Chapitre XIV.
Les schémas topographiques et les plans du village ^{1 a} 🔗

Le matériel consiste donc en deux reliefs exactement pareils, représentant un paysage (voir fig. 27). Le modèle A est traversé du haut en bas par un ruisseau, bordé du côté droit par une colline allongée sur laquelle est située une maison à toit jaune. Une route partant du coin inférieur de gauche traverse le relief en diagonale. Une grande maison à toit rouge se trouve à gauche de la route dans ce coin inférieur de gauche, et elle est reliée à la maison à toit jaune par un petit chemin traversant le ruisseau sur un pont. Dans le même secteur que la maison rouge, mais dans le coin gauche supérieur du relief se trouvent trois arbres dispersés autour d’une petite colline.

Le modèle B est exactement le même, mais tourné de 180° [p. 500] et séparé du premier par un écran empêchant le sujet de dominer du regard les deux reliefs à la fois, et l’enfant est prié de situer sur le modèle B une petite poupée aux mêmes emplacements que l’expérimentateur situe la sienne sur le modèle A.

On commence d’ailleurs par présenter les deux reliefs sans écran ni rotation, en faisant poser le bonhomme « exactement au même endroit » en quelques situations faciles (sur le toit des maisons rouge et jaune, etc.), puis on recommence après rotation, mais sans écran, et enfin on place l’écran en laissant l’enfant vérifier tant qu’il veut ses hypothèses, par inspections successives des modèles A et B. Il est intéressant, après que le sujet ait placé définitivement le bonhomme en ses différentes positions, de lui demander d’expliquer verbalement (en fermant les yeux) ce qu’il a voulu faire (cette explication demeurant naturellement toujours à un niveau très inférieur à celui de l’action elle-même).

Nous plaçons alors le bonhomme en quinze positions types successives, de difficultés d’ailleurs très inégales, mais qu’il est inutile de décrire d’avance dans le détail : l’intérêt n’est, il va de soi, pas simplement de savoir si l’enfant pourra les retrouver sur le dispositif B, mais de déterminer quelle méthode il emploiera à cet effet, c’est-à-dire quelles relations il invoquera et coordonnera entre elles pour assigner la position voulue. On use, à cet égard, de la façon la plus souple de l’écran, qui peut être enlevé pour corrections successives ou replacé pour obliger à de nouvelles réflexions.

Les stades que cette technique permet de déceler ne peuvent être caractérisés que par l’ensemble ou la moyenne des réactions du sujet. En effet, si, pour chacune des quinze positions envisagées, l’ordre de succession de ces réactions est le même, il existe de forts décalages de l’une aux autres solutions, par suite de la différence notable des difficultés en jeu. Néanmoins, on peut dire en gros qu’au cours d’un stade I (jusque vers 4 ans ou parfois 3 ; 6 seulement) les positions sont déterminées essentiellement grâce aux rapports topologiques de voisinage et d’entourage ou enveloppement : en termes psychologiques cela revient à dire que le bonhomme est situé sur un même « fond » (dans un pré, etc.) ou à côté d’un même objet, sans que le sujet se soucie des rapports de gauche et de droite, de haut ‘ et de bas, de distances, etc. Au cours du stade II (de 4 à 7 ans) les décalages sont les plus fréquents entre les solutions d’une position à l’autre, étant donné qu’il s’agit de réactions intermédiaires au sein desquels interfèrent les facteurs perceptifs et intuitifs. Au cours du sous-stade II A, on peut parler d’une [p. 501] correspondance égocentrique d’orientation, sans prise de conscience des points de vue (donc avec mise en position par rapport au corps propre du sujet, comme s’il n’y avait pas eu de rotation du modèle B ni de l’ensemble du paysage), l’enfant tenant compte de plusieurs rapports et non pas seulement des objets proches. Il n’y a cependant encore pas plus de système de coordonnées que de coordination des points de vue. Au cours du sous-stade II B, il y a coordination intuitive croissante. Enfin à partir du stade III (7 ans ou même parfois 6 ; 6) toutes les relations sont construites par multiplication logique.

Voici des exemples du stade I :

Pour une position située dans le secteur IV (à droite en haut sur le modèle A), c’est-à-dire dans un pré à droite du ruisseau et à gauche de la route : Jea (3 ; 0) place le bonhomme (sur le modèle B) dans un pré également, mais dans le secteur I (à droite du ruisseau, sans référence avec la route, et dans le coin droit inférieur). Al (3 ; 0) met aussi le bonhomme dans un pré, mais dans le secteur III entre le ruisseau (à sa droite) et la grande colline.

Mar (4 ; 0) le place aussi dans un pré, mais près de l’intersection de la route et du ruisseau, etc.

Pour une position du bonhomme dans un pré entre la grande colline et le ruisseau et non loin de la maison jaune, Al (3 ; 0) commence par le mettre (modèle B) dans un pré quelconque à peu près à la même position absolue par rapport à lui (c’est-à-dire sans tenir compte de la rotation), puis il le met près de la grande colline comme sur le modèle A, mais sans s’occuper de la maison jaune, ni de sa situation par rapport au ruisseau.

Pour une position du bonhomme dans le ruisseau, mais tout au bas du modèle A, l’unanimité des sujets du stade I le placent également dans le ruisseau sur le modèle B, mais Al (3 ; 0) le met vers le milieu de la partie inférieure du modèle B, Rut (3 ; 6) exactement au centre (au-dessus de l’intersection de la route et du ruisseau), etc.

Pour la position du bonhomme à côté de la maison jaune (sur la grande colline dans la partie inférieure de droite du modèle A), Al (3 ; 0) met la poupée (modèle B) sur la partie inférieure de la colline (sans s’occuper de la maison jaune). Pa (3 ; 0) commence de même, puis le déplace à côté de la maison rouge et enfin la met à côté de la maison jaune.

On voit assez le principe de ces réactions ³ : la position du bonhomme est déterminée par son voisinage ou son entourage [p. 502] immédiat, sans aucune multiplication logique des autres relations en jeu ni même de plusieurs voisinages à la fois. C’est ainsi que si le bonhomme est dans un pré sur le modèle A le sujet le replace dans un pré sur le modèle B, mais sans s’occuper de quel pré, ni des objets qui le bordent, ni même de la rotation du dispositif avec les changements qu’elle entraîne. Si le bonhomme est dans le ruisseau en A il se retrouvera dans le ruisseau en B, mais n’importe où, et à nouveau sans se soucier, ni des systèmes de référence extérieurs à ce ruisseau, ni de la rotation. Si le bonhomme est à la fois près de la maison jaune et sur la colline, l’enfant de ce stade s’occupera, soit de la colline sans le placer près de la maison jaune (Al), soit de la maison, mais il le mettra près de la maison rouge aussi bien que de la jaune sans remarquer la couleur : dans aucun des deux cas, il ne multipliera donc les deux conditions l’une par l’autre.

Ce qui frappe donc, dans ces réactions du premier stade, c’est avant tout cette difficulté à la multiplication logique des relations. D’où trois conséquences solidaires : la première est l’utilisation quasi exclusive des rapports topologiques élémentaires d’entourage ou d’enveloppement (« dans » le pré ou le ruisseau) et de voisinage (« près de » la maison) qui ne nécessitent aucune multiplication ; la seconde est l’absence de coordination des points de vue projectifs (le sujet ne tenant pas compte de la rotation du dispositif et du changement de point de vue que ce fait nécessite) ; et le troisième l’absence de toute mise en relations euclidiennes (selon les distances en ligne droite, les angles, etc.), sources de coordonnées.

Avec le sous-stade II A, par contre, débutent quelques mises en relation, qui intéressent à des degrés divers certains objets de référence plus éloignés que précédemment, mais sans coordination des points de vue ni structuration de l’ensemble du paysage.

Lorsque le bonhomme est situé dans le pré du secteur IV, à droite du ruisseau et à gauche de la route, Cla à 3 ; 6 déjà le situe d’abord dans un pré quelconque, comme au stade I, puis se corrige (sans écran) pour le placer sur le modèle B, dans la même position absolue que sur le modèle A (c’est-à-dire dans le secteur II, comme s’il n’y avait pas eu de rotation). Cette correction, quoique erronée, annonce le niveau II A. — Chri (4 ; 6), avec écran, le met d’emblée dans la même position absolue. Jac (5 ; 1) fait de même, puis cherche le rapport avec la route (qui n’est pas très proche) et met le bonhomme à sa droite, puis de nouveau à sa gauche.

Pour la position dans le ruisseau (au bas du modèle A) Wil (3 ; 9) met le bonhomme également dans le ruisseau, vers le milieu [p. 503] du modèle B, puis le place tout en bas de celui-ci. Mon (4 ; 0) procède de même ; Chri (4 ; 6) également, etc.

Lorsque le bonhomme est à côté de la maison jaune, tous les sujets de ce niveau retrouvent la même position sur le modèle B et plusieurs tâtonnent pour déterminer si c’est à gauche ou à droite qu’il faut le mettre, en ne parvenant pas d’ailleurs à inverser le rapport, faute de tenir compte de la rotation, par exemple Ude (4 ; 0).

Quant aux positions situées dans les prés entre le ruisseau et la rivière, le sujet tient compte de ces deux éléments, mais sans retrouver le bon secteur (toujours à cause de la rotation). Par exemple Ude (4 ; 0), en voulant retrouver une position du secteur I, le place, sur le modèle B, dans le secteur IV qui ne contient pas non plus la grande colline, mais qui se trouve aussi sur la gauche du dispositif en B (comme le secteur I en A).

Le progrès est donc évident par rapport au stade I : le bonhomme n’est plus situé en fonction d’un seul objet proche (champ ou maison, etc.), mais de deux ou trois objets (route et ruisseau, ruisseau et colline ou maison, etc.). Il y a donc début de coordination entre les positions de plusieurs éléments. De même les relations de gauche et de droite, de devant et de derrière interviennent dans le choix du sujet. Mais il n’y a ni coordination d’ensemble de ces rapports en fonction de certains « points de vue », faute de compréhension des effets de la rotation (l’orientation demeurant donc relative au point de vue propre de l’enfant), ni structuration de l’ensemble des objets selon un système de coordonnées, faute de références étendues à plus de deux ou trois éléments.

Le sous-stade II B marque, par contre, la transition entre ces débuts de coordination euclidiennes et projectives et les coordinations complètes du stade III :

Pour le pré du secteur IV (en haut à droite du modèle A), c’est-à-dire à gauche de la route et à droite du ruisseau, Mon (5 ; 0) situe d’abord, sur le modèle B, le bonhomme à gauche du dispositif, mais vers le haut (secteur III), puis le ramène vers le bas (secteur IV) et trouve la place exacte entre le ruisseau et la route.

Lorsque le bonhomme est entre la grande colline et le ruisseau (en bas à droite du modèle A), dans le secteur III, le même Mon (5 ; 0) le situe sur le modèle B, à droite (secteur I) puis le ramène à gauche correctement, Clav (4 ; 11) débute dans le bon secteur, mais tourne autour de la colline avant de trouver l’endroit. Bar (5 ; 1) de même débute trop bas par rapport à la colline et à la route, puis éloigne le bonhomme de la route et le rapproche de la position juste. Pit (6 ; 3) débute à peu près au bon endroit, mais en le comparant avec la route déplace le bonhomme au-delà [p. 504] de celle-ci (par confusion avec le modèle A), puis il la ramène dans le secteur III mais à gauche de la maison jaune (à nouveau par confusion avec A), pour le mettre enfin à sa droite.

Pour la position voisine de la maison rouge, Luc (5 ; 5) met d’abord le bonhomme du mauvais côté du ruisseau, puis se corrige. Bar (6 ; 6) commence par manquer même ce voisinage, en déplaçant simplement le bonhomme de bas en haut du dispositif pour tenir compte de la rotation (mais en oubliant l’inversion de gauche à droite), puis il le place sur la droite en face de la maison, mais de l’autre côté du ruisseau et réussit enfin. D’autres inversent la gauche et la droite, mais oublient d’abord le bas et le haut du dispositif (relations avant-arrière), etc.

À l’encontre des sujets du niveau II A qui négligent les effets de la rotation, ceux-ci en tiennent donc compte, mais par étapes successives, en inversant un seul rapport pour commencer, et en le multipliant ensuite seulement avec l’autre. Ce progrès dans la logique se traduit fréquemment par un résultat paradoxal, qui est de conduire le sujet à oublier des voisinages élémentaires (comme Bar pour la maison rouge) de manière à tenir compte de rapports avec des objets plus éloignés, mais de rapports d’abord isolés et par conséquent incomplets. Ces incohérences momentanées sont particulièrement nettes lorsqu’il s’agit de deux distances à respecter simultanément : le sujet s’occupe d’abord de l’une en négligeant l’autre puis vice versa jusqu’à ce qu’il trouve un compromis acceptable.

Bref, ce sous-stade nous offre le tableau d’une coordination progressive, mais se produisant par tâtonnements et souvent par voltefaces brusques, intéressant simultanément les rapports projectifs de points de vue (gauche-droite et devant-derrière, en fonction de la rotation du dispositif) et les relations euclidiennes de distances et d’ordre selon les deux dimensions en jeu. Tant ce début de mise en références systématiques que ce début de coordination des points de vue sont dus à une multiplication de relations de plus en plus nombreuses, mais guidée par l’intuition et ne procédant pas encore par opérations réglées.

Enfin le stade III est marqué par la conquête de toutes les relations. Sur 41 enfants examinés nous n’en avons pas trouvé avant 7 ans qui déterminent exactement l’ensemble des 15 positions, mais la réussite générale est obtenue en moyenne dès 7-8 ans, c’est-à-dire dès le niveau III A. Dès les débuts de ce sous-stade, la rotation ne joue pour ainsi dire plus de rôle, le bonhomme étant chaque fois situé d’emblée en fonction d’un [p. 505] double système de référence selon les deux dimensions du plan. Il ne faut pas s’étonner, répétons-le, de la précocité apparente des réactions à cette épreuve, alors que la coordination des points de vue étudiée à propos des trois montagnes vues selon diverses perspectives (chapitre VIII) ou que les coordonnées verticales et horizontales (chapitre XIII) ne sont acquises qu’au niveau III B : dans la présente épreuve, en effet, il n’est question que d’un seul objet (le bonhomme) à placer au sein d’un ensemble tout organisé, lequel est soumis à une seule demi-rotation de 180°. Il n’en est que plus intéressant de constater comment, après le primat des rapports topologiques élémentaires du stade I, les coordinations projectives et euclidiennes se construisent simultanément au cours des stades II et III, en s’appuyant les unes sur les autres ⁴.

Avec la construction des schémas topographiques, au contraire, nous retrouvons un problème d’ensemble auquel le précédent sert simplement d’introduction et qui se révèle beaucoup plus complexe dans la mesure où un nombre plus ou moins grand d’objets sont à placer simultanément les uns par rapport aux autres et tous par rapport au cadre général (modèle ou feuille de dessin).

Les techniques adoptées ont été au nombre de deux principales, l’une utilisée à tous les âges et consistant à faire exécuter un dessin à échelle réduite pris d’un certain point de vue, et l’autre, destinée aux petits et aux expériences de contrôle, consistant à reproduire sans plus le modèle au moyen d’objets réels. Pour comprendre l’idée qui a présidé au choix de ces techniques, il convient de se rappeler le but de ce dernier chapitre, qui est de vérifier l’interdépendance des constructions projectives et des constructions euclidiennes dans le développement de l’espace enfantin, autrement dit de retrouver sous une forme synthétique tout ce que nous ont enseigné les chapitres VI à XIII de cet ouvrage. L’élaboration d’un schéma [p. 506] topographique suppose, en effet, nécessairement : 1. Le choix d’un point de vue et de certaines conventions graphiques destinées à exprimer ce point de vue (p. ex. une carte géographique situe le sud au bas de la page, l’ouest à gauche, le nord au haut, etc. ; le plan d’un village ou d’un petit territoire peut représenter les bâtiments, etc., vus perpendiculairement, les toits seuls étant visibles, ou de trois quarts, etc.). Toute représentation topographique suppose donc d’abord l’intervention d’un élément projectif. 2. Un système de coordonnées, dont le rôle est évident, avec les notions de droites, de parallèles et d’angles qu’il implique. 3. Une réduction à une certaine échelle et par conséquent les notions de similitudes et de proportions. C’est en quoi la construction d’un schéma topographique résume en fait toutes les constructions que nous avons étudiées au cours des chapitres précédents, mais en permettant de saisir leurs rapports et leurs corrélations.

Seulement, par le fait même de l’interdépendance des notions en jeu, il convient de partir de la technique la plus globale et la plus souple, mais aussi de la compléter sans cesse par des épreuves de contrôle permettant d’analyser à part certains des facteurs présents. La technique centrale que nous avons adoptée consiste simplement, étant donné un certain nombre d’objets disposés sur une petite table ou sur le sol (une église, des maisons, des arbres, etc.) à demander à l’enfant de les dessiner soit en vision perpendiculaire au plan sur lequel ils sont placés, soit à 45°, sur feuille de papier blanc de format réduit par rapport au modèle. Quant aux épreuves annexes, elles ont été principalement les suivantes (sans régularité et à choix selon les besoins de chaque interrogatoire) :

Un contrôle utile consiste, une fois que l’enfant a terminé son premier dessin, à enlever les objets modèles et à demander au sujet de les replacer lui-même d’après son propre dessin. En reprenant alors l’épreuve principale on obtient souvent des résultats améliorés ou au contraire une confirmation plus précise de la nature des erreurs commises. On peut, en second lieu, simplifier le modèle primitif, ou même ne faire dessiner que trois objets seulement, de différents points de vue, en analysant les angles de la figure qu’elles font à elles trois, etc. On peut aussi présenter des dessins à choix, en les faisant commenter.

Mais, la principale difficulté inhérente à l’emploi de ces techniques tient naturellement au rôle joué par le dessin de l’enfant lui-même : il importe donc (surtout chez les petits) de pouvoir remplacer le dessin par une simple construction. On présentera à cet effet un modèle de village disposé sur un carton [p. 507] de 40 × 60 cm (voir fig. 28) et on fournira à l’enfant un autre carton et de mêmes objets, à situer de façon semblable (on pourra, en ce cas, supprimer le facteur proportionnalité en conservant les mêmes dimensions, ou au contraire donner un carton ainsi que des objets correspondant aux modèles mais de dimensions réduites). Les cartons doivent évidemment ne comporter aucune ligne ou points de référence possibles, en dehors des objets eux-mêmes et du cadre rectangulaire. D’autre part, les objets offerts à l’enfant peuvent être en nombres correspondant à ceux du modèle ou au contraire en quantités plus grandes, avec nécessité d’un choix.

Quant à la disposition des objets du modèle, tant pour la technique du dessin que pour celle de la construction imitative, il y a avantage à la conserver identique des plus jeunes sujets aux plus âgés (du moins en certains des éléments présentés, en cas de simplification nécessaire). Les comparaisons en sont facilitées d’un stade à l’autre et cette permanence n’exclut pas les variations introduites après coup à titre de contrôle.

Les réactions observées au moyen de ces diverses techniques ont été les suivantes. Au cours du stade I (jusque vers 4 ans environ), il n’y a encore ni correspondance d’ordre spatial, ni même correspondance bi-univoque des objets entre eux. Autrement dit, lorsque l’on offre au sujet davantage d’objets qu’il y en a sur le modèle, il n’en place pas un nombre équivalent et, d’autre part, ceux qu’il dispose en conformité avec ceux du modèle ne sont pas placés aux mêmes endroits, ni dans le même ordre. Tout au plus certains voisinages sont-ils respectés, mais, ou bien l’ensemble des objets est disposé en agglomérations serrées, ou bien les éléments sont alignés en une suite linéaire, mais sans correspondance d’ordre avec ceux du modèle.

Au cours du stade II (de 4 à 6-7 ans en moyenne) le sujet, après avoir mis en correspondance logique les objets eux-mêmes [p. 508] avec ceux du modèle, c’est-à-dire après avoir choisi ou dessiné les mêmes que sur le modèle, cherche à les situer en correspondance spatiale avec eux, mais ne parvient à aucun placement en fonction d’un système de coordonnées, faute de savoir « multiplier » les relations d’ordre et de distances entre elles selon les trois dimensions. Par contre, avec la technique de la construction, il constitue de petits ensembles d’objets incoordonnés entre eux en tant qu’ensembles, mais ordonnés à leur intérieur, en particulier par couples. Cet ordre naissant se fonde soit sur l’ordre de parcours du regard lorsqu’il suit de proche en proche les éléments du modèle (avec parfois inversion de l’ordre réel lorsque le sujet a regardé d’abord à droite et commencé son dessin ou sa construction sur la gauche), ou par un ordre dû aux ressemblances conceptuelles (les arbres ensemble, etc.), ou par réunion d’objets séparés et spatialement opposés ; le sujet procède également parfois par rayonnement dans différentes directions à partir d’un objet considéré comme central. La technique du dessin donne, soit des réactions analogues, soit encore des alignements, correspondants aux éléments du modèle, mais unidimensionnels comme au stade I (il y a à cet égard décalage entre le dessin et la construction). Au cours de ce second stade, les distances sont naturellement négligées, ainsi que les perspectives. Quant aux systèmes de référence, il y a encore incoordination entre le système intérieur des objets (quelques-uns mis en rapport avec d’autres) et le système extérieur constitué par le cadre rectangulaire. Il arrive ainsi qu’un ensemble d’objets soit contracté au mépris des distances relatives, et rejeté sur la gauche, ou vers le bas, etc., mais que quelques éléments isolés soient déjà situés par rapport au cadre sans être alors placés en relation avec les autres objets, etc. On peut distinguer un niveau II A, répondant à ce qui précède, et un niveau II B avec mises en relation intuitives annonçant le stade III.

Au cours du stade III, c’est-à-dire de 7 à 10-11 ans, on assiste à une construction progressive du système des coordonnées, d’abord par « multiplication » des relations qualitatives d’ordre, selon les orientations gauche × droite et devant × derrière (les relations gauche x droite paraissant précéder les secondes), sans considération suffisamment systématique des distances. Le double arrangement global est rapidement correct, mais il subsiste longtemps des erreurs de détail. De plus, il se présente des difficultés très significatives lorsqu’il s’agit de modifier le dessin, en cas de changement objectif du modèle, ou d’intégrer de nouveaux éléments dans l’ensemble. On remarque, en [p. 509] outre, que le sujet adopte souvent au cours du dessin un seul système de points de repère et qu’il a quelque peine, ensuite, à le relier à d’autres. Quant à la perspective on assiste, de même, à des perfectionnements graduels. Il faut noter, au début du stade, des compromis curieux tels que le dessin des toits seuls (pour la vision perpendiculaire au plan), mais vus de face. Puis certains objets sont en perspective mais pas tous. D’autre part, lors de la modification des positions relatives selon le point de vue de l’observateur, on observe encore durant le sous-stade III A une difficulté résiduelle à renverser simultanément les rapports gauche × droite et devant × derrière. Au cours du stade III B, par contre, le système des coordonnées se stabilise sous une forme qualitative (doubles rapports d’ordre), avec coordination des points de vue, mais toujours sans mesure précise des distances.

Ce n’est qu’au stade IV (en relation avec ce que nous avons vu au chapitre XIII, paragraphe 6 des systèmes conventionnels de référence), que la notion d’un plan schématique est acquise en toute sa généralité, avec mesure des distances et réduction d’échelle selon des proportions métriques autant qu’avec les coordinations précédemment acquises.

Les réactions initiales propres à ce stade sont intéressantes à observer, en tant que passage entre des arrangements purement arbitraires et une véritable recherche de la correspondance spatiale, mais sans autres instruments à disposition du sujet que les rapports topologiques les plus élémentaires :

Jea (3 ; 3), pour un modèle de huit objets dispersés sur les quatre quarts d’un carton rectangulaire (technique de reconstruction simple, sans réduction d’échelle et avec plus d’objets à choix qu’il n’y en a sur le modèle), réagit en agglomérant dans le coin inférieur de gauche de son carton (c’est-à-dire sur un huitième seulement de la surface totale) quatorze objets sans ordre, plus ou moins serrés les uns contre les autres. Jea semble ainsi avoir peur de l’espace vide à sa disposition. Quant aux six objets en trop ce sont, pour certains, des doublets de ceux qui sont déjà placés (faute de correspondance quantitative avec le modèle) et, pour d’autres, des objets non représentés sur le modèle (faute de correspondance logique). On peut discerner un ou deux voisinages de détail corrects, mais peut-être sont-ils fortuits.

Ber (3 ; 1), avec la même technique, présente la même tendance à agglomérer ces objets dans l’un des quatre quarts du carton ainsi que le même mépris des distances et des références. [p. 510] Il introduit également des objets étrangers au modèle. Par contre, on assiste nettement à une recherche des voisinages entre objets correspondants : c’est ainsi qu’une barrière qui est située tout près du bord gauche du carton modèle se trouve à la même place dans la copie. De même, en partant d’un arbre, Ber pose deux animaux dont le premier est voisin de cet arbre sur le modèle. Mais, alors qu’il existe deux arbres en tout sur le modèle, et sans qu’ils soient voisins spatialement, Ber en aligne quatre dans sa copie, par indifférenciation du voisinage proprement dit (spatial) avec le voisinage logique ou réunion d’objets se ressemblant par leurs caractères conceptuels.

Cla (3 ; 11), avec la même technique, présente deux réactions intéressantes (que l’on retrouve en bien d’autres cas). Il pose d’abord la barrière qui, sur le modèle, est proche du bord gauche du carton. Mais son carton étant lui-même situé à gauche de celui du modèle, Cla place sa barrière sur le côté droit de son carton, de manière à ce qu’elle soit le plus voisine possible de celle du modèle. Ensuite, il ne se soucie plus de la barrière et aligne tous les autres éléments le long d’une ligne unique, à peu près verticale, avec quelques voisinages corrects par couples (par exemple deux maisons), mais sans ordre général correspondant à une suite objective ou à un ordre d’exploration systématique : plusieurs éléments étrangers au modèle y sont, entre autres, insérés.

Jac (4 ; 0) est prié de représenter par le dessin un paysage formé d’un lac au premier plan à droite (d’où sort un ruisseau traversé par un pont), quelques arbres en arrière à gauche, un pré vert (à leur droite), une barrière (au milieu à gauche), un champ brun (premier plan à gauche) et une route traversant le tout en diagonale et séparant le lac et le champ brun des arbres et du pré. Au lieu d’employer l’ensemble de sa feuille pour figurer le paysage en plan, il aligne alors les objets en les dessinant par couples d’éléments voisins : deux arbres, le champ et la barrière, la route et le lac, etc. le tout rangé le long du bord inférieur de la feuille.

On voit combien ces réactions initiales confirment ce que nous avons constaté au cours de tout cet ouvrage, sur le caractère primitif des rapports topologiques de voisinage, dont on saisit presque ici le point original de différenciation avec les rapports logiques ou prélogiques.

Rappelons d’abord, puisque ce chapitre consacré aux schémas topographiques résume, par son sujet même, tout ce que nous avons vu jusqu’ici, que la différence entre les opérations logico-arithmétiques et les opérations infralogiques ou spatio-temporelles est que les premières portent sur des ensembles d’objets en tant qu’ensembles reposant sur les seules ressemblances ou différences entre ces objets (c’est-à-dire sur les classes, les relations logiques ou les nombres), tandis que les [p. 511] secondes portent sur les objets comme tels, simples ou complexes (les ensembles d’objets étant alors considérés comme des objets complexes à configuration totale unique). À cet égard, les objets réunis en un paysage, etc. et présentés à l’enfant pour être reproduits en un schéma graphique ou en une construction imitative, peuvent être considérés, soit comme un ensemble logico-arithmétique (une classe d’objets ressemblants, une collection numérique, etc.), soit comme une totalité spatiale (à configuration totale unique). Pour construire un tel schéma graphique ou une telle copie, il s’agit d’ailleurs de tenir compte de ces deux aspects du paysage à la fois, c’est-à-dire de reproduire les mêmes objets (par correspondance logico-arithmétique) et selon la même configuration (par correspondance spatiale).

Or, la ligne de séparation entre les opérations ou correspondances logico-arithmétiques et les opérations ou correspondances spatiales se trouve précisément située entre les notions de ressemblance (ou de différence), source de la mise en relations logico-arithmétiques, et de voisinage (ou de différence de position) source de la mise en relation spatiale : deux objets appartiennent à la même classe logique s’ils se ressemblent (et même s’ils sont fort éloignés l’un de l’autre), tandis que deux objets sont reliés spatialement s’ils sont voisins (et même s’ils sont fort différents l’un de l’autre).

De ce point de vue le grand intérêt des réactions de ce stade I est que les sujets ne se révélant capables, ni de correspondances logico-arithmétiques, ni de correspondance spatiale témoignent encore (en ce qui concerne du moins cette épreuve particulière des schémas topographiques) d’une indifférenciation relative entre le voisinage spatial et la ressemblance logique (ou entre la séparation et la différence). Par exemple Jea qui met six objets de trop sur sa copie (dont quelques-uns sans rapport avec ceux du modèle, par défaut de correspondance logique autant que numérique), et qui se révèle incapable de disposer les objets selon un ordre, à plusieurs ou même à une dimension spatialement comparable à celle du modèle, agglomère, par contre, tous les éléments sur une petite surface équivalente au huitième de celle du modèle. Pourquoi cette agglomération ? Veut-il indiquer que ces objets forment une collection logique et numérique d’ensemble, ou veut-il exprimer qu’ils sont réunis spatialement ? Dans le détail on ne peut décider s’il recherche les voisinages ou si ceux qu’il obtient sur un ou deux points sont fortuits, mais, pour ce qui est du tout, il semble clair que les deux préoccupations sont présentes à la [p. 512] fois en un état indifférencié : il constitue, une collection qui est à mi-chemin de la classe logique et d’une configuration d’éléments voisins, et sa peur de l’espace vide (cf. chapitre XIII, § 2), traduit aussi bien un besoin global de cohérence conceptuelle que de cohésion spatiale. Ber, qui débute par les mêmes réactions, recherche nettement, par contre, certains voisinages de détail : il met une barrière à côté de la frontière du carton et un animal près d’un arbre, comme sur le modèle ; mais, chose intéressante, il aligne alors une suite de quatre arbres (le double du modèle), par simple ressemblance conceptuelle, indifférenciée du voisinage spatial. Cia et Jac, par contre, inaugurent une conduite qui marque le passage du voisinage à l’ordre (voir chapitre III), bien qu’il ne s’agisse encore que d’un ordre unidimensionnel ou linéaire, et qu’il ne corresponde pas à celui du modèle : ils alignent simplement, l’un dans sa construction et l’autre dans son dessin, les objets perçus sur le modèle (avec oubli de certains et adjonction d’autres), en une suite linéaire, avec quelques voisinages de détail exacts, mais non pas tous. En une telle réaction, la configuration spatiale commence à se dissocier nettement de la structure logico-arithmétique et nous sommes ainsi à la limite inférieure du deuxième stade.

De 4 à 7 ans environ, on assiste à certains progrès dans le sens de coordinations entre petits ensembles d’objets, mais sans mise en relations générale. Examinons d’abord les réactions du niveau II A avec la technique de la construction, légèrement en avance sur celles qui sont obtenues avec la technique du dessin :

Mar (4 ; 0) au cours d’un premier essai (construction avec objets à choix plus nombreux que sur le modèle) réagit encore comme au stade I avec, par contre, une tendance à occuper une plus grande partie de l’espace libre de son carton ; un voisinage est exact dans le sens haut x bas. Au cours d’un second essai, alors qu’on lui donne les objets un à un, il place une maison à peu près au centre comme sur le modèle et ordonne une autre maison, un arbre et un animal en procédant de haut en bas sur la gauche de la première maison en se servant de celle-ci comme point de référence.

Aen (4 ; 1) de même, après un début voisin du stade I, réussit à constituer deux ensembles séparés de trois objets ordonnés chacun en fonction de l’ordre de parcours du regard, mais sans relation entre ces ensembles comme tels. D’une part, la barrière, une maison et un arbre forment un angle, ou une ligne incurvée à peu près exacts ; d’autre part, une autre maison, un arbre et un animal [p. 513] sont alignés obliquement, mais ces deux ensembles, tout en occupant la totalité de la surface du carton, n’ont pas de rapport entre eux ni avec le cadre constitué par ce carton.

Del (5 ; 3) après avoir placé correctement la barrière sur la gauche, dispose le reste des éléments en un ordre cyclique unidimensionnel correspondant à la succession des déplacements du regard et comportant plusieurs rapprochements exacts. Mais l’ensemble de cet arrangement circulaire est contenu dans la moitié gauche du carton, donc sans relation avec le cadre. Le deuxième essai marque un progrès notable : les éléments situés près du bord sont alignés dans l’ordre correct 1-5 avant que soit posé l’élément central qui semble être situé par rapport à eux. Les autres éléments demeurent sans rapport.

Lil (6 ; 9) part d’un élément déterminé et rayonne dans deux directions, trois éléments étant d’abord alignés (alors que ce n’est pas le cas sur le modèle), deux autres rapprochés en un couple qui néglige les distances (les séparant sur le modèle). L’ensemble est déplacé vers le bas et les deux sous-ensembles n’ont pas de rapports sinon par leur élément de départ commun.

Gen (6 ; 3) procède par couples incoordonnés entre eux, avec un élément isolé à tort, et trois autres alignés verticalement (aussi à tort). Le tout est déplacé sur la gauche.

Voici maintenant des exemples de dessins :

Chri (5 ; 4), pour une petite maison au premier plan, un sapin bien en arrière d’elle et une grande maison sur la droite à mi-distance des deux premiers objets, dessine « comme elles sont placées » la grande maison à droite, le sapin au milieu et la petite maison à gauche (le tout en ligne). Trois sapins formant triangles sont également juxtaposés en une ligne et une maison située en arrière est simplement rajoutée à leur droite.

Bag (5 ; 4), pour le modèle décrit à propos de Jac (§ 3) dessine un ruban d’herbe tout autour de sa feuille rectangulaire, trois arbres alignés vers le haut, un lac avec un ruisseau sur la droite et un champ carré à gauche, avec de grands espaces vides entre eux, sans la route en diagonale et sans que l’on puisse parler de plan en profondeur.

Phi (6 ; 0) pour le même modèle aligne au bas de sa feuille de gauche à droite un cordon bleu (le lac) et un cordon vert (les prés) surmonté de deux barres brunes (la route) et de trois arbres. On lui demande pourquoi il ne se sert pas du reste de la feuille : « C’est trop difficile. Je ne sais pas où les mettre ».

Kra (6 ; 1). Le premier modèle vu sur la table est formé de trois maisons les unes derrière les autres, avec chacune un sapin sur sa droite. À la droite de cet ensemble est une église et au premier plan un pont sur une rivière à mi-chemin de l’église et de la plus rapprochée des trois maisons. Kra, en possession d’une grande feuille de 30 × 40 cm pour dessiner le village, aligne les huit [p. 514] objets le long du bord inférieur du papier et dans l’ordre suivant (de droite à gauche) : les trois maisons (qui sont à gauche sur le plan), le pont, l’église et enfin les trois arbres. En cours de dessin on lui demande (en montrant le modèle) : « Où est cette maison (2^e) ? — Au milieu des deux autres. — Et celle-là (1^re) ? — Au bord des autres. — Où est le pont ? — À côté de l’église (ce qui est juste si l’on néglige les plans en profondeur) », etc. (voir fig. 29). Le dessin terminé, on demande : « C’est comme c’est arrangé ici ? — Non, parce que je ne peux pas dessiner comme ça. — Essaie encore (on donne une autre feuille). — Je n’arrive pas ». On détruit alors le village et on demande à Kra de le réarranger tel qu’il est sur son dessin : Kra reproduit la rangée des huit objets qu’il a dessinés, mais il les place sans s’en douter en ordre inverse (de même qu’il nous a donné une signature exactement en miroir).

Avec quatre objets seulement (arbre, église, maison et pont, dispersés en profondeur autant que de gauche et droite) regardés sur le sol en vision perpendiculaire, Kra dessine à nouveau un simple alignement, les quatre objets étant figurés de face : « Est-il possible de voir comme ça un village de dessus ? — Non. On voit seulement les toits. — Et là qu’as-tu dessiné ? — Je voulais dessiner la maison entière. Et l’église quand on la voit toute. — Regarde bien et dessine ce que tu vois ? — (Il fait le même dessin) ».

On présente enfin une seule maison au milieu du plateau de la table avec un seul sapin à l’un des angles. Kra est prié de dessiner ce couple d’objets des quatre côtés de la table successivement, en se déplaçant chaque fois lui-même et en dessinant simplement ce qu’il voit (sans appel à la représentation, comme au chapitre VIII). Il donne alors : (1) l’arbre à gauche (juste) mais en avant (faux) ; (2) l’arbre à gauche (faux) et en avant (juste). (3) l’arbre à droite et en avant (juste) ; (4) l’arbre à gauche et en avant (juste), donc avec une faute sur quatre pour la gauche et la droite, et toujours en avant. Pour le dessin (2) on demande : « Et le sapin, où le vois-tu, en avant ou en arrière ? — Je le vois un peu plus derrière, mais je ne peux pas le faire derrière : il faudrait crever le papier ! » Et pour la position (4), il s’écrie : « On a bougé la maison. — Mais non, on n’a rien touché. — On a tourné le [p. 515] plateau ! — Mais non. Qui a tourné ? Ce n’est pas toi-même ? — Ah oui ! »

Pac (6 ; 0) marque un léger progrès sur Kra en ce qu’il procède de l’alignement simple à l’incurvation en profondeur. On lui présente une église (A) sur la droite ; à gauche de l’église et en arrière, une petite maison (B) ; plus à gauche, mais en avant une grande maison (C) ; encore plus à gauche une troisième maison (D) ; tout à gauche et en arrière de tout le reste, un pont (E). Pac construit alors une suite intermédiaire entre l’alignement simple et un début de profondeur : l’église (A) est un peu en arrière puis les objets B, C, D et E les uns à côté des autres de plus en plus avant selon une ligne légèrement incurvée.

On met ensuite (B) à gauche en avant de (A, C, D), lesquels sont alignés les uns derrière les autres ; (E) est à droite en arrière : Pac respecte l’ordre et met bien (A), (C) et (D) les uns derrière les autres, mais il place (B) à la même profondeur que (A), et (E) que (D).

Ces réactions du niveau II A marquent une série de progrès par rapport à celles du stade I, en conformité avec tout ce que nous avons constaté à cet égard au cours du présent ouvrage.

En premier lieu, les correspondances logico-arithmétiques sont dorénavant exactes du point de vue intuitif, entre les objets du modèle et ceux de la copie, et les correspondances spatiales fondées sur le voisinage, sont par conséquent différenciées des précédentes. Par le fait même, en second lieu, les voisinages composés entre eux permettent à l’enfant de conserver l’ordre intuitif des éléments du modèle, même quand la disposition à deux dimensions est traduite par un alignement unidimensionnel.

En troisième lieu, les petits ensembles d’objets composés par l’enfant témoignent, non plus seulement de voisinages et d’ordre ou d’enveloppements, mais d’intuitions euclidiennes élémentaires : droites et courbes, parallèles et angles, reproduisant certains des aspects du modèle, ainsi que certains rapports projectifs (gauche et droite, devant et derrière) liés au point de vue de l’observateur. Mais si ces progrès opposent ainsi le niveau II A au stade I, ils sont limités par un ensemble de réactions intéressantes à noter.

Tout d’abord, il est frappant de voir combien, au début de ce stade II encore, les sujets ont peine à occuper tout l’espace mis à leur disposition et correspondant à celui que remplit le modèle. Avec la technique de la construction elle-même, la chose reste visible (chez Mar, Del, Lil et Gen) : l’ensemble construit par l’enfant est rejeté vers la gauche ou la droite, [p. 516] ou vers le bas, etc. Avec la technique du dessin, le fait est bien plus net (le dessin étant toujours en retard sur la construction dans cette épreuve des schémas topographiques), soit que le sujet en reste à un alignement rectiligne ou incurvé, soit que, comme Bag, il dispose ses figures sur toute sa feuille mais avec de grands espaces vides. Cette timidité en présence de l’espace vide, que le sujet ne semble pas oser occuper, est sans doute à expliquer non seulement (comme nous le disions au § 3) par le besoin de cohésion marquant un début de mise en relation spatiale, mais encore par l’influence des rapports plus perceptifs qu’opératoires. On se rappelle (chapitre VI, section I) en effet, qu’à ce même niveau II A les sujets parviennent facilement à construire des droites parallèles au bord de la table tandis qu’ils n’arrivent pas à quitter ce bord lorsqu’il s’agit de mener une droite à travers l’un des coins : de même les sujets étudiés ici semblent s’accrocher à l’un des bords ou à l’une des parties de leur carton ou de leur feuille, puis aux objets déjà posés ou dessinés, comme à un appui perceptif qu’ils n’osent lâcher pour construire de nouvelles relations à travers l’espace vide.

Mais ce premier indice traduit une lacune plus grave : si les sujets de ce niveau n’occupent pas tout l’espace à disposition sur leur carton ou sur leur feuille, c’est qu’ils ne se servent pas encore de l’ensemble de ce cadre comme d’un système de référence général, susceptible de leur fournir des axes de coordonnées. Ils mettent bien un objet en relation avec deux ou trois autres (selon des rapports de droite, d’angles, etc.), mais ces petits ensembles d’objets demeurent eux-mêmes incoordonnés entre eux. Quant au cadre, il ne joue aucun rôle, sauf parfois pour un objet isolé situé près du bord et sauf pour l’attraction perceptive de l’une de ses parties, comme nous le notions à l’instant. On ne saurait donc parler à ce sous-stade II A de schémas topographiques d’ensemble : l’enfant ne construit que quelques figures partielles au moyen d’objets isolés de leur totalité ainsi que de leur cadre.

Il n’est qu’un cas où tous les objets sont coordonnés entre eux : c’est celui de l’alignement unidimensionnel, qui ne subsiste plus à ce niveau dans le domaine des constructions elles-mêmes (sauf l’ordre cyclique de Del), mais qui reste fréquent dans le dessin sous une forme rectiligne (Chri et Kra) pour donner lieu ensuite à des incurvations curieuses (Pac). Or, la raison de la persistance, dans le dessin, de ce mode d’arrangement est bien claire, et explique même de la façon la plus naturelle l’absence de coordonnées et de référence à un cadre [p. 517] général : c’est que si l’enfant de ce niveau connaît bien les trois dimensions du point de vue des rapports topologiques d’enveloppement (voir chapitre IV) il n’a point encore structuré ses intuitions euclidiennes selon ces dimensions. Autrement dit, de même qu’à ce niveau II A, il ne connaît intuitivement que des parallèles et des perpendiculaires liées à des figures particulières, mais ne sait retrouver les horizontales ni les verticales (chapitre XIII, § 3), de même, en présence des objets du modèle à traduire en un schéma topographique, il ne parvient pas à tenir compte à la fois de la largeur et de la profondeur de l’ensemble et se borne d’abord à tout réduire à une seule dimension. Le sujet Kra sait bien que cet alignement n’est pas conforme au modèle à deux dimensions, mais il « n’arrive pas » à « dessiner comme ça ». Quant à Pac, sa ligne incurvée marque un début de bi-dimensionnalité, c’est-à-dire un compromis entre la droite de Chri et Kra et un placement en profondeur.

Mais, outre ces difficultés relatives aux coordonnées et aux dimensions, il intervient ici une difficulté projective de mise en perspective et de choix des conventions graphiques permettant d’exprimer l’arrière-plan par le haut du papier. À cet égard, si les sujets font déjà intervenir les relations de points de vue « gauche » et « droite », c’est parfois avec inversion involontaire (cf. Kra au début), et toujours sans coordination des points de vue distincts (cf. Kra à la fin). Quant aux rapports d’avant et d’arrière, le même Kra voit bien les objets à l’arrière-plan, mais sans réussir à exprimer graphiquement ce rapport : « Je le vois un peu plus derrière, mais je ne peux pas le faire derrière : il faudrait crever le papier ». La coordination projective des points de vue ne dépasse donc pas, à ce niveau, l’élaboration du système des coordonnées, toutes deux demeurant limitées à quelques rapports de détail sans aucune opération d’ensemble.

Quant aux réactions du sous-stade II B, elles font la transition entre ces coordinations partielles, avec incoordination d’ensemble, et les multiplications de relations propres au troisième stade :

Chel (5 ; 10) avec la technique de construction commence par poser quatre éléments en un quadrilatère imitant assez correctement la disposition objective, puis repart de l’un de ces quatre éléments pour en poser trois autres faisant avec lui un second quadrilatère coordonné avec le premier. Mais il reste un dernier élément que Chel pose après coup sur la droite, en référence avec le carton seul, et sans contact avec les sept premiers, qui demeurent dans la partie gauche du cadre.

[p. 518]Pie (6 ; 8) est prié de dessiner une église à droite, une maison à gauche et une autre maison au milieu, mais à l’arrière-plan. Il les dessine les trois sur la même ligne, mais dans l’ordre correct. Lors d’un second essai avec trois nouveaux objets, il place par contre au haut de sa feuille l’élément situé à l’arrière-plan. Il réussit ensuite à nouveau une troisième épreuve et dit de la maison située au haut de son papier : « Elle est près du ciel » tout en la voyant à l’arrière-plan mais au même niveau horizontal sur le modèle. Mais, s’il réussit ainsi à exprimer la profondeur pour les grandes différences, il échoue pour les petites, et échoue également à dessiner une suite oblique d’éléments d’éloignement croissant (qu’il situe simplement sur deux plans).

Quant aux proportions, il dessine en plus petit les églises et les maisons à cause de l’exiguïté de sa feuille de papier, mais sans intention : « Je les fais plus petites, mais c’est pas juste. Si on les fait la même grandeur (que sur le modèle), c’est juste. — Mais si on les fait aussi grandes on peut toutes les mettre ? — On peut les mettre toutes serrées, mais pas plus petites. » Cependant il donne sa signature en plus grandes lettres quand le papier est plus grand : « Pourquoi ? — Parce que la feuille est plus grande ».

Per (7 ; 0) commence, comme Pac (niveau II A) par dessiner le long d’une ligne infléchie des éléments situés à des profondeurs diverses, puis il met un sapin en arrière des maisons : « Il est plus loin, pas à côté mais plus loin ». Trois éléments situés les uns derrière les autres sont, par contre, dessinés correctement, sauf la réduction due à la perspective. Pour trois maisons en triangle, il met la plus éloignée trop peu en arrière mais indique correctement où il aurait dû la dessiner.

Neuf maisons disposées en ellipse autour d’un champ et de quelques sapins (en vision perpendiculaire au plan) : la partie supérieure est rectiligne, tandis que les éléments du premier plan constituent un arc très étiré. Les toits seuls sont représentés, mais de face.

On voit que, si ces sujets commencent à coordonner les ensembles partiels d’objets entre eux, avec la technique de la construction, et à marquer ces deux dimensions avec la technique du dessin, ils ne parviennent pas encore aux coordinations d’ensemble, ni euclidiennement (faute de mise en relation du cadre et des objets, simultanément) ni projectivement (faute de différenciation des perspectives, le point de vue perpendiculaire et le point de vue à 45° étant, par exemple (toujours confondus). De plus, les notions de similitude et de proportions n’apparaissent point encore, même chez les sujets qui, comme Pil, effectuent des réductions d’échelle sans s’en douter (et ceci aussi est en accord avec ce que nous savons par ailleurs de ce niveau II B).

L’ensemble des transformations de l’espace projectif, et de l’espace euclidien qui caractérisent le stade III se marquent dès 7-8 ans par une réussite des reproductions du modèle par la technique de la construction imitative, abstraction faite des distances exactes et surtout des réductions d’échelle, et par un début d’organisation des schémas graphiques selon les deux dimensions du plan ainsi qu’en fonction des points de vue distincts :

Ar (7 ; 0) reproduit, par construction à la même échelle, la disposition exacte de l’ensemble des objets du modèle sans que l’on puisse distinguer de sous-ensembles incoordonnés. Il procède par relations successives des objets envisagés deux à deux, mais en coordonnant chaque fois la nouvelle relation avec les précédentes, par une sorte de multiplication logique inductive et non pas simultanée. Il se sert même spontanément de la mesure, mais en partant toujours du bord du carton et en ne mesurant qu’une dimension à la fois. Par contre, les essais successifs de mesure se complètent plus ou moins. Les distances obtenues demeurent cependant en partie inexactes et cette inexactitude augmente lors des essais de réduction d’échelle.

Gon (5 ; 10) parvient d’emblée à ordonner, en son dessin, six objets selon les deux dimensions (mais sans respecter les distances). Par contre, lorsque l’on déplace un des objets, Gon n’arrive à le situer dans sa nouvelle position que par approximations successives, en se servant d’abord d’un seul élément comme référence, puis en corrigeant son essai par comparaison avec les autres éléments : « Regarde où je mets maintenant cette église. — Derrière la grande maison (il dessine). Ça ne va pas. J’ai dessiné cette maison trop loin et trop haut (il recommence) ; etc. ». En vision perpendiculaire, il dessine les toits, mais avec essais de perspective comme s’ils étaient vus entre 45° et 90°. Lorsqu’on le fait tourner autour d’une maison (au centre du plateau) et d’un sapin (dans un angle) il dessine correctement les quatre positions selon les rapports gauche × droite et devant × derrière. « On a changé quelque chose ? — Mais non, c’est moi qui a tourné ». Pour décrire verbalement la position du sapin au premier plan à gauche par rapport à la maison : « Comment pourrais-tu m’expliquer où se trouve le sapin si je ne le voyais pas ? — Il est au commencement de la maison. — Devant ? — Non. — Derrière ? — Non, au commencement, je ne peux pas expliquer ».

Tis (7 ; 1) place également les objets, dans son dessin, selon les deux dimensions, mais avec quelques erreurs : par exemple un sapin est figuré à gauche au premier plan au lieu d’être à l’arrière-plan. Par contre, il n’y a plus de confusion gauche × droite. Les distances sont approximativement justes dans le sens latéral mais très dépréciées en profondeur. Les expressions verbales sont : [p. 520] « plus près du sapin ; de l’autre côté de l’église ; devant ; dans un coin ; au-dessus ; à droite ; au milieu », etc. — Le plan en vision perpendiculaire est moins détaillé et plus schématique, mais n’exprime pas encore la perspective exacte. La relativité des positions est exactement marquée.

Lep (7 ; 2) figure nettement les deux dimensions, avec quelques erreurs et, dans le détail, quelques mélanges de points de vue (par exemple dans le dessin de l’église). Les distances sont à peu près exactes latéralement mais très réduites en profondeurs. Expressions verbales : « là-bas, entre deux ; il est après et il va contre l’église ; à gauche de ; plus bas ».

Réduction à une petite échelle (¼) : il laisse toutes les maisons et tous les arbres à leur grandeur initiale mais les serre en ne réduisant que les distances intercalaires. Il cherche à conserver les positions, mais il manque d’espace pour un sapin, qu’il déplace alors. En outre le dessin sur le quart de feuille est plus aligné qu’en grand format.

Ank (7 ; 4) marque, à 45°, les positions exactes selon les deux dimensions, mais sans précision dans les distances. En vision perpendiculaire les distances sont meilleures et Ank marque un début de perspective pour les toits, sans généralisation. La relativité des positions (maison au centre et arbre dans un angle) est indiquée correctement : « Le sapin est par devant. C’est moi qui ai changé et le sapin est resté en place. — Et pour moi ? — Il est par-derrière, parce que vous êtes de l’autre côté ».

Scha (7 ; 5) laisse subsister quelques erreurs dans l’avant et l’arrière (à 45°). Par contre, en vision perpendiculaire, il marque les perspectives avec une certaine avance sur les sujets précédents : tous les toits sont rectangulaires et non plus dressés comme de face ou de trois quarts.

Dam (7 ; 6) marque avec précision les positions à 45° et donne, en vision perpendiculaire, une perspective nettement distincte de la précédente. Dam réunit ainsi les progrès respectifs de Ank et de Scha. Par contre, il sous-estime les distances en profondeur (selon la hauteur du dessin) et les surestime tellement en largeur qu’il a besoin d’une seconde feuille pour allonger son plan.

Fran (8 ; 6). Mêmes réactions que Dam. Expressions verbales : « plus proche du bas de la feuille ; plus en avant que la maison ; au milieu », etc.

Per (9 ; 0). Mêmes réactions : positions exactes et perspectives marquées. Les expressions verbales marquent un début de coordonnées virtuelles et d’évaluation des distances : « juste sous la ligne de la maison ; au-dessus du toit ; l’« espace entre » est plus grand ; tout au pied de », etc.

Par contre, pour la réduction au quart, il fait les maisons trop grandes, mais il en prend conscience après coup (ce qui annonce les réactions du sous-stade III B, de même que les propos précédents) : « Si tout avait été un peu raccourci, ça aurait été. — [p. 521] On aurait pu aussi faire les maisons quatre fois plus petites ? — Oui, ça irait bien ». Mais, pour un agrandissement du premier dessin, il dessine trop petit, sans accroître les distances suffisamment. Il s’en rend compte à nouveau : « C’est trop serré sur mon dessin. Les écarter plus aurait été mieux ».

Gard (9 ; 5). Positions justes en gros : « Elle avance, la maison, par rapport au sapin », etc. Mais, pour la réduction au quart, il laisse d’abord les maisons de même grandeur et les serre simplement, puis il se frappe la tête lorsqu’il se rend compte qu’il n’aura pas assez de place et les serre davantage (d’où des inexactitudes dans les relations avant x arrière).

On constate la grande différence, qui sépare ces sujets de ceux du stade II, ainsi que la remarquable concordance entre ces réactions relativement spontanées et ce que nous ont appris les diverses expériences décrites au cours de cet ouvrage au sujet de la construction de l’espace projectif, des coordonnées propres à l’espace euclidien et des proportions et similitudes.

Au point de vue de la structuration de l’espace euclidien, tout d’abord, on peut dorénavant parler d’une coordination d’ensemble des positions, tenant compte à la fois du cadre et de tous les objets qui y sont placés, et non plus d’une série de coordinations partielles, par petits assemblages d’éléments, sans référence systématique au cadre lui-même ni mise en relation de ces assemblages entre eux. À cet égard, ce niveau III A marque bien le début de la construction des coordonnées, de même qu’il se caractérisait, dans les épreuves du chapitre XIII par le début de la construction des horizontales et des verticales.

C’est ainsi qu’avec la technique de la reconstruction simple (voir le cas de Ar) les sujets de ce niveau parviennent sans difficulté à une mise en place relative de l’ensemble des objets en se référant aux bords du carton rectangulaire qui leur sert de cadre. Seules les distances métriques demeurent inexactes, ainsi que les réductions à une autre échelle. Quant à la technique du dessin, ses résultats, jusqu’ici en retard sur ceux de la construction, les rejoignent presque au présent niveau, du moins quant aux intentions du sujet. On constate, en effet, que, contrairement aux réactions du stade II (et même du niveau II B), ces sujets disposent d’emblée les objets dans leur dessin selon les deux dimensions, c’est-à-dire selon les rapports de gauche ou de droite et d’avant ou d’arrière (l’arrière-plan étant représenté par le haut du dessin). Il subsiste, naturellement, des erreurs de détail, en particulier pour ce qui est de la profondeur, mais elles n’empêchent en rien de parler d’une représentation graphique bi-dimensionnelle, tandis que les sujets du [p. 522] stade II se bornent à aligner les éléments en une suite rectiligne (ou simplement incurvée lorsqu’ils pressentent la représentation de la profondeur) ou à répartir les objets sur toute leur feuille (comme Bag), mais sans que l’on distingue de premier et d’arrière-plan (les éléments étant séparés par de grands espaces vides). Bien plus, on s’aperçoit, dès les débuts de leur dessin, que les enfants de ce niveau III A se réfèrent au cadre, et répartissent les objets en fonction de la grandeur de leur feuille de papier de la même manière qu’ils les voient occuper la surface du modèle. Or, cette référence au cadre allant de pair avec la mise en relations bi-dimensionnelles des éléments eux-mêmes est à la fois nouvelle et très significative : à la peur de l’espace vide, que nous avons pu attribuer au cours des stades précédents à une sorte d’accrochage perceptif à l’un des côtés du cadre, succède ainsi une mise en relation intellectuelle qui annonce les systèmes de coordonnées.

Quant à la représentation spatiale intérieure de ces mêmes sujets, elle devance naturellement quelque peu leur représentation graphique et témoigne de la recherche des rapports dont le dessin fournit après coup l’expression. Or, de Gon qui traduit la position d’un sapin au premier plan par rapport à une maison en disant, « Il est au commencement de la maison… au commencement, je ne peux pas expliquer », jusqu’à Per qui situe un élément « juste sous la ligne de la maison », chacun de ces sujets montre en ses formulations plus ou moins adroites que c’est, en fait, un véritable réseau de références qu’ils établissent ainsi et un réseau déjà bien proche d’un système de coordonnées.

En connexion étroite avec ce début de structuration d’ensemble de l’espace euclidien, on retrouve à ce niveau III A le début de différenciation et de coordination des « points de vue » projectifs, que nous avons étudié au cours des chapitres VI à VIII à propos des perspectives et des projections. Chez chacun de ces sujets on observe, en effet, une amélioration nette de la perspective, en ce sens que le plan en vision perpendiculaire commence à se différencier de celui du village vu à 45° : tous les intermédiaires se présentent, à cet égard, entre les toits coupés, vus latéralement (et dissociés du reste de la maison) et les toits vus de dessus, figurés au moyen de rectangles divisés longitudinalement par la ligne de faîte. D’autre part, lors des changements de points de vue (épreuve de la maison située au centre du plateau et de l’arbre dans un angle) les sujets de ce niveau III A font preuve de la même relativité naissante (« C’est moi qui change et le sapin qui reste en place ») que ceux du chapitre VIII à ce même niveau.

[p. 523] Pour ce qui est des rapports entre cette coordination projective progressive et les débuts de coordonnées propres à la structuration euclidienne de l’espace, on se trouve en une situation comparable à celle que nous avons notée ailleurs à propos des progrès corrélatifs des notions d’ordre de succession temporelle et de durée : il est des cas dans lesquels le développement des perspectives devance quelque peu celui des coordonnées (Scha), et il en est d’autres dans lesquels il se produit l’inverse (Tis). Mais, dans la plupart des cas, les deux développements synchronisent l’un avec l’autre, et cela va de soi car, d’une part, un plan dessiné selon un système de coordonnées constitue également une vision d’ensemble prise d’un certain point de vue (assez éloigné pour que les lignes de regard soient parallèles les unes aux autres) et, d’autre part, les perspectives particulières (à 45° par exemple) sont relatives à des positions des objets et de l’observateur dont le sujet ne pourra tenir compte qu’en les situant par ailleurs dans un champ spatial d’ensemble défini par un système de coordonnées. Que la première acquisition précède la seconde, ou l’inverse, il y aura donc toujours tôt ou tard rejaillissement de l’une sur l’autre.

Mais, si tels sont les progrès propres à ce sous-stade III A, il demeure trois sortes de lacunes, qui ne seront comblées qu’au niveau III B, en conformité avec tout ce que nous avons constaté jusqu’ici à propos des similitudes et des proportions, etc., ou avec ce que nous verrons ailleurs (vol. II) à propos de la mesure à deux dimensions.

En premier lieu, le sujet ne parvient pas à tenir compte des distances exactes, tout en les recherchant plus ou moins (cf. Ar, Gon, etc.). Or, outre les difficultés métriques, qui obligent le sujet à se contenter d’évaluations au jugé, les faits précédents mettent en évidence une curieuse réaction, assez constante pour que l’on puisse parler d’une erreur systématique de ces estimations : les distances en profondeurs du modèle (selon la dimension en hauteur sur le dessin) sont fortement dépréciées par opposition aux distances latérales (gauche × droite et non plus avant × arrière). Dans le cas de la vision à 45°, on pourrait attribuer cette déformation à une compréhension insuffisante de la perspective, en fonction de l’éloignement, mais l’erreur subsiste en vision perpendiculaire. Il s’agit, d’autre part, de déformations trop grandes pour être attribuées à des illusions purement perceptives (surestimation de la hauteur du dessin, etc.). Nous croyons donc plutôt qu’il s’agit en l’occurrence d’un résidu de la tendance propre aux stades I et II d’aligner les objets latéralement pour représenter le modèle bi-dimensionnel. [p. 524] On retrouve un souvenir bien net de cette attitude initiale chez Dam, qui a besoin de deux feuilles accolées latéralement pour terminer son plan. Quant au fait que ce résidu d’alignement (ainsi que les alignements proprement dits des stades I-II) fasse primer la largeur sur la hauteur ou la profondeur, cela est par contre dû aux habitudes pratiques propres à l’activité perceptive, qui compare mieux latéralement qu’en hauteur.

En second lieu, et cette deuxième difficulté est sans doute corrélative à celle de la mesure des distances selon deux dimensions, le sujet ne parvient pas à réduire les proportions de son plan, de l’unité au quart (cf. Lep, Per et Gard) : il laisse inchangées les dimensions des objets et se borne à les serrer davantage, ce qui conduit à des impossibilités de position et altère naturellement les distances intercalaires relativement aux grandeurs des objets. Or, il est à noter qu’en cas de réduction d’échelle, la tendance à l’alignement latéral s’accentue (cf. Lep), tandis qu’en cas d’agrandissement les objets demeurent latéralement trop serrés (cf. Per). On retrouve ici, mais en sens inverse, ce que nous avons constaté à ce même niveau à propos de la similitude des rectangles (chapitre XII) : tandis que les sujets du chapitre XII allongeaient les rectangles pour les agrandir, en vertu de leur notion d’un type idéal du rectangle, ceux-ci les allongeant proportionnellement pour les réduire, en vertu de leur tendance à l’alignement due elle-même à la prédominance des comparaisons latérales. Ces deux sortes d’échecs à la similitude sont donc parents quoique orientés différemment.

Enfin, en troisième lieu, lorsque l’on déplace quelque élément sur le modèle en demandant au sujet la correction correspondante sur son plan (cf. Gon), il se produit un fait curieux qui met bien en évidence les difficultés que rencontre encore l’enfant dans la construction de ses systèmes de référence ou de coordonnées : il n’arrive à modifier le plan que par approximations successives, commençant par situer la position nouvelle simplement par rapport à celle d’un seul autre objet, puis par rapport à un second, etc., sans parvenir à tenir compte de l’ensemble des relations à la fois. Ce comportement est tout à fait analogue, mais avec un décalage chronologique tenant à la complexité plus grande du problème des coordonnées, à ce que l’on observe dans le domaine de la sériation : l’enfant de 5 ; 6 à 6 ; 6, capable de construire une rangée intuitive de grandeurs, éprouve de grandes difficultés à y placer après coup des éléments supplémentaires, parce que l’ordre de la série tient encore à une configuration perceptive d’ensemble et non pas à un [p. 525] système opératoire. Or, un système de coordonnées consiste d’abord simplement en une double série de positions ordonnées, l’une horizontale et l’autre verticale, c’est-à-dire en un système multiplicatif et non pas additif. Mais le principe en étant le même, il est donc naturel de retrouver une difficulté semblable relative à la configuration intuitive qui demeure sous-jacente aux premières coordinations opératoires.

Une fois construit l’ordre des positions selon les deux dimensions du plan, intervient le problème des intervalles entre les objets ordonnés, c’est-à-dire des distances. Ce problème n’est naturellement pas absent dans les réactions du sous-stade III A, mais il est compréhensible que l’accent soit mis sur la recherche de l’ordre et surtout sur les correspondances d’ordre en largeur et en profondeur, avant de porter sur les intervalles comme tels. Au cours du sous-stade III B, au contraire, la question de l’ordre à deux dimensions, c’est-à-dire des coordonnées, étant en règle générale résolue d’emblée, l’amélioration du plan porte alors sur les intervalles ou distances.

Or, en corrélation avec cette estimation plus soigneuse des distances, on observe un autre progrès intéressant : celui qui a trait aux réductions d’échelle, par exemple de l’unité au quart. Tandis que les sujets du niveau III A resserrent simplement les objets sans diminuer leurs dimensions, ceux du niveau III B réduisent l’ensemble des proportions, qu’il s’agisse de la grandeur des objets, comme des intervalles qui les séparent. Or, il va de soi que la considération des proportions est voisine de celle des distances, puisque le passage du modèle au dessin primitif implique déjà une réduction et qu’un seul plan est déjà dit « bien proportionné » si les distances propres au modèle sont réduites à l’échelle de ce dessin. D’autre part, nous avons vu au chapitre XII que les proportions apparaissent précisément pour les rapports simples de 1 à 2 ou de 1 à 4, à ce même niveau III B, ensuite de l’intervention des rapports dimensionnels au sein des similitudes qualitatives (fondée sur le parallélisme et les angles).

Voici quelques exemples de ces réactions nouvelles :

Ban (9 ; 5) construit un plan à positions exactes selon les deux dimensions et surtout à distances bien analysées, bien qu’il ne l’exprime pas verbalement au cours de son dessin. Prié de reproduire le même plan sur une feuille quatre fois plus petite (sans [p. 526] que l’on énonce naturellement ce rapport ¼), il réduit toutes les dimensions des objets comme les distances, au jugé et sans mesure, et aboutit à un plan semblable au premier, à un ou deux petits détails près (le pied d’un sapin, etc.).

Dub (9 ; 9) dessine à 45° dans les positions exactes selon les deux dimensions : « Qu’est-ce que tu regardes ? — La maison (B) parce que ça (l’arbre C) est un peu plus haut (plan éloigné). — Pourquoi regardes-tu encore là (il dessine l’église mais regarde toujours B) ? — Je la regarde, parce que la distance qui la sépare de l’église est… (il fait un geste de parcours). Je commence ici, par l’église, parce qu’on voit mieux la distance de la maison à l’église. Le sapin est à côté de la maison (G) à droite. — Pourquoi commences-tu par la pointe ? — Je regarde à quelle distance il est de la maison (G) ». Mais malgré ce souci explicite des intervalles, Dub déprécie encore les distances en profondeur.

En vision perpendiculaire au plan, les perspectives sont exactes (toits ou de dessus, etc.).

Réduction au quart : Dub change les dimensions des objets comme les distances et aboutit à une figure semblable.

Anc (10 ; 4). Mêmes réactions : « Je regarde la distance entre la maison et l’église », etc. Réduction au ¼ : « Je dessine plus petit, parce qu’autrement je ne pourrai pas tout mettre ». Après avoir réussi le petit plan en conservant les proportions, il l’agrandit à nouveau, à notre demande, de ¼ à 1 sans voir son premier dessin (ni naturellement le modèle). Mais il n’est pas satisfait de cet agrandissement, bien que son dessin soit bon en principe : « Les espaces entre les maisons ne sont pas assez grands » et « cette maison, je l’ai faite plus longue, il faudrait aussi la faire plus large, parce que si on fait plus long il faudrait aussi faire plus large », etc.

Vision perpendiculaire : perspectives exactes.

Mat (10 ; 6) commence par l’église. « Que regardes-tu ? — La distance entre l’église et cette maison et dans quel sens elle est posée. — Pourquoi as-tu choisi cette maison ? — Parce que ça va mieux pour les distances (ligne presque horizontale) ». Puis : « Je regarde la distance entre ces deux arbres, à ne pas laisser trop de place entre deux ». « Ah il y a trop de place (entre G et H)… Il y a un plus grand espace entre eux qu’entre (C) et (A) ».

Quant aux proportions : « On place la feuille sur le plan et on voit qu’elle y entre quatre fois. — Comment vas-tu tout mettre ? — Je fais moins les distances et je fais (les objets) plus petit ». Mais serait d’accord de mesurer : « On prend tout quatre fois plus petit », mais il préfère travailler à vue.

Vision perpendiculaire : perspectives exactes.

Bon (10 ; 8). Mêmes réactions pour les distances et les positions. Pour les proportions, il agrandit à nouveau sa réduction réussie, en disant : « C’est comme si on avait un grand champ avec de petites [p. 527] maisons : il faudrait les dessiner plus grosses. Pour agrandir il faut dessiner plus long des deux côtés ». Il laisse cependant invariante l’une des distances au cours de l’agrandissement par le fait qu’il l’a mesurée pour plus de précision, mais il corrige ensuite à vue et conserve le rapport des grandeurs.

On constate qu’à ce niveau III B la construction d’un dessin topographique est ainsi achevé quant aux positions et aux distances (c’est-à-dire aux coordonnées), à la perspective et aux proportions. Seule manque encore la schématisation, qui apparaîtra au niveau des opérations formelles (stade IV) et qui consistera à remplacer la représentation des objets concrets par le dessin de la seule surface occupée, avec les mesures précises que cette figuration schématique implique. Mais, tel qu’il apparaît ainsi sous sa forme concrète, le plan élaboré à ce niveau III B peut être considéré comme constituant un triple équilibre opératoire de rapports devenus réversibles. En accord avec ce que nous a appris le chapitre XIII, un système de coordonnées est désormais acquis, par structuration d’ensemble de l’espace euclidien, selon les trois dimensions. En accord avec ce que nous savons par le chapitre VIII, une coordination d’ensemble des « points de vue » est également réalisée, qui rend possible l’expression projective des diverses perspectives. En accord, enfin, avec les résultats du chapitre XII, la réduction de l’échelle 1 à l’échelle ¼ aussi bien que l’agrandissement inverse, conserve dorénavant les proportions ainsi que la similitude des figures. Les rapports euclidiens et les rapports projectifs peuvent donc dorénavant s’appuyer les uns sur les autres, et utiliser, entre la coordination métrique et celle des projections, la notion intermédiaire de formes semblables et d’égalité des rapports (dans le cas du moins des rapports simples intervenant ici). Les systèmes d’ensemble des relations ainsi élaborées sont prêts à être formalisés, comme il reste à le montrer à propos du stade IV.

Nous avons constaté au paragraphe 6 du chapitre XIII que si, au niveau III B, les coordonnées naturelles (ou suggérées par l’expérience physique) sont acquises sous la forme d’un réseau de droites verticales et horizontales, il faut néanmoins attendre le stade IV pour que l’enfant ait l’idée, dans la reproduction de la figure constituée par un ensemble de jetons, de se servir de coordonnées conventionnelles, en se référant par exemple à un jeu de bandelettes de papier disposées [p. 528] de manière à mieux structurer les configurations. Dans le cas des schémas topographiques, on assiste à un passage comparable du naturel au conventionnel, ou, pour mieux dire, du concret au formel, mais, comme le développement des opérations formelles rend précisément possible l’acquisition de notions scolaires relatives aux schémas cartographiques et aux axes de coordonnées, les enfants de 11 et de 12 ans que nous avons interrogés présentent un mélange de notions élaborées individuellement et de notions acquises. Il vaut néanmoins la peine d’en citer trois exemples :

Alb (11 ; 7) fait transition entre les niveaux III B et IV : « Suppose que tu aies construit ce village (le modèle) et que tu veuilles que d’autres le refassent exactement, que faudrait-il faire ? — Un dessin des maisons. — Un dessin comment ? — En perspective. — Cela suffirait ? — Non, il faudrait dessiner le tour (= le pourtour) des maisons. — A-t-on besoin de connaître la hauteur ? — Pas nécessaire ». Il dessine alors un plan schématisé, chaque objet étant figuré par un rectangle, un carré, un cercle (arbres), etc. à positions et distances correctes, mais sans mesures précises.

San (12 ; 4). Même début. « Il faudrait regarder par-dessus pour tout y voir. — On verrait les choses comment ? — (Il dessine quelques rectangles) Ça pourrait être la place autour de l’église, et ça les maisons. — Avant de dessiner vois-tu ce qui pourrait t’aider à tout mettre à la bonne place ? — On pourrait tracer des axes (il plie sa feuille en quatre). — Pourquoi ? — Il y a des maisons qui sont près des axes, on peut plus facilement s’orienter (il commence). Cette maison est à peu près à même distance de l’axe que celle-là (il mesure). C’est à peu près la moitié entre cette maison et l’axe. On peut comparer aussi avec le bord. — C’est exact ? — Oh non, il faudrait mesurer les deux directions et diminuer les grandeurs d’une certaine échelle ».

Fau (13 ; 0) mesure d’emblée et décide (pour son premier dessin) de tout réduire au quart : « Il faut prendre le quart de la maison. Non c’est un peu trop grand. Oui, ça va ». Il continue selon cette même méthode et regarde, pour s’y référer, « les bords et les coins de la feuille ». Après qu’il ait reporté quelques mesures, nous demandons : « C’est juste que cette distance soit plus petite sur ta feuille que sur le modèle ? — Oui, puisque c’est un quart pour tout ». Le plan est d’emblée schématisé en figures géométriques. Une fois terminé, le dessin est agrandi à notre demande sur une feuille que Fau commence par comparer à la précédente : « Il faut mesurer cette feuille et celle-là (il les regarde). Je prendrai une fois et demie. — Si cette maison a 2 cm de long ? — Ici elle aurait 3 cm. — Et l’autre côté ? — Il faut le mesurer aussi. — Et tout serait exact ? — Non, il faut mesurer aussi les distances plus grandes dans la même proportion ».

[p. 529] On voit combien les connaissances scolaires qui transparaissent en ces réponses sont intégrées dans l’ensemble des notions dont nous connaissons la genèse par les analyses qui précèdent : aussi bien, aucune acquisition n’est-elle possible sinon par assimilation à des schèmes préalables, et, de même que l’enfant dessine bien avant de recevoir des leçons de dessin, de même il construit, au cours de ses activités diverses, un ensemble de notions se rapportant aux coordonnées, aux perspectives et aux similitudes ou proportions, qui lui permettent de cristalliser, à un certain âge, ce système d’opérations effectives autour d’éléments nouveaux introduits en son esprit par l’enseignement.

La schématisation formelle dont les réactions précédentes nous fournissent l’exemple, ne constitue donc pas seulement le point de départ de tout ce que le sujet apprendra au cours de son insertion toujours plus poussée dans la tradition collective, transmise par l’enseignement géométrique, mais encore le point d’arrivée d’un long développement qui, de l’activité sensori-motrice et perceptive élémentaire conduit à la représentation intuitive, aux opérations concrètes et, finalement, aux , opérations hypothético-déductives. À cet égard, l’évolution des schémas topographiques, si spontanée en sa source, puisqu’elle tient à toute l’histoire individuelle du dessin, se révèle particulièrement instructive en tant que résumant en un seul faisceau de conduites, l’ensemble des notions, d’abord topologiques, puis projectives et euclidiennes, dont nous avons cherché à retracer la formation en cet ouvrage.