de ces problèmes élémentaires de perspective demeure intuitive. La raison de cet échec partiel est d’ailleurs d’un vif intérêt et l’existence de ce sous-stade se trouve donc être plus instructive que ne le serait une arrivée trop rapide à la réponse juste : si la transformation perspective pressentie par l’enfant ne donne point encore lieu à un système de correspondances opératoires réglées, c’est à la fois faute de continuité et de quantification proprement extensive, parce que le raisonnement du sujet se borne à insister sur certains changements de forme qualitative (avec quantification simplement intensive) sans les apercevoir tous ni les relier de façon continue.

L’exemple des parallèles modifiées en fuyantes avec l’éloignement est particulièrement instructif à cet égard, bien que le même phénomène se retrouve avec les transformations de la droite et du cercle en fonction de la position. Les sujets cités savent bien que le parallélisme des rails ne se conserve pas avec la perspective et, à partir du cas de Jea, ils essaient d’exprimer [p. 223] cette modification dans leur dessin. Mais, chose curieuse, ce n’est pas sous la forme d’une progression insensible que les sujets conçoivent le rapprochement des droites au fur et à mesure qu’elles atteignent l’horizon : ou bien ils se contentent d’un dessin irrégulier (Jea, etc.), ou bien ils admettent que les rails demeurent parallèles jusqu’en un point précis (par exemple la moitié de la distance en profondeur), après lequel débutent brusquement les fuyantes : c’est ainsi que Tho indique explicitement ce point sur son dessin, comme si le passage des parallèles aux fuyantes était brusque et discontinu ; chez Ros le dessin prend même l’aspect d’une sorte de crayon, avec parallélisme des côtés et transformation soudaine en une pointe finale. Bien entendu, cette absence de régularité dans la progression décroissante se retrouve dans le dessin des travées, ou des barreaux de la barrière (ou des poteaux plantés au bord de la route, etc.), ce dessin étant demandé précisément pour permettre d’évaluer la manière dont le sujet conçoit les rapports quantitatifs en jeu dans la perspective.

En outre, cette absence de quantification extensive se retrouve dans les questions de la diminution de longueur de la droite ou de largeur de l’ellipse en cas d’inclinaison progressive du bâton ou du cercle. Ou bien, en effet, le raccourcissement de la droite est irrégulier et se fait comme par saccades, ou bien il est régulier comme chez Ther, mais n’aboutit pas au point, ou au petit rond final, à titre de limite de ce processus continu. Quant au cercle, la quantification de sa largeur (passage du cercle à l’ellipse et de l’ellipse à la barre droite) est encore plus difficile : alors que la plupart des sujets atteignent l’ellipse (parfois figurée déjà dans les dessins du niveau II B), ils ne savent pas la faire varier de largeur ni concevoir la barre (cercle vu sur la tranche) comme la limite de cette variation. Par exemple Jea qui semble anticiper cette barre à titre de limite, manque la solution juste une fois le cercle vu sur la tranche. Mur dessine une ellipse spécialement étroite pour cette dernière position, mais manque le passage à la limite ainsi que la quantification des autres ellipses, etc.

Or, il est aisé de comprendre la raison de ces difficultés de quantification extensive. D’une manière générale la découverte de la perspective est donc due à un début de différenciation et de coordination réunies des points de vue, c’est-à-dire à une sorte de détachement à l’égard de l’objet considéré en lui-même, et à une prise de conscience du rapport qui le relie au point de vue du sujet. Mais il est clair que l’achèvement d’une telle construction suppose un système d’opérations de mise en [p. 224] relation (relations simples ou additives, et correspondances entre relations par multiplications logiques), et que ces opérations doivent d’abord être élaborées qualitativement avant de pouvoir être quantifiées. Cette élaboration porte effectivement en premier lieu sur les positions caractéristiques : le bâton incliné (B) est conçu comme paraissant plus court que le bâton droit (A) et le bâton vu de « bout » (C) comme se réduisant à un petit cercle, etc., ces formes perspectives caractéristiques ne comportant que des rapports intensifs A > B > C. Mais, une fois construites ces relations, il deviendra tôt ou tard possible au sujet de concevoir, non seulement une suite toujours plus nombreuse de termes intercalaires A > B₁ > B₂ > B₃ > … > C, mais encore, et c’est en ceci que consistera la quantification extensive, une régularité dans les différences A − B₁ ; B₁ − B₂ ; B₂ − B₃, etc. Le processus en question est particulièrement net dans le cas des barreaux de la barrière ou des travées de la voie, qui sont censés être à distance égale les uns des autres : si A, B, C, D… constituent ces éléments successifs, et A’, B’, C’, etc. les différences qui les séparent (A − A’ = B ; B − B’ = C, etc.), la quantification extensive se réduira simplement, en ce cas, à une décroissance régulière telle que ces différences A’, B’, C’… etc. demeurent constantes ou soutiennent entre elles un rapport constant. Or, c’est précisément ce que les sujets de ce sous-stade ne comprennent pas encore, puisqu’ils passent par saccades des grandes aux petites travées. On voit par exemple des enfants qui dessinent les travées selon trois grandeurs, d’abord les proches, grandes et égales entre elles (A = B = C = …), puis les éléments plus éloignés et plus petits, mais aussi considérés comme égaux entre eux (F = G = H = …) et enfin les plus distants, tout petits, mais encore égaux entre eux (X = Y = Z = …), d’où la fausse série (A = B = C = …) > (F = G = H = …) > (X = Y = Z = …), telles que les différences A’, B’, C’ ou F’, G’, H’, etc. restent nulles, seules étant admises les différences brusques séparant l’un des trois ensembles du suivant.

Les réactions du sous-stade III B, par contre, nous font assister à la fois à une généralisation opératoire des relations découvertes au niveau III A et à la quantification extensive dont nous venons de constater la carence à ce niveau précédent. La généralisation opératoire consiste à permettre au sujet de concevoir comme continue la transformation dont les intuitions du niveau III A ne lui fournissait encore que les étapes caractéristiques, tandis que la quantification extensive permet de mathématiser aussitôt les transformations qualitatives ainsi généralisées.

[p. 225] Voici quelques exemples, à commencer par un cas ayant atteint le niveau III B en cours même d’expérience :

Han (8 ; 0) dessine d’abord le bâton vertical. « Et si je le penche un peu en arrière, comment faut-il le dessiner ? — (Longue réflexion). Il faut le faire plus petit. (Le dessine un peu plus petit). — Et si je le penche un peu plus ? — Il faut le faire encore plus petit. — Et tout à fait couché ? — À la fin on ne voit que le petit rond. »

Le cercle est dessiné de face. « Et si je le couche un peu ? — Comme ça (ellipse), parce qu’on voyait avant toute la largeur. Maintenant on voit moins. — Et un peu plus couché ? — Il sera moins large que là (que le précédent). — Et à la fin ? — Il sera comme ça (barre) ».

Les dessins à choix donnent lieu aux mêmes réflexions. On lui présente entre autres un simple arc de cercle : « Ça c’est pas juste. Pour faire ce dessin, il faudrait l’aplatir ou le recourber (le cercle lui-même) ».

La route est dessinée toujours plus étroite avec des arbres de grandeur régulièrement décroissante. Les rails de même avec travées « toujours plus minces ».

Wag (9 ; 4) fait une série de droites, de plus en plus courtes jusqu’au point, pour les positions du bâton sériées entre la verticale et la vision de « bout ». De même, il construit une suite d’ellipses toujours moins larges jusqu’à la simple barre, pour les inclinaisons successives du cercle. Les rails sont d’emblée corrects, avec travées de largeur régulièrement décroissante : « Il les voit toujours un peu plus minces (courtes) parce qu’elles sont plus loin ». Le dessin se poursuit ainsi en diminution constante pour plus de 30 éléments.

Moc (9 ; 10). Droite : « Je la vois moins longue… moins longue… encore plus petite », etc. ; de « bout », ce n’est plus qu’un point : « C’est le commencement, on peut pas dessiner le reste ». Rails : progression décroissante régulière.

Lam (9 ; 11). Le bâton incliné donne une droite toujours plus courte : « Il est moins long parce que ça cache un bout. On le voit moins long. », puis « Il est encore un peu moins long que l’autre parce que plus on le penche, plus ça cache un petit bout. On le voit chaque fois un peu plus court ».

Tor (10 ; 7) assimile au contraire le raccourcissement du bâton à l’éloignement de l’autre bout, et non pas au fait que l’avant masque l’arrière : « La barre devient plus petite, parce qu’elle est plus loin : c’est comme quand je pars ou comme un caillou qu’on laisse tomber dans la vallée. — Et après ça deviendra comment ? — Un point » (il dessine une suite de verticales de longueurs décroissante jusqu’au point limite).

Les rails sont dessinés non seulement avec travées toujours plus courtes, mais avec intervalles régulièrement décroissant dans le sens de la longueur entre les travées successives.

[p. 226]Wil (11 ; 10). Mêmes réactions. Le cercle incliné donne lieu à des ellipses toujours plus minces. « Et à la fin ? — On ne verrait qu’une barre si le cercle était bien fait ». Les rails et les travées sont comme chez Tor : « C’est toujours plus serré, mais en réalité c’est toujours la même distance ».

Telles sont les formes atteintes en fin de compte par le raisonnement de l’enfant. On en remarque les deux caractères corrélatifs de transformation opératoire continue et de quantification extensive.

Le premier fait frappant dans ces réactions est, en effet, l’explication qualitative que l’enfant fournit lui-même des opérations qui engendrent la perspective, par une mise en relation entre l’objet et le point de vue du sujet. Au cours du sous-stade III A le sujet découvre déjà la transformation liée aux changements de points de vue et il en recherche même la loi, mais il échoue à la construction opératoire de cette dernière, ne parvenant qu’à l’intuition des principales formes perspectives caractéristiques. Au contraire, nous voyons les enfants cités à l’instant insister spontanément sur les deux principaux rapports qui relient, selon les différentes positions, l’objet au point de vue du sujet : les projections à distance et les sections dues au fait que la partie antérieure de l’objet masque à des degrés divers la partie postérieure. Autrement dit, après qu’au sous-stade III A la droite projective ait été découverte grâce à la conduite de la visée, les opérations intervenant en cette dernière sont étendues, au cours de ce stade III B, au cas des perspectives en général.

On se rappelle, en effet, que contrairement à la ligne topologique constituant un objet envisagé en lui-même, la droite projective débute lorsque les éléments de cette ligne sont mis en relation avec un sujet les considérant de « bout » et les percevant comme se masquant les uns les autres. Or, cette conduite de la visée permet déjà au niveau III A, non seulement de construire une droite indépendamment des configurations perceptives lui servant de « fond » (voir section I), mais encore de différencier les droites des courbes, les premières étant les seules à conserver leur forme au cours des changements de perspective. C’est que la conduite de la visée implique elle-même sous une forme élémentaire les opérations de section (un élément masquant tous les autres vus de « bout ») et de projection (la droite changeant de direction et de longueur selon le point de vue, mais conservant toujours sa forme rectiligne, avec pour limite le point). Ce sont ces deux opérations élémentaires [p. 227] que l’enfant du niveau III B dégage explicitement et généralise jusqu’à en tirer une construction opératoire des transformations perceptives.

Pourquoi, en effet, le bâton se raccourcit-il, ou le cercle se transforme-t-il en ellipses toujours moins larges, lors de l’inclinaison progressive de l’objet ? C’est, nous dit Lam, « parce que plus on le penche plus ça cache un petit bout : on le voit chaque fois un peu plus court ». D’autre part, la partie la plus éloignée du bâton penché « devient plus petite parce qu’elle est plus loin », dit Tor, et il ajoute « c’est comme quand je pars » (et qu’on me voit de loin) ou « comme un caillou qu’on laisse tomber dans la vallée ». Le double processus de la section de l’image projective par celles qui la masquent et de la diminution projective des dimensions de l’image avec l’éloignement étant ainsi formulé, il va de soi que ces sujets, comprenant la loi même des transformations perspectives, peuvent alors construire la forme correspondant à chaque point de vue en fonction des déplacements de l’objet. Les opérations qualitatives succèdent de la sorte à la simple intuition des formes perspectives les plus caractéristiques (niveau III A), grâce à la continuité introduite dans la loi de transformation.

On comprend en outre comment, sitôt élaborées ces opérations qualitatives de mise en relations et de mise en correspondances, la quantification extensive devient possible par ample reconnaissance de la régularité des changements, c’est-à-dire d’un rapport constant entre les différences, et cela, indépendamment de toute métrique consistant à reporter une différence choisie comme unité. Lorsque, par exemple, Han et Wag disent des travées entre les rails qu’elles sont « toujours un peu plus minces », c’est-à-dire courtes, et que Wil précise que « c’est toujours plus serré », tout en conservant « en réalité la même distance », il est clair que ces sujets établissent entre chaque travée et la suivante ou entre chaque intervalle séparant deux travées et le suivant un rapport permanent, es différences comme telles étant ainsi quantifiées sans que l’enfant se contente d’une simple sériation qualitative. Comment ce rapport constant est-il découvert ? Non pas par une voie métrique, mais (en analogie avec la méthode devenue générale en géométrie projective) par voie de pure construction graphique : c’est la construction des fuyantes qui entraîne le rapport de décroissance constante entre les largeurs de ces travées ou entre les intervalles successifs.

Au total, on voit donc combien simplement et combien rapidement s’élaborent les relations projectives élémentaires à [p. 228] partir des rapports topologiques initiaux, une fois ceux-ci groupés en fonction d’une coordination des « points de vue ». La droite projective, tout d’abord, est une suite continue de points ordonnés telle que, envisagée de « bout », le premier point masque tous les autres. Cette notion, une fois construite sous sa forme concrète (au niveau III A), le sujet devient capable de concevoir les transformations perspectives liées aux divers points de vue possibles sur l’objet, selon ses positions. Or, cette construction ne consiste à nouveau qu’à grouper les rapports topologiques de voisinage et de séparation, d’ordre et d’enveloppements, ainsi que de continuité, mais selon un ensemble de points de vue coordonnés entre eux. Les trois dimensions topologiques dues aux relations d’ordre (« entre ») et d’enveloppement (voir chapitre IV § 2) prennent, en effet, sitôt reliées à un « point de vue » déterminé, les significations nouvelles que voici. Soit, par exemple, un objet envisagé d’un certain point de vue : il existe alors d’autres éléments à sa gauche ou à sa droite et « entre » lesquels il est placé du point de vue du sujet (tandis que, topologiquement, ces notions de gauche et de droite ne présentent aucune signification en dehors des deux sens de parcours d’une ligne considérée en elle-même) ; il existe, d’autre part, des éléments situés au-dessus ou au-dessous de lui, du point de vue du sujet, ces seconds rapports caractérisant une deuxième dimension selon la hauteur ; il existe enfin des éléments situés devant ou derrière lui, le long de la droite qui le relie au point de vue du sujet, et ces nouveaux rapports caractérisent une troisième dimension selon la profondeur. Les relations « entre » (une dimension) ou les enveloppements à deux ou à trois dimensions acquièrent ainsi une signification enrichie du seul fait de leur subordination à un « point de vue » (l’intervention de ce dernier étant nécessaire comme on le sait depuis Kant pour définir ces notions usuelles de gauche et de droite). Enfin, si une droite isolée caractérise une seule dimension, des faisceaux ou des gerbes de droites constitueront, selon les relations précédentes, un plan projectif ou un espace à trois dimensions, susceptibles d’entraîner entre eux divers rapports de projection ou de section.

C’est au moyen de ces relations nouvelles de gauche et de droite, de dessus ou de dessous et d’avant ou d’arrière que le sujet parvient alors à comprendre sous forme de projections ou de sections les transformations perspectives d’une droite ou d’un cercle et à les réduire à des opérations exprimant précisément la coordination des points de vue. C’est ainsi [p. 229] qu’une droite verticale, donc située en hauteur parallèlement au tableau visuel du sujet, est représentée par celui-ci comme diminuant de longueur lorsqu’elle est ensuite inclinée d’avant en arrière, parce que l’enfant comprend qu’elle perd alors en hauteur, considérée de son point de vue, ce qu’elle gagne en profondeur : le processus est en outre interprété comme conduisant de façon continue au cas limite où sa longueur apparente se réduit à un point, parce que toute la hauteur primitive de la droite est, en fin de compte, distribuée en profondeur, toujours du même point de vue.

Bref, la droite permettant la compréhension de la projection, et les trois dimensions de l’espace projectif conduisant à la notion de la section d’un ensemble de droites par un plan, les deux opérations essentielles de la projection et de la section deviennent ainsi suffisamment accessibles à l’enfant pour donner lieu aux explications que l’on a lues dans les observations citées comme exemples du niveau III B. Mais la construction de la droite elle-même, ainsi que des divers rapports qui dérivent de sa synthèse avec les relations topologiques initiales, supposent, en fin de compte, la découverte du rôle des points de vue, autrement dit leur différenciation et leur coordination réunies. Comment donc expliquer cette découverte ? Lorsque l’on attribue, avec F. Enriques, la genèse de la géométrie projective à l’influence de la perception visuelle, on oublie que le « point de vue » de la perception est toujours égocentrique, donc à la fois incomplet (c’est-à-dire déformant dans la mesure où il demeure incomplet) et surtout inconscient de lui-même. Découvrir l’existence du point de vue propre c’est, au contraire, le situer parmi les autres, c’est-à-dire précisément le différencier des autres et le coordonner avec eux. Or, la perception est essentiellement inapte à remplir cette tâche, puisque prendre conscience du point de vue propre, c’est, en fait, s’en libérer, et un système d’opérations proprement dites, c’est-à-dire composables entre elles et réversibles, est indispensable à cet effet. Il n’est donc pas surprenant qu’il faille attendre le milieu du stade III pour que les perspectives s’organisent, tandis que, perceptivement, elles sont données dès les « constances » visuelles élaborées au cours de la première année. Mais par cela même, nous comprenons que les analyses précédentes, portant exclusivement sur les perspectives relatives à un seul objet à la fois, présenté en des positions successives à un seul sujet, ne sauraient suffire à la solution du problème : si vraiment la découverte du rôle des points de vue suppose leur coordination, c’est cette coordination même qu’il s’agit d’étudier, en analysant les [p. 230] perspectives liées à divers observateurs simultanés, par rapport à un ensemble d’objets solidaires entre eux. C’est ce que nous ferons au chapitre VIII. Seulement, il convient encore d’étudier auparavant les projections en elles-mêmes, indépendamment de la perspective, de manière à contrôler ce que nous venons de supposer du rôle de la droite dans la construction de cet ensemble de notions.