Chapitre XII.
Les similitudes et les proportions ^{1 a} 🔗

Ces deux problèmes ont été posés aux sujets conformément aux techniques suivantes, destinées l’une à insister sur le parallélisme des côtés et l’autre sur l’égalité des angles, tout en laissant dans les deux cas le sujet libre d’orienter sa recherche à sa manière.

I. Pour faciliter la découverte du parallélisme des côtés à titre de critère de la similitude des triangles (et pour étudier les relations existant entre ce critère et l’égalité des angles, d’une part, ou les rapports dimensionnels des côtés, d’autre part,) nous avons simplifié les conditions de l’expérience en ne procédant [p. 382] que sur des figures emboîtées, soit au moyen du dessin, soit par comparaisons perceptives directes :

1. Étant donné un modèle triangulaire, on prie l’enfant de dessiner ⁴ un triangle semblable qui emboîte ce modèle. Les modèles consistent en triangles isocèles dont les côtés du premier sont de 3 ; 3 et 3 cm, les côtés du second de 3 (base) ; 1,7 et 1,7 (ou 6 de base et 3,4 de côtés) et les côtés du troisième de 3 (base) ; 6 et 6 cm. La base de chacun de ces triangles coïncide avec une partie de celle du triangle qui doit l’emboîter (le point médian de ces deux bases étant commun) et, en règle générale, nous donnons d’avance cette nouvelle base : pour les deux premiers de ces triangles nous dessinons ainsi des bases de 6 ; 9 ou 12 cm et pour le troisième des bases de 6 ou de 9 cm. En possession du modèle et de la base du nouveau triangle à construire, l’enfant n’a plus qu’à dessiner les deux autres côtés et il lui est alors facile de maintenir le parallélisme entre ceux du triangle emboîté (donné) et ceux du triangle emboîtant (à construire) ; les bases étant centrées sur le même point médian, il va de soi, en outre, que la bissectrice du petit triangle (donné) coïncidera avec une partie de la longueur de celle du plus grand (à construire). Pour faciliter les choses, nous avons même parfois marqué en pointillé cette ligne médiane (mais en la prolongeant alors naturellement bien au-delà de la longueur de la bissectrice du triangle à construire). Enfin il nous est arrivé de ne pas dessiner d’avance la base du triangle à construire, laissant ainsi à l’enfant le soin de trouver un triangle emboîtant situé comme il l’entendait.

1 bis. Nous avons appliqué cette même technique de l’emboîtement central (central parce que les points médians des bases coïncident) à des triangles irréguliers de 4 et 2,5 cm de côtés et de 6,5 cm de base, de manière à nous assurer que la recherche du parallélisme des côtés était la même qu’avec les triangles isocèles.

2. Étant donné un petit triangle modèle (équilatéral de 3 cm de côté ; isocèle aigu de 6 cm de côtés et 3 cm de base ; isocèle obtus de 2,5 cm de côtés et 4 cm de base et irrégulier de 6 ; 4,5 et 2,5 cm de côtés), nous en avons prolongé deux côtés (la base et le côté gauche) en demandant au sujet de l’emboîter dans le coin gauche d’un triangle semblable agrandi (de façon quelconque, ou du double et quelquefois du triple). Il s’agit [p. 383] simplement alors de trouver le troisième côté, ce qui est possible qualitativement par simple parallélisme.

3. Des triangles (de mêmes dimensions) étant dessinés sur une feuille, nous avons prié l’enfant d’en dessiner de semblables agrandis, mais juxtaposés (et non plus emboîtants) ou séparés de quelques cm, sur la même feuille (sans base commune). L’enfant procède comme il l’entend, sans suggestion (parallélisme des côtés, mesure des côtés, de l’ouverture des angles, etc.).

4. Un triangle irrégulier de 2 et 4 cm de côtés (et 5 cm de base) est présenté obliquement (base inclinée). Les deux côtés sont prolongés par des droites en pointillés. On fixe un point pour déterminer la longueur de l’un des nouveaux côtés à construire (par exemple une augmentation de 4 cm pour le petit côté, soit 6 cm en tout ; ou une augmentation de 8 cm pour le grand côté, soit 12 cm). Après avoir montré la figure et demandé de construire un triangle semblable agrandi en partant de la nouvelle longueur assignée à l’un des côtés (mais sans allusion aux nombres, le sujet pouvant ne pas mesurer, ou découvrir, par la mesure, que l’augmentation vaut le double du côté primitif), on cache la base du modèle et on laisse l’enfant se débrouiller sans recourir au parallélisme des bases. Le problème est de savoir si, à défaut de ce parallélisme, le sujet ajoutera une longueur égale de chaque côté, ou s’il présentera, même sans mesure, un dessin témoignant du sentiment de la proportionnalité.

5. On peut, au lieu de faire dessiner à l’enfant un triangle, emboîtant ou juxtaposé, lui présenter les deux triangles emboîtés (ou juxtaposés) déjà tout construits, mais selon des dessins soit corrects soit inexacts et demander quels sont les couples semblables et les couples dissemblables. Soit, par exemple, un triangle équilatéral de 3 cm de côtés, emboîté (avec base commune comme précédemment) dans des triangles de 6 cm de base, mais de côtés variant entre 4 et 8 cm ou plus : on présente alors sans ordre les couples et l’on détermine le seuil d’égalité calculé sur la longueur des côtés des triangles considérés comme semblable au triangle emboîté.

6. À titre de comparaison, et sans insister ici sur les rectangles semblables (sur lesquels nous reviendrons dans la section II de ce chapitre) nous avons demandé aux sujets, étant donné un rectangle modèle de 3 × 1,5 cm et une base de 6 ou de 12 cm (coïncidant avec la base du modèle, mais partant de l’un des angles inférieurs de ce dernier), de dessiner un rectangle [p. 384] semblable, emboîtant le premier en utilisant la base préparée (ou sans base déterminée d’avance).

7. De même, à titre de comparaison, nous avons procédé par comparaisons perceptives sur des couples de rectangles, l’emboîté étant à nouveau de 3 × 1,5 cm et l’emboîtant de 4 cm de largeur et de longueur variable ⁵. Les erreurs sont notées comme + si la longueur du rectangle considéré comme semblable est surestimée et comme − si elle est sous-estimée et le seuil d’égalité est calculé en cm.

8. Un rectangle étant un double triangle, nous avons cru utile, pour comparer les similitudes des triangles et des rectangles, de présenter un petit rectangle (de 3 × 1,5 cm à nouveau), mais en dessinant l’une des deux diagonales (ce qui coupe le rectangle en deux triangles) et en la prolongeant bien au-delà de la figure dans l’une des directions. L’enfant est alors prié de dessiner un rectangle semblable emboîtant ce premier (comme en 6) et la question est de savoir s’il utilisera ou non la diagonale prolongée du rectangle emboîté à titre de diagonale du rectangle emboîtant.

9. Nous avons enfin analysé les comparaisons perceptives possibles entre rectangles emboîtés (comme en 4), mais avec diagonale commune (ou non commune), droite (ou brisée si les rectangles ne sont pas semblables), etc.

II. Le deuxième groupe de questions porte sur les triangles à classer par familles après manipulation spontanée (recouvrement, etc.). Nous présentons à cet effet aux sujets des séries de triangles découpés (en cartons solides), tels qu’il puisse les comparer soit par petits ensembles, soit (chez les grands) dans leur totalité, l’essentiel étant de noter le procédé de comparaison en ajoutant ou en retranchant de nouveaux éléments au fur et à mesure des besoins. La collection complète des triangles utilisés comporte :

Série A. Cinq triangles isocèles tous semblables à angle supérieur très aigu (A1 = 30 cm de hauteur sur 9 cm de base ; A2 = 20 × 6 cm ; A3 = 15 × 4,5 cm ; A4 = 10 × 3 cm ; A5 = 7 × 2 cm).

Série B. Trois triangles isocèles à angle supérieur très obtus et également semblables entre eux (B1 = 6,5 cm de [p. 385] hauteur sur 50 cm de base ; B2 = 3,25 × 25 cm ; B3 = 1,6 × 10 cm).

Série C. Trois triangles isocèles de 20 cm de hauteur mais de base variable (C1 = 5 cm de base ; C2 = 30 cm et C3 = 50 cm), donc non semblables entre eux.

Série D. Trois triangles isocèles non semblables entre eux, de 15 cm de base et de hauteur variable (DI = 3 cm de hauteur ; D2 = 13 cm et D3 = 26 cm).

Série E. Un triangle scalène (E1 = 13,5 cm de base ; 4,5 cm de hauteur et angles de 43, 107 et 30°) ; un triangle isocèle (E2 = 12 cm de base ; 6 cm de hauteur et angles de 45°, 45 et 90°) ; un triangle équilatéral (E3 = 8 cm de base ; 7 cm de hauteur et 8 cm de côtés ; angles de 60°) et un triangle rectangle (E4 = 16,5 cm de base ; 8,5 cm de hauteur et angles de 28, 62 et 90°).

Série F. Huit triangles équilatéraux (F1 à 8) plus un triangle (F9) qui a le même angle supérieur (60°) mais dont la base a été coupée différemment.

Les réactions obtenues au moyen de ces deux sortes de techniques (I et II) ont permis de mettre en évidence un certain nombre de stades communs, qui s’étagent entre le niveau II A et le stade IV, les sujets plus jeunes que 4 ou 5 ans (stade I) ne pouvant être soumis à aucune expérience utile (pas même avec la technique II). Mais si les stades que nous allons décrire portent sur les résultats des deux techniques à la fois, il est à noter que ces résultats respectifs sont complémentaires et nullement identiques, ce qui rend d’ailleurs leur mise en correspondance d’autant plus intéressante. Autre chose est, en effet, de comparer deux figures toutes construites ou même de construire une figure par emboîtement d’un modèle dans son agrandissement, et autre chose est d’établir la similitude de deux figures par transport actif et recouvrement : tandis que, dans les expériences de la technique I, l’enfant, ne pouvant pas faire coïncider les angles, doit recourir au parallélisme des côtés, dans l’expérience II il fait coïncider les angles par déplacement et congruence et n’est pas nécessairement conduit à recourir au parallélisme. Il est d’autant plus frappant de constater qu’avec les deux méthodes l’enfant parvient aux mêmes âges (à partir de 7 ans et demi en moyenne) à découvrir, avec la technique I, le parallélisme des côtés et, avec la technique II, l’égalité des angles, donc à faire abstraction, dans les deux cas, de la longueur [p. 386] des côtés qui trompe sans cesse les petits : au niveau III A il y aurait ainsi découverte, au moyen des deux techniques, des similitudes qualitatives avant toute compréhension de la proportionnalité des dimensions elles-mêmes, celle-ci étant réservée pour les rapports simples au niveau III B et généralisée au stade IV.

Les stades obtenus sont donc les suivants. Au cours du sous-stade II A (de 4-5 à 6 ans ou 6 ½), les dessins de triangles (technique I) ne tiennent encore compte, ni du parallélisme des côtés, ni de la correspondance des angles et les comparaisons perceptives entre triangles emboîtés aboutissent à des erreurs systématiques consistant en particulier à surélever le triangle variable considéré comme semblable à celui qui lui est emboîté (de même les rectangles sont en général surallongés et la diagonale ne joue aucun rôle). Quant à la technique de manipulation (technique II) les comparaisons se font sans mise en correspondance directe des angles ni superposition systématique des figures.

Au cours du sous-stade II B (de 6 ans à 7 ans et demi), le dessin des triangles emboîtés aboutit à un parallélisme intuitif en certains cas privilégiés (en particulier pour les triangles à sommet très obtus, donc à côtés peu inclinés) et perceptivement il y a progrès dans l’analyse de l’inclinaison des côtés (les erreurs demeurant plus prononcées pour les rectangles que pour les triangles, et la diagonale restant toujours sans effet). Quant à la technique II on observe également un début d’analyse des inclinaisons, mais encore sans découverte spontanée du procédé de comparaison par superposition.

Si le stade II demeure ainsi caractérisé par l’absence de comparaison systématique et opératoire, le stade III marque, au contraire, la conquête des opérations permettant la mise en parallèles, l’égalisation des angles et la mise en rapports dimensionnels simples. Au niveau III A, il y a découverte du parallélisme des côtés des triangles emboîtés (technique I), de même que nous avons observé la construction du parallélisme des côtés opposés des losanges (chapitre XI). Quant aux comparaisons perceptives, le raisonnement dirige dorénavant la perception (laquelle demeure d’une précision inférieure aux comparaisons opératoires au moyen de la règle), mais les jugements portés sur la similitude des rectangles restent plus difficiles que ceux relatifs aux triangles. Quant à la technique II (manipulation) elle montre un effort des sujets pour fonder la similitude des triangles sur l’égalité des angles avec superposition spontanée des figures.

[p. 387] Au cours du sous-stade III B (à partir de 9 ans ou 9 ans et demi) la technique I permet d’observer une comparaison portant à la fois sur le parallélisme et les rapports dimensionnels simples (1 à 2), tandis que la technique II montre un effort intéressant à la fois la mise en correspondance des trois angles et le parallélisme des côtés.

Enfin le stade IV (11-12 ans) est caractérisé par la mise en proportion de tous les rapports dimensionnels, jointe aux relations précédemment conquises ⁶.

Pour simplifier l’exposé nous décrirons successivement les résultats de la technique I (figures emboîtées à dessiner ou à comparer perceptivement) et de la technique II (cartons mobiles à manipuler et à superposer).

On se rappelle (chapitres I et II) qu’en dessous de 4 ans, c’est-à-dire au cours du stade I, l’enfant ne parvient point encore à dessiner (ou à structurer en perception stéréognostique) ni les triangles ni les rectangles : il n’est donc pas possible de l’interroger utilement à ce niveau sur les questions de similitudes, sauf à demeurer sur le terrain de la perception pure.

Au niveau II A, par contre, ou du moins vers 5 ans en moyenne, les sujets arrivent facilement à entourer un triangle servant de modèle d’un autre triangle qui l’emboîte et qui est censé représenter son agrandissement. Mais on a beau insister sur le fait que ce triangle agrandi doit « avoir la même forme » que le modèle ou lui « ressembler tout à fait », être « juste la même chose », etc., l’enfant s’en tient à des analogies globales, c’est-à-dire dessine en gros un triangle très pointu pour un modèle très pointu ou un triangle peu élevé pour un modèle de même sorte, mais il ne se soucie encore nullement, ni des angles, ni du parallélisme des côtés. Voici des exemples :

Per (5 ; 5), pour un modèle de 6 cm de base et 3,4 de côtés avec base donnée de 12 cm pour son dessin, construit un triangle beaucoup trop haut et non isocèle (à sommet rejeté sur la gauche bien qu’on ait tracé d’avance la bissectrice commune) : les côtés en sont de 12 (donné), 10 et 8 cm. — Pour un modèle de 3 ; 6 et 6 cm de côtés, il dessine un agrandissement de 6 (= base donnée), 8 et 8,5 cm donc à peine plus haut que le modèle et sans parallélisme des côtés (sommet rejeté sur la droite).

[p. 388] Un carré à agrandir (3 cm de côté avec base donnée de 6 cm partant du coin du modèle) donne lieu à un dessin correct ; par contre un rectangle de 3 × 1,5 cm (avec base donnée de 6 cm) donne lieu à un agrandissement de 6 (= base) × 9,5 cm dont Per lui-même dit « Ça ressemble pas ». Mais il ne peut faire mieux.

Les comparaisons perceptives donnent une erreur systématique en hauteur pour le triangle et en longueur pour le rectangle.

Cyr (5 ; 8). Triangle équilatéral de 3 cm de côtés : « Qu’est-ce que c’est ? — Une maison d’indien. — Tu vas faire une grande maison qui ressemble tout à fait à la petite, sur cette ligne (on dessine une base commune mais sur toute la largeur de la feuille, sans longueur assignée). — (Cyr dessine un grand triangle de 15,5 cm de base et de 11 et 12 cm de côtés). — C’est juste la même chose (il n’y a donc pas de parallélisme) ? — Ah oui — Maintenant tu vas faire une maison comme ça (triangle isocèle de 6 cm de base et de 3,4 cm de côtés). — (Il dessine un triangle de 20 cm de base et de 13 et 12 cm de côtés). — Et comme ça (3 cm de base et 6 cm de côtés) ? — Ah une très pointue (il donne d’abord un triangle de 16 cm de base. 10 et 13 cm de côtés et dit) : C’est pas assez pointu (il dessine 16 cm de base et 13 cm de côtés). Non, encore plus pointu (il dessine un troisième triangle emboîtant les précédents : 19,5 cm de base, 15 et 16 cm de côtés). » Chacun de ces essais aboutit donc à une forme bien différente du modèle et à base plus longue que les côtés.

À titre de comparaison, on fait faire à Cyr quelques agrandissements à côté du modèle et ne l’emboîtant plus mais avec base donnée d’avance. Pour le triangle équilatéral de 3 cm de côtés il arrive à un agrandissement de 6 et de 6,5 cm de côtés, mais pour le triangle de 3 cm de base et 1,7 cm de côtés il donne 6 cm de côtés sur 6 de base et pour celui de 3 cm de base et de 6 cm de côtés il donne un agrandissement de 6 cm de base et de 7 cm de côtés, corrigés en 8,5 cm.

L’agrandissement des rectangles donne soit une figure trop haute (comme chez Per) soit des figures trop longues et la comparaison perceptive des figures emboîtées donne à nouveau une erreur en hauteur pour les triangles et en longueur pour les rectangles.

Vog (6 ; 9) agrandit le triangle isocèle de 6 cm de base de 3,4 cm de côtés sous des formes de moins en moins parallèles jusqu’à un triangle irrégulier de 19 cm de base et de 11 et 15 cm de côtés. De même pour le modèle de 3 cm de base et 1,7 de côtés. — Quant aux rectangles il les allonge simplement sans tenir compte de la largeur, ni de la diagonale lorsqu’elle est indiquée.

Du point de vue de la comparaison perceptive, Vog semble un peu plus avancé que les cas précédents, mais continue à exagérer la hauteur des triangles emboîtants considérés comme semblables aux emboîtés.

[p. 389]Sil (5 ; 10). On montre à l’enfant le triangle équilatéral de 3 cm de côté et on lui offre successivement six triangles irréguliers et un triangle équilatéral de 6 cm de côtés : « Tu vois ce petit toit. C’est pour une petite maison. Moi je dessine une maison plus grande et toi tu vas me chercher là un toit qui est tout à fait la même chose, mais plus grand. — (Il élimine un certain nombre de triangles, en disant chaque fois.) Il est trop grand. (Puis il retient deux irréguliers et l’équilatéral). Tous les trois vont bien. — Lequel va le mieux ? — (Un irrégulier) ».

On montre ensuite un triangle isocèle et on en présente un autre plus grand, parmi six irréguliers : il choisit d’abord d’après la grandeur : « Non, ce n’est pas la même grandeur, pas la même chose ». Puis il en accole les deux isocèles par un côté : « C’est le même, seulement pas la même grandeur », mais il met également le modèle sur un irrégulier très différent (à sommet très obtus au lieu d’être aigu) en disant : « Il va, c’est le même, on peut faire comme ça (coïncidence des bases, sans souci de la forme) ».

On demande alors de dessiner « un grand toit tout à fait pareil au petit », autour de triangles donnés (avec base commune préparée d’avance) : échec complet à la forme semblable, faute de parallélisme et d’angles égaux. Pour un triangle isocèle à côtés très peu inclinés, il donne trois lignes successives de moins en moins parallèles à l’un des côtés, et dit de la dernière : « Celle-ci va très bien. » On donne ensuite des triangles à emboîter dans le coin gauche du grand triangle à construire semblable, avec base et côté gauche déjà prolongés (seul le côté droit étant à dessiner) ou sans les prolongations : dans le premier cas, Sil échoue complètement au parallélisme des côtés et dans le second il prolonge les trois côtés sans savoir que faire, ou construit une figure toute différente. Les triangles à agrandir en juxtaposition ne témoignent pas davantage du parallélisme des côtés.

Rectangle à agrandir : un est à peu près semblable, d’autres trop allongés.

Enfin on donne à évaluer perceptivement des triangles emboîtés de façon centrale ou le petit dans un coin du grand : Sil semble dans un cas reconnaître le parallélisme : « Il est le plus joli » (en montrant les côtés parallèles), mais il dit de deux triangles à côtés non parallèles : « Oui, aussi bien que le dernier ».

Il est inutile de multiplier ces cas pour comprendre la nature des réactions propres à ce niveau. Lorsqu’il s’agit d’agrandir un triangle par le dessin, le sujet se borne à reproduire un triangle quelconque, estimant semblables tous les triangles entre eux, par opposition aux formes non triangulaires. Sans doute, lorsqu’il s’agit d’agrandir le modèle en dessinant un triangle qui l’emboîte directement et avec bases communes sur une partie de leur longueur, l’enfant est-il conduit, par la situation même, à dessiner une figure ayant, très en gros, la [p. 390] même forme que ce modèle. Et encore cela n’est-il vrai que des modèles équilatéraux ou isocèles à sommet très obtus, car le modèle isocèle très pointu (de 3 cm de base et 6 cm de côtés) donne en règle générale une copie très différente (par exemple 6 cm de base et 8 à 8,5 cm de côtés chez Per, et 16 cm de base pour 10 et 13 cm de côtés chez Cyr !). La facilité plus grande de trouver une ressemblance globale entre l’agrandissement et le modèle, en cas d’emboîtement, ressort à l’évidence de la contre-épreuve que nous avons fréquemment tentée et qui consiste à faire dessiner l’agrandissement à côté et non pas autour du modèle : le cas cité de Cyr montre qu’ainsi toute analogie disparaît entre le modèle et la copie (sauf dans le cas du triangle équilatéral, mais il s’agit sur ce point d’une exception due sans doute à une influence de « bonne forme » perceptive.

Mais c’est précisément parce que la similitude est beaucoup moins difficile à construire en cas d’emboîtement du modèle dans la copie, que nous nous en sommes tenus à ce procédé, permettant alors à coup sûr d’établir si le sujet tient compte ou non du parallélisme des côtés. Or, sur ce point capital, les réactions de ce niveau II A fournissent une réponse très nette à la question que nous nous sommes posée : les enfants examinés ne se soucient nullement de ce parallélisme même dans le cas où le modèle est situé dans un coin du triangle à agrandir et où deux côtés de ce dernier sont déjà donnés d’avance (cf. Sil qui échoue alors au parallélisme du troisième côté). Quant à la mise en correspondance des angles, on pourrait croire, à noter des réflexions comme celles de Cyr (« Ah une très pointue », « c’est pas assez pointu », « encore plus pointue », etc.), qu’elle constitue déjà une préoccupation pour le sujet, mais le résultat obtenu montre assez qu’il n’en est rien, ce qui va de soi puisqu’il n’y a pas encore de recherche du parallélisme des côtés de ces angles.

L’analyse des comparaisons perceptives fait comprendre le pourquoi de cette indifférence aux côtés parallèles et aux angles. Tout se passe, en effet, comme si, en comparant deux triangles isocèles emboîtés pour juger s’ils sont semblables ou non, l’enfant ne tenait compte que de l’une des dimensions (hauteur du triangle ou largeur de sa base) et non pas du rapport entre les deux. C’est en général la hauteur qui l’emporte comme si l’enfant se disait « plus il est haut, mieux il va », cette erreur systématique s’accompagnant d’ailleurs de seuils très larges, c’est-à-dire d’un grand flottement dans les estimations.

Quant à la similitude des rectangles, étudiée ici à titre de simple comparaison, et sur laquelle nous reviendrons systématiquement [p. 391] dans la section II, on observe le même genre de difficultés, mais plus accentuées, car il est moins facile de faire comprendre l’emboîtement des rectangles que des triangles. Le dessin aboutit à un agrandissement, soit beaucoup trop haut, soit beaucoup trop long, et les comparaisons perceptives entre rectangles avec emboîtement donnent lieu à un seuil très large et à une erreur systématique consistant à choisir des rectangles trop allongés comme semblables au modèle plus petit : l’agrandissement est donc conçu surtout comme un allongement de la figure. La présence d’une diagonale prolongée paraît sans aucune influence.

Eu égard à ces réactions de début, le sous-stade II B apparaît, par contre, comme un niveau de transition, au cours duquel le parallélisme est à peu près atteint pour certaines formes de triangles, mais nullement encore pour d’autres. En voici quelques exemples :

Mus (6 ; 6) agrandit un triangle équilatéral de 3 cm de côté sous une forme de 6 cm de base (donnée d’avance) et de 5,5 cm de côtés. Le triangle isocèle à sommet obtus (6 cm de base et 3,4 cm de côtés) donne avec une base de 12 cm (donnée) des côtés de 5,6 et 6,5 cm c’est-à-dire presque entièrement corrects. (« Il n’est pas tout à fait pointu comme le premier », dit cependant Mus). Par contre le triangle isocèle pointu de 3 cm de base et 6 cm de côtés paraît d’emblée au sujet difficile à agrandir : « C’est plus dur, celui-là ». Mus avec une base donnée de 6 cm n’aboutit, en effet, qu’à des côtés de 6,5 cm, c’est-à-dire sans aucun parallélisme : « Il est tout à fait juste ? — C’est un peu plus large (il est presque équilatéral !) mais ne sais pas comment faire (Mus n’a donc pris aucune conscience du parallélisme des côtés cependant à peu près respecté à propos des figures précédentes). — Essaie encore. — (Il arrive à 7 cm de côté !) ».

La comparaison perceptive ne donne pas d’erreur systématique mais un seuil assez large (2 cm sur 6). Par contre Mus commence à juger d’après le parallélisme des côtés (« pas assez près » ou « trop écartés », etc.), quoique de façon assez imprécise comme l’indique le seuil.

Les rectangles avec emboîtement donnent un agrandissement par allongement, la largeur étant à peine modifiée. La comparaison perceptive aboutit à une forte erreur positive (même allongement), et la diagonale prolongée continue de ne servir à rien : « Ça peut te servir, cette ligne de travers, pour voir si le rectangle a la même forme ? — Ça me gêne plutôt. — Comment fais-tu alors pour voir celui qui a la même forme ? — Je regarde la longueur ».

Bar (6 ; 8). Triangle équilatéral (de 3 cm de côtés) : base donnée de 6 (il agrandit les côtés jusqu’à 5 et 5 cm) puis de 9 cm (il dessine alors les côtés de 6,5 et 6,5 cm). Triangle isocèle obtus (6 [p. 392] cm de base et 3,4 cm de côtés) : il l’agrandit à peine (base non donnée de 7,5 cm et côtés de 3,75 cm, donc presque juste). « Fais-le encore plus grand. — Voilà (d’un côté il a maintenu le parallélisme sans déplacer sa règle, tandis que l’autre est dessiné un peu trop court et trop penché) ». Isocèle aigu de 3 cm de base et 6 cm de côtés : une base de 6 cm étant donnée, Bar dessine des côtés non parallèles en surélevant à peine la hauteur, puis se corrige en l’élevant de 0,5 cm mais toujours sans parallélisme.

Comparaison perceptive comme Mus mais sans allusion explicite au parallélisme.

Rectangles emboîtés : dessin trop large par rapport à la hauteur. Comparaison perceptive : même erreur (donc négative) et diagonale sans signification.

Mul (7 ; 6) agrandit du double le triangle équilatéral de 3 cm de côtés en conservant à peu près le parallélisme mais le perd au cours des agrandissements suivants (par exemple : base libre de 17,5 cm et côtés de 13,7 et de 13,2 cm) ; le conserve deux fois puis le perd également pour l’isocèle obtus (jusqu’à une base libre de 20 cm et des côtés de 13 et de 16 cm). Le triangle isocèle aigu donne lieu à une élévation très faible de la hauteur avec élargissement donné puis libre de la base ; aucun parallélisme (comme Bar).

La comparaison perceptive donne une erreur négative (agrandissement en largeur plus qu’en hauteur) mais avec un seuil faible (1 cm).

Les rectangles emboîtés donnent lieu à des dessins agrandissant la figure tantôt en largeur, tantôt en longueur. La diagonale donnée est complètement négligée.

Min (7 ; 10), pour les triangles donnés dans le coin de la copie à agrandir (avec la base et le côté supérieur dessinés d’avance), manque chaque fois, au début, le parallélisme des troisièmes côtés, puis réussit à peu près, par approximations successives. Mêmes réactions pour l’emboîtement central. Les triangles obtus sont mieux réussis que les aigus.

On voit en quoi consiste le progrès de ces réactions sur celles du sous-stade II A. En premier lieu, les agrandissements graphiques de l’enfant commencent à tenir compte du parallélisme des côtés du triangle, mais par approximations successives (Min) ou en certains cas privilégiés seulement, ceux-ci se ramènent à deux types : d’une part, lorsqu’il s’agit d’un léger agrandissement seulement, et que ce parallélisme s’impose ainsi pour des raisons surtout perceptives ; mais aussi, d’autre part, dans le cas de certaines formes de triangle par opposition à d’autres. C’est ainsi que le parallélisme est mieux conservé pour les triangles équilatéraux et surtout pour les triangles isocèles à sommet très obtus, l’inclinaison des côtés étant alors [p. 393] faible et par conséquent plus facile à évaluer, tandis que le triangle isocèle à sommet très pointu donne régulièrement de mauvais agrandissements, comme si l’enfant hésitait à augmenter encore la hauteur et se croyait tenu à ne modifier que la largeur. Tout se passe donc comme si le sujet s’assignait une sorte de prototype idéal du triangle de nature perceptive, dans lequel le parallélisme est facile à respecter, et comme si le triangle à sommet trop aigu lui paraissait s’écarter de cette « bonne forme » et donnait lieu par conséquent à des corrections inconscientes en cas d’agrandissement.

En second lieu, la comparaison perceptive des triangles emboîtés est plus stable en moyenne qu’au niveau II A, par le fait de régulations meilleures, et donne lieu à des erreurs systématiques se compensant davantage, avec référence implicite ou même explicite (Mus) au parallélisme des côtés.

Quant aux rectangles emboîtés, l’erreur est beaucoup plus prononcée que pour les triangles, et en général dans le sens de l’allongement excessif de la figure. Ce contraste entre l’amélioration de la similitude des triangles et le caractère encore rudimentaire de l’estimation des rectangles semblables est intéressant à noter, en ce qu’il révèle un écart encore considérable entre les jugements de similitude fondés sur le parallélisme des côtés, et par conséquent implicitement sur l’équivalence des angles, et les jugements (toujours inexistants) qui s’appuieraient sur la proportionnalité des dimensions. En ce qui concerne enfin la diagonale prolongée, présentée sur certains modèles, le fait que ces sujets la négligent complètement (voir Mus), non seulement confirme ce qui précède, mais encore démontre combien peu ils établissent de rapport entre l’agrandissement des rectangles et celui des triangles, le rectangle sectionné par une diagonale n’étant encore nullement assimilé à un double triangle.

En accord avec ce que nous avons vu au chapitre XI de la découverte du parallélisme des lignes obliques, et notamment des côtés opposés du losange, les sujets du sous-stade III A devenant capables de construire et de conserver un tel parallélisme, l’utilisent explicitement et systématiquement pour agrandir les triangles en maintenant leur forme invariante. On peut donc dire que le niveau III A marque la compréhension d’une certaine forme de la similitude des triangles, deux triangles étant dorénavant tenus [p. 394] pour semblables lorsque leurs côtés sont parallèles. Quant aux angles, les sujets que nous allons étudier ici n’y font généralement pas d’allusion explicite (contrairement à ceux qui sont soumis à la technique II et dont nous parlerons au paragraphe 5), mais il est permis de soutenir que c’est parce qu’ils reconnaissent l’égalité de ces angles au parallélisme de leurs côtés. Plus précisément, ils n’en parlent pas, parce que ces notions ne font qu’un pour eux, tandis qu’interrogés au moyen de la technique de recouvrement (technique II) ils feront intervenir en outre l’écart entre ces côtés.

Voici des exemples de ce sous-stade III A, à commencer par deux cas encore intermédiaires entre les niveaux II B et III A :

Mic (7 ; 6). Triangle équilatéral de 3 cm de côtés : « Ah, ça fait comme une maison d’Indien. — Tu feras exactement la même maison, mais en plus grand (base commune de longueur indéterminée). — (Il dessine, sans s’occuper de la bissectrice marquée en pointillé et prolongée au-dessus du modèle, un triangle exact de 8,7 ; 8,7 et 8,8 cm de côtés, dont le côté gauche est proche de celui du modèle et le côté droit éloigné de plus de 4 cm : il a conservé visiblement le parallélisme des côtés bien qu’on n’y ait naturellement fait aucune allusion dans la question). — Comment as-tu fait pour que la maison ait la même forme que la petite ? — Je regarde si c’est la même chose penché. Si je la faisais toute plate, ça n’irait jamais. — Et avec celle-là (nouveau triangle équilatéral) ? (Dessin juste). On n’a qu’à pousser la règle, et puis c’est la même chose penché. — Et celui-là (isocèle obtus de 6 cm de base et 3,4 cm de côtés) ? — Eh, celui-là, on dirait qu’il est écrasé (il déplace soigneusement la règle pour obtenir le parallélisme). — (Équilatéral de 3 cm de côtés mais avec une base donnée de 9 cm). Et maintenant ? — (Il débute par un triangle quelconque). Oh il ne va pas, il a une autre forme (il fait plusieurs essais pour aboutir, au quatrième seulement, à un agrandissement à peu près correct de 9 cm de base et 9,5 cm de côtés). Il n’y a que celui-là qui va. — Et celui-là (10,5 cm de côtés, pour la même base) ? — Il est mieux que les autres, mais quand même pas tout à fait juste. »

Quant aux rectangles, Mic les allonge beaucoup trop en les agrandissant, et ne tient aucun compte de la diagonale lorsqu’elle est indiquée.

Met (7 ; 9) débute par des réactions appartenant encore nettement au niveau II B pour terminer par celles de III A. Le triangle équilatéral de 3 cm de côtés est agrandi (avec base donnée de 6 cm) par des côtés de 5,5 cm seulement, donc sans parallélisme très précis : « Tu trouves tout à fait juste ? — Ça devrait être un tout, tout petit peu plus haut. — Et celui-là (3 cm de base et 6 cm de côtés avec nouvelle base donnée de 6 cm) ? — (Elle dessine des côtés de 8,5 cm). Je ne suis pas contente. Je l’ai [p. 395] fait trop pointu (c’est le contraire). Les côtés ne sont pas la même chose penchés. — Et ça (3 cm de base et 1,7 cm de côtés) ? — Celui-là il est posé en largeur (Met cherche cette fois à conserver le parallélisme et construit un agrandissement de 6 cm de base donnée et de 3,5 cm de côtés, puis elle place son crayon en prolongement des côtés du modèle pour vérifier le parallélisme avec ceux de son triangle et dit) : C’est presque juste. — Comment sait-on quand c’est juste ? — Quand les lignes vont la même chose (= définition du parallélisme par l’identité de direction !) » — Les rectangles agrandis sont les uns beaucoup trop longs, les autres corrects, en particulier celui construit sur la diagonale prolongée du modèle, mais Met ne peut justifier son utilisation : « Cette ligne qui traverse les deux rectangles peut servir à trouver la grandeur exacte ? — Je ne vois pas comment elle servirait ».

Mat (7 ; 2) par contre, appartient déjà aux cas francs du niveau III A. Il réussit d’emblée l’agrandissement des trois modèles de 3 cm sur 3 de côtés, de 3 cm sur 6 et de 6 cm sur 3,4 : « On n’a qu’à suivre les lignes », dit-il en reportant sa règle parallèlement au modèle.

Comparaisons perceptives : seuil 0, erreur 0. « C’est faux, ça devrait être comme ça » dit-il en posant deux crayons parallèlement sur la table en présence de deux triangles non semblables.

L’agrandissement des rectangles demeure, par contre, arbitraire, avec erreurs par excès de largeur : « Il faut bien ajouter à la largeur, puisqu’on ajoute à la longueur, mais pas trop », dit cependant Mat, mais il exagère par excès de régulation. Il ne se soucie pas de la diagonale dans ses dessins. Par contre les comparaisons perceptives des rectangles emboîtés sont presque exactes, avec légère erreur négative (largeur trop grande), mais plus précises lorsque la diagonale est indiquée. Il découvre alors brusquement sa signification : « Eh, la ligne traverse le grand rectangle ! Oui, maintenant je vois, c’est juste quand la ligne va au coin ! » Mais il s’agit d’une loi découverte empiriquement après coup et non pas d’un procédé de construction.

Mei (7 ; 10) dit, dès le premier triangle à agrandir : « Je suis simplement les côtés » puis il déplace sa règle parallèlement aux côtés du modèle. Pour le modèle de 3 cm de base et de 6 de côtés, il dit : « On peut faire la même chose, il faut que les lignes soient la même chose penchées » puis il réussit après un essai manqué.

Les comparaisons perceptives donnent une légère erreur négative : Mei présente une certaine difficulté à « voir » le parallélisme des côtés des triangles tout en le recherchant intellectuellement de façon explicite !

Les rectangles à agrandir sont trop allongés et leur comparaison perceptive donne une erreur de même sens. On présente des rectangles avec diagonales parallèles entre elles (chaque rectangle ne comportant qu’une diagonale mais orientée dans la direction inverse à celle de la diagonale commune aux deux rectangles emboîtés) : [p. 396] l’erreur perceptive n’en est pas affaiblie jusqu’au moment où Mei découvre : « Ah, ces lignes doivent monter la même chose, être la même chose penchées ».

Bru (8 ; 1) déplace immédiatement sa règle de façon parallèle pour agrandir le premier triangle (3 cm de côtés). Le triangle de 3 cm de base et 6 cm de côtés donne lieu à plusieurs essais successifs, dus au fait que Bru a nettement quelque peine à percevoir le parallélisme exact tout en déclarant : « Il faut que ce soit aussi mince (= l’écart entre les deux côtés de l’angle du sommet) et la même chose penché ». Même réaction pour le triangle de 3 cm de base et 1,7 cm de côtés, avec base donnée au quadruple : Bru réussit son dessin, par report de la règle mais le juge inexact.

Comparaison perceptive : justifie chaque fois son jugement en invoquant le parallélisme : « Ça devrait être plus raide… moins raide » etc. mais n’en fait pas moins un certain nombre d’erreurs d’estimation.

Les rectangles agrandis sont dessinés trop larges, tandis que l’erreur des jugements perceptifs tend à l’exagération de la longueur. Ne tient compte de la diagonale prolongée ni dans un cas ni dans l’autre, et dit même : « Celui-là (qui a fait le dessin) s’est trompé, il a cru que c’était juste quand la ligne va droit au coin : il s’est laissé attraper ».

Lor (8 ; 2). On donne un triangle isocèle de 3 cm de base et 6 cm de côtés en priant de l’agrandir sur une base commune de 6 cm (emboîtement central). Lor s’écrie spontanément : « Il faut qu’il soit aussi pointu. C’est difficile », puis elle déplace la règle avec beaucoup de soin et trace deux côtés parallèles à ceux du modèle. « À quoi voit-on que c’est juste ? — Les jambes sont la même chose penchées ». On donne ensuite le même triangle isocèle à agrandir par juxtaposition (sur une ligne de base commune mais à quelques cm : « Oh ! C’est dur ! On ne peut pas avec la règle (elle essaie à vue d’œil, mais échoue) : on dirait qu’il n’est pas la même chose penché ». Puis elle déplace la règle avec beaucoup de soin et parvient au parallélisme. « Tu pourrais mesurer pour trouver tout à fait juste ? — Qu’est-ce qu’on peut mesurer (étonnement) ? » On donne alors un triangle irrégulier (côtés 2 et 4 cm) posé de façon quelconque, en prolongeant les côtés en pointillé : Lor trouve d’emblée une base parallèle au modèle, en déplaçant la règle.

On donne enfin un autre triangle irrégulier de 4 et 2 cm de côtés en prolongeant ces côtés et en fixant que celui de gauche doit avoir 8 cm (sans donner les chiffres : on marque simplement le point) : « Je te cache le bas du toit (la base). Peux-tu trouver quand même ? — Impossible, Bärbel, ce que tu me demandes de choses ! (n’arrive pas). — Et si j’ôte le papier (qui cache la base) ? — Ah oui, facile, c’est comme tout à l’heure (parallélisme des bases) ! — Et si on cache, mais qu’on te donne cette ligne (le côté de 8 cm) ? — Non, on ne peut pas savoir. — Et en mesurant ? — Mais quoi mesurer ? »

[p. 397]Nel (8 ; 3) réussit d’emblée les trois agrandissements demandés (emboîtement central et dans le coin), en disant : « Je fais les lignes la même chose penchées, c’est facile, alors ça se ressemble » et « Il faut faire attention, quand on pousse la règle, de garder la bonne direction » puis il demande une seconde règle pour vérifier les parallélismes. Comparaisons perceptives : il analyse de même soigneusement les inclinaisons, mais avec, presque chaque fois, une perception inférieure au raisonnement.

Rectangles emboîtés : erreur positive (allongement excessif) dans le dessin et dans la perception. Ne tient pas compte des diagonales.

Ino (9 ; 0) commence par comparer un triangle équilatéral avec d’autres mêlés à une suite de triangles irréguliers qu’on lui présente tour à tour. La comparaison porte d’emblée et spontanément sur les parallélismes : « Non, c’est trop penché… Là c’est un peu plus droit que là » et pour l’équilatéral agrandi : « C’est la même chose en plus grand » (il montre les côtés parallèles). Même expérience avec un isocèle comparé à des triangles quelconques parmi lesquels un modèle agrandi : il élimine les non semblables et retient le bon : « Tout à fait la même chose : les deux lignes sont penchées de côté. » Mais, pour d’autres modèles il échoue, jusqu’à ce qu’il ait trouvé le procédé de superposer les bases et d’évaluer le parallélisme des côtés : « Il faut le tourner, comme ça il va très bien ».

On lui donne un triangle équilatéral (3 cm de côtés) à agrandir (emboîtement central). Il dessine une première figure à côtés qu’il cherche à faire parallèles, mais la règle dévie un peu : « Ce n’est pas la même chose. — À quoi le vois-tu ? — Là c’est plus près qu’ici (= il n’y a pas équidistance exacte). — Tu peux faire juste ? — Oui (il fait un agrandissement plus grand et résout la question de parallélisme en appliquant la règle contre le modèle et en marquant le trait de l’autre côté de la règle elle-même). — Et plus grand ? — (Il tourne la règle d’un, puis de deux tours sur elle-même, de manière à reporter le parallélisme). Mêmes réactions pour les dessins suivants (isocèle, etc.) et en particulier pour les triangles à emboîter dans le coin de leurs agrandissements (sans donner les côtés) : il prolonge deux des côtés du modèle, puis trouve le troisième par parallélisme : « Ça doit être la même chose penché ». (Il réussit ainsi un équilatéral, un isocèle obtus et un aigu) On donne alors (toujours par emboîtement dans le coin gauche) un triangle irrégulier : il prolonge les côtés inégaux en disant « J’ai fait plus petit ici et plus grand là », puis trouve le troisième par parallélisme. Enfin un triangle isocèle est agrandi à côté du modèle (et sans base commune) de 1 à 5 environ, par pur parallélisme : « J’ai fait que les côtés soient la même chose ». Il en manque un autre plus aigu (également par juxtaposition et dit : « Il faut le faire plus raide: il n’est pas la même chose penché ».

Le rectangle est par contre agrandi trop en hauteur, sans tenir compte de la diagonale ; mais il en découvre la signification, [p. 398] perceptivement : « La ligne (= la diagonale) du grand doit passer par le coin du petit ».

Enfin, on donne à Ino un triangle irrégulier, de 2 et 4 cm de côtés, à sommet aigu, placé obliquement, en donnant d’avance l’agrandissement de 4 cm (sans parler de nombres) à ajouter au côté de 2 cm (soit 6 cm pour le petit côté du triangle à dessiner) : « Je peux prendre la règle ? — Pourquoi faire ? — Pour voir si c’est la même chose penché. — Non, on va cacher la base du modèle. Je veux voir si tu sais te débrouiller autrement. — Alors je ne sais pas. — Essaye. — Je peux mesurer ? — Si tu veux. — Ça fait 4. J’ajoute 4 (il ajoute 4 cm des deux côtés, aboutissant ainsi à des côtés de 6 et de 8 cm, puis il tire la ligne servant de base. On découvre alors la base du modèle et Ino voit la faute) : Ah ! Il est drôle ce triangle. Je vois comment il faut faire (il tire une base parallèle à celle du modèle). — Mais tu aurais pu deviner sans voir la base. — Quand vous cachez, je ne peux pas savoir. — Mesure combien ça fait ? — (Il mesure 8 et 4). Je n’y comprends rien ! Ah oui ! Il faut aussi que ce soit plus long de ce côté parce que l’autre est aussi plus long du même côté (Ino prend donc conscience de la proportionnalité). — Essaie maintenant avec celui-là (2 et 3 cm de côtés. Même position oblique, mais on ne donne plus d’avance l’agrandissement de l’un des côtés). C’est toi qui va tout trouver. Je ne t’indique pas les grandeurs et ce n’est pas la peine de mesurer. On va cacher la base. — (Il ajoute d’abord des longueurs égales des deux côtés, soit environ 2 cm de chaque côté et tire une ligne). Non je crois que ça ne va pas (il ajoute alors, sans mesurer le double, une longueur notablement supérieure, du côté où le modèle a 3 cm que du côté où il a 2 cm et tire une ligne de base. On découvre alors la base du modèle). Oui, c’est mieux (il vérifie immédiatement le parallélisme des bases). Pas tout à fait, mais presque juste ». On voit donc que Ino, non seulement généralise à tous les triangles à agrandir la méthode du parallélisme mais encore en arrive ainsi à un sentiment net des proportions qui annonce le niveau III B.

Perceptivement, il se fonde aussi constamment sur le parallélisme, mais avec erreurs.

Ces différents cas représentatifs du sous-stade III A montrent assez qu’il n’est pas exagéré de parler, à ce niveau, d’une découverte de la similitude des triangles emboîtés fondée sur le parallélisme de leurs côtés. Tandis que ce parallélisme n’était entrevu, au niveau II B, que dans certaines situations privilégiées, et surtout sans formulation explicite, ni même prise de conscience, il est au contraire, au niveau III A, simultanément formulé de la façon la plus claire à titre de condition de la similitude des triangles et étendu systématiquement à toutes les situations (mais il va de soi seulement chez les cas francs du sous-stade, par opposition à Mic et Met qui marquent l’arrivée progressive à ce nouveau palier). Or, l’intervention [p. 399] rapidement généralisée de ce parallélisme, coïncide de façon frappante avec ce que nous avons vu au chapitre XI de la mise en parallèle des côtés opposés du losange soumis aux transformations affines, de même qu’avec les débuts de la construction des coordonnées horizontales et verticales, comme nous le verrons au chapitre XIII. Une telle généralisation du parallélisme donne lieu à deux sortes de constatations intéressantes, tant du point de vue des rapports entre la perception et l’intelligence que de celui de la similitude elle-même.

Du premier de ces deux points de vue, c’est un fait très remarquable que presque chacun de nos sujets semble témoigner d’une intelligence du parallélisme supérieure à sa capacité perceptive. On pourrait admettre que c’est à cause d’une « transposition » perceptive de plus en plus précise de la forme des triangles sur d’autres triangles de dimensions différentes que l’enfant en vient à remarquer qu’à l’équivalence des formes correspond le parallélisme des côtés : la notion des parallèles dériverait, en ce cas, d’une perception correcte préalable du parallélisme. Or, la confrontation des conduites de l’enfant, à l’occasion de ses dessins, et de ses comparaisons perceptives entre triangles emboîtés, déjà dessinés, montre au contraire que les sujets savent que deux triangles seront semblables si leurs côtés sont parallèles (« Je fais les lignes la même chose penchées… alors ça se ressemble » dit Nel de ses deux triangles) alors qu’ils reconnaissent de façon encore assez inexacte, dans leur perception visuelle, l’existence où la non-existence de ce parallélisme. On répondra peut-être que cette opposition intéresse seulement le parallélisme des côtés des triangles emboîtés, et que, de façon générale, la notion des parallèles est immédiatement suggérée par la perception de deux droites équidistantes. Mais cela même nous semble fort contestable. C’est rarement l’équidistance qu’invoquent nos sujets pour caractériser les parallèles (avec raison puisque sa mesure suppose déjà le parallélisme, et qu’il s’agit en outre d’une notion métrique plus tardive que le parallélisme qualitatif ou extensif), mais bien l’identité de direction : « Garder la bonne direction » dit Nel, et surtout « quand les lignes vont la même chose » dit Met pour définir deux parallèles. Or, conserver l’identité d’une direction, c’est le fait d’une action réversible et non pas d’une perception, comme nous l’avons vu pour la construction de la droite elle-même au moyen des conduites de visée (chapitre VI, section 1), et c’est cette opération qui, découverte à propos de la droite, donne lieu à cette première composition que constitue la construction des parallèles. Bien [p. 400] plus, à constater les difficultés perceptives des petits, avant 7-8 ans, à percevoir et à construire des parallèles obliques (voir chapitre XI, § 6), on est conduit à admettre que c’est la construction opératoire des parallèles qui corrige à un moment donné la perception du parallélisme, et non pas cette perception qui explique sans plus la genèse de la notion correspondante (ce qui, par récurrence, peut être vrai mutatis mutandis, à tous les niveaux précédents, jusqu’aux rapports entre l’activité perceptive, avec ses régulations sensori-motrices, et les perceptions initiales elles-mêmes d’un parallélisme grossier).

Cela dit, il est d’autant plus intéressant de constater que les sujets interrogés au moyen de la présente technique conçoivent la similitude des triangles en se fondant directement sur le parallélisme de leurs côtés (et sur un parallélisme opératoire ainsi qu’on vient de le montrer), sans passer explicitement par l’égalité des angles : c’est donc que cette égalité découle pour eux de ce parallélisme ou plutôt que les deux notions ne font qu’un, mais avec prise de conscience débutant par le parallélisme. Les seuls des sujets cités qui parlent spontanément des angles, Lor et Bru, disent que, pour obtenir deux triangles semblables, « il faut que ce soit aussi mince (= intervalle entre les côtés) et la même chose penché » ou « les jambes la même chose écartées », mais ils ne mesurent pas l’intervalle dont il s’agit et se contentent d’assurer le parallélisme des côtés. Nous voyons ainsi poindre la notion de l’égalité des angles en fonction de la construction opératoire qui, de la droite, mène aux parallèles et de celles-ci à la similitude des triangles. Les sujets interrogés au moyen de la technique II (recouvrements) nous permettront de reprendre cette analyse.

Quant à la similitude des rectangles emboîtés, le faible progrès accompli à ce niveau III A, par rapport au sous-stade II B, contraste de façon remarquable avec ce que nous venons de voir au sujet des triangles : c’est que la similitude des rectangles suppose la compréhension des proportions dimensionnelles tandis que la similitude des triangles, reconnue au seul parallélisme des côtés, repose sur un simple jeu d’opérations qualitatives élémentaires. Mais alors se pose la question de la diagonale, que nous avons figurée sur certains des modèles présentés, dans l’idée qu’elle servirait précisément aux sujets à reconnaître qualitativement la similitude des rectangles emboîtés, puisqu’en ce cas, la diagonale des deux rectangles semblables constitue une droite, si le rectangle emboîtant présente avec le rectangle emboîté un angle commun d’où part cette diagonale. Or, il s’est trouvé qu’à ce niveau III A, ou bien [p. 401] la signification de la diagonale commune demeure incomprise comme précédemment (II A et B), ou bien elle est découverte par l’enfant, mais après coup, c’est-à-dire à titre de résultat des comparaisons déterminant la similitude et non pas de procédé pour orienter cette détermination (voir les cas bien nets de Mat et de Mei, par opposition à Met et à Bru). C’est donc, évidemment, que ces sujets ne décomposent pas encore les rectangles emboîtés, comme un couple de triangles semblables, même lorsque le dessin d’une diagonale commune semble suggérer cette manière de voir.

Quant aux réactions du sous-stade III B, elles n’ajoutent rien à celles du niveau III A quant au parallélisme des côtés du triangle, mais elles y ajoutent un progrès dans le sens du passage de la similitude qualitative aux proportions dimensionnelles : c’est la comparaison des dimensions propres aux côtés inégaux du modèle, avec début du sentiment de la proportionnalité et c’est la découverte de certains rapports métriques dans les cas simples tels que 1 à 2. Quant aux rectangles, l’intervention de ces premiers rapports métriques permet également quelques solutions correctes dans les cas simples, tandis que la construction qualitative fondée sur le rôle de la diagonale devient possible chez certains sujets. Voici quelques exemples :

Mon (9 ; 5) agrandit d’emblée correctement le triangle équilatéral en déplaçant sa règle parallèlement au modèle, puis s’écrie : « Ah ! on pourrait aussi mesurer ». Il constate que la base et les côtés du modèle sont de 3 cm et la base donnée est de 6 cm : il vérifie alors que les côtés de son agrandissement sont aussi le double. Pour le triangle de 3 cm de base et de 1,7 cm de côtés, il procède de même, mais pour le modèle de 3 cm de base et de 6 cm de côtés il commence par mesurer et par doubler toutes les dimensions. Il dit alors : « Pas possible, ça monte trop haut » mais il vérifie le parallélisme des côtés et se déclare alors satisfait.

Comparaisons perceptives : légères erreurs négatives et seuil de 0,5 cm.

Rectangles à agrandir : Mon mesure immédiatement le modèle de 1,5 × 3 cm. « Pourquoi mesures-tu ? — Autrement il ne devient pas plus large ; si je garde la largeur 1,5 du petit, ça donne une autre forme (en augmentant la longueur) ». Il réussit à doubler correctement les dimensions de ce modèle, mais fait les autres agrandissements à vue.

Comparaisons perceptives : légères erreurs négatives. Deux carrés à comparer étant présentés parmi les rectangles, Mon pose spontanément son crayon en diagonale : « Je regarde si les coins vont l’un sur l’autre (= sont dans le prolongement l’un de l’autre) ». [p. 402] Par contre il commence par ne pas tenir compte des diagonales indiquées sur certains rectangles emboîtés : « Ça sert à quelque chose ce trait ? — Oui, si on en faisait encore un (= l’autre diagonale) on verrait si ça donne une bonne ou une mauvaise croix ».

Urs (9 ; 11) commence également par agrandir les triangles par la méthode de simple parallélisme des côtés. Mais, avec le modèle de 3 cm de base et 6 cm de côtés, il déclare que « c’est plus difficile de voir si on a bien penché la règle » et il mesure les côtés après avoir constaté que la base donnée est le double de celle du modèle. Pour les rapports autres que 1 à 2 il se contente du parallélisme.

Les rectangles agrandis ne sont pas mesurés et leur largeur est exagérée, mais dans les comparaisons perceptives l’erreur est inverse. Par contre, dès que l’on présente des rectangles emboîtés à diagonale commune il découvre : « Ah ! ça touche juste la ligne, quand c’est juste… Maintenant c’est facile, je n’ai qu’à regarder si la ligne (= la diagonale) touche le coin ».

Gui (10 ; 4). On lui présente un triangle irrégulier de 3 et 4 cm de côtés placé obliquement dans un coin de la feuille et à côtés prolongés avec points situés à 9 cm du sommet sur le prolongement du petit côté (donc un accroissement de 6 cm pour 3) : « Fais m’en un de plus grand, qui ait la même forme que le petit. — Je mesure : le petit à 3 cm, le grand a 9 cm, alors il me faut aussi 9 cm de l’autre côté (il trace la ligne). — C’est bien ? — Non, ça doit être parallèle (il trace la base du grand à vue d’œil). — Bien, maintenant celui-là (côtés de 3 et de 4 cm, point à 8 cm dans le prolongement de celui de 4). — (Il mesure, 8 cm et les reporte de l’autre côté). — C’est juste ? — Non (il dessine la base parallèle). Tu pourrais trouver en mesurant ? — (Il mesure les deux petits côtés de 3 et 4 cm et le grand côté de 8). Oui, le petit côté fait 3 cm, alors il faut le doubler comme l’autre. — Bien. Cette fois c’est juste. Alors je t’en donne un autre (3 et 4 cm de côté. Grand côté donné de 12 cm). — À gauche vous avez ajouté 8 cm, alors il faut aussi ajouter 8 cm à droite (il retombe donc pour la troisième fois dans la même erreur). — C’est bien ? — Non, de nouveau faux (il mesure). Si j’ajoute 3 cm au petit ça fait trop court. Alors il faut ajouter 6 cm parce que c’est le double. — Bien, encore un (3 et 4 cm de côtés, grand côté donné du triangle agrandi = 10 cm). — (Il mesure). À gauche c’est 4 cm + 6 cm, alors j’ajoute 6 cm à droite (quatrième répétition de l’erreur !). — C’est bien juste ? — Non. Le petit fait 3 cm alors j’ajoute 2 × 3 = 6 cm (il trace la base ainsi, mais constate qu’elle n’est pas parallèle). Non pas encore (il tâtonne et trouve empiriquement 3 + 3 + 1 + 0,5 cm en se guidant sur le parallélisme, faute de de proportion simple). — Et celui-ci (3 et 4 cm pour le petit, 9 cm pour le petit côté du grand). — À droite on a mis 9 cm de plus, à gauche le côté est plus long (4 cm) alors je mets 1 cm de plus (il met alors 10 cm pour ne pas retomber dans l’addition de la même quantité !) — Ça suffit ? — Non. — Comment faire ? — (Il ne le trouve à nouveau que par parallélisme) ». [p. 403] Au total il a donc compris après tâtonnement la proportion 1 à 2, mais s’appuie en définitive toujours sur le parallélisme.

Neuf (10 ; 4) parvient également après avoir ajouté la même quantité à agrandir un triangle de 6 et 4 cm de côtés (grand côté donné de 12 cm) en un triangle de 12 et 8 cm « Bien, je vais faire le double ». Mais, dans la suite, ou bien il continue à doubler en cas d’autres proportions, ou bien il tâtonne en se fondant sur le parallélisme des bases.

Ray (10 ; 7). Triangle donné de 3 et 4 cm et petit côté de l’agrandissement fixé à 9 cm (donc augmentation de 6) : il commence par rajouter 6 cm de l’autre côté également, puis, en regardant la figure, il a un sentiment net de la proportionnalité : « Il faut ajouter plus de ce côté (du côté 4 cm) ». Mais il n’y parvient pas métriquement, sauf dans le cas du double. On donne, en effet, 3 et 4 cm de côtés du petit et 8 cm pour le grand côté de l’agrandissement : il fait d’abord les deux côtés de 8 cm, puis rajoute 4 cm de chaque côté, puis enfin trouve le double : « Les deux c’est deux fois ».

Tous ces cas témoignent donc, dans le cas des triangles irréguliers ou du rectangle, d’un sentiment net de la proportionnalité fondée sur la comparaison des côtés inégaux du modèle, mais cela pour autant qu’il n’y a pas encore mesure ni calcul. Dès que la mesure intervient, les sujets ne réussissent que la proportion du simple au double. Dans le cas des autres rapports, il y a contradiction entre l’idée d’ajouter des parties égales de chaque côté (ou même d’ajouter un peu plus du côté le plus court par compensation comme chez Gui) et l’observation du parallélisme des bases, qui demeure toujours le seul critère fixe à ce niveau. Voici encore quelques constructions de rectangles fondées sur la considération des diagonales :

Vol (9 ; 5). Triangles : comme les précédents. Rectangles : il commence sans mesurer, puis corrige par tâtonnements successifs, jusqu’au moment où on lui montre le modèle avec diagonale : « Il est faux, le mien, parce que la diagonale n’arrive pas au coin. Il faudrait qu’elle traverse en passant par le coin du petit ».

Nie (9 ; 7). Mêmes réactions : « La ligne (= la diagonale) doit être dans le coin du grand parce que c’est dans le coin du petit ». Il effectue alors les agrandissements suivants en construisant simplement les diagonales communes.

Lio (9 ; 11). Triangles : mêmes réactions. Rectangles agrandis empiriquement : « Ça peut servir cette ligne (diagonale) ? — Non, ça ne peut que nous brouiller ». Mais ensuite, après mesures du double des dimensions, il découvre : « Quand c’est juste, ça doit arriver au coin, quand on fait le double. Si c’est la même chose (= si les deux rectangles sont semblables), il doit bien passer par là (= par l’angle), le trait ».

[p. 404]Jea (9 ; 10). Mêmes réactions initiales, puis il construit le rectangle emboîtant en tenant compte de la diagonale : « J’ai voulu que ça arrive sur le trait (= diagonale) : le trait fait le triangle, il passe au milieu ! »

On voit ainsi que les sujets du sous-stade III B, après avoir, comme ceux du niveau III A, utilisé la méthode de la mise en parallèle des côtés ou des bases, pour s’assurer de la similitude des triangles emboîtés, en viennent à soupçonner les rapports proportionnels existants entre les longueurs des côtés. On peut donc dire que la proportionnalité des relations dimensionnelles est engendrée, en de tels cas, par la similitude préalablement établie grâce aux rapports qualitatifs. La chose est d’autant plus intéressante à noter que nous la retrouverons sous une autre forme, lors du passage entre la notion de l’intervalle déterminé par les côtés de l’angle et les proportionnalités liées à l’accroissement de cet intervalle.

D’autre part, les réactions à la diagonale des rectangles, observées au cours de ce sous-stade III B, confirment entièrement ce que nous disions plus haut des rapports entre la perception et l’intelligence à propos des parallèles. Il est à noter en effet, que de nombreux sujets de ce niveau, parvenant aux rapports proportionnels simples, se montrent encore incapables d’utiliser la diagonale et ne voient pas, comme Jea, par exemple, que la diagonale coupe le rectangle en deux triangles tels que les rapports entre rectangles emboîtés semblables se réduisent, pour chacun d’eux, à des relations entre triangles, non seulement emboîtés, mais à côtés en partie communs. Les cas cités d’utilisation de la diagonale ne constituent donc qu’une partie des cas observés, les autres réagissant comme ceux des niveaux III A ou même II B. D’où provient donc cette difficulté ? Assurément au rôle de la configuration perceptive, la forme du rectangle étant en général trop « prégnante » pour qu’on la décompose facilement en deux triangles accolés. Or, une fois l’enfant capable, par l’intelligence, de trouver la similitude entre deux rectangles emboîtés, en agrandissant simultanément la largeur et la longueur du rectangle emboîtant (tout en conservant la même forme), il s’aperçoit fréquemment, mais après coup, de la signification de la diagonale, conçue comme un moyen d’assurer la similitude de façon certaine, sans recourir aux mesures. C’est donc la compréhension opératoire qui facilite la décomposition perceptive, dans ce cas particulier, de la diagonale des rectangles comme dans celui du parallélisme des côtés des triangles.

[p. 405] Quant aux proportions dimensionnelles entre les côtés des rectangles semblables, dont ces sujets déterminent également les cas simples (le rapport de 1 à 2 comme chez Lio) nous y reviendrons à propos de la comparaison des rectangles séparés et non pas seulement emboîtés, c’est-à-dire au cours de la section II de ce chapitre.

Il resterait à parler du stade IV, au cours duquel l’enfant ne se contente plus de la détermination des rapports dimensionnels dans le cas des proportions simples, mais généralise ce qu’il a entrevu au niveau III B. Le problème est d’autant plus essentiel, que si la similitude des triangles est acquise dès les débuts du stade III (niveau III A) grâce au parallélisme des côtés, la notion des proportions proprement dites n’est systématisée qu’au stade IV. Mais, pour ne pas allonger, nous reprendrons également ce problème au cours de la section II, où nous le retrouverons à l’occasion des rectangles.

Bornons-nous donc à un seul cas, pour fixer les idées :

Ech (12 ; 0). Triangle de 3 et 4 cm de côtés. On donne le petit côté du triangle agrandi = 9 cm (dans le prolongement du côté de 3 cm) : « Alors pour ce côté je fais aussi le double, ça fait 8 (il rajoute 8 cm au côté de 4 cm, ce qui aboutit à un triangle semblable de 9 et 12 cm de côtés emboîtant le premier). — Et comme fa (3 et 4 cm de côtés du petit, 8 cm pour le grand côté du grand). — Je double comme l’autre (il double cette fois simplement les côtés : 6 et 8 cm). — Et comme ça (3 et 4 cm ; grand côté du grand = 12 cm) ? — (Il ajoute 8 cm de chaque côté comme au niveau III B). Oh ! c’est pas juste. — Alors ? — 8 cm ça fait 2 fois 4 cm, alors je rajoute aussi deux fois à l’autre : 2 × 3 = 6 cm + 3 = 9 cm. — Et celui-là (3 et 4 cm avec 10 cm de grand côté du grand) ? — Je vais ajouter 7 par ce que ça fait 10. Ah non ! Euh ! 2 fois 4 = 8, reste 2 (jusqu’à 10). Alors là (petit côté), ça fait 2 × 3 et encore la moitié 7 ½ ».

On voit qu’ainsi la proportionnalité, déjà sentie au cours du sous-stade III B, se traduit dorénavant en rapports métriques et en calcul numérique. Tandis que, chez Gui (fin de l’interrogatoire) et chez Ray, au niveau III B, et déjà chez Ino (à la limite supérieure du niveau III A), la comparaison des côtés inégaux du triangle donne lieu à la notion qu’il faut ajouter davantage du côté le plus long pour obtenir un agrandissement semblable au modèle, cette notion simplement extensive de la proportionnalité, née de la comparaison des parties entre elles, se prolonge ainsi, au stade IV, en un système de deux rapports numériques égalisés entre eux. C’est ce passage de la similitude extensive, accompagnée d’une construction [p. 406] qualitative et graphique des rapports proportionnels, à la notion proprement métrique des proportions, que nous retrouverons au paragraphe 9 de ce chapitre.

La deuxième technique employée consiste, on s’en souvient, à présenter à l’enfant des cartons découpés en triangles de diverses formes (voir la liste au § 1), à classer par familles, le sujet étant libre de les manipuler à sa guise et notamment de les recouvrir les uns au moyen des autres, de manière à juger de l’égalité des angles, du parallélisme des côtés, des rapports dimensionnels etc. Après ce que nous venons d’apprendre des réactions de l’enfant aux triangles emboîtés, il vaut la peine d’examiner brièvement son comportement dans l’emploi de la méthode plus spontanée dont il va être question.

Sans remonter au stade I pour les raisons qu’on a vues, nous allons constater que, au niveau II A encore, le sujet juge des triangles de façon toute globale, sans analyse des angles et surtout sans essais spontanés de recouvrements ou de juxtapositions précises. Bien entendu, la considération de l’angle est implicitement comprise dans les rapports de forme envisagés syncrétiquement par l’enfant, car si par exemple deux triangles ont la même hauteur et des bases très différentes, les angles sont également très dissemblables : mais en un tel cas, c’est justement sur la largeur de la base que portera le jugement de l’enfant et non pas sur les angles comme tels. Voici des exemples de ce niveau II A :

Ful (5 ; 6) : « Est-ce que A2 (20 × 6) ⁷ et C1 (20 × 5) ont la même forme ? — Non. — Pourquoi ? — (Il les met l’un à côté de l’autre). Pas tout à fait la même forme. — Pourquoi ? — … — Et A3 (15 × 4,5) et A2 (20 × 6) ? — Non. — Pourquoi ? — Celui-là est plus haut (A2) », etc. « Tiens. Essaie de regarder comme ça (on lui montre la superposition possible des modèles) et trouves-en deux de la même forme. — (Il compare A3 et C1 puis abandonne A3 pour A2). Ceux-là (A2 et C1). — Pourquoi ? — (Il montre la hauteur égale sans s’occuper des bases inégales). — Et puis ? — (Il prend F6, E3 également équilatéral, et tous les autres, mais rejette F9 en disant) : Non il est plus long ici. — Tu vois qu’il y a un moyen pour regarder s’ils vont vraiment ensemble ? — (Il [p. 407] montre les dimensions, le pourtour général mais ne désigne pas les angles) ».

Kis (6 ; 0) reconnaît également la similitude de deux triangles équilatéraux, mais il trouve que F2 et E3 (7 × 8) « vont mieux parce qu’ils sont plus gros » alors que E3 est aussi équilatéral. De même, il réunit A2 (20 × 6) et C 1 (20 × 5) en montrant leurs côtés à peu près égaux : « Pourquoi vont-ils ensemble ? — À cause de ça (les côtés). — Et F2 et F9 ? — Non (montre le côté) ».

Sue (6 ; 0) de même, compare B1 (6,5 × 50) et B2 (3,25 × 25) sans voir leur similitude : « Non, ça ne va pas. — Pourquoi ? — (Il montre les côtés inégaux) ». On lui explique le procédé de la superposition, mais il ne comprend pas : il trouve par exemple que A1 (30 × 9,5) et C1 (20 × 5) vont bien ensemble, simplement parce que très pointus, sans tenir compte de l’inclinaison des côtés.

Gra (6 ; 6) forme la série des F (équilatéraux) mais se refuse d’y adjoindre E3 également équilatéral « par ce que ces deux côtés (de l’un des F et de E3) ne sont pas la même chose longs. »

On voit que toutes ces comparaisons sont faites soit en fonction de la forme globale soit, dans le cas d’une recherche du détail, en termes de longueurs des côtés. Mais la comparaison perceptive d’ensemble suffit parfois, comme nous l’avions remarqué au paragraphe 2 (cas de Cyr), à la récognition d’un type particulier de similitude : celle des triangles équilatéraux : c’est qu’en effet, dans le cas du triangle équilatéral (comme dans celui du carré), les surestimations ou sous-estimations perceptives pouvant se produire lors de l’évaluation des angles ou de la longueur des côtés se compensent, du fait de leurs égalité objective, cette compensation automatique des erreurs constituant précisément ce qui assure à ces figures le caractère de « bonnes formes » ⁸. Mais, ce cas particulier des triangles équilatéraux mis à part, la comparaison perceptive globale dont se contentent ces sujets n’aboutit à aucune « transposition » précise. Or, c’est là un fait digne de remarque et qui suffît à montrer combien les « transpositions » perceptives demeurent insuffisantes, sauf dans le seul cas des « bonnes formes », à assurer la récognition des similitudes. Qu’il s’agisse des angles comme tels, de la longueur des côtés, de la hauteur comparée à la base (et, pouvons-nous ajouter, d’après les recherches récentes, de l’estimation des inclinaisons) la perception est sujette, sur tous ces points, à des erreurs systématiques bien connues, et c’est simplement la neutralisation statiques de ces erreurs qui rend privilégié les cas du triangle équilatéral, tandis que, [p. 408] pour toutes les autres formes de triangles, elles donnent lieu à un mélange trop complexe pour permettre l’existence de transpositions simples ⁹. D’autre part, sitôt dépassé le terrain de la perception (dont les mécanismes demeurent inconnus du sujet lui-même), l’enfant de ce niveau se révèle incapable de comparaison intentionnelle portant sur le détail des rapports, et se borne, lorsqu’il cherche à analyser son impression globale, à des confrontations de dimensions absolues : hauteur, longueur des côtés, etc.

Au cours du sous-stade II B, on observe des réactions également analogues à ce que nous avons vu, au niveau correspondant, dans l’analyse des triangles emboîtés : le sujet commence à noter les différences d’inclinaisons (lorsque les sommets des triangles sont tous deux dirigés vers le haut), mais sans encore de précision concernant les angles eux-mêmes :

Sau (6 ; 9) met ensemble A1 ; A2 ; A4 et A5 ; D2 (13 × 15 donc peu pointu) et C1 puis les compare attentivement : « Comment regardes-tu ? — Je regarde si les papiers sont découpés pareillement. — Et A2 (20 × 6) et D3 (26 × 15) vont ensemble ? — Non, parce qu’ici il n’a pas la même forme. — Pourquoi pas ? — Ici (A3) c’est plus penché. — Et (A1 = 30 × 9,5) et (C1 = 20 × 5) ? — (Il n’arrive pas à se décider) ».

Yve (6 ; 9) rapproche F2 et D2 puis les sépare : « Non, ça ne va pas ensemble. — Pourquoi ? — Je ne peux pas le dire. — Et (F5 et F4) ? — Oui. — Et (F6 ; F7 et E3, tous trois équilatéraux) ? — Non. — Comment fais-tu pour voir si ça va ? — Je regarde là (montre un côté), où il est penché ». On lui explique le procédé de la superposition, mais il n’arrive à rien de systématique.

Glas (6 ; 10) réunit tous les F (équilatéraux) et se refuse de leur assimiler E1 (scalène) « parce que ses deux côtés ne sont pas les mêmes ». « Et A1 (30 × 9,5) et D3 (26 × 15) vont ils mieux que A1 et A2 ? — Non, c’est (A1 et A2), parce qu’ils ont la même minceur (juste). — Et C1 (20 × 5) ? — Aussi (ne regarde pas l’inclinaison exacte ni la largeur des bases) ».

Bar (7 ; 11) : « Peux-tu mettre ensemble ceux qui ont la même forme ? — Ceux qui sont plus grands ou plus petits ? — Non, ceux qui ont la même forme. — (Il prend Al ; A2 et D3 (20 × 15). Ceux-là (A1 et A2) vont mieux (il prend D2 et D3 puis les sépare.) Celui-là (D2) est plus petit ». Il réussit les F mais rejette F9 « parce qu’il est plus large (faux) et monte moins (juste) ». On lui montre le procédé de la superposition : il superpose alors les angles supérieurs [p. 409] mais assez inexactement. Par contre, il découvre à la fin le rapport essentiel : « De B1 (6,5 × 50) et de C3 (20 × 56) lequel a les plus grands coins (angles supérieurs) ? — Celui-là (B1), parce que c’est plus mince, et ça fait plus long ». Il évalue donc la grandeur de l’angle au moyen du rapport entre la hauteur et la largeur, ce qui annonce le stade III (malgré l’inversion du sens attribué au mot « grand »).

Ces réactions témoignent ainsi de jugements tantôt inexacts, tantôt partiellement exacts. Ces derniers rappellent sur un point, les comparaisons observées au cours du même sous-stade II B dans le cas des triangles emboîtés (§ 2) lorsque les sujets se demandent simplement si les côtés sont plus ou moins « penchés » (Sau, Yve). Mais on voit apparaître également un autre critère de similitude, qui ne se fonde plus simplement sur le parallélisme des côtés : c’est celui de la plus ou moins grande « minceur » du triangle (Glas et Bar) qui se réfère non plus aux côtés comme tels, mais à l’intervalle compris entre eux. Ce second critère conduit à la considération de l’angle lui-même, laquelle va prendre de plus en plus d’importance avec les résultats de cette technique II et les différencier de ceux obtenus avec la technique des triangles emboîtés (technique I). Mais, au présent niveau, il demeure plus ou moins indifférencié du premier et conduit à des évaluations encore très approximatives, jusqu’au rapport découvert par Bar, qui annonce le troisième stade. L’apparition de ce second critère est donc importante à noter, car il est appelé à constituer le point de départ d’une nouvelle notion de la similitude des triangles, fondée sur l’égalité des angles, et non plus seulement sur le parallélisme des côtés, et il annonce, par le fait même, l’élaboration d’un nouveau type d’opérations. Les notions de droites plus ou moins inclinées et de parallélisme aboutiront, tôt ou tard, pour leur part, à la construction de coordonnées rectangulaires, nécessaires à titre de systèmes de référence pour l’évaluation de ces inclinaisons, mais résultant par ailleurs de la mise en parallèle des droites de même direction et de leur perpendicularité par rapport à celles qui les coupent selon une autre dimension : ce type d’opérations, que nous étudierons systématiquement au chapitre XIII (à propos des systèmes naturels de coordonnées), constituent des mises en correspondance à plusieurs dimensions, c’est-à-dire en leur point de départ des multiplications logiques par correspondance bi-univoque. Au contraire, la considération de l’intervalle compris entre les deux côtés d’un angle, intervalle qui s’accroît progressivement à partir d’un intervalle nul ou point [p. 410] unique constitué par le sommet de l’angle, conduit à une mise en correspondance d’un autre type, co-univoque et non plus bi-univoque. C’est ce système d’opérations spécial aux angles, qui s’esquisse intuitivement à propos de la « minceur » des triangles remarquée par les sujets de ce niveau et qui va se développer au cours du stade III.

Contrairement aux comparaisons encore intuitives et perceptives du stade II, qui demeurent à la fois globales et attachées aux valeurs absolues des côtés du triangle, les débuts du stade III se caractérisent par deux conquêtes simultanées : d’une part, l’apparition de superpositions spontanées des modèles présentés, c’est-à-dire d’une conduite déjà opératoire en elle-même consistant en actions réversibles de comparaisons par recouvrements, et, d’autre part, en conséquence de ce progrès dans l’activité du sujet, la découverte de l’égalisation possible des angles indépendamment de la longueur des côtés ¹⁰. Voici des exemples du sous-stade III A, au cours duquel s’effectue cette double transformation :

Ben (7 ; 7) est intermédiaire entre les niveaux II B et III A, en ce sens qu’il découvre spontanément le procédé de la superposition et qu’il lui arrive déjà de comparer les angles comme tels (manifestant donc les deux critères du stade III A), mais il en demeure fréquemment aussi à la simple comparaison de la longueur des côtés. On lui présente toutes les séries mélangées en lui demandant : « Mets ensemble les triangles de même forme. — (Il met d’emblée A1, soit 20 × 6, sur D3, soit 26 × 15). Ça ne va pas. — Pourquoi ? — Celui-là (D3) dépasse (sur les côtés. Il essaie avec A1, semblable à A2). Il est trop long. (Il prend D2, soit 13 × 15 et A3 soit 15 × 4,5 et constate l’égalité 15 = 15 entre la base du premier et la hauteur du second, mais dit) : Ils n’ont pas la même forme. — Et A2 (20 × 6) et A3 (15 × 4,5) ? — (Il juxtapose les côtés). Ils ne vont pas, parce qu’ils montent. — (On lui rappelle sa réaction initiale de juxtaposition en mettant A3 sur A2). — Ah oui (il associe A4 puis A5 à A2 et à A3, puis ajoute D1 mais dit) : Non, celui-là (D1) est moins penché. (Il compare D3 à B2). Non, celui-là (B2) est plus droit que celui-là (D3 : se réfère aux bases ; puis il prend C3 et C2 et dit) : Ils n’ont pas la même forme. — Pourquoi ? — Je compare le coin du sommet. — Et D2 ? — Il ne va pas. — Et C3 et E2 ? — Ils [p. 411] vont ensemble. — Et C2 et C3 ? — Celui-ci (C3) est plus penché. — Faut-il toujours regarder le coin du haut ? — On peut regarder de côté. — Et C3 et A1 ? — Ils ne vont pas, celui-ci est trop pointu. — Et C1 et A1 ? — Ils vont (il superpose les angles inférieurs de droite). Non, celui-ci dépasse ».

Stan (7 ; 6), en présence de toutes les séries mêlées, prend D3 et C2 : « Ils ne vont pas (il regarde les côtés). Celui-ci (D3) n’est pas assez grand et celui-là trop grand. — Et (E3 et F2) ? — Ils ont assez la même forme. Il est petit, mais il a la même forme que le grand. — Et (C2 et D2) ? — Oui, ils ont la même forme (superposition spontanée). — Et (F2 et D2) vont mieux ou moins bien que (D2 et C2) ? — Ils vont mieux (F2 D2) — Et (F1 et F2) ? — Pas la même grandeur mais la même forme. — Et (C2 et B1). — Non, celui-là (B1) est moins pointu et plus large que l’autre. — (D1 et B1) ? — Oui, la même chose. — Et avec (E2) ? — Non, il est trop large (il met ensemble A1 ; A2 ; A3 ; A4 ; A5 et rejette D3). — Comment regardes-tu ? — Je regarde la forme pointue. — Qu’est-ce que tu mesures ? — Ça (il mesure les angles par superposition). — Et (E1 et E4), ça va ? — Non (juste). — Et (C2 et C3) ? — Pas bien. Celui-là (C3) est plus large en bas (juste). — Et (B1 et B2) ? — Celui-là (B2) est plus petit, mais il a la même forme. — (D2 et B2) vont-ils aussi bien que (B1 et B2) ? — Pas tout à fait. Celui-là (D2) est moins pointu ». Il continue ainsi et compare F5 et F7. « Oui, ça va parce que les trois coins sont les mêmes. — Et (F5 et F9) ? — Non, celui-là (F9) est penché. Il faut qu’ils soient les coins la même chose ».

Vui (8 ; 0) : « (A1 et B3) ? — Le premier est très grand en hauteur et le second petit au sommet (= obtus). — Et (F6) à la même forme que (F1) ? — Il est plus petit. — Mais il a la même forme ? — Oui. Celui-là (F4) aussi. » Il prend ensuite A2 qu’il place entre A1 et A3 et vérifie les similitudes par superposition, puis essaie C1 qu’il rejette « parce qu’il est de la même hauteur, mais il est plus large », etc.

Ger (8 ; 9) : « (E5 et F4) ? — Oui, ils ont la même forme. — Pourquoi ? — Ils sont la même chose pointus. — Et (B3 avec A2) ? — Non, la longueur (base) et la hauteur sont différentes. — Tu peux faire des familles avec ces figures ? — Oui (il associe les B, puis les A entre eux auxquels il adjoint D3 qu’il rejette, puis C1 qu’il superpose spontanément à A1, etc.).

Sche (9 ; 3) fait la série des F, puis la série des B : « Je vois qu’ils ont la même forme. — Pourquoi ? — Il faut qu’ils soient la même chose pointus. — Et (D1) va avec ceux-là ? — Non, il n’est pas penché la même chose. — Et (C2 et C3) ? — Non, il faut garder la distance. — Quelle distance ? — (Il montre l’intervalle entre les côtés). — Qu’est-ce qui doit être pareil pour que la forme soit la même ? — Les coins ». « Et pourquoi (Al et A2) sont pareils ? — Parce qu’ils sont en triangle. — Qu’est-ce que ça veut dire ? — La même chose penchés des deux côtés (= isocèle) ».

[p. 412] On voit que chacun de ces sujets parvient effectivement à comparer les angles comme tels, indépendamment de la longueur des côtés. La question est alors de déterminer par quelle méthode ils y parviennent, puisque la durée et la complexité de l’évolution qui conduit à ce résultat montrent assez que, sur le seul terrain de la similitude et indépendamment de la question de la mesure même des angles (sur laquelle nous reviendrons dans un second ouvrage), la notion d’angle n’est nullement le produit d’une aperception simple.

Chez Ben, c’est le procédé de la superposition, découvert spontanément dès le début, qui oriente l’analyse : il découvre alors, lorsque deux triangles sont placés l’un sur l’autre, soit que les coins dépassent, soit que les inclinaisons ne sont pas pareilles, et, tout en demeurant tenté à plusieurs reprises de mesurer simplement la longueur des côtés, il en vient alors à comparer les « coins » eux-mêmes. Stan part de la longueur des côtés, comme au stade II, puis il découvre la similitude des « formes » : l’intérêt de sa réaction est qu’il tient alors compte simultanément du caractère plus ou moins « pointu » du sommet et de la largeur des bases, ce qui revient, sous une forme encore implicite, à souligner la nécessité d’une correspondance co-univoque, puisque les largeurs croissantes des intervalles compris entre les côtés sont ainsi mises en correspondance les unes avec les autres, jusqu’à la base inclusivement (laquelle constitue la dernière de ces lignes parallèles d’intervalles). Ainsi en arrive-t-il à la comparaison simultanée des « trois coins » respectifs des couples de triangles semblables, et, par le fait même, à formuler que l’un des deux « est plus petit, mais a la même forme » que l’autre. Vui suit une méthode analogue : c’est d’abord la comparaison des angles du sommet qui l’oriente, puis sa mise en relation avec la base, d’où le rapport « il est de la même hauteur, mais il est plus large » ce qui est l’expression d’une correspondance co-univoque. Ger, également, part de la notion du pointu pour aboutir à ce même rapport entre les longueurs (= largeur de la base et la hauteur). Sche, après avoir débuté par la comparaison des inclinaisons, en arrive à dire explicitement qu’« il faut garder la distance » c’est-à-dire la largeur du triangle (ou intervalle entre ses côtés), considérée en un point déterminé de sa hauteur, ce qui est l’expression même de la correspondance co-univoque.

On constate donc que tous ces sujets, sauf le cas intermédiaire Ben, qui se borne à parler des coins eux-mêmes, cherchent à exprimer la similitude des triangles superposés par la correspondance co-univoque entre les largeurs successives [p. 413] de l’angle à partir du sommet, c’est-à-dire, en fait, par le caractère plus ou moins « pointu » de ce sommet mis en relation avec la largeur de la base, ou par le rapport entre la hauteur du triangle et sa base. C’est cette mise en relation d’ensemble qui oppose ce stade au précédent et qui caractérise la découverte de l’angle.

Quant au sous-stade III B, il marque l’état d’équilibre auquel parviennent les réactions qui demeurent encore fluides et graduelles au cours du sous-stade III A. À comparer les résultats de cette technique II (recouvrement) et de la technique I (triangles emboîtés), on peut donc dire que la similitude des triangles par égalisation des angles n’est acquise sous sa forme stable qu’au niveau III B, tandis que la même similitude par mise en parallèle des côtés l’est déjà au niveau III A, c’est-à-dire à un niveau ou l’égalité des angles est simplement découverte.

Voici des exemples de ce sous-stade III B :

Aug (9 ; 3) compare A1 et A2 en superposant les angles inférieurs de droite et en vérifiant le parallélisme des côtés de gauche : « Il est plus petit mais il a la même forme ». Il réunit ensuite tous les A en superposant les angles du sommet et de l’un des côtés inférieurs. Il compare de même les F en contrôlant l’égalité de l’un des angles et le parallélisme des côtés : « Tous les coins doivent aller ensemble ? — Oui. — Il faut mesurer les trois ? — Un ou deux ça suffit. — Et (F5 et F8) ? — Ils vont ensemble. — Combien de coins as-tu regardés ? — Il faut mesurer deux coins. — Et le troisième ? Pas forcément. — Pourquoi pas ? — Si je mesure celui-ci et celui-là, ça va ».

Bad (9 ; 10) : « (F5 et F4) vont-ils ensemble ? — Oui, mais l’un est plus grand que l’autre. — Comment peut-on voir exactement ? — (Il commence par appliquer la base de F4 contre un côté de F5 puis il superpose les deux triangles en faisant coïncider leurs bases sur une partie de leurs longueurs et constate le parallélisme des côtés) — Et (F4 et F9) vont ? — Non, pas du tout. — Et (A2 et A3) ? — (Il les superpose par le haut). La pointe est pareille. — Les autres coins le seront aussi ? — Oui. — Et (Al et Cl) ? — (Il superpose les angles du sommet). Non, ils ne vont pas. — Pourquoi ? — Ça c’est plus large que là (= leurs bases ne sont pas parallèles) ».

Bol (10 ; 0) associe B1 et B2, puis les quatre premiers A, puis compare les angles du sommet de D3 et C1 et les sépare. Il associe ensuite les cinq premiers F en les superposant deux à deux. Il sépare D3 et C2 après la superposition d’un angle et refait la série A en contrôlant l’angle inférieur droit : « Il faut mesurer plusieurs angles ? — Il faut mesurer les trois, tout ce qu’on peut ».

Rom (10 ; 0) au contraire, après avoir associé les A puis les F, dit « Il faut mesurer deux angles. — Et avec ceux-là (équilatéraux) ? — Un suffit ».

[p. 414]Dob (10 ; 7) classe d’abord à vue puis compare les angles supérieurs de D2 et D3 et dit : « Ils ne vont pas. — Pourquoi ? — Ils ne penchent pas la même chose. (Puis il prend deux F et fait coïncider les angles supérieurs en constatant le parallélisme des bases). Oui, ça va : cette bande (l’intervalle entre les deux bases quand les sommets coïncident) est partout la même chose (= de hauteur égale). Il faut avoir un angle égal et une bande égale ». Il généralise alors ce procédé à tous les couples. « Il faut mesurer combien d’angles pour dire que ça va ? — Un. — Et (F5 et F9, ce dernier non isocèle) ? — Mais en bas ce n’est pas parallèle (= les bases de F5 et de F9 si leurs sommets coïncident) ».

Vair (10 ; 9) part également de la superposition des angles supérieurs pour vérifier la similitude. « Et (C2 et F7) ? — Non, parce que les deux côtés ça ne part pas la même chose ». Même réaction en rapprochant deux A « parce que les côtés vont la même chose. — Et (F5 et F9) ? — Oui, c’est la même famille. (Il superpose les sommets, tous deux de 60° et constate l’absence de parallélisme des bases). Non ce n’est pas pareil. — Où voit-on que deux triangles ont la même forme ? — Aux trois angles. — Il faut les mesurer les trois ? — Oui, les trois ».

Hir (10 ; 11), par contre dit de A2 et A3 : « Ça s’amincit de la même manière et ici c’est parallèle (les bases, avec sommets superposés). — En regardant les angles, combien faut-il en mesurer ? — Trois, non deux, parce que le troisième est forcément égal ».

La différence entre ces réactions du sous-stade III B et celles du sous-stade III A est celle qui oppose un état d’équilibre à l’état qui le prépare : au lieu de grouper progressivement les rapports qui constituent les angles et qui les relient entre eux, le sujet s’attache presque immédiatement au résultat de cette systématisation, c’est-à-dire à la comparaison des angles comme tels. Certains découvrent même (Aug, Rom, Hir) qu’il suffit d’en comparer deux, le troisième étant alors « forcément égal ».

Quant à la manière dont ces sujets construisent simultanément la notion de l’angle et la similitude de deux triangles en fonction de l’égalité des angles, les réactions de ce sous-stade III B confirment ce que nous ont fait entrevoir celles du niveau III A. Le procédé le plus simple consiste à constater que les côtés des angles comparés par superposition coïncident l’un avec l’autre. Or, Bad nous montre la parenté entre cette opération et la mise en parallèle des côtés : il vérifie d’abord la similitude de F4 et de F5 en faisant coïncider la base de l’un avec une partie de celle de l’autre et en s’assurant du parallélisme des côtés ; mais d’autre part, il établit la non-similitude de A1 et de C1 en faisant coïncider leurs sommets et en constatant [p. 415] le non-parallélisme de leurs bases, ce qui revient à fusionner en un seul tout opératoire les notions d’égalité des angles et des parallélismes des côtés, mais en étendant celui-ci aux côtés opposés à l’angle mesuré. Dob, qui découvre le même procédé, en partant également des notions de la coïncidence des côtés de deux angles superposés, énonce alors explicitement cette proposition que deux triangles sont semblables lorsqu’ils ont un même angle et que les côtés opposés à cet angle sont parallèles : « il faut avoir un angle égal et une bande égale », cette bande étant celle qui sépare les deux côtés opposés parallèles. Sans connaître le théorème dit de Thalès, ni l’usage qui a été fait par les géomètres pour définir la proportionnalité en évitant de recourir aux rapports numériques, ces sujets appuient donc leur notion de la similitude des triangles sur une construction très voisine, enveloppant une intuition naissante de la proportionnalité des côtés, et dont il s’agit maintenant de dégager le mécanisme opératoire.

La découverte de l’enfant est que, si les côtés A₁ et A₂ des premiers triangles déterminent l’existence d’une base A, les côtés B₁ (= A₁ + A’₁ où A’₁ est la différence entre A₁ et B’₁) et B₂ (= A₂ + A’₂ où A’₂ est la différence entre A₂ et B₂) du second triangle déterminent l’existence d’une base B parallèle à A si le second triangle est semblable au premier. Mais, pour comprendre cet ensemble de rapports, il faut bien qu’il saisisse que les segments A’₁ et A’₂ sont dans le prolongement de A₁ et de A₂, autrement dit qu’il existe une relation nécessaire entre les inclinaisons égales de A₁ et de B₁, de A₂ et de B₂ et le parallélisme des bases. Il s’agit donc de grouper les rapports qualitatifs d’inclinaison et de parallélisme en jeu dans cette construction, de façon à comprendre que, si les côtés de l’angle (du sommet du triangle) conservent leur inclinaison, ils déterminent par le fait même l’accroissement régulier des intervalles compris entre eux : ces intervalles peuvent alors être représentés sous la forme de droites de longueur croissante, parallèles les unes aux autres, et dont chacune constitue la base d’un nouveau triangle semblable aux précédents (et les emboîtant). La construction en question conduit ainsi à concevoir une proportionnalité entre A’₁ et A’₂ ou entre A’₁ et A₂ ainsi qu’entre A’₂ et A₂ ce qui est précisément l’énoncé du théorème de Thalès), mais ces proportions sont senties bien avant d’être exprimables en apports numériques. C’est cette anticipation qualitative des proportions que nous avons constatée chez les sujets du niveau III B, au § 3 de ce chapitre (voir Gui et Ray ; le double rapport est même déjà aperçu par Ino au niveau III A).

[p. 416] La compréhension de ces rapports témoigne donc assurément de l’intervention d’un « groupement » d’ensemble ¹¹, qui précède toute métrique et même toute quantification extensive. Sous sa forme simplement logique ou intensive, il n’est autre que le groupement multiplicatif des correspondances co-univoques ¹² : ↓A₁ ×↓ A₂ = ↔A et ↓B₁ ×↓ B₂ = ↔B ; d’où si A₁ est une partie de B₁ et si A₂ est la partie correspondante de B₂, il y a correspondance entre les différences A’₁ (= B₁ − A₁) et A’₂ (B₂ − A₂) : la relation symétrique d’intervalle B est alors à B₁ et à B₂ comme A est à A₁ et à A₂, ce qui constitue le schéma logique d’où procèdent les similitudes. Mais il intervient tôt ou tard une quantification extensive de ces correspondances co-univoques : c’est elle qui permet à la correspondance de se conserver au cours de l’écartement progressif des côtés de l’angle et qui la transforme alors en proportionnalité proprement dite, laquelle est une notion mathématique et non plus simplement logique.

Mais quand la similitude ainsi fondée sur l’égalité des angles autant que sur le parallélisme des côtés non coïncidant entre eux, se prolongera-t-elle en proportionnalité métrique ? Sous sa forme extensive la notion de proportions est déjà présente dans la construction dont nous venons de parler. Sous sa forme métrique, elle se dessine également au présent niveau pour ce qui est des cas simples (voir § 3), mais ce n’est qu’au stade IV qu’elle se généralisera ¹³. C’est ce que nous allons constater au cours de la section II.

La technique adoptée a été la plus simple possible et a porté sur les deux points suivants :

1. Comparaison perceptive. On présente sur des feuilles blanches séparées (toutes de même grandeur : format cahier d’écolier) un rectangle modèle de 1,5 cm de largeur et de 3 cm de longueur (couché horizontalement) et des rectangles agrandis (également couchés, dont la largeur demeure constante (4 cm), mais dont la longueur varie de 6 à 15 cm. On présente toujours deux feuilles simultanément : le modèle de 1,5 × 3 cm et un rectangle agrandi (sans suivre d’ordre régulier et en procédant par une méthode concentrique en procédant des extrêmes aux termes moyens jugés semblables par le sujet). On demande simplement si le grand « ressemble » oui ou non (et plus ou moins) au petit et surtout s’il « a la même forme en plus grand ». [p. 418] Pour les plus jeunes sujets on demande « lequel est le papa du petit » et lui ressemble le plus? Pour mieux faire comprendre la consigne on peut se servir d’une loupe qui agrandit une figure donnée sans en changer la forme. Il s’agit surtout d’éviter, dans la consigne, l’idée d’une augmentation unidimensionnelle tout en ne suggérant pas verbalement que l’augmentation doit porter sur les deux dimensions à la fois. On se heurte sur ce point à une grande difficulté chez les petits enfants, mais instructive en elle-même. Nous avons souvent présenté, à cet égard, pour faciliter au sujet l’analyse des côtés, des figures formées de deux lignes seulement, se coupant à angle droit (∟), de mêmes dimensions que les rectangles. Nous les appellerons des « demi-rectangles ». Mais, même si l’enfant ne paraît pas toujours comprendre la question de la similitude comme telle, il y a avantage à en rester à des formules assez souples, dont la compréhension progressive avec l’âge constitue déjà à elle seule un indice.

On note en chaque cas le seuil (calculé en cm) et les erreurs calculées en cm sur la longueur proportionnelle de 8 cm : erreur positive si l’estimation de l’enfant dépasse 8 cm et négative dans le cas inverse.

2. Construction graphique. On présente le même modèle de 1,5 × 3 cm et on fait dessiner sur une autre feuille le même rectangle (= « boîte », « carré », etc. selon la terminologie, même inexacte de l’enfant) en plus grand. On peut demander l’agrandissement sans proposer de base (c’est-à-dire de longueur) fixe, ou avec une base assignée d’avance (double, triple ou rapport quelconque).

Il nous est, en outre, souvent arrivé de donner, à titre d’introduction à ces deux questions, des grands et petits losanges à classer par couples d’un petit et d’un grand d’après leurs ressemblances de forme, les uns de largeur voisine de la hauteur et les autres très hauts et très étroits (ou l’inverse). Lorsque les différences de formes sont suffisantes, le classement est facile à tout âge et fait bien comprendre aux sujets la question de similitude. Nous nous sommes demandé, dans la suite, si la similitude des losanges de dimensions différentes était plus aisée à trouver que celle des rectangles et nous avons fait quelques expériences systématiques à cet égard. Mais, pour ne pas allonger, nous n’en parlerons qu’en passant.

Les résultats obtenus se sont révélés instructifs quant à la réaction perceptive aux modèles tout dessinés et la conduite [p. 419] intelligente consistant à agrandir un modèle donné. Mais il faut d’emblée préciser qu’en ces deux comportements on trouve, à la fois, de la perception et de l’intelligence. Le problème des rapports entre la perception des proportions et leur reconstruction opératoire ne saurait donc être résolu simplement comme si le choix des figures dessinées exprimait de façon pure et exclusive la capacité perceptive du sujet, et comme si sa construction graphique exprimait sans plus sa compréhension intelligente. Il faut simplement dire que, en la première de ces deux conduites, le facteur perceptif l’emporte à des degrés divers et qu’en la seconde l’intelligence prédomine, mais aussi à des degrés divers.

Lorsque l’on fait sur l’enfant une expérience de pure perception, telle que d’évaluer des grandeurs, le sujet traduit assurément sa réaction perceptive par des mots ou des concepts, mais tous deux expriment assez fidèlement la perception elle-même, car les mots « plus grand » ou « plus petit » ont à peu près le même sens pour l’expérimentateur et pour l’enfant (le jugement d’égalité « la même chose » est déjà plus sujet à caution). Au contraire, lorsqu’on présence de deux figures comparables, l’enfant dit « C’est la même forme » ou « Ça va », etc., il ne traduit pas seulement sa perception par un jugement, mais il porte déjà un jugement sur sa perception, et qui la dépasse bien davantage que dans le cas précédent : en effet, le concept de « même forme » constitue déjà une interprétation complexe de la perception brute, donc un acte d’intelligence susceptible de variations dans la signification, beaucoup plus grandes avec l’âge.

Cependant il est clair que, dans le choix à effectuer parmi les dessins tout préparés, la perception dirige l’intelligence, bien que celle-ci interprète donc celle-là selon une traduction libre et non pas littérale. Nous dirons alors qu’il y a jugement perceptif. Au contraire, dans le cas du dessin à construire en se servant des procédés de mesure ou de comparaison jugés propres à conserver la forme au cours de l’agrandissement, c’est l’intelligence qui dirige et utilise à son gré la perception. Il y a donc construction intellectuelle. C’est le rapport entre le jugement perceptif et la construction intellectuelle que les faits étudiés vont nous fournir à l’état brut et c’est de ce rapport qu’il s’agira de tirer la relation entre la perception et l’intelligence, étant entendu que cette relation intervient sous des formes différentes, mais dans l’une et l’autre des deux situations analysées.

Cela dit, les stades observés ont été au nombre de trois (en omettant à nouveau le stade I au cours duquel l’expérience [p. 420] n’est pas encore possible), caractérisés par trois formes distinctes d’interaction entre le jugement perceptif et la construction intellectuelle.

Au cours du stade II, il y a équivalence de réaction entre les jugements perceptifs et les constructions intellectuelles ou graphiques : en règle générale, chez les sujets de ce niveau, plus est allongé le grand rectangle présenté comme variable, et plus il est considéré comme correspondant au petit modèle constant. En d’autres termes, l’erreur positive calculée sur la longueur du rectangle, prédomine notablement sur l’erreur négative : l’enfant juge que la figure constitue d’autant plus un rectangle qu’elle est plus allongée. Il y a ainsi transposition, pour ainsi dire corrigée, de la forme d’ensemble, et non pas transposition exacte des rapports dimensionnels, ce qui va de pair avec une perception encore syncrétique ou globale, l’analyse demeurant incomplète et ne portant que sur une seule dimension privilégiée : la longueur ¹⁴. Quant aux raisonnements intervenant dans les constructions de ce stade II, l’enfant cherche aussi ordinairement à reproduire ce que, pour lui, signifie un rectangle, c’est-à-dire un carré allongé. Son dessin exagère donc la longueur du rectangle à agrandir et, lorsqu’on le met en présence du rectangle à dimensions proportionnelles à celles du modèle, il demande à retrancher de sa largeur (disposée en hauteur). Il n’existe naturellement aucun besoin spontané de mesure, et la mesure provoquée échoue entièrement. La notion même de proportionnalité semble dénuée de signification pour le sujet, qui a beaucoup de peine à comprendre la consigne, tout en sachant fort bien trier les losanges suffisamment différents les uns des autres.

Le stade III débute avec les essais spontanés de mesure, c’est-à-dire vers 7-8 ans. Mais, chose intéressante et évidemment due aux difficultés particulières de la proportionnalité, le jugement perceptif est, durant ce stade, en avance sur la construction graphique et semble orienter celle-ci ou du moins lui servir de point d’appui le plus sûr (ce qui ne signifie pas, répétons-le, qu’il s’agisse d’une action simple de la perception sur l’intelligence). On constate, en effet, dans les jugements perceptifs, que les erreurs négatives (calculées sur la longueur) deviennent aussi fréquentes que les positives, ou du moins acquièrent une importance notable. Autrement dit, il se constitue un système de régulations concernant les rapports dimensionnels [p. 421] et non plus seulement la forme qualitative générale, la centration d’abord exclusive sur la longueur étant tempérée par une décentration relative à la largeur. On peut distinguer d’ailleurs, dans les grandes lignes, deux sous-stades, qui sont affaire de degré plus que d’opposition tranchée, mais dont les extrêmes sont bien différents : au cours d’un sous-stade III A, il y aurait centration alternative sur la longueur et la largeur, et par conséquent décentration ou régulation inconsciente, tandis qu’il y aurait considération simultanée des deux dimensions et par conséquent mise en relation intentionnelle. Quant au raisonnement intervenant dans les constructions graphiques, le stade III débute donc avec les essais de mesure (à noter des cas de transitions, dans lesquels le sujet estime déjà que la mesure serait utile, mais ne sait que mesurer). Seulement cette mesure échoue faute précisément de comprendre qu’il s’agit de proportions et non pas d’augmentations absolues. Au cours du stade III A il y a toujours exagération de la longueur, comme au stade II. Au cours du sous-stade III B, l’augmentation porte sur les deux côtés avec recherche de leurs rapports, mais en général avec quantités égales ou voisines ajoutées selon les deux dimensions (par exemple 2 cm en plus en largeur et en longueur). En ce cas l’enfant corrige ensuite son dessin d’après les impressions perceptives, avec conflit entre le jugement perceptif et les méthodes de calcul. Seules les proportions simples (de rapport 1 à 2) donnent des résultats corrects.

Au cours du stade IV enfin, il y a renversement des influences entre le jugement perceptif et le raisonnement constructif, ce dernier se libérant du premier et parvenant à une compréhension de la proportionnalité qui rejaillit sur lui.

Le stade II est donc caractérisé par des réactions semblables dans les domaines du jugement perceptif et du raisonnement constructif : transposition de la forme qualitative générale et non pas des rapports dimensionnels et accent porté presque exclusivement sur les longueurs (nous avons vérifié qu’il en est de même lorsque le rectangle est présenté verticalement) :

Gen (5 ; 1) regarde la série des grands et des petits losanges mélangés : « Ils sont tous mélangés. Tu vas mettre ensemble un grand et un petit chaque fois, mais qui soient pareils. — (Il construit des couples de grands et de petits quelconques). — Tu peux faire mieux (on les mélange à nouveau) ? — (Gen place sans erreur aucune chaque grand en regard du petit correspondant). — Pourquoi [p. 422] tu les mets comme ça ? — Parce qu’ils ont la même forme ».

Le rectangle modèle (1,5 × 3 cm) est placé sur la table. On présente l’agrandissement 4 × 6 : « C’est la même forme ? — Non, ça ne va pas. C’est pas la même forme. — Et ça (4 × 12) ? — C’est un peu la même forme, mais c’est plus grand. — Et (4 × 7)? — C’est presque carré, alors c’est pas du tout la même forme. — (4 × 11) ? — Ça va un peu. — Pas tout à fait ? — (Gen regarde le modèle qui demeure naturellement présent). Non pas tout à fait. — Pourquoi ? Il doit être un peu comme ça (il montre 4 × 12). — Et ça (4 × 20), ça irait ? — Oui ».

On présente alors le modèle du « demi-rectangle » à deux côtés de 1,5 et 3 cm de longueurs : « C’est la même forme ça (4 × 6 cm) ? — Non, c’est plus haut (désigne le petit côté). — Et ça (4 × 10) ? — Il irait un peu. C’est un peu beaucoup, ça (désigne à nouveau le petit côté et enlève la moitié de sa hauteur). Comme ça (2 × 10) mais ce serait encore plus grand que sur le modèle (2 > 1,5). — Et ça (4 × 17) ? — Il irait un peu mais il est plus grand encore (il montre de nouveau le petit côté). C’est la même forme, qui irait bien. — (4 × 9) ? — Non, là c’est plus haut (il montre le petit côté et le ramène à environ 2 × 9). Comme ça il irait ».

On passe alors aux dessins des rectangles (entiers) : « Dessine-moi un rectangle de la même forme que celui-là (1,5 × 3) mais plus grand. — (Il dessine 2 × 14). C’est un peu trop grand (il corrige en à peu près 1,5 × 14 en égalisant donc la largeur avec celle du modèle). Maintenant c’est assez grand. — C’est juste ? Tout à fait la même forme ? — Oui, la même forme en plus grand ». On donne une base de 7,5 cm : Gen dessine 7,5 x 1,5. « J’ai fait les deux de la même grandeur ».

Pie (5 ; 3) fait correspondre les losanges de façon exacte, après avoir commencé également par une correspondance quelconque.

Pour ce qui est des rectangles, il commence par trouver que les dessins de (4 × 6), de (4 × 12) et de (4 × 7) vont tous « bien ». — Lequel va le mieux de ces deux (4 × 8 et 4 × 12, le modèle de 1,5 × 3 étant toujours présent) ? — Celui-là (4 × 12) par ce qu’il est plus grand. — Et celui-là (4 × 4) ? — Non, parce qu’il est carré. Il doit être comme ça (il montre le modèle de 1,5 × 3). — Et ça (4 × 11,5) ? — Il va bien aussi. — Et de ces deux (4 × 8 et 4 × 10,5) lequel va le mieux ? — Celui-là (4 × 10,5), parce qu’il est plus long. — Et de (4 × 8,5 et 4 × 10) ? — Celui-là (4 × 10) — Et de (4 × 9 et 4 × 9,5) ? — Celui-là (4 × 9,5). — Pourquoi pas l’autre ? — Parce qu’il est trop haut (il montre la largeur de 4 cm !). — Et de (4 × 9,5 et 4 × 10,5) ? — Celui-là va (10,5). L’autre est trop haut. — Et de (4 × 6 et 4 × 8) ? — Celui-là (4 × 8) va bien (donc exceptionnellement la juste proportion). L’autre est trop haut. — Est-ce qu’ils n’ont pas la même hauteur ? — Celui-là (4 × 8) va mieux. — Et ça (4 × 8 et 4 × 12) ? — Celui-là (4 × 12) va mieux parce qu’il est moins haut que celui-ci ».

[p. 423] Demi-rectangles: (4 × 8) « va bien » (4 × 10) « est trop haut ». Le meilleur paraît à Pie celui de (2,5 × 8,5) « parce qu’il faut qu’ils soient la même chose qu’ici (1,5 × 3) ».

Dessins du rectangle : il commence par des rectangles quelconques, puis, après avoir admis que le modèle de 1,5 × 3 est le « bébé » et qu’il doit dessiner un « papa » de même forme, il construit un rectangle de 4,5 × 13 avec donc 4 cm de trop en longueur.

Ber (5 ; 5) classe ses losanges dès le premier essai.

Rectangles : modèle de 1,5 × 3 et première comparaison avec 4 × 8 : « Oui, il va bien (mais il aperçoit dans la collection préparée le dessin de 4 × 12 et dit spontanément) : C’est celui-là qui va. — Et çà (4 × 8,5) ? — Il ne va pas, il est trop large » mais (4 × 11,5) et (4 × 10,5) sont « la même chose » que le modèle. De (4 × 10) et de (4 × 12), c’est le second qui est juste. « L’autre va aussi un petit peu. Mais il est un peu haut — Et (4 × 20) ? — Il va mieux que l’autre (12) ». Demi-rectangles : mêmes réactions.

Dessins du rectangle : Ber double à peu près la hauteur du modèle (1,5) puis construit une longueur d’environ 17 cm en disant : « On met la même grandeur ici (en largeur, donc environ 3 cm) et on fait plus grand ça (la longueur) ».

Mar (6 ; 6) classe correctement les losanges dès le premier essai : « Pourquoi vont-ils ensemble ? — Parce qu’ils se ressemblent ». Mais, pour un rectangle de (1,5 × 3) il préfère (4 × 12) à (4 × 6 « parce qu’il est plus long ». L’agrandissement proportionnel de (4 × 8) « va bien, mais il est un peu court ». Mar accepte jusqu’à (4 × 20) mais au-delà « il serait trop long ».

Son dessin donne (2 × 20 : « C’est la même chose en plus grand. C’est la même grandeur ».

Il est inutile de multiplier ces exemples dont nous avons recueilli des quantités entre 5 et 7 ans et parfois jusqu’à 8 ; 2 et 8 ; 6 (exceptionnellement 9 ; 1). Les réactions de ce niveau sont, en effet, extrêmement claires : la transposition en jeu dans le jugement perceptif ne porte que sur la forme qualitative du rectangle, par opposition aux rapports dimensionnels, et encore sur une forme conceptualisée qu’il est facile de comprendre à l’analyse. Tout se passe, en effet, comme si l’enfant distinguait deux classes de figures parentes : celle des rectangles, à côtés nettement inégaux et celle des carrés, à côtés égaux ou approximativement égaux. C’est ainsi que Gen refuse les rectangles à longueurs trop faibles (4 × 7 cm) en disant : « C’est presque carré, alors c’est pas du tout la même forme » que le modèle de 1,5 × 3 cm. Lorsqu’il s’agit de transposer ce modèle en une figure agrandie, l’enfant semble alors chercher, sous la désignation verbale de « la même forme », une forme qui soit à la fois de la même classe, c’est-à-dire rectangulaire et non pas [p. 424] carrée, mais qui soit en même temps « meilleure », du point de vue de l’idée qu’il se fait du rectangle, c’est-à-dire plus typique quant à la différence de la longueur et de la largeur.

Il est donc évident qu’il ne s’agit pas là d’un phénomène simplement perceptif. Il est vrai que, si nous comparons la similitude des rectangles à celle des triangles emboîtés (au cours du présent stade II : voir le paragraphe 2 de ce chapitre), les évaluations perceptives de cette similitude des triangles, même avec la facilité en plus que représente l’emboîtement du modèle étalon dans la variable agrandie, demeurent très imprécises au début de ce stade et ne s’améliorent, assez relativement d’ailleurs, qu’au cours du sous-stade II B. Il est vrai également que les rectangles emboîtés (avec ou sans diagonales), étudiés en passant au cours du même paragraphe 2, donnent lieu à des erreurs comparables à celles que nous observons ici (sauf quelques cas d’exagération de la largeur et non pas de la longueur), et à des erreurs qui ne semblent pas diminuer notablement à la fin du stade (niveau II B), par opposition aux triangles. D’autre part, la similitude des rectangles emboîtés et a fortiori séparés, présente assurément cette difficulté particulière que les angles de tous les rectangles demeurent les mêmes et qu’il s’agit donc d’analyser uniquement les rapports dimensionnels, c’est-à-dire de comparer une hauteur h₁ à une longueur l₁ et de reporter ce rapport h₁/l₁ sur deux nouvelles grandeurs h₂/l₂ de façon à obtenir h₁/l₁ = h₂/l₂. Il est donc clair qu’il intervient aussi, en plus des facteurs d’ordre conceptuel, un élément perceptif dans les erreurs observées, et que, si l’on pouvait dissocier ce phénomène perceptif de la conceptualisation dont nous venons de parler, il se présenterait même, sans doute, un seuil plus large d’estimation c’est-à-dire une imprécision plus grande dans le cas des rectangles que dans celui des triangles. Seulement il est difficile d’admettre que ce seuil, pour une transposition de rectangle de 1,5 × 3 cm s’étende à des fluctuations allant jusqu’à 3 × 20 cm et quelquefois plus. C’est pourquoi nous sommes obligés d’admettre que les jugements perceptifs des sujets cités à l’instant ne relèvent pas de la perception seule. Ce qu’il faut donc dire, c’est que la transposition des rapports dimensionnels étant malaisée à ce niveau, sur le plan perceptif lui-même, elle est complétée et même en partie remplacée par une transposition de la forme qualitative seule, et d’une forme conceptualisée dans le sens indiqué au début de cette discussion. On comprend alors la réaction de l’enfant qui cherche à agrandir la longueur, mais en oubliant d’augmenter proportionnellement la largeur.

[p. 425] Il faut d’ailleurs noter qu’en bien d’autres domaines les transpositions perceptives un peu complexes donnent lieu à de grandes difficultés chez l’enfant. C’est ainsi que la transposition d’une différence de hauteur B − A = D − C, si C = B et que les deux couples d’éléments AB et CD sont éloignés de quelques cm, est à peu près impossible à obtenir de l’enfant de 5 ans faute de compréhension des rapports en jeu. De 6 à 8 ans on observe une dévaluation considérable de la différence au cours de la transposition, lorsque les étalons marquant cette différence (A et B) sont laissés inchangés, tandis que si l’on enlève chaque fois les éléments A et B pour les remettre tels quels (sans que le sujet sache que ce sont les mêmes), la transposition devient bien meilleure ¹⁵. Il y a donc là quelque chose d’analogue au cas de nos rectangles, en ce sens que l’enfant ne semble pas incapable de transposer perceptivement des rapports dimensionnels (avec des erreurs systématiques bien plus grandes que l’adulte), mais que ses perceptions sont subordonnées à une activité perceptive encore mal réglée par l’intelligence (parce qu’influencée par une classification trop discontinue des rectangles et des carrés).

Notons encore que ces jugements perceptifs procèdent non pas par raisonnements logiques, mais par simples régulations : lorsque le sujet exagère la longueur du rectangle (en vertu d’une centration d’ailleurs plus intuitive que perceptive, sinon cette longueur serait simplement surestimée perceptivement et l’erreur serait négative), il ne corrige pas cette erreur comme on élimine une faute de raisonnement, en l’annulant ou en l’inversant, mais il la freine en vertu de son exagération même, comme dans le domaine des illusions purement perceptives : le rectangle trop long (au-delà de 15 ou de 20 cm) apparaît en effet par trop mince, et alors il y a régulation par compensation partielle.

Il n’est pas étonnant, dès lors, que le raisonnement constructif intervenant dans le dessin de l’enfant aboutisse au même résultat. D’une part, les éléments conceptuels intervenant déjà dans le jugement perceptif de l’enfant en dirigeant, de la façon que l’on vient de voir, son activité perceptive, se manifestent dans la construction graphique elle-même sans restrictions et en toute indépendance. D’autre part, le dessin une fois construit, son contrôle perceptif obéit aux mêmes lois que le jugement perceptif porté sur les dessins tout faits présentés [p. 426] au cours de la technique précédente. Dans les deux cas l’enfant est donc influencé par ce qui lui paraît être l’exemplaire type du rectangle (distinct du carré par son allongement même), et c’est la figure la plus allongée possible que cherche à construire le sujet pour agrandir le modèle. Il y a donc la simple répétition en termes de construction intellectuelle, de ce que nous venons de voir en termes de jugements perceptifs (par opposition à la perception même).

Pour vérifier que l’exagération de la longueur du rectangle, chez les petits, n’était pas due à une simple erreur perceptive, et que la perception pure, ayant pour effet de surévaluer la longueur des rectangles dans la mesure où ils sont étroits, aboutirait au contraire à des dessins qui diminueraient cette longueur (parce que surestimée dans la vision du dessin même), nous avons procédé aux expériences de contrôle suivantes. M^lle Prinzhorn a présenté à 17 enfants de 5 à 7 ans, à 14 enfants de 9 à 11 ans et à 10 adultes des rectangles de même longueur (6 cm) et de hauteur distincte (1,5 à 2,5 cm), ou de même hauteur (2 cm) et de longueur distincte (4,5 à 7,5 cm), en faisant évaluer la longueur relative des premiers et la hauteur relative des seconds. Conformément aux effets habituels de contraste, tous les sujets ont vu le rectangle de 1,5 × 6 cm plus long que celui de 2,5 × 6 cm et ont vu le rectangle de 4,5 × 2 cm plus haut que celui de 7,5 × 2 cm. L’erreur est d’autant plus forte en moyenne que le sujet est plus jeune. D’autre part, plusieurs sujets d’un niveau antérieur à 7 ans ont fort bien perçu le rapport entre les dimensions visuelles : Er (4 ; 6) dit aussi : « Celui-là est plus long, parce qu’il est plus mince » et Den (5 ; 6) déclare « Le plus gros, il n’est pas long et le plus mince est plus long », etc., ce qui ne signifie naturellement pas qu’ils auraient conservé la conscience de ce rapport en cas de transposition perceptive.

Ces résultats montrent ainsi à l’évidence que la perception n’est pas seule en jeu dans l’exagération de la longueur des rectangles à agrandir, sans quoi l’opposition entre les petits, qui procèdent ainsi, et les grands, qui respectent la proportionnalité, se marquerait par des réactions perceptives différentes dans l’estimation des figures de dimensions voisines. Ce qu’il faut simplement dire, c’est que, beaucoup moins aptes à la transposition perceptive que les grands, les petits complètent l’emploi de ce mécanisme, propre à l’« activité perceptive », par une construction procédant au moyen des conceptualisations illusoires (jugement perceptif), dont nous avons décrit tout à l’heure les effets.

L’intérêt des réactions de ce stade est donc le synchronisme du niveau de jugement perceptif et du niveau de la construction intellectuelle. En d’autres domaines, comme celui de la mesure spontanée (voir notre prochain ouvrage sur la Géométrie [p. 427] spontanée de l’enfant), la perception est, dès le départ, en avance sur l’intelligence : elle la dirige même, jusqu’au moment où se produit un rejaillissement de l’intellect sur l’activité perceptive. Dans le présent domaine, au contraire, le problème des proportions dimensionnelles exigeant une mise en relations qui nécessiterait un secours immédiat prêté par l’intelligence à l’activité perceptive, les comparaisons directes et les constructions graphiques demeurent au même niveau durant ce second stade encore.

Nous avons constaté, à cet égard, que la comparaison perceptive des similitudes ainsi que l’agrandissement graphique étaient un peu plus faciles dans le cas des triangles que dans celui des rectangles : la forme qualitative d’ensemble est plus aisée à reconnaître lorsque les angles et les inclinaisons varient entre trois côtés que lorsque, les angles et les inclinaisons demeurant invariants, toute la comparaison porte sur les seuls rapports dimensionnels entre quatre côtés égaux deux à deux. La question peut se poser, à cet égard, de comparer les losanges aux rectangles, puisque les losanges présentent eux aussi quatre côtés égaux deux à deux, mais avec variation des angles et des inclinaisons. Or, nous avons vu que les sujets précédents sont tous capables, dans les épreuves d’introduction, d’accoupler un petit et un grand losanges de formes semblables, lorsque l’on choisit des différences très grandes de couple à couple. Par contre, si les différences sont moins accentuées, et que l’on applique systématiquement aux losanges les expériences présentées ici au sujet du rectangle, on découvre que ce n’est pas avant le niveau III A que l’enfant est capable de reconnaître la similitude des losanges, en tenant compte des inclinaisons en jeu (ce qui est en accord avec ce que nous avons vu, au chapitre XI, de la mise en parallèle des côtés opposés de cette figure). Le lecteur nous pardonnera sans doute de ne pas insister ici sur cette nouvelle série d’expériences possibles, bien que nous les ayons faites à titre de contre-épreuve.

La proportionnalité apparaît, au cours de ce stade III, dans le domaine des comparaisons perceptives, pour des raisons qu’il s’agira d’analyser et qui ne tiennent sans doute pas exclusivement à la seule perception. Sur le plan de la construction graphique et raisonnée, par contre, ou bien le sujet exagère encore systématiquement la longueur des rectangles agrandis (sous-stade III A), ou bien il cherche à [p. 428] tenir compte des deux dimensions, mais sans solution correcte sauf en ce qui concerne les rapports simples (1 à 2), faute de schème multiplicatif (sous stade III B).

Voici des exemples du niveau III A :

Dia (7 ; 3). On présente le rectangle modèle (1,5 × 3 cm) ainsi que l’agrandissement (4 × 8 cm) : « C’est tout à fait la même chose, en plus grand. — Et ça (4 × 12) ? — Il va pas. Il est plus long. — (4 × 6) ? — Il va. — (9 × 7) ? — Il va aussi. — (4 × 11) ? — Il est trop grand, trop long. — (4 × 8,5) ? — Il va bien. — (4 x 10,5) ? — Il est trop long. — Et ça (4 × 9) ? — Il va bien. — Et (4 × 10) ? — Un petit peu trop long. — (4 × 9,5) ? — Aussi ». Il accepte donc de (4 × 6) à (4 × 9), c’est-à-dire avec un seuil de 3 cm et une erreur systématique (médian du seuil) négative de 0,5 cm, ce qui signifie une erreur perceptive et non plus intuitive due à la surestimation usuelle de la longueur. Dans la suite le seuil se resserre encore.

Demi-rectangle : accepte d’abord (4 × 10), puis, après régulations, de (4 × 7) à (4 × 8,5) seulement.

Dessin du rectangle : « Tu vas le dessiner (1,5 × 3) en plus grand ? — Oui (il dessine 2,5 × 8 cm). — C’est juste ? — Oui. — Tout à fait ? — Oui. Je te donne un trait (base de 7 cm). Finis-le. — (Il construit une largeur de 1,5 à 2 cm comme celle du modèle) ». Sur du papier quadrillé, il compte (6 × 21) toujours pour un modèle de (1,5 × 3). — Pourquoi 6 ? — Comme ça ! — Et pourquoi 21 ? — Comme ça ! — Et si tu avais pris 20 ? — Ça aurait été plus juste, parce que ç’aurait été plus carré. — Alors recommence. — (Il construit 6 × 12 puis rajoute 2, donc 6 × 14). — Pourquoi tu as rajouté 2 ? — Pour que ce soit plus grand ».

Ere (8 ; 0). Perception : accepte de (4 × 6) à (4 × 8,5) mais refuse au-delà.

Dessin : il construit (sans mesure) un rectangle de 3 × 8 cm environ. Sur papier quadrillé, il dessine un rectangle de 6 × 20. On lui donne une base de 24 carreaux : il en met 4 en hauteur.

Sim (9 ; 7). Perception : il accepte de (4 × 7) à (4 × 9) donc avec un seuil de 2 cm sans erreur systématique.

Dessin : avec une règle, mais sans mesures précises, il met 3 cm en largeur et 17 en longueur. « Et si on prend comme longueur toute la règle ? — Il faut mettre plus en hauteur : 4 ou 5 cm, plutôt 4 ».

Ren (10 ; 6). Perception : seuil de 1 cm, sans erreur systématique.

Dessin : il mesure correctement la largeur et la reporte telle quelle, puis allonge la longueur de 3 cm

Voici maintenant des cas du niveau III B :

Mar (7 ; 6). Perception : seuil de 1 compris entre (4 × 7,5) et (4 × 8,5) ; il refuse tout le reste parce que « trop long » ou « trop haut ».

[p. 429] Dessin : il construit d’abord sans mesurer un rectangle de (5 × 11,5), donc en l’allongeant comme au niveau III A. On lui présente ensuite un modèle de (2 × 4) sur papier quadrillé : il compte les carreaux dans les deux dimensions, puis les double et aboutit à (4 × 8). On lui donne alors un modèle de (4 × 6) : il donne (6 × 8) en disant : « J’ai compté les carreaux de votre dessin et pour le faire plus grand et juste j’ai mis 2 carreaux de plus en haut et de côté. — Pourquoi 2 ? — (Il montre que 6 — 4 = 2).

Clau (9 ; 6). Perception : seuil de 1,5 avec légère erreur négative (− 0,25. Pour la variable de (4 × 8) il dit : « C’est la même chose en plus grand. Je regarde la hauteur du grand, puis la hauteur du petit puis la longueur du grand et du petit : ça fait la même chose en plus grand ».

Dessin : il prend un double-décimètre et pose 8 cm de base, après quoi il hésite entre 3,5 et 4 cm pour la largeur. Il compare plusieurs fois de suite perceptivement avec l’étalon, sans mesurer, et pose 4. Puis il prend conscience : « 4 c’est la ½ de 8 : ça fait juste ». On donne alors un modèle de (1,5 × 4) : il mesure et pose (1,5 × 8) : J’ai mesuré celui-là, j’ai trouvé 4 et puis j’ai additionné 4 + 4. Puis j’ai mesuré la hauteur 1,5 et j’ai mis ici ». Après quoi il double aussi la hauteur : « Et maintenant si tu faisais deux fois plus grand que 4 × 8) ? — (Il dessine 1,5 × 16, en retombant dans la même erreur, puis corrige perceptivement).

Ger (9 ; 8). Mêmes réactions perceptives. Dessin (1,5 × 3) : « Je veux faire le double en longueur et en hauteur (il fait 3 × 6) ». On donne une base de 10 : il mesure la moitié et donne (5 × 10) : « J’ai compté la moitié en hauteur, parce qu’au modèle c’est la même chose ». Mais pour un modèle de (3 × 5) il donne aussi une proportion de 1 à 2 entre la hauteur et la longueur (5 × 10) puis il mesure la différence absolue entre la longueur et la hauteur (5 − 3 = 2) et l’ajoute des deux côtés, d’où (5 × 7). Enfin il corrige perceptivement.

Jem (10 ; 2). Jugement perceptif pas très exact au début, mais contrôlé ensuite selon les deux dimensions à la fois : « Un peu plus long et un peu plus haut », « moins long mais plus haut », etc., et, pour le demi-rectangle, il arrive à une grande précision (seuil < 0,5).

Dessin : il double (1,5 × 3) en (3 × 6). « On ne pourrait pas faire autrement ? — Oui, le tripler (il pose 4,5 × 9). — Et avec ça (base donnée de 10) ? — Alors il faut voir ce qu’il y a de trop (il prend deux fois la base du modèle, donc 6). Mais il y a un reste : il faut qu’il soit triple ou quadruple ». Il retombe alors dans le procédé de l’addition des parties égales et ajoute 4 de chaque côté.

Ber (10 ; 5). Comparaisons perceptives analogues. Dessin : « Je veux mettre le double (de 1,5 × 3 : il pose 3 × 6). — On aurait pu le faire plus grand ! — Oui, autant de fois (qu’on veut) plus grand que le petit : on pourrait le tripler (il dessine 6 × 12). Je l’ai fait quatre fois plus grand. — Et celui-ci (4 × 7) ? (Il rajoute 1 cm [p. 430] en chaque dimension). — Tu ne trouves pas qu’il est un peu large ? — Quand il est plus grand il fait cet effet. — Et (2 × 5) ? — (Il ajoute aussi de chaque côté la même longueur). C’est embêtant… essayons de mettre 2 cm… il paraît un peu plat (le modèle). Il faudrait que je puisse le découper pour pouvoir le mettre dans mon dessin. Il faudrait qu’il soit au milieu et qu’on voie les petits bouts de chaque côté ».

Ces cas du troisième stade (III A ou III B) soulèvent une série de problèmes intéressants quant aux rapports entre la perception de la proportionnalité (transposition perceptive) et la genèse intellectuelle de la notion de proportions.

Du point de vue du jugement perceptif, tout d’abord, on ne peut qu’être frappé de l’opposition entre ces sujets et ceux du deuxième stade : alors que ces derniers agrandissaient le petit rectangle en l’allongeant démesurément, faute de mécanisme suffisant de transposition et sous l’influence d’une conceptualisation erronée, les sujets du niveau III A sont capables de transposer en tenant compte des rapports dimensionnels avec une exactitude relative. Les seuils diminuent de façon absolue et surtout diminuent en cours même d’expérience (voir Dia pour les rectangles eux-mêmes et ensuite pour l’effet de l’expérience acquise sur l’estimation de la similitude entre les demi-rectangles), ce qui atteste l’influence croissante des régulations perceptives. Et surtout l’erreur négative (calculée sur la longueur) devient fréquente, ce qui prouve l’intervention d’une surestimation perceptive et non plus intuitive. En effet, en vertu de la loi des centrations relatives ¹⁶ qui explique les illusions de contraste, la longueur d’un rectangle dévalorise la largeur et est donc surestimée : il s’ensuit que, dans la mesure où le sujet voit la longueur plus grande qu’elle n’est, il choisit les modèles à longueur trop courte (puis qu’il la surévalue), d’où l’erreur négative due à la centration privilégiée sur cette longueur. Au contraire, au cours du stade II, la centration sur la longueur était d’ordre intuitif plus que perceptif, c’est-à-dire qu’il s’agissait d’un préjugé en faveur de l’accroissement nécessaire de la longueur et non pas d’un phénomène de simple perception. L’apparition d’erreurs négatives fréquentes montre donc à elle seule que les jugements perceptifs de ces sujets du troisième stade sont moins faussés par la conceptualisation (dans le sens de la centration intuitive) et plus près de la transposition perceptive elle-même. Mais il reste à comprendre le [p. 431] pourquoi de ce progrès perceptif, qui, par le fait même qu’il est nouveau et marque une inversion de sens par rapport au stade II, est évidemment dû à un affinement de l’activité perceptive comme telle, par conséquent à un rejaillissement d’une intelligence plus développée sur la capacité de transposer objectivement.

Au niveau III B, les réactions régulatrices sont qualitativement les mêmes, mais avec deux nouveautés en plus : une précision légèrement supérieure et surtout une conscience de comparer selon les deux dimensions à la fois (si le sujet Mar est en retard sur ce point, les propos de Clau, de Jem et de Ber sont significatifs à cet égard). Ici encore, il est évident que l’intelligence joue son rôle, et que la transposition perceptive s’accompagne d’une véritable mise en relation opératoire.

Or, du point de vue du raisonnement intervenant dans la construction graphique des mêmes sujets, ceux-ci sont tous nettement en retard sur leur jugement perceptif. Les cas cités du niveau III A sont unanimes à construire leur dessin arbitrairement, en allongeant la longueur du rectangle exagérément, comme au stade II (voir en particulier les propos de Dia). C’est le jugement perceptif porté après coup sur leurs dessins qui leur permet de les corriger, et non pas le raisonnement sur les relations en jeu. Au niveau III B, on trouve encore cette réaction chez Mar (au début) mais les sujets savent vite doubler, tripler, etc. les valeurs mesurées sur le modèle, ou bien reporter le rapport 1 à 2 ; mais, pour le reste, ils sont perdus et se bornent à rajouter aux deux côtés du rectangle une grandeur égale, comme si par exemple (1,5 + 2) × (3 + 2) était proportionnel à (1,5 × 3). C’est à nouveau le jugement perceptif sur la construction obtenue qui aide après coup à corriger ces erreurs.

La question qui se pose est donc de comprendre pourquoi le jugement perceptif est en avance sur le raisonnement constructif, au cours de tout ce stade III (donc de 7 à 10 ans environ), tandis que les deux sortes de réactions étaient de niveau équivalent au cours du stade II. Un tel résultat n’est-il pas contradictoire avec ce que nous avons vu à propos des parallèles (chapitre XI, § 3-4) et de la droite elle-même (chapitre VI, section I), à savoir que la perception est à un moment donné (et justement pour ces deux cas, au cours du stade III, dès le niveau III A) dirigée par l’opération au lieu de la conduire ?

Il n’en est rien, car c’est sur le plan du jugement perceptif lui-même que débute l’organisation opératoire de la proportionnalité, avant qu’elle soit possible sur celui du raisonnement [p. 432] constructif, beaucoup plus difficile en tant que discursif. Sur le premier de ces deux terrains, en effet, la mise en relations intelligentes peut s’appuyer directement sur les données perceptives, d’où sa réussite, tandis que, sur le terrain de la construction graphique, elle doit se contenter d’une imagination de résultats non encore atteints, d’où la difficulté supérieure qu’elle rencontre alors.

Il faut bien comprendre, en effet, qu’il existe, entre l’estimation ou la comparaison perceptives simples de deux grandeurs (comme c’est le cas dans les préludes à la mesure spontanée de l’enfant) et la proportionnalité ou double comparaison entre les quatre grandeurs h₁/l₁ = h₂/l₂ (h et l étant la hauteur ou largeur et la longueur des rectangles proportionnels), toute la différence entre un simple « transport » visuel et une « transposition » de rapports dimensionnels. Or, le transport, dû au déplacement du regard, est une réaction perceptive relativement élémentaire, tandis que la transposition relève d’une « activité perceptive » (voir chapitre I, section I) complexe et déjà supérieure, lorsqu’il s’agit, du moins, des rapports dimensionnels ou proportions géométriques ¹⁷, et non pas de la forme globale seule. Il est donc normal qu’au stade II encore la transposition perceptive demeure insuffisante, et ne porte que sur cette forme globale dans le cas du rectangle. Si cette transposition rudimentaire et déformante du stade II devient relativement précise au cours du stade III, c’est donc qu’au syncrétisme des jugements perceptifs du premier de ces deux niveaux succède une analyse proprement dite, c’est-à-dire une mise en relation intelligente entre les deux dimensions (même si la réflexion du sujet ne porte que sur l’une ou l’autre alternativement). En d’autres termes, le progrès perceptif marquant le passage du stade II au stade III ne peut être dû qu’à un affinement de l’« activité perceptive » par opposition à la perception élémentaire, autrement dit à une intervention des mécanismes opératoires propres à ce niveau III.

La transposition dimensionnelle, source de la proportionnalité perceptive, serait donc déjà, dans le cas du rectangle, l’effet d’un rejaillissement, sur l’activité perceptive, de l’intelligence elle-même, devenue opératoire et susceptible d’un début de mise en relation selon les deux dimensions. Or, si [p. 433] cette situation est complexe, elle n’a rien de contradictoire avec le fait que, dans son raisonnement constructif, l’enfant ne puisse encore parvenir à des dessins témoignant de la compréhension intellectuelle de la proportionnalité en général. Sur le terrain du jugement perceptif, en effet, il suffit d’admettre, pour expliquer le début de mise en relations intelligente qui oriente ainsi l’« activité perceptive », que, parvenu au niveau des opérations concrètes élémentaires, l’enfant ne puisse plus percevoir deux rectangles h₁ × l₁ et h₂ × l₂, à la fois sans les comparer selon leurs deux dimensions simultanément h et l, même s’il ne possède pas encore d’instrument opératoire susceptible d’exprimer ce double rapport de façon quantitative. Étant donné que l’un des côtés opposés du rectangle (h) est vu plus petit que l’autre (l), l’accroissement de ce côté sur le rectangle agrandi (soit h’ = h₂ − h₁) est mis en correspondance avec l’accroissement de l’autre (soit l’ = l₂ − l₁) selon le même rapport : la diversité des modèles perceptifs offerts au choix de l’enfant lui permet, en effet, de constater que, parmi les rectangles agrandis il en est un de côtés h₂ × l₂, tel que, comparé au petit rectangle h₁ × l₁, la différence h’ entre leurs hauteurs et la différence l’ de leurs longueurs soit h’ < l’ de la même manière que h₁ < l₁ et h₂ < l₂ : c’est ce rectangle-là qu’il considérera alors comme étant de même forme. Au contraire lorsqu’il s’agit d’agrandir graphiquement un rectangle donné, le même sujet n’étant plus orienté par aucun appui perceptif, ne peut trouver entre les accroissements h’ et l’ de rapport convenable, n’ayant plus d’avance sous les yeux un agrandissement à choix en même temps que le modèle : il a beau pressentir que h’ < l’ est comme h₁ < l₁ il ne peut calculer de combien l’ est plus grand que h’ et perd ainsi le sentiment de l’inégalité de ces accroissements, ou s’imagine que des accroissements égaux étant ajoutés à des dimensions inégales équivalent à des accroissements proportionnels.

À cet égard l’examen des méthodes adoptées par l’enfant pour agrandir le modèle se révèle, extrêmement instructif quant à la genèse de l’idée de proportions et à sa filiation par rapport aux transpositions perceptives. Au cours du sous-stade III A les accroissements h’ et l’ sont encore arbitraires (« comme ça » dit simplement Dia) avec un accroissement l’ beaucoup plus grand que h’. Mais au cours du sous-stade III B, on observe en fait quatre solutions distinctes : 1. L’enfant ajoute la même quantité absolue (h’ = l’) aux deux côtés h et Z : par exemple, Jem (à la fin), et Ber (qui ajoute 1 cm à chaque dimension). 2. L’enfant mesure la différence l − h et la reporte sur les deux [p. 434] côtés : par exemple Mar pour 4 × 6 ajoute 2 cm à 4 et à 6 parce que 6 — 4 = 2 et Ger pour 5 × 3 aboutit à 7 × 5 après avoir reporté 5 − 3 = 2). 3. L’enfant découvre que h/l = ½ dans le premier modèle (1,5 × 3) et cherche à retrouver toujours ce rapport 1 à 2, bien que cette solution ne vaille plus pour les autres modèles (Clau et Ger). 4. Pour d’autres, il suffit de doubler, tripler, etc. les deux côtés du modèle pour obtenir un agrandissement proportionnel. Cette solution est exacte, mais ne permet pas au sujet de trouver la solution quand la base (l) est donnée. D’autre part, ceux qui la découvrent quand le rapport h/l = ½ ne la généralisent pas toujours à d’autres rapports (cf. Ber pour ⁴⁄₇). Enfin tous les sujets corrigent perceptivement leurs essais ou souhaitent une confrontation perceptive, comme Ber qui voudrait « mettre (le modèle) dans son dessin ».

On voit le processus conduisant de la première à la quatrième de ces solutions. Chacun de ces enfants part de la constatation perceptive que la longueur l du petit rectangle modèle est plus grande que sa largeur h₁ soit h₁ < l₁. D’où trois termes : h₁ ; l₁ et la différence D (h₁ l₁). Au cours du stade II et encore (pour ce qui est des constructions graphiques) au cours du sous-stade III A, agrandir le rectangle h₁ × l₁ consiste sans plus à agrandir cette différence D (h₁ l₁), ce qui revient à agrandir exclusivement la longueur l₁ (début du stade II) ou à l’agrandir bien davantage que la largeur Il n’y a donc pas alors de compréhension de la proportionnalité. Cette compréhension débute (ce qui est le cas au niveau III A sur le terrain des jugements perceptifs et au niveau III B pour la construction graphique) lorsque le sujet comprend que h et l varient ensemble et que c’est la différence D (h l) qui doit demeurer constante ou conserver une forme invariante. Mais alors le sujet commence par la considérer comme constante dans un sens absolu avant de la concevoir comme constante relativement, c’est-à-dire à titre de rapport invariant. D’où les étranges solutions (1) et (2) qui consistent soit à ajouter à h₁ et à l₁ un même accroissement h’₁ pour h₁ et l’₁ pour l₁ mais tels que h’₁ = l’₁, soit à ajouter à h₁ et à l₁ leur différence elle-même D (h₁ l₁). Ces deux premières solutions reviennent donc l’une et l’autre à considérer la différence D (h₁ l₁) comme constante absolument parlant. Quant à la solution (3) elle procède de la solution (2) lorsque, sur le modèle (1,5 × 3 cm) l’enfant s’aperçoit que la différence D (h₁ l₁) est égale à la largeur h₁ autrement dit que la longueur l₁ est le double de cette largeur l₁ = 2h, ou h₁=l₁/2. C’est alors, dans ce cas simple du rapport de 1 à 2 [p. 435] entre h et l, que l’enfant parvient à cette découverte décisive que la différence D (hl) se conserve non pas en tant que valeur absolue, mais en tant que rapport D (hl) = h / l, c’est-à-dire qu’en construisant le rectangle agrandi h₂ × l₂ il pose h₂ + h₁+h₁ et l₂ = l₁ + l₁. Mais cette découverte reste si fragile que, pour des modèles tels que h > l/2, l’enfant ou bien pose également l₂ = 2l₁ et h₂ = 2h₁ ou bien retombe dans la solution (2) comme Ger. Par contre, cette solution (3) donne lieu déjà à des généralisations telles que h₂ = 3h₁ et l₂ = 3l₁ ou h₂ = 4h₁ et l₂ = 4l₁ (solution 4), mais ici à nouveau, ces généralisations demeurent insuffisantes durant le sous-stade et quand la longueur l n’est plus un multiple simple de la hauteur h le sujet retombe dans les solutions (1) ou (2) comme Ber.

Bref, ce qui caractérise les solutions graphiques du niveau III B, c’est la découverte que la différence D (hl) est constante, cette constante étant d’abord prise dans un sens absolu D = l − h considéré comme invariant, puis, dans les cas simples ou h = l/2, l/3 ou l/4, dans un sens relatif D (hl) = h/l, mais sans généralisation aux autres cas.

On comprend alors pourquoi la transposition perceptive est, durant ce stade III, en avance sur la construction graphique et le raisonnement opératoire. Lorsque le progrès de la mise en relation intellectuelle pousse l’enfant à comparer les hauteurs h₁ et h₂ et les longueurs l₁ et l₂ (« Je regarde, dit Clau, la hauteur du grand, puis la hauteur du petit, puis la longueur du grand et du petit »), le « transport » perceptif conduit à voir simultanément h₁ h₂ et l’accroissement (ou différence) h’ ainsi que l₁ ; l₂ et l’accroissement l’. Or, la perception obéissant elle-même toujours à des lois de proportionnalité (loi de Weber, centrations relatives, etc.) il suffît que le regard, dirigé par l’intelligence analyse les deux dimensions à la fois (et non plus une seule comme au stade II où l’enfant ne s’occupe que de la longueur) pour que l’équilibre soit trouvé dès que les accroissements h’ et l’ sont perçus selon le même rapport h’/l’ que les côtés eux-mêmes h₁/l₁ et h₂/l₂. D’où une prise de conscience de la proportionnalité s’effectuant dès le niveau III A sur le plan du jugement perceptif, alors qu’il faut attendre le niveau III B pour que les mêmes rapports puissent être construits opératoirement (et encore seulement dans les cas simples).

Après être parvenus, au cours du sous-stade III B, à la découverte que le rectangle agrandi [p. 436] h₂ × l₂ doit être dans le même rapport que le petit modèle h₁/l₁, quand la longueur l₁ est le double de la hauteur h₁ (soit l₁ = 2h₁) ou le triple et le quadruple, les sujets du stade IV généralisent cette proportionnalité naissante à des fractions plus compliquées, en concevant donc la différence entre la longueur et la largeur D (hl) comme un rapport invariant D = h/l, et non plus comme une différence de grandeur absolue constante :

Pir (10 ; 11), après des comparaisons perceptives d’un seuil de 2 cm, en arrive à n’accepter pour le modèle de 1,5 × 3 cm que des agrandissements de 4 × 7,5 à 4 × 8,5.

Dessin : il mesure d’emblée les côtés de 1,5 et 3 cm et les double en un rectangle de 3 × 6 cm. On donne alors un modèle de 2 ×5 cm et une base de 10 cm : « On ne peut pas partager (la longueur) en deux (moitiés égales), parce que c’est 5… Mais là (l₁) c’est 5 et là (l₂) c’est 10, alors là (h₂) c’est 2 × 2 = 4 ». Pour une nouvelle base donnée de l₂, il dit : « Si on avait mis 12,5 cm ça aurait fait 2,5 × 5 (= l₁) et j’aurais mis aussi 2,5 × 2 (= h₂). Je mets 5 mm en moins, ça fait 12 de longueur et 5 mm en moins (sur la hauteur), ça fait 4,5 cm de hauteur ». (Il raisonne donc ici par multiplication d’un facteur proportionnel, mais avec soustraction de parties égales comme au niveau III B).

Dan (11 ; 0). Régulations perceptives graduelles. Dessin immédiat de 2,5 × 5 cm (pour 1,5 × 3 cm) : « Pourquoi ? — J’ai pris la moitié parce que j’ai vu que c’est la moitié. — Si la longueur est de 10 ? — Je mets 5. — Et avec ça (3 × 5 cm) ? — (Il met 6 × 8 cm puis 5 × 8 cm). — Comment as-tu fait ? — D’abord j’ai cru que la largeur c’était les % de la longueur, mais alors j’ai vu que c’était trop et j’ai enlevé 1 [donc approximation simple]. — (On donne une base de 10 cm). — (Il met 6 en hauteur et dit) : Il y a 3 sur le modèle. De 3 aller à 5, ça fait 2. De 6 aller à 10, ça fait le double (il double donc la différence D (hl) parce que l₂ est le double de l₁). — Et avec 15 que ferais-tu ? — Je prendrais le triple 15 et 9 parce qu’entre 15 et 9 ça fait 6 et entre 5 et 3 ça fait 2. Et 6 c’est le triple de 2 ». Dan raisonne donc sur la différence D (h₁l₁) mais en le concevant comme constante à titre de rapport D (h₁l₁) = h/l.

And (12 ; 1). Perception : régulations progressives. Dessin : (1,5 × 3 cm) : il donne 3 × 6 cm. « J’ai doublé. — Et avec ce modèle (2 × 4 et base donnée de 10) ? — La hauteur doit être 5 parce que c’est la moitié de 10. — Mais comment as-tu fait ? — J’ai pris 4 : ça fait 2 fois (dans la longueur l₂ de 10 cm) et il reste 2. J’ai pris 2 (= h₁) et ça fait 2 fois et un reste de 1, ça fait 5. Là-aussi (modèle) 2 (= h₁) c’est la moitié de 4 (= l₁) et 1 c’est la moitié de 2 (= 1 et 2 sont les deux restes dont il vient de parler). C’est juste parce que 1 c’est la moitié de 2. — Pourquoi faut-il la moitié ? — Autrement [p. 437] les restes ne seraient pas la même chose ». Donc les restes R sont définis comme R₁ = l₂ — 2l₁ et R₁ = h₂ − 2h₁ et And admet que R₁/Rl = l/h !

Modèle 3 × 5 cm. Base donnée : 12 cm. Il calcule 12 / 5 = 2,4 puis, après hésitation, multiplie 3 × 2,4 = 7,2.

Ces cas intéressants d’arrivée à la réponse juste montrent, d’abord, la généralisation de la méthode déjà trouvée, au niveau III B, dans le cas du rapport 1 à 2 (voir par exemple le sujet Pir qui a bien compris le principe de cette méthode, malgré ses résidus des procédés hérités du sous-stade III B). Mais on remarque surtout la marche suivie par Dan et And, qui consiste, chez Dan, à multiplier la différence D (hl) entre la hauteur h₁ du modèle et sa longueur l₁ par le rapport h₁/l₁ et chez And à multiplier par le rapport l₁/h₁ le « reste » défini par Rl = l₂ − 2l₁ et Rh = h₂ − 2h₁. Ce sont donc là deux cas illustrant admirablement le passage entre la méthode erronée du niveau III B fondée sur l’analyse de la différence absolue D (hl) = l − h et la méthode revenant à rendre relative cette différence D (hl) en fonction du rapport h/l. En fin d’interrogatoire And parvient, à la suite de ce progrès, à la méthode générale h₁/l₁ = n, d’où l’agrandissement proportionnel h₂ = nh₁ et l₂ = nl₁, ce qui ne constitue plus seulement une conception extensive, mais bien métrique de la proportionnalité.

À vouloir résumer l’ensemble de ce développement, du stade II au stade IV, il se présente au total sous une forme extrêmement simple et instructive : pour agrandir un rectangle h₁ × l₁ en un autre rectangle jugé semblable h₂ × l₂ l’enfant commence (au stade II) par ne se soucier que de la longueur l₂, qu’il accroît démesurément sans modifier h₂ ou en l’augmentant d’une petite différence arbitraire. Au cours du stade III, d’abord perceptivement (niveau III A) puis graphiquement (niveau III B), l’enfant découvre le rapport entre la longueur l₁ et la largeur h₁, d’abord sous la forme d’une différence D (hl) qu’il conserve constante absolument parlant, D(hl) = h₁/l₁, puis sous la forme d’un rapport invariant D (hl) =h₁/l₁. Parvenu à ce point d’abord pour les rapports simples (1 à 2, etc.), il généralise ensuite (au stade IV) sa découverte en comprenant la proportionnalité h₁/l₁ = h₂/l₂ dans tous les cas y compris les rapports non entiers entre h et l.

Comment donc expliquer le passage de la proportionnalité naissante sous la forme du rapport D (hl), conçu comme invariant, aux proportions généralisées ? Appelons (comme au paragraphe précédent) h’ la différence entre h₁ et h₂ (c’est-à-dire [p. 438] entre les hauteurs du modèle et du rectangle agrandis et l’ la différence entre l₁ et l₂ (longueurs du modèle et de l’agrandissement). On a alors h’ + h₁ = h₂, et l’ + l₁ = l₂. Mais ce ne sont là que des rapports qualitatifs, par simple emboîtement logique de la partie dans le tout : si h₁ + h’ = h₂ le sujet sait uniquement que h₁ < h₂ sans connaître le rapport entre h₁ et h’ et si l₁ + l’ = l₂ il ne sait que l₁ < l₂ sans connaître le rapport entre l₁ et l’. Sans doute peut-il déjà dire « h₁ est à h₂ comme l₁ est à l₂ » ou « h’ est à h₂ comme l’ à l₂ », mais à la manière d’une simple correspondance logique (et non mathématique), telle que « Marseille est à la France comme Naples à l’Italie » c’est-à-dire par double comparaison d’une partie et de son tout. Mais la découverte propre au stade III est que la différence D (l₁h₁) demeure constante, cette constance étant d’emblée conçue comme un rapport invariant sur le plan du jugement perceptif, et étant d’abord considérée absolument sur le plan de la construction graphique avant de devenir également un rapport constant. Or, c’est cette découverte de l’invariance du rapport qui permet de quantifier la correspondance logique de partie à tout et d’en faire une proportion mathématique : si h’ est à h₁ comme l’ à l₁ et si h₁ est à h₂ comme l₁ à l₂ selon un rapport constant D (l₁h₁) = D (l₂h₂), cela signifie en effet, que h₁ est une partie de h₂ de même ordre que l₁ de l₂, c’est-à-dire que h₁ devient une fraction de h₂ complémentaire de h’ ; que l₁ devient une fraction de l₂ complémentaire de l’ et que ces deux fractions sont égales h₁/h₂ = l₁/l₂, d’où les proportions h₁/l₁ = h’/l’ = h₂/l₂. La construction des proportions n’est donc pas autre chose que le passage de la correspondance qualitative entre deux emboîtements logiques de mêmes « types » à l’égalité entre deux emboîtements quantitatifs de même ordre (ou valeur métrique).

Or, le grand intérêt de cette marche suivie dans la construction psychologique des proportions métriques, en ce domaine des rapports dimensionnels entre les rectangles ¹⁸ est qu’elle est complètement parallèle à ce que nous avons vu au cours de la section I de ce chapitre, à propos de la similitude entre les triangles. Nous avons constaté, en effet, qu’au niveau IIIB (le même où la proportion mathématique émerge de la correspondance entre emboîtements logiques), l’enfant découvre que deux triangles de côtés A₁A₂ et B₁B₂, tels que B₁ = A₁ + A’₁ étant [p. 439] donc la différence entre un côté du petit triangle et le côté correspondant du grand) et que B₂ = A₂ + A’₂ est la différence entre les deux autres côtés), sont semblables si les bases A (reliant les extrémités de A₁ et de A₂) et B (reliant les extrémités de B₁ et de B₂) sont parallèles. Il semble au premier abord qu’il n’y ait pas de rapport entre cette construction purement graphique et la construction métrique que nous venons de décrire à propos des rectangles, mais il est clair, au contraire, qu’elles reviennent au même.

Notons d’abord que les côtés h₁ et l₁ du rectangle modèle pourraient être conçus comme les côtés A₁ et A₂ d’un triangle (si l’on envisage que deux des quatre côtés du rectangle, sans s’occuper des côtés opposés (symétriques et égaux aux deux premiers). De même les côtés h₂ et l₂ du rectangle agrandi sont comparables aux côtés B₁ et B₂ du triangle agrandi, les différences A’₁ et A’₂ étant alors assimilables aux différences h’ et l’. Cela dit, la découverte métrique due aux raisonnements concernant le rectangle consiste à poser que h’ et l’ sont dans le même rapport que h₁ et l₁ et que h₂ et l₂, soit h’/l’ = h₁/l₁ = h₂/l₂. Or, du point de vue purement graphique ou figurai, dire que deux droites issues d’un même point présentent un certain rapport signifie qu’on peut relier leurs extrémités par une troisième droite : le rapport entre A₁ et A₂ est donc la droite A servant de base au premier triangle ; de même le rapport entre B₁ et B₂ est la droite B servant de base au second triangle. Dire enfin que le rapport entre A₁ et A₂ est le même qu’entre B₁ et B₂ revient à affirmer que les deux droites A et B sont parallèles, le parallélisme marquant précisément l’identité de direction, donc de rapport. Ainsi la relation de parallélisme entre les bases A et B revient à exprimer que A₁ / A₂ = B₁ / B₂ = A / B, ce qui correspond exactement aux proportions h’/l’ = h₂/l₂ = h₁/l₁. Cette correspondance entre la notion spatiale ou graphique des proportions et la notion métrique ou numérique des rapports proportionnels est bien connue des mathématiciens : il n’en est que plus intéressant de constater qu’elle se retrouve au même niveau III B entre deux aspects très différents en apparence, de la construction psychologique des similitudes et des proportions. Il y a là un nouvel exemple de l’étroite parenté qui unit, d’une part, la construction psychologique de l’espace et, d’autre part, la construction déductive et axiomatique de la science géométrique.

Il n’en reste pas moins que la notion métrique des proportions ne trouve son équilibre qu’au niveau du stade IV, bien qu’esquissée dès le sous-stade III B tandis que la similitude [p. 440] des triangles fondée sur l’égalité des angles trouve son équilibre au niveau III B, bien qu’esquissée dès le sous-stade III A, et que cette même similitude fondée sur le parallélisme des côtés trouve son équilibre dès le niveau III A : parallélisme des côtés du triangle, égalisation des angles et proportions métriques semblent ainsi constituer les trois paliers successifs, correspondant aux niveaux III A, III B et IV, de l’élaboration des similitudes et des proportions.

Au total, nous avons cherché à montrer, dans la section I de ce chapitre, que la construction des similitudes entre triangles était due à un groupement d’opérations d’abord qualitatives, puis susceptibles de quantification extensive, fondée sur la correspondance co-univoque entre les différents intervalles compris parallèlement entre les côtés d’un angle à partir du sommet jusqu’à la droite choisie comme base du triangle. C’est cette même correspondance co-univoque qui, venons-nous de voir en cette section II, permet de mettre en rapport une partie et son tout et de relier deux rapports de ce genre sous forme d’emboîtements logiques correspondants, puis de proportions. D’où la parenté étroite entre les constructions opératoires de l’enfant dans les domaines de la similitude des triangles et de la proportionnalité des rapports dimensionnels en général. Or, si la mise en correspondance co-univoque joue ainsi un rôle fondamental dans l’élaboration des notions d’angles, et par conséquent de similitude et de proportions, c’est au contraire la mise en correspondance bi-univoque qui interviendra dans la construction des systèmes de référence et de coordonnées. C’est ce que nous allons voir dans les deux chapitres qu’il nous reste à présenter pour terminer cette étude du passage entre les notions projectives, y compris la droite, et les notions inhérentes à la métrique euclidienne, par l’intermédiaire des parallèles et des angles.

Pour ne pas allonger ce chapitre déjà trop copieux, nous ne pouvons décrire en détail le résultat d’une expérience de contrôle faite sur la découverte des proportions dans l’agrandissement d’une figure ouverte. Pour éviter le rôle des « bonnes formes » perceptives du triangle et du rectangle et voir si la proportionnalité se développerait de la même façon qu’à propos de ces figures fermées nous avons présenté aux sujets une structure composée d’une droite horizontale a de 6 cm et d’une droite perpendiculaire à de 3 cm dressée à une distance c = 1,5 cm de l’extrémité gauche de la première. Nous avons, comme précédemment. [p. 441] procédé par comparaisons perceptives et par agrandissement graphique.

Les comparaisons perceptives ont porté sur des agrandissements de a = 10 cm ; b = 5 cm et c = 2,5 cm en faisant varier les longueurs b et c, mais en laissant a inchangé. Quant à la construction graphique, elle s’est faite selon la même technique que précédemment.

On constate que ce nouveau problème diffère de celui des rectangles et des triangles en ce que l’enfant doit tenir compte de trois grandeurs (a, b et c) sans l’aide de parallélismes, et surtout que les transpositions perceptives ou agrandissements graphiques ne peuvent être influencés de façon générale par une conceptualisation de la figure comme dans le cas des triangles rendus plus pointus ou des rectangles allongés pour mieux répondre à leur type ou « modèle interne ».

Or, les stades obtenus dans la découverte des rapports proportionnels se sont montrés suivre le même ordre de succession que ceux décrits à propos des rectangles, sans cependant pouvoir leur être assimilés complètement. Au cours du stade I, l’expérience est encore moins possible qu’avec les figures fermées. Le stade II, de son côté, paraît débuter un peu plus tard, les petits ayant grand-peine à comprendre ce que peut être l’agrandissement d’une telle figure (à laquelle il ne donne d’ailleurs pas de nom) : ou bien l’enfant compare le modèle et ses agrandissements d’une manière toute globale (il voit deux lignes avec intersection perpendiculaire, mais sans comparaison des dimensions, ou même trois droites partant du même point dans trois directions quelconques), ou bien, dès qu’il analyse la figure, il « transporte » une grandeur absolue. On obtient ainsi, dans les comparaisons perceptives, soit un seuil très large, l’enfant acceptant toutes les figures, soit un seuil très étroit, mais avec erreurs dues au fait que l’enfant s’en tient à l’une des grandeurs absolues. La construction graphique donne lieu à des réactions analogues. Par exemple Lil (5 ; 8) accepte toutes ces figures pourvu que les lignes b et c ne soient pas plus petites que celles du modèle, tandis que Jac (6 ; 6) compare uniquement des grandeurs absolues isolées.

Vers 7 ans on observe les débuts d’un sous-stade III A, marquant le commencement encore modeste d’une mise en relation des longueurs, avec, cependant, accroissement exagéré soit de a soit de b (c étant en général conservé dans sa longueur absolue). Mais chaque sujet débute, avant d’en venir à l’analyse, par des comparaisons encore globales ou par des augmentations portant sur l’une seulement des deux dimensions. Par exemple Dan (6 ; 10) débute par un seuil très grand et des b beaucoup trop larges, mais, lorsqu’on les présente trop petits il commence à analyser. Le dessin donne un c constant et b plus long que a. Tea (7 ; 0) fait l’inverse, etc. On ne retrouve guère à ce niveau le décalage entre les comparaisons perceptives et la construction graphique, la figure ouverte ne donnant pas lieu à la même conceptualisation [p. 442] et l’analyse présentant à peu près les mêmes difficultés dans la comparaison perceptive et dans le dessin (sauf certaines exagérations d’une seule longueur plus poussées dans ce dernier).

Vers 8 ; 5 à 9 ans apparaît un sous-stade III B avec comparaisons plus précises de deux longueurs, mais pas de trois. En outre le sujet parvient aux proportions métriques dans les cas simples (1 à 2) et généralise la duplication au troisième élément. Par exemple Ber (8 ; 6) arrive à un rapport à peu près exact entre a et b lorsqu’il dessine sans mesures, mais reporte c absolument. Lorsqu’il mesure il parvient à un rapport correct entre a et c, mais b demeure inexact. Enfin il double systématiquement les trois longueurs mais sans parvenir à d’autres agrandissements que par duplication. Job (8 ; 11) en arrive, après ne s’être occupé que de deux longueurs sur trois, à ajouter des quantités égales aux trois droites, etc.

Enfin vers 11 ans apparaît le stade IV, avec ses mises en proportions métriques généralisées à tous les rapports.

Au total l’évolution de ces réactions est donc comparable à celle des comparaisons perceptives et graphiques du rectangle, moins les complications dues à la conceptualisation subjective de forme d’ensemble et plus celles dues à l’intervention d’une troisième longueur à comparer aux deux autres.

N. B. — Notons encore, pour terminer, que tout ce qui a été dit, en cette sect. II, de l’exagération de la longueur des rectangles, se retrouve, à des degrés divers, lorsque le rectangle est présenté verticalement et non plus horizontalement.