Chapitre XV.
Conclusions : l’« intuition » de l’espace ^a 🔗

Une première distinction essentielle à introduire dans la série des échelons que nous avons étudiés est celle de la perception même de l’espace et des premières représentations imagées. Il se produit, en effet, ceci que, la perception spatiale se constituant en contact direct avec l’objet, tandis que l’image intervenant en son absence, l’espace perceptif se construit beaucoup plus rapidement que l’espace représentatif : il atteint même un niveau déjà projectif et quasi métrique au moment où débute la représentation imagée, et où celle-ci en demeure à la construction, et en partie à la reconstruction, des rapports topologiques élémentaires. Il y a donc un décalage, et même de quelques années, entre les deux constructions perceptive et représentative, malgré l’analogie de leurs processus évolutifs, de telle sorte que, si l’on n’aperçoit pas la dualité des plans, on a l’illusion que l’élaboration de l’espace débute avec les formes euclidiennes simples. Or, lorsqu’on les observe vers l’âge de 2 à 4 ans, celles-ci sont à la fois dérivées, du point de vue perceptif (parce que préparées par un développement qui débute dès les premières semaines de l’existence), et non encore assimilées par la représentation (laquelle travaille sur ces formes perceptives complexes, mais au moyen de rapports beaucoup plus élémentaires). Il est donc indispensable de dissocier l’espace perceptif de l’espace représentatif, pour fournir une théorie adéquate de l’intuition géométrique.

L’espace perceptif nous est apparu lui-même comme étant déjà un produit complexe, résultant à la fois de la perception comme telle, et d’une activité sensori-motrice dirigeant et coordonnant les divers mouvements qui déterminent les centrations perceptives. Cette activité sensori-motrice englobe l’ensemble des conduites du nourrisson, puis se spécialise, après l’apparition de la représentation, dans les domaines moteur et perceptif qui continuent, durant toute l’existence, de constituer la substructure des constructions représentatives. Au cours de la première année, c’est donc une activité sensori-motrice générale qui conduit le sujet, par la manipulation des objets, leur déplacement, leur rotation, etc., à attribuer à ceux-ci une forme et une grandeur constante, outre la permanence [p. 536] substantielle dont ils sont dotés lorsqu’ils disparaissent du champ perceptif. Dans la suite, c’est la même activité, mais spécialisée dans l’organisation des mouvements de l’œil, etc. qui rend compte des régulations déterminant l’évaluation des grandeurs à distance ou des formes en perspective.

Or, dans la mesure où intervient une telle activité sensori-motrice dès le niveau de l’espace perceptif, il est déjà possible de distinguer, quoique à l’état relativement indifférencié, les deux fonctions complémentaires que remplissent la sensibilité et la motricité : les rapports spatiaux eux-mêmes sont élaborés grâce à cette dernière, mais dès leur construction et surtout une fois construits, ils sont « signifiés » grâce à des « signifiants » consistant précisément en indices sensoriels. C’est ainsi que, dans une forme vue en perspective, ou en profondeur il interviendra une série de « rapports virtuels » dépassant les données enregistrées, telles quelles par les organes récepteurs. Or, ces rapports virtuels sont un produit de la motricité, tandis que l’élément sensoriel actuel remplit à leur égard la fonction d’indice.

Mais l’activité sensori-motrice ne saurait à elle seule franchir les bornes du champ des objets présents, en contact direct avec le sujet. Tout au plus parvient-elle à certaines anticipations et reconstitutions, qui lui permettent de situer l’objet derrière des écrans ou de grouper les déplacements selon certains « détours ». Mais là s’arrête son pouvoir et c’est à la représentation à étendre le champ spatial au-delà des limites du champ perceptif.

C’est à partir du moment où apparaît la fonction symbolique, c’est-à-dire où se différencient les « signifiants », sous forme de symboles (images) ou de signes (mots), et les « signifiés », sous forme de rapports préconceptuels ou conceptuels ⁷, que la représentation se surajoute à l’activité sensori-motrice. C’est à ce niveau que débute l’espace représentatif, objet propre de notre étude.

Le premier problème que l’on rencontre alors est celui du rôle respectif de l’imagination et de l’action comme telle. Doit-on dire, à cet égard, que la représentation spatiale n’a plus rien à voir avec l’action, étant simplement l’évocation des résultats d’une action possible (ou passée) par le moyen des signes et des symboles, et non plus cette action elle-même, ou doit-on dire au contraire qu’elle est une action intériorisée, c’est-à-dire reproduite ou esquissée intérieurement grâce à ces [p. 537] signes et ces symboles, l’action évoquée prolongeant alors directement (autant que l’action effective dirigée par cette évocation même), l’activité sensori-motrice du niveau précédent ? Selon que l’on adopte l’une ou l’autre de ces deux interprétations, le rôle de l’image est assurément différent, l’imagination remplaçant l’action, dans le premier cas, ou lui servant simplement d’expression symbolique dans le second cas.

Pour ce qui est de l’action elle-même, nous avons constaté sans cesse combien est fondamental son rôle, par opposition à celui de l’image. L’intuition géométrique est essentiellement active : elle consiste avant tout en actions virtuelles, schèmes raccourcis d’actions effectives antérieures ou schèmes anticipateurs d’actions ultérieures, et, lorsque l’action est en défaut, l’intuition tourne court. Dès les rapports élémentaires d’ordre (objets à aligner dans les deux sens), d’enveloppements (nœuds), ou les rapports projectifs (perspectives à reconstituer, ombres à projeter, faisceaux à sectionner, surfaces à rabattre, etc.), affines (losange à étirer), jusqu’aux similitudes et aux ensembles à coordonner en plans, toutes les formes d’intuition spatiale que nous avons étudiées reposent sur des actions : action de placer de proche en proche (voisinage) ou en une succession définie (ordre), d’envelopper, de serrer et de desserrer, de changer de point de vue, de couper, de rabattre, de plier et de déplier, d’agrandir ou de rapetisser, etc.

Or, deux points particulièrement importants sont à noter en ces actions, eu égard au problème de savoir si la représentation spatiale n’est qu’une évocation imagée remplaçant l’action ou est vraiment une action intériorisée. Le premier est que les jeunes sujets ne parviennent pas à imaginer le résultat de telles actions, même des plus simples d’entre elles, avant de les avoir réellement exécutées : un nœud un peu desserré n’est « vu », ni conçu comme homéomorphe à un nœud un peu plus serré, avant que le sujet n’ait tiré sur la ficelle ; la section d’un cylindre n’est pas imaginée sous la forme d’un cercle avant que le couteau posé sur la pâte à modeler ne l’ait réellement sectionnée ; un point de vue perspectif n’est pas reconstitué avant que le sujet ait occupé la position correspondante, etc. C’est donc que la représentation ne remplace vraiment l’action qu’après avoir été suffisamment informée par l’action elle-même, et que l’on ne saurait ainsi, sans une coupure artificielle, la détacher de son contexte actif, pas plus que l’on ne peut dissocier une perception de son contexte sensori-moteur.

Mais ne faut-il pas, en ce cas, dire au contraire que la représentation n’a plus rien à faire avec l’action, puisqu’elle se [p. 538] borne à en lire et à en évoquer après coup le résultat, à la manière dont elle évoquera n’importe quelle donnée physique extérieure au sujet ? C’est ici qu’intervient le second point : les expériences que fait l’enfant, lorsqu’il modifie, par son action, les objets matériels mis à sa disposition, ne sont pas exclusivement des expériences de physique, c’est-à-dire portant sur les caractères intrinsèques de l’objet lui-même, sans quoi on ne comprendrait plus comment le raisonnement géométrique parvient ensuite à se libérer de l’objet pour devenir de plus en plus déductif. La géométrie de l’enfant est bien expérimentale, avant d’être déductive, mais toute expérience n’est pas une expérience de physique. Les expériences initiales qu’engendrent l’espace sont, en effet, surtout des expériences faites par le sujet sur les propres actions, et consistant à déterminer comment ces actions s’enchaînent les unes aux autres. Par exemple après avoir placé B entre A et C le sujet découvre qu’il le retrouve nécessairement entre C et A ; après avoir enfilé l’extrémité d’un cordon par la boucle préparée pour faire un nœud, l’enfant découvre qu’en tirant davantage il ne modifie pas le nœud, etc. Bien entendu, la lecture de l’expérience commence par se faire sur l’objet, car la prise de conscience d’une action débute par la constatation de son résultat extérieur, et, en ce sens, ces expériences renseignent le sujet sur les caractères de l’objet et sont bien des expériences de physique. Mais elles ne sont pas que cela, et il suffit déjà que le fait physique constaté soit un peu complexe (comme par exemple l’horizontalité permanente du niveau de l’eau, chapitre XIII) pour que sa lecture même suppose au préalable une coordination déjà poussée des actions. En plus des connaissances acquises sur l’objet, ce que le sujet apprend dans l’expérience géométrique, c’est donc, nécessairement aussi (et dans une mesure d’autant plus grande que l’expérience est plus poussée), la manière dont ses actions se coordonnent entre elles et se déterminent les unes les autres : par exemple l’action de mettre B entre A et C implique celle de le placer aussi entre C et A, de même que l’enveloppement du cordon dans sa boucle demeure définitif tant que l’action inverse n’a point été exécutée, etc. C’est ainsi que les rapports topologiques, d’abord, puis les relations projectives et euclidiennes, supposent un nombre croissant de coordinations toujours plus complexes entre les actions elles-mêmes, la détermination d’une droite, d’un angle, de parallèles, de coordonnées, etc. impliquant tout autre chose qu’une constatation simple, mais insérant cette constatation dans un ajustement précis des actions entre elles.

[p. 539] On comprend alors en quoi la représentation spatiale est une action intériorisée et non pas simplement l’imagination d’un donné extérieur quelconque, fût-il le résultat d’une action. La représentation spatiale ne parvient, effectivement, à prévoir ce résultat, et même à reconstituer celui d’une action antérieure, qu’en devenant elle-même active, c’est-à-dire en opérant sur les objets symbolisés comme l’action opère sur les objets réels, au lieu de se borner à les évoquer. À cet égard, ordonner en pensée n’est pas seulement imaginer une suite d’objets déjà ordonnés, ni même simplement se représenter en image l’action de les ordonner : c’est ordonner cette suite aussi réellement et activement que s’il s’agissait d’une action matérielle, mais en exécutant intérieurement cette action au moyen d’objets symbolisés. C’est pourquoi, il est plus facile à un jeune enfant de ranger des jetons sur la table ou de sectionner un cylindre d’argile avec un couteau, que d’imaginer l’ordre de ces jetons ou la surface circulaire de la section, tandis qu’il lui est moins difficile de se représenter fictivement qu’il bat un camarade que de le battre réellement : la raison en est précisément que la représentation spatiale est une action intériorisée (comme d’ailleurs toute représentation rationnelle) tandis que la représentation ludique est un substitut de l’action. L’intériorisation des actions spatiales s’effectue d’ailleurs selon des étapes très graduelles, qu’il nous a été possible de suivre pas à pas. À la suite de l’activité sensori-motrice élémentaire, liée à la perception de l’objet, vient l’action évoquée en imagination, mais après seulement qu’elle ait été exécutée matériellement : la pensée se forme alors à reproduire l’acte effectif dans sa matérialité et son irréversibilité. Telle est l’intuition élémentaire propre à notre stade I (jusque vers 4 ou 5 ans). Avec le stade II (de 4-5 à 7-8 ans), la coordination croissante des actions extérieures se traduit par une coordination interne de leurs schèmes (c’est-à-dire de leur esquisse intériorisée), mais procédant encore par tâtonnements et ne parvenant qu’à des anticipations fragmentaires des actions ultérieures possibles : on peut alors parler d’une articulation progressive des intuitions. Les opérations concrètes (de 7-8 à 11-12 ans) résultent de cette articulation lorsque les actions intériorisées sous forme de schèmes sont assez coordonnées pour que leur composition, et, par conséquent, chacune d’entre elles, puisse être déroulée dans les deux sens : c’est cette composition réversible qui caractérise la première forme d’équilibre des actions intériorisées et qui constitue ainsi les premiers systèmes proprement opératoires. Puis, avec le développement de [p. 540] ces coordinations opératoires, plusieurs systèmes peuvent être pensés simultanément, ce qui caractérise les opérations formelles et rend possible leur traduction sous forme de proportions hypothético-déductives (vers 11-12 ans). Ici s’achève l’intuition et débute un type de pensée qui, tout en constituant l’aboutissement de cette intériorisation continue des actions, prépare l’axiomatisation même de l’espace, grâce à ses formalisations discursives croissantes.

Or, à chacune de ces phases de l’intériorisation de l’action correspond une étape particulière de l’image, la connexion fonctionnelle entre l’image signifiante et les rapports signifiés par elle (mais construits par l’action) se transformant de façon continue depuis les débuts de la représentation jusqu’à la période formelle finale.

L’image n’est, en sa source, que le prolongement des accommodations de l’action. Toute action, en s’appliquant à des objets s’accommode à eux, c’est-à-dire subit en négatif l’empreinte des choses sur lesquelles elle se moule. L’essentiel de l’action n’est naturellement pas dans cette empreinte : il est dans la modification imposée à l’objet, c’est-à-dire l’assimilation de celui-ci aux schèmes du sujet. Mais toute assimilation effective s’accompagne d’une accommodation plus ou moins poussée. Lorsqu’elle se produit sur le plan sensori-moteur celle-ci consiste en une imitation de l’objet par l’action ; plus précisément l’imitation n’est que le prolongement, en positif, du négatif en quoi consiste l’accommodation. Or, sur le plan représentatif, l’imitation acquiert le pouvoir de fonctionner à l’état différé (c’est d’ailleurs ce passage de l’actuel au différé qui est le point de départ de toute représentation), et l’imitation s’intériorise alors en images, schèmes imitatifs des objets.

On voit ainsi que l’image ne saurait, par elle-même, jouer de rôle actif dans l’acte de la connaissance : elle n’est pas un instrument de l’assimilation comme telle, mais l’expression de l’accommodation qui l’accompagne. Elle ne joue donc qu’un rôle de signifiant, ou de symbole, par rapport à l’acte. Rôle important, d’ailleurs, car c’est dans la mesure où l’action matérielle peut être évoquée par cette imitation intérieure constituée par l’image que cette action devient représentative. Mais si indispensable qu’elle soit à titre de support ou de signifiant, ce n’est pas l’image qui détermine les significations : c’est l’action assimilatrice elle-même qui construit les rapports, dont l’image n’est que le symbole. Rien n’est donc plus inexact que de réduire l’intuition de l’espace à un système d’images, puisque [p. 541] les réalités intuitionnées sont essentiellement les actions, « signifiées » et non pas remplacées par l’image.

Mais, si tel est le rôle de l’image, il va de soi qu’il variera d’importance selon le degré de structuration des actions virtuelles qu’elle symbolise. Au point de départ de la pensée intuitive, c’est-à-dire lorsque l’intuition spatiale ne repose que sur des actions évoquées, courtes, irréversibles et reproduisant simplement en leur résultat les actions matérielles déjà exécutées auparavant, l’image jouera un rôle d’autant plus apparent que l’action est plus rudimentaire, et la déborde à peine. C’est ce que nous avons appelé ailleurs ⁸ le niveau de la pensée préconceptuelle et imagée : à ce niveau correspond le stade I décrit en cet ouvrage, où l’intuition échoue à reconstituer les transformations les plus simples et se borne à évoquer les résultats des actions déjà exécutées matériellement.

Au niveau des intuitions articulées, les actions évoquées étant plus complexes et surtout commençant à se coordonner entre elles, l’image tend à ne plus remplir qu’un rôle d’adjuvant : symbole encore nécessaire, à titre auxiliaire, mais non plus support permanent de la pensée même, elle est déjà en bonne partie débordée par celle-ci.

Au niveau des opérations concrètes, les compositions réversibles qui caractérisent l’action mentalisée deviennent assez cohérentes et assez précises pour que le rôle de l’image cesse d’être indispensable. Avec les opérations formelles, enfin, elle est tellement dépassée par la pensée que l’image du point, de la ligne continue sans surface (cf. chapitre V), etc. devient inadéquate à l’intelligence opératoire.

Mais si la fonction de l’image, symbolique dès le début, devient de plus en plus secondaire au fur et à mesure que l’élément actif de la pensée acquiert une structure mieux définie (quitte à ce que le système des signes des langages, commun et surtout mathématique, supplée à son symbolisme), il faut comprendre que ce rôle de l’image demeure, jusqu’au terme final, bien différent dans le cas des opérations spatiales que dans celui des opérations logico-arithmétiques. Un espace est, en effet, un schème unique, englobant en un bloc d’un seul tenant tous les éléments qui le composent, tandis qu’une classe logique est un ensemble d’éléments discontinus, réunis par leurs seules ressemblances indépendamment de leurs distances dans l’espace et dans le temps. C’est précisément ce caractère de [p. 542] schème unique qui a incité Kant à faire de l’espace une forme de la sensibilité, c’est-à-dire à considérer son caractère intuitif, au sens de sensible, comme fondamental, tandis que ce caractère ne s’oppose en rien à la nature opératoire, c’est-à-dire intellectuelle, de l’espace, mais conduit simplement à distinguer les opérations infralogiques, ou relatives à la construction de l’objet (donc du schème unique), des opérations logico-arithmétiques relatives aux ensembles discontinus d’objets. Mais alors, il va de soi que la situation de l’image symbolique diffère dans les deux cas. Dans celui des classes, sériations ou ensembles numériques, l’image intervient certes aussi à titre de symbole auxiliaire de la pensée : on peut ainsi se représenter une classe soit par l’image de l’un de ses individus constituants, soit par un cadre vide et figural (cercles, etc.), et on peut « voir » la suite des nombres sous forme de bâtons alignés, de disques empilés, etc. Mais l’image n’est alors nullement adéquate au schème opératoire, soit qu’elle en figure seulement le squelette sans le contenu, soit qu’elle porte sur l’un des contenus individuels et non pas sur l’ensemble. Au contraire, l’image d’un système spatial est relativement adéquate, puisque ce système constitue un objet unique et que l’image porte sur cet objet comme tel en tant que résultat des opérations. Sans doute demeure-t-elle toujours symbolique et ne remplace-t-elle en rien les opérations actives elles-mêmes. Mais il y a alors adéquation relative entre le symbole et son objet tandis que le symbole imagé d’un produit opératoire logico-arithmétique ne représente qu’une partie très incomplète du système. C’est pourquoi l’image spatiale, malgré ses inexactitudes flagrantes a-t-elle si souvent été considérée comme jouant le rôle essentiel dans l’intuition géométrique et dans le schème de l’espace lui-même, alors que le caractère opératoire et intellectuel de ce dernier est exactement comparable à celui des systèmes de classes, de relations logiques et de nombres, sauf que les opérations dont il s’agit sont infralogiques et non pas logico-arithmétiques.

Dissipons tout d’abord un malentendu possible. Parvenues au terme de leur évolution toutes les opérations, qu’elles soient infralogiques, c’est-à-dire spatio-temporelles, ou logico-arithmétiques, c’est-à-dire indépendantes des voisinages, sont susceptibles d’être effectuées abstraitement, c’est-à-dire par voie de déduction formelle, indépendamment de leur application à des objets concrets, et, par conséquent, d’être traduites dans le langage [p. 543] des « propositions ». Au niveau des propositions hypothético-déductives, il n’y a donc plus qu’une logique générale, celle des implications et incompatibilités entre propositions. Cela ne signifie pas que cette logique soit devenue indépendante des opérations ou actions, puisque les propositions énoncent toujours des opérations (ou l’existence de produits d’opérations) et que leurs implications et incompatibilités sont donc encore des opérations, mais au second degré. Mais cela signifie que l’axiomatisation de la géométrie la met exactement sur le même plan que n’importe quelle autre théorie déductive également axiomatisée : la géométrie devient alors un système de propositions équivalent à n’importe quel autre. Mais, avant de pouvoir être traduites en propositions, les opérations spatiales constituent des actions proprement dites, et, à ce niveau concret, elles diffèrent notablement des actions ou opérations portant sur les êtres logiques (classes ou relations entre objets discontinus) et sur les nombres. C’est ce niveau seul, considéré par les mathématiciens comme encore intuitif (par opposition à axiomatique) que nous considérons ici.

De ce point de vue, les opérations constructrices de l’espace sont de caractère infralogique et non pas logique (ce qui n’exclut nullement, il va sans dire, que des êtres spatiaux puissent être soumis par ailleurs à des opérations logiques). L’opération logique porte sur des objets individuels considérés comme invariants et se borne à les réunir ou à les mettre en relations indépendamment de leurs voisinages ou des distances spatio-temporelles qui les séparent. Par exemple A + A’ = B ; B + B’ = C, etc. ou A < B < C, etc. : B est alors une classe reconnaissable quelles que soient les distances entre A et A’ et la relation A < B est également indépendante des arrangements spatio-temporels. Au contraire, l’opération infralogique consiste à engendrer l’objet au moyen de ses propres éléments et aboutit ainsi, non pas à des classes ou à des relations indépendantes de l’espace, mais à des objets totaux de divers ordres : il s’agira par exemple de réunir les parties d’un objet en un tout ou de les placer selon un ordre de succession déterminé. Dès lors, au lieu de réunir ou de dissocier les objets selon leurs ressemblances (fondement des classes et des relations symétriques) ou leurs différences (fondement des relations asymétriques), les opérations infralogiques réuniront ou dissocieront les parties d’objets selon leurs voisinages ou leurs différences de position : ainsi quelques éléments voisins constitueront une réunion α, laquelle jointe à une réunion voisine α’ formera la réunion β, etc., chaque réunion d’ordre α, β, γ, δ, etc. constituant un [p. 544] objet partiel et ces totalités de divers degrés étant elles-mêmes parties de l’objet total qui est l’espace considéré.

Dira-t-on que les voisinages et les différences de position sont des relations comme les autres, et que les parties d’objets sont des objets comme les autres, leurs réunions constituant de simples classes et les opérations infralogiques n’étant ainsi qu’un cas particulier des opérations logiques ? Non, parce que réunir des éléments selon leurs voisinages ou selon leurs ressemblances pour en constituer, soit des objets, soit des classes d’objets, implique une opposition fondamentale dans le mode même de réunion : les réunions du premier type forment des systèmes d’un seul tenant, dont la synthèse finale aboutit au continu (une suite de points est dite continue lorsque tout voisinage de l’un quelconque de ces points contient au moins un point de la suite) tandis que celles du second type demeurent discontinues. Il s’ensuit que les opérations infralogiques sont incomposables avec les opérations logiques : si la réunion d’éléments α fait partie de β, si β fait partie de γ, et si l’objet γ appartient à la classe logique A, qui est elle-même incluse dans la classe B, on peut en conclure que γ est un B puisqu’il est un A, mais ni α ni β ne sont des A ni des B. En cet exemple γ est donc, à la fois le point d’arrivée des opérations infralogiques le reliant à α et à β, et le point de départ des opérations logiques le reliant à A et à B, mais il n’y a pas de composition transitive possible entre ces deux systèmes opératoires ⁹.

Nous avons vu, en effet, que la notion du continu constitue la synthèse des rapports topologiques élémentaires, qui sont à la racine de la construction de l’espace (chapitre V). Mais si élaborée que soit cette notion, et si tardive, génétiquement, que soit son application à la totalité des cadres projectif et euclidien résultant de coordinations opératoires d’ensemble, le continu, considéré en son point de départ perceptif, est précisément le caractère distinctif de l’objet, par opposition à celui des collections discrètes. Il n’est donc pas étonnant que, représenté sous cette forme primitive, dès la source intuitive des opérations infralogiques portant sur l’objet, il se retrouve à leur terme sous une forme précise et générale, qui les distingue des opérations logico-arithmétiques. En effet, à partir du continu [p. 545] perceptif qui caractérise les voisinages les plus élémentaires, la notion du continu évolue en deux directions complémentaires. La première est celle de la décomposition progressive, comme nous l’avons vu au chapitre V, d’abord par partition de l’objet en quelques éléments, en nombre restreint, eux-mêmes continus et isomorphes au tout, puis par décomposition de ces éléments en points visibles en nombre encore fini, et enfin par décomposition indéfinie en points dénués de toute forme. La seconde est celle de la coordination toujours plus étendue : partant de l’objet lui-même, la construction infralogique commence par ne procéder que de proche en proche, en construisant les rapports topologiques intérieurs à chaque configuration. À ce niveau le continu, encore intuitif, ne s’applique pas à l’espace vide, faute d’un espace embrassant tous les objets. Au contraire, avec la coordination des points de vue, caractérisant la construction de l’espace projectif, et avec les mises en relations euclidiennes, qui aboutissent à la construction des systèmes de coordonnées, le continu s’applique à l’espace entier, considéré comme le cadre général de tous les objets ou de tous les observateurs.

Ainsi les opérations infralogiques, dont les compositions sont fondées sur le voisinage, et non pas sur la ressemblance comme les opérations logiques, aboutissent à la construction de schèmes uniques et continus, qui sont les espaces totaux, tandis que les opérations logico-arithmétiques aboutissent à des systèmes d’ensemble discontinus. Il est vrai que le continu intervient à un certain degré d’élaboration de la série des nombres, lorsqu’aux nombres rationnels sont adjoints les nombres irrationnels, dont la fonction est précisément de combler les lacunes laissées par les premiers. Mais on sait assez que les nombres irrationnels sont nés de la considération de l’espace et que leur introduction est précisément due au besoin de faire correspondre la suite des nombres au continu spatial : ils ne constituent donc pas un produit spontané des opérations logico-arithmétiques, mais bien le point de soudure entre ces opérations et les opérations infralogiques ¹⁰.

En demeurant exclusivement sur le terrain psychogénétique, c’est-à-dire en nous demandant simplement comment les choses se passent en fait, sans considérations théoriques préalables, nous allons chercher à dégager des analyses contenues en cet ouvrage quelles sont les opérations infralogiques qui interviennent dans la construction de l’espace, et en quoi consiste leur correspondance avec les opérations logico-arithmétiques que nous avons vues à l’œuvre dans la construction du nombre chez l’enfant ¹¹. Nous commencerons, en ce paragraphe, par l’analyse des opérations constitutives des rapports topologiques, puisque les faits nous ont montré combien ces rapports sont primitifs, par opposition aux relations projectives et euclidiennes.

Or, le résultat le plus frappant de notre investigation psychologique est assurément que ces opérations constitutives font appel, pendant fort longtemps, à la seule quantité « intensive ». Il faut dire, par conséquent, et malgré la contradiction apparente, qu’elles sont spatiales sans être encore mathématiques ! Ce n’est qu’une fois constituées et groupées entre elles que les opérations infralogiques de caractère « intensif » engendrent, par leurs combinaisons mêmes, les opérations de caractère « extensif », c’est-à-dire mathématique, soit métriques soit non métriques.

On peut, en effet, répartir les opérations intervenant chez nos sujets (comme d’ailleurs dans la pensée en général) en trois types, c’est-à-dire en deux types fondamentaux, le second étant lui-même distribué en deux sous-types (et cela qu’il s’agisse des opérations infralogiques aussi bien que logico-arithmétiques). Soit deux ensembles A et A’ dont la réunion constitue l’ensemble B. Nous dirons qu’il y a quantification simplement « intensive » quand les opérations se bornent à utiliser les rapports A < B et A’ < B sans s’occuper des rapports entre A et A’, autrement dit quand ces opérations nous apprennent simplement que le tout est plus grand que la partie, sans [p. 547] s’occuper de savoir si l’une des parties contient plus ou moins d’éléments que l’autre. Nous dirons au contraire que la quantification devient « extensive » s’il est possible d’établir en outre, que A contient plus d’éléments que A’, ou moins ou autant. Nous parlerons’ enfin de quantification « métrique » ou « numérique » au cas où intervient une unité dans cette comparaison entre A et A’, ou entre A (ou A’) et B, et par conséquent si l’on peut dire de combien A est supérieur ou inférieur à A’ (ou combien de fois A ou A’ entrent en B). Nous dirons au contraire que la quantification extensive demeure non métrique s’il n’intervient pas d’unité, et si l’on sait seulement que A est inférieur ou supérieur à A’, sans pouvoir dire de combien.

Il importe ici de bien préciser les questions de vocabulaire. Les mathématiciens ont coutume de répartir les notions spatiales en deux types seulement : les relations métriques et les relations « qualitatives » (la topologie en particulier étant dite qualitative dans la mesure où elle ignore les rapports métriques). On dit, d’autre part, que la logique est « qualitative ». Or, ce n’est pas dans le même sens. La logique des classes et des relations est qualitative dans le sens « intensif » : la théorie du syllogisme, par exemple, ne connaît que les rapports de partie à tout A < B et A’ < B et ignore les rapports entre parties, puisqu’elle n’utilise que les quantités « tous », « aucun », « quelques » et « un » (au sens de « quelque »). Au contraire, la topologie est qualitative dans le sens « extensif » : on y dira, par exemple, que l’ensemble A contient « presque tous » les éléments de B, c’est-à-dire « tous à l’exception d’un ensemble faiblement représenté A’ ». C’est ainsi que le fameux postulat de Cantor, déterminant le continu par une succession d’intervalles emboîtés, fait appel à une succession de relations « presque tous ». Or, on voit d’emblée que la relation « presque tous » est d’un caractère extensif (puisque A > A’), qu’ignore la logique des classes.

Cela dit, il est frappant de constater que les opérations infralogiques permettant à l’enfant de construire sa représentation élémentaire de l’espace, sont de caractère simplement intensif, et par conséquent comparable à celles de la pure logique qualitative des classes et des relations définies par leurs seules qualités. Autrement dit, les rapports topologiques que construit le sujet ne procèdent d’abord que par simples emboîtements ou par constructions d’ordres, mais sans parvenir, faute d’analyse du continu, à autre chose qu’à une sorte de logique qualitative de l’espace (donc à une infralogique intensive). Sans doute, bien avant d’être capable de mesure, voit-il [p. 548] qu’une partie d’un ensemble est plus ou moins grande qu’une autre partie (par exemple que sa tranche de gâteau est inférieure à celle de son voisin), mais ces relations extensives demeurent longtemps intuitives et ne donnent pas lieu à des systèmes opératoires définis avant la construction des perspectives et des similitudes (proportions), tandis que les relations intensives donnent lieu à des intuitions plus précoces et à des groupements plus rapides. En particulier, et c’est ce qui nous intéresse pour le moment, la topologie élémentaire de l’enfant est uniquement de caractère intensif, ce qui est d’ailleurs bien naturel puisque seule l’introduction de l’infini dans l’analyse du continu, rend la topologie extensive, c’est-à-dire mathématique, tandis que, jusqu’au niveau formel, toutes les opérations spatiales de l’enfant ne portent que sur le fini.

Essayons donc de schématiser ces divers systèmes opératoires que l’enfant d’environ 7 ans se révèle avoir construits au moyen des relations intensives de voisinage, de séparation, d’ordre, d’enveloppement et de continu. Le voisinage comme tel n’est pas construit, mais donné dès les intuitions initiales et servant ainsi de point de départ à la construction opératoire elle-même. Nous exprimerons, dans ce qui suit, deux éléments voisins par les symboles A et A’ ou B et B’, etc. Quant à la séparation, deux éléments A et A’ sont séparés, quand ils n’ont point eux-mêmes d’éléments communs : A × A’ = 0. Mais nous avons vu que l’enfant est capable d’une intuition plus raffinée de la séparation, lorsqu’il la combine avec les notions d’entourage ou d’enveloppement, et de fermeture ou de frontière : témoins ses dessins antérieurs à 4 ans (donc antérieurs aux premiers dessins de triangles, carrés et autres figures euclidiennes), représentant un élément intérieur à une surface fermée, ou extérieure à elle ou à cheval sur la frontière. Nous pouvons traduire cette intuition en disant que l’entourage d’un élément est un ensemble de ses voisinages, eux-mêmes voisins de proche en proche, et que cet élément ou son entourage est enveloppé par une frontière si l’on peut déterminer les situations « intérieure à A », « extérieure à A » ou « sur la frontière (A₀) de A » : un point (ou un élément quelconque d’ordre inférieur à A) sera alors intérieur à A s’il existe un entourage de ce point ne contenant que des points de A ; un point sera extérieur à A s’il existe un entourage de ce point ne contenant aucun point de A ; un point sera enfin sur la frontière A₀ si tout entourage de ce point contient à la fois des points intérieurs et des points extérieurs à A. En cas d’une frontière séparant A et A’, la séparation s’exprimera dès lors par la double disjonction ¹² : [p. 549] (A + A₀) × A’ = 0 et (A’ + A₀) × A = 0. Quant à la notion d’ordre, elle est construite au moyen, soit d’une succession linéaire d’éléments, soit d’une succession d’enveloppements (lignes fermant une surface ou surfaces fermant un volume). Enfin le continu apparaît, au niveau des intuitions représentatives et des opérations concrètes (c’est-à-dire avant que les opérations formelles permettent la compréhension de l’infini et l’introduction d’une quantification extensive fondée sur lui), sous une forme intermédiaire entre le continu perceptif et le continu mathématique. On sait que Poincaré exprimait le continu perceptif par la formule : X = Y (X est indiscernable de Y) ; Y = Z mais X ≠ Z, ce qui traduit bien l’irrationnel de la perception. On pourrait dire qu’aux niveaux des intuitions représentatives et des opérations concrètes, le continu s’exprime sous la forme non irrationnelle (mais naturellement insuffisante du point de vue mathématique) : X est voisin, mais non séparé (non disjoint) de Y ; Y est voisin, mais non séparé de Z ; mais Z est séparé de X par Y.

Ces diverses notions, une fois fournies par la représentation intuitive, nous constatons que l’enfant parvient aux structures opératoires suivantes, lorsque l’articulation des intuitions en jeu devient suffisante pour assurer leur composition réversible, autrement dit dès le niveau des opérations concrètes :

Les rapports topologiques élémentaires se construisent entre parties voisines d’un même objet ou entre un objet et son voisinage immédiat, de façon continue et sans références à des distances ¹⁵. Un espace topologique n’est donc qu’une réunion continue d’éléments, déformables par étirements ou contractions, et ne conservant ni droites, ni distances, ni angles, etc. : ces notions topologiques n’aboutissent donc pas à la construction d’un système de figures stables ou de rapports entre les figures, tel qu’un système de coordonnées déterminant les positions relatives et les distances, ou qu’un système de projectivités déterminant les positions et les formes par rapport à un ensemble de plans ou de points de vue. Chaque domaine continu y constitue un espace et aucun espace général n’est encore donné à titre de cadre des objets ou des formes permettant de les situer les uns par rapport aux autres.

On observe donc, dans le développement psychologique de l’espace un processus analogue à celui que nous avons signalé ailleurs dans l’évolution de la notion de temps. Les intuitions topologiques précédant celles de l’espace projectif et euclidien, et ces deux dernières commençant par être fragmentaires avant d’aboutir à la constitution de cadres d’ensemble, on peut, en effet, établir l’analogie suivante : de même qu’il existe des temps locaux, liés à chaque mouvement, avant qu’un temps homogène et uniforme les réunisse, de même il existe autant d’espaces, chez le jeune enfant, que d’objets ou de configurations distincts, les intervalles vides entre éléments trop séparés n’appartenant pas à l’espace, ou aux mêmes espaces que les continus pleins. À cet égard les opérations projectives jouent un rôle fondamental dans la coordination générale de l’espace en sa genèse, rôle qu’il s’agit maintenant de rappeler du point de vue des structures opératoires.

Avec les notions projectives, ce sont les formes des figures, leurs positions respectives, et les distances apparentes qui les séparent, mais toutes trois toujours relativement à un point de vue considéré, qui se surajoutent aux rapports topologiques internes. Un dessin en perspective, par exemple, met en place non seulement les éléments des figures les uns par rapport aux autres selon certaines dimensions apparentes, mais ces figures elles-mêmes les unes par rapport aux autres, et toutes ensemble [p. 555] par rapport au point de vue considéré : ce sont ces relations d’ensemble (rejaillissant sur les relations intérieures des figures), dont l’intervention marque le passage du topologique au projectif, le topologique procédant de proche en proche sans système de référence, tandis que le projectif se réfère aux points de vue coordonnés et aux plans sur lesquels les figures sont projetées.

Ce système de références projectives ne conserve pas encore les distances et les dimensions, comme un système de coordonnées, mais les positions relatives des éléments de figure ou des figures les unes par rapport aux autres, le tout en rapport avec un observateur déterminé ou avec un plan comparable à son tableau visuel. C’est l’intervention de l’observateur ou du « point de vue », par rapport auquel les figures sont projetées, qui constitue psychologiquement le facteur essentiel de cette mise en relation. On peut donc caractériser génétiquement la géométrie projective comme une géométrie des points de vue, étant entendu qu’elle suppose la construction préalable des rapports topologiques et qu’elle les conserve en s’y surajoutant.

Les notions projectives élémentaires relèvent par conséquent des mêmes opérations que les rapports topologiques, mais considérées en fonction de l’intervention d’un point de vue. C’est, par exemple, la mise en relation de ce point de vue avec les opérations d’ordre (II) qui engendre la droite projective ou « ponctuelle » : comme nous l’avons vu au chapitre VI (section I), la droite est une suite de points ordonnés tels que, du point de vue dit « de bout » ils soient placés les uns derrière les autres et se réduisent ainsi apparemment à un seul point. L’introduction d’un point de vue permet, d’autre part, de préciser la notion des dimensions de l’espace, dans le cas particulier déterminé par ce point de vue. En effet, tandis que topologiquement la première dimension correspond simplement à la notion d’un ordre linéaire, la seconde aux notions d’intérieur et d’extérieur par rapport à une frontière linéaire fermée, et la troisième aux notions d’intérieur et d’extérieur par rapport à une frontière fermée à deux dimensions (surface), ces mêmes relations prennent, en outre, par rapport à un point de vue perspectif auquel les formes sont rapportées, des significations relatives à l’orientation des droites ou des plans : « à gauche ou à droite », « dessus ou dessous » et « devant ou derrière », marquent ainsi les trois directions d’un espace tridimensionnel. C’est ce qui permet à l’enfant de construire la droite au moyen de ce troisième rapport en excluant les deux autres, ou le plan [p. 556] au moyen de deux d’entre eux en excluant le troisième (voir par exemple, au chapitre XIII l’abstraction du plan de la surface de l’eau). Mais la droite, une fois construite, en tant que suite de points situés les uns derrière les autres, sans qu’aucune ne soit à gauche ou à droite de l’alignement, ni au-dessus ou au-dessous, est ensuite reconnaissable à de nouveaux points de vue, tels qu’elle soit orientée de gauche à droite ou de bas en haut, etc. Elle est alors reconnue grâce aux deux opérations fondamentales de la géométrie projective, qui sont les projections et les sections, la droite intervenant d’ailleurs à titre d’instrument nécessaire dans les projections elles-mêmes. Projeter une figure consiste à la transformer en une seconde obtenue sur un plan par l’intermédiaire d’un ensemble de droites reliant les points de la première aux points correspondants de la seconde et orientées à partir d’un point commun extérieur à ces figures. Dans les opérations qui conduisent génétiquement à la construction de l’espace projectif, c’est naturellement la projection des objets sur le « tableau visuel » (plan fronto-parallèle situé entre l’œil de l’observateur et l’objet observé) qui joue le rôle essentiel, et c’est par rapport aux opérations qu’il apprend ainsi à construire, que le sujet comprendra les projections indépendantes de lui telles que des ombres (chapitre VII). C’est pourquoi nous nous placerons ici essentiellement au point de vue des projections intervenant dans la perspective (la perspectivité étant géométriquement une projectivité des « formes de première espèce »). Les problèmes principaux de la géométrie projective spontanée sont ainsi de coordonner les divers points de vue successifs (ou simultanés, en cas d’observateurs différents), par la construction des projections et des sections élémentaires intervenant dans la mise en relation du tableau visuel et des objets, ainsi que des divers écrans sectionnant ces projections.

C’est en de telles mises en relation que la droite occupe une position privilégiée, non seulement en tant qu’instrument de la construction des projections, mais encore (et par cela même) en tant qu’unique forme se conservant lors des changements de points de vue (seule sa longueur se modifiant, avec pour limite le point). À cet égard, les huit groupements d’opérations que nous avons distingués à propos des rapports topologiques élémentaires se retrouvent dans la construction spontanée des relations projectives, mais transformées par l’adjonction des rapports nouveaux dus à l’intervention d’un point de vue. Mais, comme nous l’avons remarqué à propos des opérations précédentes, cette construction spontanée commence par n’être pas [p. 557] proprement mathématique et par n’utiliser que des opérations infralogiques de caractère intensif, c’est-à-dire équivalente à celles de la seule logique qualitative. Aussi va-t-il de soi que ces opérations ne suffisent nullement à rendre compte des rapports si précis d’ordre extensif qui interviennent en géométrie projective (par exemple la conservation des quaternes harmoniques, etc.). C’est à une quantification ultérieure des rapports intensifs initiaux qu’incombe la tâche de mathématiser cette construction projective de base. Il n’en reste pas moins intéressant d’essayer de dégager cette substructure infralogique des projectivités, puisqu’elle correspond, à n’en pas douter, à une élaboration autonome, comme en témoigne l’apparition de la perspective à un stade déterminé du développement du dessin, ainsi qu’on l’a observé si souvent.

Entre les rapports projectifs et les rapports métriques, engendrés par le déplacement combiné avec la partition, viennent s’intercaler certaines relations dont [p. 563] nous avons pu constater que les enfants les dominent à peu près en même temps que les précédentes.

Dans les rapports projectifs, ni les parallèles, ni les angles, ni les distances ne se conservent encore. Les rapports d’affinité conservent au contraire les parallèles tout en faisant varier les angles et les distances. Nous en avons vu un exemple, au chapitre XI, avec la transformation des losanges et avons constaté qu’une fois acquise la droite projective, par conservation de la direction du regard dans la conduite de la « visée », la notion des parallèles (même en présentation oblique comme c’est le cas des losanges, par opposition aux verticales) ne présente plus de difficulté. Il y a là un fait qui semble au premier abord curieux, puisque deux parallèles apparaissent en perspective comme des fuyantes. Mais, d’une part, l’opération de la visée suggère la notion de la conservation d’une direction en général, qui peut s’appliquer à deux éléments comme à un seul. D’autre part, la compréhension des perspectives entraîne la coordination des points de vue distincts, et, même si cette coordination apparaît un peu plus tard (niveau III B) sous sa forme d’ensemble, il est facile de comprendre dans le cas des fuyantes que le point de vue inverse renversera les rapports et qu’ainsi à deux droites qui se rapprochent en s’éloignant quel que soit le point de vue, correspondent, indépendamment de la perspective, deux parallèles effectives. Ici encore, on peut donc concevoir la construction de cette notion comme antérieure à toute quantification extensive ou métrique.

Dans les similitudes, d’autre part, la figure conserve sa forme (droites ou courbes, parallèles et angles), mais change de grandeur selon des rapports de proportionnalité. Or, nous avons vu au chapitre XII qu’antérieurement à toute compréhension métrique ou même extensive des proportions, l’enfant découvre la similitude des triangles emboîtés grâce au parallélisme de leurs côtés et par cela même devient capable de l’établir par superposition grâce à l’égalité de leurs angles. Mais, dans ces deux cas, il ne s’agit que de jugements en égal, en plus ou en moins : ou bien il y a égalité (en cas de parallélisme ou d’identité des inclinaisons jugées par superposition), ou bien il y a inégalité plus ou moins grande, mais dans tous ces cas l’évaluation demeure longtemps sans mesures proprement dites ni mise en proportions. Comme pour les angles variables intervenant dans les perspectives, l’enfant juge donc des angles des triangles semblables selon un système de correspondances co-univoques (voir § 4, opérations VII et VIII), et, si ce groupement le conduit tôt ou tard à la notion des proportions, nous [p. 564] avons constaté au cours de tout le chapitre XII combien il reste qualitatif (au sens d’intensif) en son point de départ.

Quant aux rapports constitués par les déplacements et la métrique euclidienne, ils conservent les distances en plus des droites, des parallèles et des angles. Si nous connaissons par ailleurs la notion que l’enfant se donne du déplacement ¹⁶ nous n’avons pu étudier, dans cet ouvrage, ni le problème de la distance ni la grande question de la mesure, qui nécessiteront une nouvelle publication. Cependant l’analyse des systèmes spontanés de coordonnées (chapitres XIII et XIV) jointe à ce que nous savons déjà de la notion de mouvement nous autorise à compléter le tableau des opérations spatiales de caractère intensif qui préparent, sur ce terrain aussi, la quantification mathématique (dans le cas particulier métrique). Or, on pourrait se demander a priori comment le sujet peut parvenir à la conservation des distances ou des grandeurs si ce n’est au moyen d’opérations métriques, puisque la notion de distance paraît dénuée de signification en dehors de sa mesure même. Il semble donc qu’ici nous devions quitter dès l’abord le terrain des opérations qualitatives intensives. Mais si l’on prend la peine d’étudier les choses psychologiquement, on s’aperçoit qu’il existe dans la construction de la mesure spatiale, un cercle presque aussi grave que dans celle de la mesure du temps (et ici le psychologue rencontre, comme bien souvent, les préoccupations du physicien plus que du mathématicien) : la mesure suppose en effet, la conservation des grandeurs au cours des déplacements, car un mètre qui varierait arbitrairement de longueur, lors des mouvements qu’on lui imprime pour l’appliquer sur l’objet à mesurer, serait d’un très faible secours. Or, précisément (si l’on nous permet cette anticipation sur un second ouvrage) les petits ne croient pas à la conservation des longueurs, pas plus qu’à celle des intervalles vides ou distances ! Il faut donc bien admettre que c’est d’abord la composition qualitative (et intensive) banale des parties en un tout (A + A’ = B, etc.), qui assure la conservation de ce tout avant qu’aucune métrique ne soit possible et c’est ce que nous avons vu jadis en étudiant avec B. Inhelder la conservation des quantités ¹⁷. Seulement, dans le cas de l’espace, cette opération intervient déjà dans la composition d’une totalité topologique (par exemple [p. 565] des éléments d’un corps élastique ou d’un nœud, voir chap. IV et V) et, si elle assure la conservation de ce tout à titre de somme de ses parties, cela n’entraîne nullement l’invariance de ses grandeurs (longueurs, etc.). Comment donc passer de la conservation d’un ensemble d’éléments voisins et non séparés (cf. § 3) à celle des distances ou longueurs ?

C’est ainsi qu’apparaît l’originalité de l’espace euclidien par rapport à l’espace topologique et à l’espace projectif, ainsi que sa solidarité avec ce dernier. En effet, contrairement à l’espace topologique, qui ne connaît pas de références en dehors de la configuration déformante envisagée ni, par conséquent, de conservation des distances ou des grandeurs, cette dernière conservation apparaît avec la construction d’un système de références général et fixe, dont les distances sont les parties intégrantes ; et contrairement à la coordination d’ensemble des points de vue projectifs, qui laisse varier la grandeur apparente des objets (en ne considérant que leurs relations avec le point de vue du sujet ou le plan de projection), l’espace euclidien suppose une coordination des emplacements eux-mêmes, par rapport auxquels les objets se déplacent, et c’est cette mise en relation du mobile et de ses emplacements successifs qui permet de lui conférer une grandeur constante en même temps que les distances parcourues sont ainsi rendues fixes. La conservation des distances et des longueurs n’est donc pas autre chose que le prélude à la construction d’un système total de coordonnées.

Mais si l’espace euclidien se distingue ainsi de l’espace projectif, nous avons constaté sans cesse combien les deux constructions d’ensemble que ces espaces représentent sont nécessairement solidaires. Tandis qu’axiomatiquement on peut fonder directement la métrique euclidienne (cas particulier de la métrique générale) sur la topologie, aussi bien que l’espace projectif, et que les axiomes nécessaires à la construction d’un système de coordonnées sont équivalents à ceux qui engendrent les projectivités, psychologiquement c’est dans la mesure où le sujet parvient à coordonner les points de vue, donc à construire les rapports projectifs, qu’il parvient par ailleurs à coordonner les distances, donc à construire les rapports euclidiens. Ces deux systèmes s’appuient ainsi l’un sur l’autre : tous deux aboutissent, en effet, à une mise en relation des figures entre elles et non pas seulement des parties voisines des figures, d’où une conservation, soit de certains rapports de forme invariants au cours des changements de point de vue, soit des distances ou grandeurs, invariantes au cours des mouvements. De même que perceptivement la constance des formes corrélate [p. 566] avec celle des grandeurs, car on voit simultanément en perspective et selon les grandeurs réelles, de même les opérations qui relient les points de vue sont solidaires de celles qui assurent la conservation des grandeurs du point de vue de l’objet lui-même, c’est-à-dire d’un observateur adhérant à lui ou qui le parcourt. Relier par des droites le tableau visuel à l’objet lointain implique, en effet, la possibilité de déplacer cet objet et de le ramener à soi le long de ces droites, ainsi que d’aller à lui selon le même trajet, c’est-à-dire dans les deux cas de l’agrandir en le rapprochant jusqu’à lui restituer sa grandeur constante. C’est pourquoi la construction d’un système projectif d’ensemble conduit, à titre de construction réciproque, à la coordination des mouvements (ou déplacements des objets et non plus seulement de l’observateur) et par conséquent des emplacements par rapport auxquels il y a conservation des grandeurs.

Cela étant, les opérations infralogiques constitutives d’un système de coordonnées sont parallèles aux précédentes, mais au lieu de porter sur l’objet relatif à un point de vue et sur les changements de points de vue, elles expriment les caractères de l’objet relativement à son emplacement ainsi que ses déplacements :

VI. Multiplication bi-univoque des relations de placement et de déplacement🔗

Quant aux mêmes opérations traduites en termes de relations asymétriques (ordre de placement et déplacement), elles engendrent précisément un système de coordonnées. Un tel système n’est pas autre chose, en effet, qu’un réseau d’emplacement ordonnés en fonction de points de référence ou objets considérés comme immobiles, ces emplacements étant ordonnés selon deux ou trois dimensions simultanément : tandis que l’une des suites ordonnées constitue l’un des axes du système, la seconde étant ordonnée selon une autre dimension, constitue un deuxième axe. Quant aux intervalles entre les emplacements ordonnés, ils consistent en distances invariantes, en relation avec l’opération IV. Un tel système de coordonnées n’est pas nécessairement métrique, ainsi que nous l’avons vu aux chapitres XIII et XIV. Pour comprendre la chose, il suffit de dégager la structure de ce groupement de relations VI plus explicitement que nous ne l’avons fait aux § 3 et 4. Soit un ensemble d’emplacements punctiformes ordonnés selon deux dimensions à partir de O (et représentés sur le tableau par de gros points reliés entre eux par des lignes pointillées) et soit a₁ ; a’₁ et b’₁ ou a₂ ; a’₂ et b’₂ les relations qui les unissent (donc les lignes en pointillé), relations indifféremment asymétriques ou symétriques selon qu’on les traduit en termes d’ordre ou de distances. On a alors :

[p. 569] On voit ainsi que chacune des deux suites de relations de placement ou de distance a₁ +a’₁ = b₁ ; b₁ + b’₁ = c₁, etc. et a₂ + a’₂ = b₂ ; b₂ + b’₂ = c₂ reste intensive puisqu’il n’existe ni unité commune, ni rapport défini entre les parties successives a, a’ et b’. Cependant ces intervalles a₁ ; a’₁ et b’₁ ou a₂ ; a’₂ et b’₂ se retrouvent identiques à eux-mêmes par correspondance bi-univoque (selon chacune des deux dimensions), cette égalité qualitative étant assurée sans plus par le parallélisme des droites le long desquelles les points sont ordonnés.

Un tel tableau multiplicatif de relations de placement, avec correspondance bi-univoque par parallélisme traduit donc exactement la manière dont les enfants du niveau III B (chapitres XIII et XIV) construisent leurs systèmes de référence. Du point de vue des distances, le sujet n’en peut tirer, faute de métrique que l’affirmation a₂ < b₁ ou a’₁ < b₁ (si a₁ + a’₁ = b₁) ainsi que l’égalité constante des intervalles compris entre les parallèles ¹⁹. Mais on voit qu’il suffira d’une introduction de la mesure (telle que a’ ou b soit rapporté métriquement à a), pour qu’un tel groupement soit transformé en un système mathématique de coordonnées.

VIII. Multiplication co-univoque des relations🔗

Le schème de ce dernier groupement est celui d’un intervalle symétrique croissant engendré par deux rapports asymétriques de valeur progressive, soit

Comme on l’a vu au chapitre XII c’est ce système opératoire qui donne lieu à l’évaluation qualitative des angles, avant l’introduction d’une mesure.

Tels sont les huit groupements opératoires que nous avons observés dans la construction infralogique de l’espace euclidien, et on voit qu’ils reproduisent en leur forme les huit systèmes décrits aux § 3 et 4 à propos des notions topologiques puis projectives, mais avec, lors de chaque systématisation d’ensemble, une signification nouvelle intégrant les rapports [p. 570] topologiques eu y adjoignant des spécifications définies. On peut se demander à quoi correspond ce nombre de huit et pourquoi il n’est pas plus, ou moins élevé. Il tient tout d’abord au parallélisme étroit qui existe entre les opérations infralogiques et les opérations logiques : réunir, mettre en relation et multiplier selon les voisinages et les différences spatiales, ou, selon les ressemblances et les différences qualitatives en général, revient donc au même du point de vue du groupement comme tel des opérations, quoi que les significations respectives de ces structures d’ensemble soient bien différentes. C’est pourquoi nous retrouvons les huit formes de groupements que nous avons décrits jadis sur le terrain des opérations de classes et de relations logiques ²⁰ et cette convergence est fort intéressante du point de vue de l’unité de fonctionnement de la pensée opératoire. Cela étant, ce nombre de huit n’a rien d’arbitraire, mais représente le produit des combinaisons suivantes, qui semblent les seules possibles quant aux rapports qualitatifs intensifs : on peut additionner en suites simples des éléments ou des classes (I) et des relations asymétriques (II) ; on peut aussi les additionner en divers sens possibles, d’où la réciprocité des systèmes de classes ou d’éléments (III) et la construction des relations symétriques (IV). On peut enfin les multiplier, c’est-à-dire réunir deux ou plusieurs suites additives en tableaux à double ou plusieurs entrées, soit par correspondance bi-univoque des classes et éléments (V) ou des relations (VI) soit par correspondance co-univoque des classes et éléments (VII) ou des relations (VIII). Cette dernière distinction des correspondances bi-univoques et co-univoques résultant elles-mêmes de l’opposition des asymétries et des symétries, on a donc les combinaisons suivantes : 2 (éléments ou relations) × 2 (asymétries ou symétries) × 2 (additions ou multiplications) = 8.

L’ensemble des opérations qui précèdent (§ 3 à 5) fournissent le cadre qualitatif ou intensif de la construction infralogique de l’espace, cadre préalable nécessaire à sa mathématisation mais non encore mathématique lui-même.

Nous avons observé sur au moins deux terrains le passage des rapports intensifs à une quantification extensive systématique : dans le cas de la réduction régulière des dimensions [p. 571] d’un objet en fonction de l’éloignement (chapitre VI, section II) et dans celui des proportions (chapitre XII). Le premier de ces deux passages, qui est le plus simple, se produit presque aussitôt après que le sujet ait compris la décroissance de la grandeur apparente. L’enfant commence par une simple sériation qualitative, les travées situées entre les rails ou les barreaux de la balustrade diminuant de longueur irrégulièrement ou par sauts brusques, soit (si l’on exprime la suite dans le sens de l’accroissement) A < B < C < … etc. mais sans quantification des différences A’ (entre A et B), B’ (entre B et C), etc. : conformément aux simples structures intensives on a donc A’ < B’ ou A’ > B’ aussi bien que A’ = B’ (ces différences irrégulières étant compatibles avec la sériation A < B < C, etc.). Puis, le sujet s’occupe des différences elles-mêmes, et les maintient constantes A’ = B’ = C’, etc. (ce qui donne par ex. A = 2 mm, B = 3 mm, C = 4 mm avec chaque fois 1 mm de différence), ou les accroît régulièrement A’ < B’ < C’ (cet accroissement étant lui-même susceptible de se conformer à une loi). En cet exemple simple, on constate de manière évidente la nature de la quantification extensive, qui est d’être une mise en rapport des différences (si l’on s’exprime dans le langage des relations) ou des parties A et A’ d’un même tout B (si l’on emploie le langage des éléments). Bien entendu, ces expressions de « différences » ou de « partie » et de « tout » n’ont de sens que relativement aux groupements précédents, sans quoi toute mise en relation pourrait être considérée comme portant sur des différences ou des parties d’un même tout.

Dans le cas des proportions, le processus est plus complexe, mais d’autant plus instructif par ses analogies avec le précédent. Partant de la correspondance co-univoque (groupements VII et VIII) entre les côtés A₁ et A₂ d’un triangle et la largeur de sa base A considérée comme l’intervalle entre les deux côtés de l’angle du sommet, l’enfant découvre qu’en allongeant les côtés de A’₁ et de A’₂ (d’où A₁ + A’₁ = B₁ et A₂ + A’₂ = B₂, B₁ et B₂ étant la longueur des nouveaux côtés) on obtient une base B telle qu’il existe un rapport de parallélisme entre A et B : il comprend alors tôt ou tard que si A et B sont parallèles, c’est-à-dire construites selon un même rapport, il existe une proportion entre le rapport de A’₁ et A’₂, et celui de A₁ et A₂. Autrement dit, ici encore il y a quantification des différences comme telles, et mise en relation des parties (A₁ et A’₁ ou A₂ et A’₂) d’un même tout (B₁ ou B₂).

La quantification extensive apparaît donc comme une mise en relation des parties d’un même tout entre elles, qui prolonge [p. 572] en un sens simplement les opérations intensives, mais en annonçant, d’autre part, la métrique, puisque les différences peuvent être soumises à des rapports définis. Par exemple dans l’accroissement de longueur d’un objet lointain qui se rapproche, alors que la sériation intensive donne simplement A > B > C… et la quantification des différences peut être exprimée d’emblée par les égalités A’ = B’ = C’ = etc., et nous sommes alors près d’une métrique par opposition au simple accroissement A’ < B’ < C’, etc.

La quantification métrique ou mesure apparaît, en effet, sitôt qu’une grandeur est choisie comme unité et que les différentes parties d’un même tout sont rapportées à cette unité : par exemple si A = A’ = B’, etc. on a alors A + A’ = 2A, donc B = 2A ; C = 3A, etc. Mais cette itération d’une unité supposant que l’on reporte la partie A sur les parties A’, B’ etc. pour les égaliser par congruence, il est immédiatement visible que la mesure est une synthèse de l’addition partitive (A + A’ = B) et de celle des déplacements (A → B → C, etc.), exactement comme le nombre entier s’est montré constituer une synthèse de l’addition des classes (A + A’ = B) et de celle des relations asymétriques ²¹ (A → B → C). La mesure concrète constitue donc la synthèse des opérations infralogiques dans le même sens que le nombre est la synthèse des opérations logico-arithmétiques. Mais il va de soi que l’on ne saurait se contenter de cet aperçu schématique, et une analyse précise est nécessaire pour montrer comment les choses se passent dans la réalité du développement génétique, ce que nous ferons dans un ouvrage ultérieur.

Seulement cette construction des quantités extensives et métriques soulève d’ores et déjà un problème de chronologie génétique, comme d’ailleurs l’ensemble des opérations décrites en cet aperçu final, et c’est par la discussion de ce problème qu’il nous faut conclure. Les quantités extensives et métriques supposent la construction préalable de l’ensemble des opérations infralogiques de caractère extensif (ou du moins des opérations de type I et II constitutives de l’espace euclidien). Mais nous avons vu sur bien des points la mesure apparaître presque aussitôt ces opérations constituées, tandis que les opérations intensives mettent des années à se former. En second lieu, les quantités extensives et métriques se construisent en même temps, et non pas l’une avant l’autre. En troisième lieu, et c’est là [p. 573] qu’est sans doute le fait le plus paradoxal, les opérations projectives et euclidiennes, ainsi que les opérations intermédiaires (construction des parallèles dans les transformations affines et similitudes des triangles par parallélisme des côtés ou superposition des angles), apparaissent à peu près toutes au même stade III (et les principales dès le niveau III A) ; de plus elles supposent toutes la construction préalable des opérations topologiques élémentaires : or, celles-ci ne sont précisément achevées (et encore dans le fini, car l’infini n’est entrevu qu’au stade IV) qu’au début du stade III (avec une certaine avance, il est vrai, pour les opérations d’ordre).

Ne pourrait-on donc pas renverser complètement l’ordre génétique que nous avons cru discerner, et en tout cas l’ordre de présentation que nous avons adopté ? Supposons un expérimentateur n’ayant rien lu des travaux des géomètres et abordant l’étude de l’espace enfantin aux environs de 7 ans, c’est-à-dire à ce début du stade III, qui se révèle si décisif dans le développement. Ne découvrirait-il pas en premier lieu les opérations euclidiennes, même métriques, et n’examinerait-il pas qu’ensuite les notions projectives et affines, pour ne considérer qu’enfin les quelques rapports topologiques (qu’il aurait d’ailleurs peine à discerner lui-même s’il n’avait pas lu Poincaré, Kuratowski, Godeaux, Gonseth et d’autres) ; et encore ne les regarderait-il pas comme des abstractions momentanées, dont l’enfant ne serait capable qu’en marge de ses constructions ordinaires ? Or à une telle objection, il est possible de répondre trois choses, qui justifient en particulier un ordre génétique débutant par la topologie et se poursuivant simultanément par le projectif, l’euclidien et les notions intermédiaires.

Le premier fait à invoquer est l’ordre de formation des intuitions préopératoires. Un système opératoire et notamment un « groupement » simplement intensif, constitue, en effet (§ 1), l’état final d’équilibre mobile d’un ensemble d’actions d’abord matérielles et irréversibles, puis intériorisées en intuitions plus souples, mais toujours incomplètes et irréversibles, qui aboutissent enfin à ce niveau de composition réversible qu’est le groupement (ou le groupe). Dès lors, pour reconstituer l’ordre génétique d’un développement aussi complexe que celui de l’espace, il ne faut pas se borner à déterminer l’apparition des systèmes opératoires achevés, mais il convient de retracer leur embryologie depuis les intuitions initiales. Or, de ce point de vue, le primat du topologique est évident : l’enfant de 2-3 ans réduit les carrés et les triangles, comme les cercles, à des « courbes de Jordan » et s’occupe de leur fermeture bien avant de [p. 574] aux droites, aux angles ou à leur absence ; le voisinage et l’ordre le retiennent bien avant les axiomes euclidiens ; l’intuition des dimensions fondée sur l’intériorité ou l’extériorité par rapport à une surface ou à une boîte fermées quelconques sont bien plus précoces que l’abstraction d’une surface euclidienne (voir les dessins du niveau de l’eau au stade I du chapitre XIII) ou que la notion euclidienne d’un volume. Bref, les opérations topologiques jouent leur rôle formateur bien avant d’avoir atteint leur niveau opératoire achevé et elles interviennent déjà à l’état d’intuition représentatives ou d’actions matérielles.

Le second fait à considérer est que, si la période de formation d’un système opératoire est fort longue, pour les raisons que l’on vient de rappeler, le même système, sitôt constitué en son état d’équilibre mobile, c’est-à-dire sous sa forme de composition indéfinie et réversible, donne lieu, avec une grande rapidité, à une série de regroupements nouveaux, entraînés par ses propres implications. C’est pourquoi il ne faut pas s’étonner, dans le développement de l’espace chez l’enfant, de l’existence de deux situations, qui pourraient paraître paradoxales sans cette sorte de réorganisation générale déclenchée par l’achèvement (ou l’arrivée au point d’équilibre) des opérations topologiques élémentaires. D’une part, cette constitution d’un système achevé d’opérations entraîne aussitôt la cristallisation des intuitions projectives et euclidiennes, jusque là fragmentaires, et amorce leurs organisations respectives d’ensemble, qui s’achèvera au niveau III B. D’autre part, sitôt les premiers systèmes d’opérations projectives et euclidiennes rendues possibles par l’achèvement de leur substructure topologique (en particulier par les groupements d’ordre), le passage s’effectue très rapidement de l’intensif à l’extensif et au métrique (puisque les notions extensives et métriques résultent d’une simple synthèse, nouvelle à titre de synthèse seulement, des notions intensives préalables). S’il y a ainsi contraste entre les cinq années de préparation caractérisant le stade I et II (de 2 à 7 ans à peu près) et les deux années d’organisation s’étendant entre les débuts des niveaux III A et III B (de 7 à 9 ans en moyenne), il y a donc là un phénomène explicable, et d’autant plus aisément qu’il n’est pas spécial à l’espace et nous est déjà connu par nos recherches antérieures sur le nombre, les quantités physiques, le temps et la vitesse (sans parler des phénomènes de maturation qui peuvent renforcer le pouvoir fonctionnel de l’intelligence et accélérer un développement dont l’aspect structural leur échappe en partie).

[p. 575] Enfin, le troisième fait, qui est fondamental, tient à la nature même des opérations : un système opératoire tire sa substance d’une série d’abstractions effectuées à partir de l’action du sujet, et non pas des caractères donnés des objets, mais pouvant être facilitées ou au contraire retardées par les contextes dus aux assemblages d’objets sur lesquels portent les actions ou les opérations. C’est ainsi que le nombre est plus précoce que la mesure spatiale, parce que la discontinuité des collections discrètes suggère davantage l’itération de l’unité qu’un continu linéaire ou à deux dimensions ; mais inversement un quadrillage régulier favorisera l’utilisation d’une métrique spatiale par opposition à un ensemble de perles entassées évaluables simplement en plus ou en moins et non pas numériquement. Il en résulte que l’étude d’un système opératoire au moyen d’épreuves concrètes, telles que celles utilisées en cet ouvrage, aboutit à des résultats toujours en partie relatif au contexte de l’expérience, ce qui complique leur analyse. Mais il en résulte aussi qu’une opération peut déjà intervenir sous une forme implicite avant d’avoir été entièrement abstraite. Supposons par exemple qu’une opération B (par exemple une proportion métrique ou extensive) implique l’opération préalable A (une multiplication de relations par correspondance co-univoque), mais que l’on étudie B en un contexte plus facile que A (par exemple selon des rapports numériques simples suggérés par le quadrillage du papier, tandis que les questions portant sur A seront énoncées trop abstraitement). On peut avoir en ce cas l’impression que B précède A, tandis qu’une analyse plus poussée rétablira l’ordre génétique réel, en montrant que l’utilisation par le sujet de l’opération B implique en fait sa connaissance de A.

Ces troisièmes considérations ont d’ailleurs une portée beaucoup plus générale et dépassent la simple étude psychologique de l’enfant. Elles tiennent aux rapports de la construction génétique réelle et de la réflexion après coup, celle-ci inversant fréquemment l’ordre de celle-là. Ce n’est pas par hasard que la topologie ou Analysis situs n’a vu le jour, à titre de discipline autonome, que si récemment, de même que la théorie des ensembles, dont Cantor disait cependant, à ce qu’il paraît, qu’on pourrait l’enseigner à l’école primaire. C’est que, si l’enfant invente chaque jour des correspondances bi-univoques et dessine, dès la nursery, des courbes de Jordan, il a fallu une réflexion singulièrement abstraite pour découvrir, en ces opérations enfantines, le fondement le plus général de l’arithmétique et de la géométrie. Il ne convient pas de s’étonner que, dans le développement individuel lui-même, certains chevauchements [p. 576] puissent parfois se produire dans l’ordre régulier d’apparition des mécanismes opératoires, car, sur ce terrain aussi, ils peuvent être dus aux conflits de la prise de conscience ou de la réflexion qui abstrait, favorisée par certains contextes mais retardée par d’autres, et de l’action réelle dont les opérations sont tirées par abstractions successives. C’est pourquoi il est utile de combiner l’analyse expérimentale et psychologique avec la schématisation logistique, si délicate que soit une telle méthode, dont l’emploi a conservé, au cours de tout cet ouvrage, un but purement génétique.