Chapitre XI.
Les transformations affines du losange et la conservation des parallèles ^{1 a} 🔗

On présente l’appareil fermé et on demande d’abord à l’enfant de prévoir et de dessiner ce qui se produira lorsque l’on « ouvrira les ciseaux » en pressant sur les poignées (fig. 24). Après la première anticipation de l’enfant (qui, en général, est dénuée de valeur [p. 361] significative, mais présente cet avantage d’exciter l’intérêt du sujet), on presse légèrement sur la poignée, ce qui entr’ouvre l’appareil et rend visibles les losanges sous leur forme très étroite ; on demande alors à nouveau de prévoir la suite, donc de dessiner les losanges (que nous appelons en général les « fenêtres ») tels qu’ils apparaîtront au fur et à mesure de l’allongement de l’appareil.

On continue ainsi jusqu’au terme, en insistant sur les étapes intéressantes de la transformation ; [p. 362] on peut également faire prévoir la marche inverse, soit le retour graduel à la position initiale.

Afin d’éviter les difficultés du dessin, on offre en outre aux jeunes sujets des baguettes à choix, de différentes grandeurs, pour faire construire la suite des losanges et imiter la structure de l’appareil lui-même. Enfin, il nous est arrivé de présenter, d’une part, une série de losanges tous corrects, mais de différentes largeurs et hauteurs, que l’enfant devait ordonner en fonction de l’ouverture croissante des ciseaux, et, d’autre part, des losanges justes et faux, c’est-à-dire à côtés opposés parallèles ou non parallèles entre lesquels le sujet était prié de choisir. Dans le dernier cas, nous avons caché les angles du losange présenté, de manière à nous rendre compte si le sujet reconnaît les losanges exacts au seul parallélisme de leurs côtés opposés. Il est utile, pour analyser ces derniers points, de disposer, en plus des losanges tout faits, en carton, d’un losange formé de quatre baguettes articulées et déformables au gré des questions posées.

Les stades observés sont les suivants (voir fig. 25). Au cours du stade I (avant 4 ans) l’enfant est, d’une part, incapable de prévoir une transformation quelconque des « fenêtres », et, d’autre part, incapable de dessiner des losanges (pas plus que des carrés ou triangles), autrement que sous la forme d’une figure fermée plus ou moins circulaire. Aussi n’insisterons-nous pas sur ce niveau initial. Au niveau II A, le sujet commence également par ne pouvoir anticiper aucune transformation, tant que l’appareil est immobile et même si l’on présente, à titre de position initiale, les losanges entr’ouverts. Par contre, lorsqu’ils assistent à un début de transformation, ils en imaginent le prolongement, mais sous la forme d’un agrandissement illimité des « fenêtres » sans se soucier de la situation finale ni naturellement se poser la question d’une décroissance à partir d’un maximum. Quant à la forme donnée à ces « fenêtres », les sujets de ce sous-stade II A ne savent pas dessiner un losange, et, chose intéressante, ne parviennent même pas à abstraire la forme des losanges dans la structure d’ensemble ; le sujet se borne à dessiner des croix avant d’avoir suivi du doigt le pourtour des fenêtres, puis celles-ci sont représentées sous la forme d’ellipses, de rectangles, de figures fermées pointues, etc.

Au cours du sous-stade II B (de 5 et demi ou 6 à 7 ans), l’enfant prévoit, en présence de l’appareil entr’ouvert, que les losanges s’agrandiront et il admet, en outre, qu’ils finiront par rapetisser. Mais cette prévision reste globale et incomplète, et [p. 363] cela à deux points de vue. D’une part, s’il y a structuration progressive de la forme des losanges (un losange isolé est copié en gros vers 6 ans : voir chapitre II, § 6), l’enfant de ce niveau admet toujours une augmentation ou une diminution de la longueur de leurs côtés, au cours des transformations, et sans attribuer de parallélisme aux côtés opposés. D’autre part, les transformations anticipées n’impliquent encore nullement une sériation continue des figures, avec inversion des rapports de hauteur et de largeur à partir de la position médiane. Il n’y a même pas sériations des surfaces, étant donné le manque de conservation des longueurs des côtés et surtout du parallélisme des côtés opposés.

Au niveau III A, par contre (début des opérations concrètes, vers 7-8 ans), il y a structuration exacte du losange, avec conservation du parallélisme des côtés opposés et invariance de la longueur des côtés. En corrélation avec ces découvertes, on observe, dès les débuts du stade, une recherche des transformations continues de la figure, en fonction de l’allongement de l’appareil : on trouve en particulier d’emblée des losanges couchés montrant la compréhension du rapport entre l’augmentation de la largeur et la diminution de la hauteur, et ces losanges couchés conservent eux aussi le parallélisme de leurs côtés opposés. Mais il manque encore à ce niveau une prise de conscience claire et une formulation nette des rapports utilisés dans la construction concrète effective.

Enfin, aux niveaux III B (9-10 ans) et IV il y a justification de tous les rapports précédents, fondée sur la conscience des transformations de la figure.

Sans insister sur les réactions toutes négatives du stade I, bornons-nous à souligner, dans celles du niveau II A, le caractère statique propre aux premières intuitions géométriques de l’enfant, en analogie avec ce que nous avons constaté sans cesse jusqu’ici à propos de ce même sous-stade : le sujet s’en tient à ce qu’il voit, sans imaginer les transformations, et, lorsqu’il les a perçues il les prolonge sans plus, faute de coordonner les rapports au moyen d’un schème anticipateur de nature opératoire. Dans le cas particulier, le sujet ne parvient de lui-même, ni à structurer les losanges à l’intérieur du dispositif perçu, ni à concevoir les transformations autrement que sous la forme d’un agrandissement constant :

[p. 364]Zur (4 ; 10). L’appareil est présenté d’emblée entr’ouvert : « Tu vois ces deux trous pour y mettre les doigts. Si j’appuie comme avec des ciseaux, ça fera quoi ? — … — Qu’est-ce que tu vois ? — Des barrières. — Et si j’appuie il se passera quoi avec ces barrières ? — … — Regarde (on ouvre un peu plus) ? — Il y aura encore plus de barrières (il croit à une multiplication des éléments). — Tu peux dessiner ? — (Il dessine une suite de croix × × × × ×) ⁴. — Et si on appuie encore ? — Ça sera plus long ; les fenêtres seront plus grandes (il dessine des croix plus grandes). — Dessine-moi une fenêtre. — (Il ne dessine pas un losange, mais une croix ×). — Montre du doigt une fenêtre. — (Il suit du doigt un losange mais dessine à nouveau une croix). — Essaie avec ça (baguettes). — (Il commence à nouveau par disposer les baguettes en croix, puis parvient à construire une sorte de carré sur pointe, mais à côtés doubles). Et si on continue ? — Si on tire le machin, les fenêtres deviendront toujours plus grandes. — Regarde (on en est au point ou la largeur des losanges dépasse leur hauteur). — Ah non ! Plus petites. — Et si on continue ? — Toujours plus grandes. — Regarde (expérience). — Ah non, encore plus petites ».

Amb (5 ; 0). Mêmes réactions. Pour mieux analyser la structuration du losange lui-même, on présente au sujet un losange isolé, formé de quatre baguettes articulées, et que l’on peut transformer à volonté comme les losanges du dispositif entier. « Tu peux me les dessiner ? — J’sais pas dessiner ça. — Et avec ces baguettes (on présente des baguettes à choix de 1,5 et 3 à 11 et 15 cm). — (Il commence par placer des baguettes autour du modèle mais non pas parallèlement aux côtés, puis confectionne deux angles < et > discontinus). — Maintenant je vais tirer ici (on augmente la largeur du losange en diminuant sa hauteur et Amb copie ce qu’il perçoit en écartant simplement deux mêmes angles l’un de l’autre). — Et si je tire encore ? — Ça sera comme ça (écarte ses bras puis écarte à nouveau ses deux angles sur la table). — Regarde (expérience). Fais exactement ce que tu vois. — (Amb construit avec ses baguettes un pentagone puis un grand triangle). — Et si je continue ? — Ce sera encore plus grand (prend les huit plus grandes des baguettes et construit un grand trapézoïde). — Regarde (expérience). C’est la même chose ? — Oui, c’est comme la mienne ».

Ro (5 ; 6) ne prévoit aucune transformation, puis, voyant la première, dit : « Ça s’allonge (le dispositif d’ensemble). — Et que deviendront les fenêtres ? — Encore plus grandes, toujours plus grandes. — Peux-tu les dessiner ? — (Il fait des croix × × ×, après quoi on essaie de lui faire suivre du doigt : après quelques difficultés à isoler un losange, il y parvient puis le dessine à peu près juste, le dessin étant guidé par le mouvement d’exploration, mais sans parallélisme des côtés opposés). — Comment sera la fenêtre quand on allongera le machin ? — (Il dessine un losange nettement plus grand : 7 cm de hauteur au lieu de 4). Plus grosse. [p. 365] — Et si on tire encore ? — Toujours plus grosse (il dessine un losange de 12 cm de hauteur, puis de 15 avec une largeur à peu près en proportion). — Et tout à la fin ? — Encore plus grosse (un losange de 25 × 15 cm, couvrant toute la page). — Regarde (on allonge et il montre sur ses dessins à quoi correspondent les formes successivement perçues). — La fenêtre change de forme ? — Non, toujours la même. — Regarde bien. — Non, pas la même (il dessine alors des losanges décroissants de hauteur mais en les déformant de plus en plus dans le sens de rectangles ou de trapézoïdes). — Et avec ces baguettes ? — (Mêmes réactions) ». Le parallélisme des côtés opposés n’est pas plus respecté que la constance de leurs longueurs, sauf parfois par hasard.

Gab (5 ; 10). Pas d’anticipation. Après le premier essai : « Ça deviendra plus grand. — Et après ? — Toujours plus grand. — Et à la fin ? — Encore trois fois plus grand. — Regarde ? — Elles sont plus basses (les fenêtres). — Et après ? — Toujours plus basses. — Et si je continue ? — Plus grandes ». Le dessin figure des croix, puis après exploration tactile, des sortes d’ellipsoïdes fournies de pointes au sommet et à la base.

Les réactions de ce niveau sont intéressantes à deux points de vue. D’une part, tout en percevant des « fenêtres » qui s’agrandissent durant la première phase de l’allongement du dispositif, ces sujets ne parviennent pas d’emblée à abstraire de la structure d’ensemble la forme des losanges ; ils dessinent des croix et ce n’est qu’après exploration tactile du pourtour d’une « fenêtre » qu’ils découvrent le losange. Mais, même alors, ou bien ils n’en peuvent reproduire la forme, ou bien ils parviennent à des structures voisines, mais sans jamais respecter intentionnellement le parallélisme des côtés opposés. Du point de vue du parallélisme comme tel, les réactions de ce niveau sont donc nettement négatives. D’autre part, et en corrélation étroite avec ces difficultés de structuration du losange, il est frappant de constater chez ces sujets l’inaptitude à anticiper toute transformation, tant qu’aucune d’entre elles n’a été perçue : l’enfant se borne à imaginer ce qu’il voit, et n’est encore en possession d’aucune de ces images de seconde espèce (voir chapitre X : conclusions), dues à l’anticipation représentative d’une action à exercer sur l’objet. Par contre, une fois les premières transformations perçues, elles sont simplement prolongées en imagination : d’où la croyance à l’agrandissement indéfini des « fenêtres » sans souci de conservation de la longueur des côtés (pourtant perçus sous la forme de tiges rigides !) ni même de leur nombre (voir Zur) !

Au total, les réactions de ce niveau II A constituent un tout cohérent, à la fois entre elles et avec ce que nous avons vu [p. 366] jusqu’ici des autres réactions de ce même sous-stade : par le fait du caractère statique et peu mobile des intuitions imagées dont disposent les sujets (par opposition aux intuitions articulées du niveau suivant et surtout aux opérations mobiles et réversibles du stade III), ils ne parviennent ni à anticiper les transformations possibles du dispositif, ni à décomposer de façon adéquate les figures perçues en un état donné de l’appareil. À cet égard, de telles réactions nous apprennent d’emblée qu’il ne suffit pas de percevoir des lignes parallèles (telles que les côtés opposés des losanges) pour se les représenter telles, car la représentation du parallélisme suppose la différenciation des différentes directions possibles des lignes perçues et le choix, parmi ces directions, de celles qui précisément se trouvent identiques deux à deux. Mais, à défaut de représentation des parallèles, sommes-nous même assurés qu’il y a perception d’une telle structure à ce niveau II A ? Non seulement les comportements graphiques et les constructions au moyen de baguettes observées chez les sujets précédents semblent devoir en faire douter, mais encore les expériences de H. Wursten sur lesquelles nous reviendrons, montrent l’incapacité relative des enfants de ce niveau, d’aligner parallèlement des tiges obliques, indépendamment de toute construction des losanges. Un tel fait soulève dès l’abord le problème des relations entre la perception et la représentation, question que nous retrouverons à propos des stades suivants.

Les réactions du sous-stade II B correspondent, dans le cas des transformations affines du losange, à ce que nous avons vu jusqu’ici de ce niveau, caractérisé par l’articulation des intuitions et l’esquisse des structurations opératoires du stade suivant. Voici quelques exemples :

Ger (5 ; 6) : « Si on appuie sur les poignées ? — Ça s’allonge. — Que deviendront ces fenêtres ? — Toujours plus grandes (Il dessine d’abord des croix (×) comme au niveau II A, puis des losanges après avoir suivi du doigt un des éléments : il fait cinq losanges de grandeurs croissantes, sans conservation de la longueur des côtés, ni parallélisme des côtés opposés). — Et si on tire encore plus, ça devient comment ? — Plus petits. — Comment ? — Mais plus grands en ligne (= en une suite plus allongées). — Dessine comment ils seront. — (Il dessine toujours la même [p. 367] forme, sans aplatissement, mais de grandeur de plus en plus petite). — Regarde (expérience). — C’est celui-là (son plus petit dessin) qui est juste ».

Avec les baguettes à choix, il prend des éléments plus grands pour l’accroissement et plus petits pour la décroissance. Ce n’est qu’en copiant ce qu’il voit qu’il arrive à figurer la transformation avec des côtés de longueur constante : « Il est écrasé ». Mais il ne recherche pas le parallélisme des côtés opposés.

Tin (5 ; 11). « Qu’est-ce qui se passera si je presse ? — Ça va s’ouvrir (on le fait et il dessine les losanges entr’ouverts comme des carrés irréguliers). — Si j’ouvre encore ? — Un peu plus grand (dessine encore des carrés, mais plus grands). — Et si j’appuie encore ? — (Il dessine de plus grands carrés. On donne les baguettes et Tin fait un rectangle puis un carré posé sur la pointe). — Et encore ? — Plus grands. — Et maintenant ? — Plus grands, non plus petits (il dessine de plus petits losanges, mais toujours de même forme presque carrée). — Et après ? — Plus petits (même forme de plus en plus petits). — Regarde (expérience jusqu’à l’état final). — Ça serre et il n’y a plus de trous ». Tin prévoit donc la progression croissante puis décroissante, mais sans conservation de la longueur des côtés ni souci du parallélisme.

Mic (6 ; 0) : « Ça va changer, les fenêtres deviendront plus petites, non plus grandes (il dessine d’abord une sorte de zigzag qui augmente d’amplitude, puis une suite de losanges curvilignes de plus en plus grands). — Si on ouvre encore ? — Encore plus grandes. — (L’appareil est mis en sa position médiane). Si on continue ? — Les fenêtres deviendront plus petites. — Pourquoi ? — Parce qu’on appuie, on serre. — Et après ? — Toujours plus petites ». Il dessine des losanges curvilignes de même forme et de plus en plus petits.

Bu (6 ; 0) représente d’abord l’agrandissement des « fenêtres » au moyen de baguettes placées verticalement serrées puis de plus en plus espacées. On lui présente alors le losange mobile formé de quatre baguettes articulées en montrant le début de l’élargissement de la figure et en demandant de dessiner ce qui a été vu, ainsi que la suite : Bu dessine quatre losanges de plus en plus grands (le quatrième occupant toute la feuille), donc sans conservation de la longueur des côtés (bien que le modèle transformé constitue un losange unique !) ni aucun souci du parallélisme des côtés opposés. « Et si je tire encore plus ? — (Il dessine des losanges plus petits, toujours de même forme). — Et encore plus et plus ? — Ça devient une ligne (passe donc brusquement du losange à forme permanente au losange complètement aplati !) ». En reprenant l’expérience des baguettes à choix, Bu cherche maintenant (donc après avoir vu les déformations effectives elles-mêmes) à construire des losanges s’élargissant et s’aplatissant progressivement, mais il ne renonce pas pour autant aux agrandissements et rapetissements [p. 368] absolus : il choisit donc des baguettes de longueurs différentes, sans conservation de la longueur des côtés et surtout construit des losanges asymétriques, sans souci du parallélisme des côtés opposés. On finit par lui montrer des losanges tout faits, les uns asymétriques et les autres symétriques, en cachant les angles, pour qu’il juge de leur justesse d’après le parallélisme des côtés : Bu accepte toutes les formes justes et fausses, sauf deux cas d’asymétrie trop poussée.

Jac (6 ; 6), en présence du losange articulé unique, le dessine entr’ouvert sous la forme d’un losange à côtés inégaux et non parallèles deux à deux : « Et si je l’ouvre ? — (En dessine plusieurs autres de plus en plus écartés, mais sans conservation de la longueur des côtés ni parallélismes). — Et si je tire encore plus ? — C’est encore plus grand (losange plus écartés et plus grand, à côtés irréguliers). — Et encore plus ? — (Dessine encore plus grand, puis brusquement un losange très étroit mais toujours irrégulier et vertical). — Et tout au bout ? — (Losange très étroit et couché) ». Jac a donc le sentiment de la double progression croissante et décroissante, mais ne la réalise que de façon discontinue, avec changements brusques et sans conservation de la longueur des côtés ni parallélisme. Pour vérifier ce dernier point, on lui présente des losanges tout faits, en cachant les angles et en les faisant juger d’après la partie visible des côtés : Jac ne tient alors nullement compte de leur parallélisme. Lorsqu’on les lui montre dans leur totalité, il juge d’après la forme d’ensemble, et également sans parallélisme.

Rol (6 ; 8) est en progrès sur Jac en ce sens qu’il anticipe mieux l’ouverture croissante puis décroissante des losanges. Il fournit des dessins de losanges plus hauts que larges, puis à peu près égaux en largeur et en hauteur puis plus larges que hauts, mais asymétriques et sans parallélismes. Avec la technique des baguettes, il en choisit de plus longues et de plus courtes pour représenter ses figures, sans conservation de la longueur des côtés (et toujours sans parallélisme, ce qui exclut le facteur de technique graphique).

Phi (7 ; 4) est également près d’une sériation exacte, croissante puis décroissante, mais les losanges étroits sont encore mal structurés (très asymétriques) et les plus grands sont figurés par des rectangles. Avec les baguettes il emploie soit des éléments de longueurs différentes, soit plusieurs éléments par côtés et n’aboutit ainsi qu’à des losanges sans constance de la grandeur des côtés et surtout sans aucun parallélisme.

Au total, les réactions de ce sous-stade sont donc en progrès sur celles du niveau II A à deux points de vue essentiels. D’une part, il y a structuration progressive des losanges, que tous ces sujets parviennent à dessiner comme tels, ou à reconstituer [p. 369] au moyen des baguettes, même lorsqu’il s’agit d’abstraire leur forme du dispositif d’ensemble des ciseaux. D’autre part, il y a anticipation globale des transformations sous forme d’un accroissement puis d’une diminution de la surface des losanges au fur et à mesure de l’extension de l’appareil. Sur les deux points corrélatifs, on peut donc parler d’une articulation de l’intuition, par opposition à l’intuition statique des débuts.

Mais ces deux sortes de progrès solidaires sont limités par un ensemble de lacunes également corrélatives entre elles. En premier lieu les losanges, tant construits au moyen de baguettes que dessinés simplement, sont irréguliers, asymétriques et sans parallélisme des côtés opposés. Ce défaut de parallélisme est confirmé par l’épreuve des losanges tout faits à comparer, qui n’est point encore réussie à ce niveau, non seulement chez les sujets du début du sous-stade dont les losanges sont encore informes (curvilignes, etc.), mais même chez les plus avancés à dessin bien structuré. En outre, le losange change de dimensions en se transformant : l’enfant ne conçoit pas encore un même losange à côtés constants susceptible de s’étirer ou se contracter, mais une suite de losanges à côtés de longueurs variables, procédant on ne sait comment les uns des autres sans opérations précises assurant leurs transformations. Cette incompréhension du détail de la transformation explique la seconde lacune systématique de ce niveau : si le sujet parvient à concevoir de façon globale l’accroissement puis la diminution de surface des losanges, ce n’est pas encore sous la forme d’une sériation continue, mais par modifications plus ou moins brusques. En particulier l’enfant ne parvient pas à anticiper le point médian d’inversion, à partir duquel la largeur du losange commence à l’emporter sur la hauteur, et cela précisément faute de concevoir les transformations du losange comme affectant ses rapports dimensionnels et non pas ses dimensions absolues. Un point intéressant à noter, à cet égard, est qu’aucun de ces sujets ne dessine intentionnellement la figure située au point médian comme un carré exact mais posé sur la pointe, même pas ceux qui comme Tin figurent les losanges sous une forme voisine de celle du carré.

Bref, les réactions de ce niveau témoignent d’anticipations intuitives plus ou moins articulées, mais non pas encore d’opérations réversibles, et c’est ce manque d’opérations qui explique à la fois la discontinuité des transformations anticipées et le manque de parallélisme des côtés opposés des losanges, côtés dont les longueurs ne sont même pas tenues pour constantes.

Le stade III, qui débute vers 7-8 ans et est caractérisé par la constitution des opérations concrètes, marque, dès le niveau III A, un progrès essentiel : l’agrandissement et le rapetissement prévus des surfaces n’est plus expliqué par l’enfant comme un changement de dimensions des côtés du losange, mais comme une transformation (quoique non toujours formulée) des rapports de la hauteur et de la largeur de la figure, avec conservation de la longueur des côtés : il s’y ajoute un souci net de marquer le parallélisme des côtés opposés et une reconnaissance de la continuité de la série croissante et décroissante des surfaces :

Wei (6 ; 6) prévoit qu’avec l’allongement de l’appareil « ces fenêtres seront plus écartées (il dessine les losanges, à côtés de longueur constante et à parallélisme des côtés opposés, avec élargissement progressif de la figure). — Et si on continue ? — (Idem). — Et après ? — Elles deviennent comme ça (dessine un losange plus large que haut). — Et après ? — Ça fera deux traits, ça reste deux traits comme ça (dessine les couples de tiges parallèles) ». On lui donne des baguettes à choix : « Tu peux prendre des baguettes et faire la même chose ? ». Wei prend quatre baguettes de même longueur et construit des losanges plus ou moins hauts et large, sans changer d’éléments, jusqu’à la forme couchée (« une fenêtre couchée »).

Coi (6 ; 10) : « Ça sera plus gros. — Et après ? — Encore plus gros (dessine des losanges à côtés opposés parallèles et côtés pratiquement constants mais avec accroissement de la largeur). — Si on continue ? — Ça s’ouvre toujours plus et après ça baissera (dessine la diminution de hauteur en maintenant constante la longueur des côtés ainsi que leur parallélisme deux à deux). — Et à la fin ? — Ce sera tout fermé ».

Dan (7 ; 4) commence par prévoir comme au stade II un agrandissement absolu des losanges (les deux dimensions sans changement de forme) puis un rapetissement absolu. De même avec les baguettes, dont il choisit des éléments plus grands et plus petits, mais il s’écrie alors spontanément : « Non, ça ne sera jamais comme ça parce que c’est les mêmes baguettes. Elles restent toujours de la même grandeur. Le dessin ainsi est faux ». Il change alors les formes en modifiant simplement les rapports de hauteur et de largeur, sans changer la longueur des côtés et en assurant le parallélisme des côtés opposés. On présente alors des modèles de losanges à côtés non parallèles : « Non, ça ne sera jamais comme ça : Ça (le haut) est trop plat. Ça doit être la même chose qu’ici (le [p. 371] bas). — (On cache les angles). — Non plus, ça ne va pas avec ça (montre les côtés non parallèles et non plus seulement l’asymétrie) ».

Gro (7 ; 6) : « Ils seront plus écartés. — Comment ? — La hauteur devient moins longue et la largeur devient plus large (I). — Quel dessin devient plus large ? — Ici (il dessine cinq losanges toujours plus larges et moins hauts, à côtés pratiquement constants et parallèles). — Et ensuite ? — La hauteur est presque tout en large (dessins corrects). — Et à la fin ? — On ne peut plus faire, ça devient tout à fait plat ». Réalisation avec baguettes en choisissant des longueurs constantes et en maintenant le parallélisme.

Wid (7 ; 6). Mêmes réactions : dix dessins réguliers à côtés parallèles et de longueur constante. « La hauteur devient plus petite mais la longueur (= largeur) est plus grande. — Et à la fin ? — Il n’y aura plus de fenêtres (dessine les tiges parallèles) ».

Mar (7 ; 7) dessine la progression croissante et décroissante jusqu’aux tiges horizontales de la fin. On montre des losanges tout faits : « Celui-là ne va pas, parce que ce côté est plus grand (juge à l’asymétrie) ; celui-là non plus, parce qu’un côté est plus grand que celui-ci ; etc. ». On cache alors les angles en ne laissant voir qu’une partie des côtés : « Celui-là est faux parce que tout ce côté est plus penché que celui-ci ; celui-là non plus parce que de ce côté il est droit et là il est penché », etc. « Celui-là va parce que les côtés sont les deux penchés la même chose ». Juge donc explicitement d’après le parallélisme des côtés.

Wel (7 ; 8). Mêmes réactions. Les losanges tout faits dont on masque les angles sont jugés au parallélisme des côtés : « Il ne va pas, parce qu’ici ça va plus en pointe et que là-bas c’est plus couché ».

Bru (8 ; 5) dessine des losanges de surface croissante puis décroissante en maintenant pratiquement constante la longueur des côtés, et en conservant le parallélisme. On offre les baguettes à choix : Comment fais-tu plus petit ? — Je serre l’un contre l’autre (augmentation de largeur et diminution de hauteur). — Et plus grand ? — Je desserre » (ne change donc pas d’éléments et fait porter la transformation sur les seuls rapports).

Per (8 ; 6) : « Ça va devenir plus étroit, non plus grand, (dessins corrects). — Et si on appuie encore ? — Les fenêtres deviendront carrées (donc prévision de la position médiane). — Et après ? — Encore plus grandes, non plus petites. — Et si on continue ? — Presque couchées ». Il dessine les déformations du losange jusqu’au carré sur pointe, puis avec largeur plus grande que la hauteur en maintenant le parallélisme et la longueur constante des côtés.

On voit la grande différence entre ces réactions et celles du stade II. D’une part, la suite des transformations affines du losange est correctement prévue, de façon continue, avec, chez [p. 372] certains sujets, l’anticipation de la forme carrée médiane (voir Per). D’autre part, le détail de ces transformations est saisi opératoirement comme un simple changement de rapports entre la hauteur et la largeur du losange, sans modification des dimensions absolues, c’est-à-dire de la longueur des côtés. À noter, à cet égard, la prise de conscience soudaine de Dan après ses erreurs initiales. Or, découvrant le mécanisme des transformations de la figure, l’enfant en vient nécessairement à reconnaître le parallélisme des côtés opposés du losange, sans quoi celui-ci cesse d’être symétrique et les côtés d’être égaux. Ainsi le parallélisme de ces côtés est, dès ce palier d’évolution, lié opératoirement à la compréhension de l’ensemble des transformations et non pas simplement perçu ou imaginé intuitivement. Il est d’autant plus intéressant de noter cette interdépendance des notions que le parallélisme perceptif semble apparaître seulement à ce même niveau, dans le cas des lignes obliques, puisque les sujets du sous-stade II B, qui eussent pu enregistrer intuitivement le parallélisme des côtés opposés du losange, sans en saisir les raisons opératoires, le négligent en fait généralement.

À la suite des réactions précédentes, la seule nouveauté qu’apportent les réponses des sujets appartenant aux niveaux III B et IV est une formulation toujours plus explicite des rapports en jeu ainsi que, finalement, une déduction anticipée de l’ensemble du processus :

Pez (9 ; 10). L’appareil étant presque fermé, on demande : « Comment sera-t-il tout ouvert ? — Les bouts se toucheront, ça s’allongera (il dessine l’appareil presque entièrement développé avec des losanges de 1-2 mm de hauteur sur 10-11 de largeur). — Comment seront les tiges ? — Penchées toujours plus les unes à côté des autres. — Et leur longueur ? — Les côtés restent toujours les mêmes en s’ouvrant et en se fermant. — Et leur forme ? — Quand c’est presque ouvert c’est un carré et tout ouvert c’est un losange. — À quel moment y aura-t-il carré ? — À la moitié. — Et la surface change ? — Non, elle ne change pas. Ah oui ; toujours plus grande, puis plus petite ».

Kau (10 ; 6) : « Qu’est-ce qui changera ? — La forme. Les losanges s’allongent (montre la largeur). — Qu’est-ce qu’il y a encore dans un losange ? — Des angles. Ils deviennent plus grands et plus petits. Jamais les mêmes. — Comment sont les droites ? — Obliques et toujours parallèles ».

Van (10 ; 8) : « Elles (les tiges) restent parallèles si on ouvre et si on ferme ».

[p. 373] Rad (11 ; 4) : « C’est la même mécanique que les ciseaux. — Et quand ça sera écarté ? — Ce sera simplement un peu plus ouvert (dessins justes). — Quand ça changera de largeur et de hauteur ? — À la moitié ça fera des angles droits ».

Aza (11 ; 6) dessine d’avance toutes les transformations : « Quand aura-t-on le carré ? — Au milieu. — Et encore une fois ? — On ne l’aura qu’une fois ».

Cot (12 ; 0) : « Les losanges peuvent faire des carrés quand on ouvre. — Comment seront les tiges ? — Obliques et parallèles. — Les côtés changent ? — Les angles changent, les côtés ne changent pas ».

On voit le progrès accompli, en particulier au stade IV : les rapports sont les mêmes qu’au niveau III A, mais ils sont tout à la fois formulés et déduits a priori, y compris le moment de l’inversion du rapport entre la hauteur et la largeur.

Pour tirer la leçon de cette brève étude, il convient tout d’abord de comparer les résultats obtenus quant à la représentation du parallélisme des côtés opposés du losange, avec ceux que fournit l’analyse des notions et surtout des perceptions de l’enfant en présence de deux lignes simples dont on lui demande si elles sont parallèles ou non. À lire les interrogations qui précèdent, on a dû sans cesse se poser la question, en effet, de savoir si la structure des losanges ne compliquait pas la découverte du parallélisme au lieu de la simplifier, rien ne semblant plus clair à l’esprit et surtout à la perception, que deux lignes conservant leur équidistance et ne se croisant jamais. Mais il suffit de questionner un jeune enfant sur le parallélisme de deux traits obliques pour saisir d’emblée la complexité du problème. Tout d’abord, comment s’exprimera-t-on pour faire comprendre la notion même de ce parallélisme ? Évidemment en demandant si les lignes sont « penchées la même chose », tout appel à l’équidistance supposant des notions bien plus complexes et des mesures, qui supposent d’ailleurs elles-mêmes le parallélisme (celui des lignes perpendiculaires à celles dont il s’agit d’établir qu’elles sont elles-mêmes parallèles, d’où le cercle des définitions du parallélisme par l’équidistance). Mais dire que deux droites sont également « penchées », c’est en appeler à la fois à la notion de droite et à celle d’inclinaison ou de direction dans l’espace. Or, nous avons vu au chapitre VI le caractère tardif de la représentation de la droite. Quant à la notion d’inclinaison, ou bien il s’agira d’une mesure d’angles, ou bien il faudra que le sujet trouve un procédé pour établir l’identité [p. 374] de direction. Que le parallélisme se constitue en même temps que la notion d’angle, cela est naturel, puisque deux droites forment entre elles un angle sitôt qu’elles cessent d’être parallèles, et nous verrons effectivement au chapitre suivant la parenté psychologique de ces deux notions complémentaires ; mais il résulte de cette complémentarité même que la notion d’angle ne saurait donc précéder celle de parallèles ni servir de mesure à la commune inclinaison de deux obliques. Il reste alors l’identité de direction, mais l’on aperçoit alors aussitôt que la notion d’une direction dans l’espace constitue le point de départ des systèmes de coordonnées eux-mêmes, dont nous constaterons au chapitre XIII combien leur élaboration est complexe et lente.

Bref, le parallélisme de deux lignes quelconques (en particulier obliques) n’est nullement plus simple à concevoir que celui des deux côtés d’une figure fermée et bien structurée telle que le losange. Mais ne serait-il donc pas, en ce cas, plus simple à percevoir ? C’est ici que la comparaison des données perceptives et des données notionnelles s’avère spécialement instructive, l’étude de la perception du parallélisme conduisant en fait à supposer que l’idée des parallèles précède leur perception exacte, au lieu d’en résulter sans plus comme chacun l’eût supposé. En faisant comparer à 20 enfants par âge de 5-6 à 12-13 ans et à une vingtaine d’adultes, des lignes obliques dessinées sur des cartons, ou en faisant tracer au trait des droites verticales, horizontales ou obliques, parallèles entre elles, ou encore en faisant placer sur un support des tiges de métal rectiligne, de manière à ce qu’elles soient parallèles entre elles, notre collaborateur H. Wursten a pu établir ce qui suit. En premier lieu, le parallélisme n’est perçu sans erreurs à aucun âge, même chez l’adulte exercé, ce qui confirme une fois de plus le caractère rationnel des notions géométriques, lesquelles informent et corrigent la perception sans en dépendre uniquement. Mais surtout on constate, à analyser les seuils et les erreurs systématiques obtenus, qu’avant 7-8 ans la perception d’une inclinaison ou d’une direction dans l’espace est d’autant plus mauvaise que les jeunes enfants ont plus de facilité que les grands à évaluer la longueur de ligne différemment orientées, précisément parce qu’ils demeurent insensibles à cette orientation ⁵. Tout se passe donc comme si l’espace perceptif des petits [p. 375] manquait de structuration quant aux directions et manquait a fortiori de systèmes de coordonnées. Dès 7-8 ans on observe une amélioration, mais encore très lente, se poursuivant de 9 à 12 ans et jusqu’à l’âge adulte.

Le parallélisme des côtés du losange, dont nous avons noté la constitution vers 7-8 ans (niveau III A), sur le plan de la représentation, n’est donc pas le produit direct d’acquisitions perceptives préalables, mais semble au contraire faire partie de l’ensemble des facteurs opératoires qui rejaillissent sur la perception, pour la corriger et l’améliorer graduellement.

Si donc la notion du parallélisme ne constitue pas un simple produit perceptif, comment en expliquer l’élaboration ? Pour ce qui est des lignes simples, nous avons vu au chapitre VI (section I) comment la représentation de la droite, liée à la conduite de la visée, c’est-à-dire à la coordination de la ligne topologique avec un « point de vue » perspectif, s’accompagnait, aussitôt construite (vers 7-8 ans précisément), de la notion de la conservation d’une direction. Or, il est clair que la conservation opératoire d’une direction entraîne aussitôt l’idée d’une direction commune à plusieurs lignes : lorsque les sujets du niveau III A reconnaissent que, perceptivement, deux rails de chemin de fer se rapprochent en s’éloignant, ils les conçoivent comme parallèles en elles-mêmes tout en les faisant converger projectivement ⁶. Bref, le parallélisme de deux droites est une notion accessible au sujet dès qu’il est en possession de la représentation opératoire de la droite elle-même.

Quant au parallélisme des côtés opposés du losange, il est, dans les expériences décrites en ce chapitre, lié à la compréhension de l’ensemble des transformations affines de cette figure. Tant que l’enfant conçoit les transformations d’un losange donné comme ne pouvant consister qu’en agrandissements ou en rapetissements absolus, il n’est pas de raison pour lui de se représenter le losange sous la forme de quatre côtés égaux, parallèles deux à deux et orientés en fonction de deux diagonales inégales. Sitôt admis, au contraire (comme c’est le cas au niveau III A) qu’un même losange peut être modifié quant à ses angles et à la longueur respective de ses [p. 376] diagonales sans pour autant que la longueur de ses côtés cesse de se conserver, le parallélisme des côtés opposés s’impose à titre d’invariant permettant de construire les transformations. Le parallélisme des côtés opposés du losange joue donc le rôle d’un invariant opératoire dans le système de transformations affines étudié ici, et c’est comme tel que l’enfant l’élabore.

Il reste à saisir les rapports entre le parallélisme des droites quelconques et celui des côtés opposés du losange, mais cette relation est simple à établir. Comme nous l’avons vu en discutant le problème de la construction graphique des losanges (chapitre II, § 6), la grande difficulté de cette figure, par opposition aux rectangles, aux carrés et même aux triangles, est de ne composer entre elles que des lignes obliques, non perpendiculaires entre elles, et sans base de référence autre que la symétrie de leurs couples. Il est donc clair que la construction exacte d’un losange ne saurait être possible avant celle des droites quelconques (obliques aussi bien que verticales ou horizontales, et sans système perceptif de référence). Comme, d’autre part, le parallélisme de lignes droites quelconques s’acquiert sitôt que les droites elles-mêmes peuvent être construites à l’état isolé, il est clair qu’entre la conservation du caractère parallèle des côtés du losange, la construction des droites obliques et celle du parallélisme de deux droites quelconques, existe une corrélation étroite fondée sur le mécanisme opératoire commun de ces diverses notions impliquant la direction dans l’espace.

En quoi consiste alors le caractère commun ? Si l’on fait abstraction de la méthode projective de construction de la droite (méthode de la visée), pour ne retenir que l’idée de conservation d’une même direction (dont nous avons vu qu’elle intervient synchroniquement avec la construction perspective), les notions de droite et de parallèles constituent un début de coordination des directions qui s’achèvera, sur le terrain de l’espace euclidien, avec la construction des systèmes de coordonnées proprement dits. Mais, avant d’étudier cet achèvement (ce que nous ferons au chapitre XIII), il convient encore d’analyser comment, en possession de ces notions préalables, l’enfant en vient à construire les notions complémentaires d’angle, de proportions et de similitudes, le groupe des similitudes (conservant les angles) venant précisément s’intercaler, dans la construction de l’espace, entre les transformations affines (qui conservent les parallèles, mais non encore les angles), et les déplacements (qui conservent les distances en plus des [p. 377] angles, des parallèles et des droites). C’est ce que nous allons voir au chapitre suivant.

Notons encore, à cet égard, que si les transformations affines du losange ne comportent pas encore l’idée de proportions, elles supposent néanmoins une quantification extensive particulière, voisine de celle des transformations projectives ⁷, et dont il est clair qu’elle intervient implicitement chez l’enfant, sitôt que la série des déformations du losange est conçue par lui comme continue et comme liée à un point d’inversion médian (ce que l’on aperçoit notamment aux niveaux III B et IV).