La formation des connaissances (1956) ^{a b} 🔗

Elle consiste à faire apprendre et mémoriser les règles avant que l’enfant ne les comprenne. Elle suppose que les connaissances mathématiques sont déjà construites par l’adulte, et que l’enfant n’a donc qu’à apprendre ces connaissances toutes faites. Elle implique aussi une prise de position quant à la nature même de ces connaissances et quant au mécanisme de leur élaboration. Sous cette méthode, il y a donc l’une ou l’autre de ces deux thèses : — une thèse « minimum », pour ainsi dire : les mathématiques (et la logique) constituent simplement un langage, c’est-à-dire une sémantique et une syntaxe générales permettant de saisir et traduisant les relations entre les objets. (Telle est, par exemple, la thèse de l’empirisme logique, issu du Cercle de Vienne et notamment de Carnap, et en faveur aujourd’hui dans les pays anglo-saxons.) ;

— une thèse « maximum » : les mathématiques correspondent, comme la logique, à des vérités éternelles, qui se traduisent dans la conscience par l’intermédiaire des représentations collectives et du langage. Il y a en quelque sorte un « réalisme des universaux », que l’on retrouve par exemple chez un logicien comme Ewart W. Beth ¹.

Par réaction contre le verbalisme, les méthodes intuitives, de Froebel à M^me Montessori, ont eu recours aux sens ; W. A. Lay a construit des images (groupes de points) pour l’initiation aux nombres et aux opérations élémentaires ; et ces méthodes ont connu un regain de faveur sous l’influence des théories gestaltistes.

Ces méthodes reposent sur un postulat empiriste (la connaissance vient des sens), que renforce la thèse gestaltiste d’après laquelle l’intelligence restructure les données perceptives selon des lois d’organisation isomorphes aux lois de la perception même. Wertheimer soutient ainsi que nous trouvons immédiatement la surface d’un triangle rectangle isocèle en découvrant qu’il est la moitié d’un carré : le problème est résolu en situant la figure-triangle dans une configuration meilleure. Ici, la référence psychologique est explicite. Mais il y a aussi une référence épistémologique : la connaissance tient à une relation statique entre le sujet et l’objet, réglée par des lois de totalité et d’organisation.

(On pourrait montrer, d’autre part, que du point de vue pédagogique, les méthodes intuitives contiennent une équivoque, et qu’elles aboutissent à substituer une sorte de « verbalisme de l’image » au verbalisme du langage des méthodes formelles.)

Les méthodes actives partent, au contraire, de l’action propre de l’enfant. Les opérations mathématiques, par exemple, sont des actions intériorisées et groupées selon certaines structures. La connaissance se construit, elle est un processus et non plus une donnée statique.

Cela suppose une psychologie opératoire, qui fait de l’acte d’intelligence une activité effective ; cela suppose également une prise de position sur la nature même des connaissances.

Vers 18 mois-2 ans, le bébé construit tout un ensemble de schèmes d’action fondamentaux qui constitueront les substructures de la connaissance ultérieure, et qui sont déjà des connaissances pratiques. Ainsi le schème de l’objet permanent, qui constituera la substructure de la notion de permanence (conservation substantielle) de l’objet. À ce même niveau l’enfant organise son espace sensori-moteur, et cette organisation aboutit à des structures qui seront la base de la géométrie ultérieure des représentations : ainsi le groupe pratique des déplacements. Au même niveau s’élaborent les formes primitives de la causalité : séquences temporelles suivant l’ordre de succession des événements, notamment l’ordre de succession fondamental correspondant à la subordination des moyens au but.

Chacun de ces schèmes, qui est le point de départ de connaissances ultérieures et qui est en même temps déjà une connaissance au sens pratique du terme, soulève un problème de formation. Si l’on étudie la formation de ces schèmes, il faut faire intervenir des facteurs tels que l’expérience acquise (associations, habitudes), les montages héréditaires (mécanismes innés), etc. ; et ces facteurs sont en même temps les éléments d’une interprétation épistémologique.

À l’époque où il y a déjà langage, représentation, pensée symbolique, sans qu’il y ait encore d’opération proprement dite, on peut constater l’apparition de notions, dont certaines ont d’abord un champ d’application très étendu et voient ce champ se restreindre au cours du développement, tandis que d’autres, d’usage d’abord restreint, voient leur champ s’élargir sans cesse.

Un bon exemple des premières est fourni par la notion de finalité. Dès les premiers « pourquoi ? » de l’enfant, on peut voir l’importance extraordinaire que cette notion a dans sa pensée. L’enfant questionneur de 4-5 ans semble supposer que toute chose a une raison, exclure le hasard de tous les domaines. Et lorsqu’il fournit lui-même une explication, c’est encore une cause finale qu’il invoque :

Ainsi, après une promenade au cours de laquelle il a vu une source, l’enfant demandera pourquoi il n’y a pas de source dans le jardin familial. D’un bâton quelconque qu’il ramasse, il demande : « Pourquoi est-il plus grand que moi et plus petit que vous ? » Ou encore : « Pourquoi y a-t-il un grand Salève et un petit Salève (montagne genevoise) et pas un grand Cervin et un petit Cervin ? » Et il expliquera aussi bien : « Le grand Salève, c’est pour les grandes promenades, le petit Salève pour les petites promenades », et ainsi de suite.

Même attitude dans les réponses de l’enfant à certaines questions du test de Binet-Simon. Le premier stade de définition explicite, c’est celui de la définition « par l’usage », c’est-à-dire par la finalité : « une table, c’est pour manger ; une chaise, pour s’asseoir ; une maman, pour nous aimer, pour nous protéger ». Et pareillement pour des questions se rapportant à la nature : rivières, montagnes, etc.

Il arrive parfois que l’enfant, à de telles questions, fournisse d’abord une réponse causale n’impliquant pas la finalité. Mais si on le presse, s’il est à court d’arguments, c’est toujours à la finalité qu’il aura recours en dernier ressort. Il explique par exemple que les (petits) bateaux flottent parce qu’ils sont légers. « Et les gros ? Parce qu’ils sont lourds (c’est-à-dire qu’ils peuvent se porter tout seuls) ». On lui fait constater alors qu’un tout petit caillou, bien plus léger qu’un petit bateau, ne flotte pourtant pas. Troublé d’abord, l’enfant pourra trouver une justification de ce genre : « Je sais ! c’est parce qu’un caillou, c’est moins intelligent qu’un bateau. Et être intelligent, c’est ne pas faire ce qu’on ne doit pas faire. Un bateau, c’est fait pour flotter, ça doit flotter »…

La notion de finalité s’applique donc d’abord à tout ; puis son champ d’application se rétrécit progressivement. Cette évolution n’est pas sans rappeler — nous y reviendrons — celle de l’usage de la notion de finalité dans l’histoire des sciences : dans la physique d’Aristote, les « causes finales » expliquaient le monde matériel et celui des êtres vivants. Aujourd’hui, l’emploi des explications finalistes est très limité, et même en biologie il n’est pas certain que cette notion s’applique aussi largement qu’on l’a cru.

La notion d’ordre apparaît elle aussi assez tôt chez l’enfant (ordre de succession dans l’espace et dans le temps : l’enfant reconnaît l’ordre des perles dans un collier, l’ordre de deux mobiles qui se suivent ou se dépassent, etc.). Mais au début, son champ d’application est extrêmement restreint. Or, à l’inverse de la notion de finalité, ce champ s’élargira sans cesse, lors de la construction du nombre, des explications physiques, logiques, etc.

[p. 152] Pourquoi cette évolution en sens inverse ? C’est que les deux notions ne sont pas situées sur le même plan. La notion de finalité est tirée en effet d’une assimilation à l’activité propre. Elle procède d’une prise de conscience de la qualité de l’action, en tant que cette action est orientée vers des buts déterminés. Elle repose sur une certaine indifférenciation entre le subjectif et l’objectif, et n’a de sens que par rapport à certains types d’action : les actions intentionnelles. La notion d’ordre, au contraire, est liée non pas à telle ou telle action particulière, mais à la coordination des actions. Impossible en effet de coordonner deux actions, dès le niveau sensori-moteur et plus encore dès qu’il y a langage, sans faire intervenir la notion d’ordre : la simple coordination des moyens et des buts suppose que telle action précédera telle autre. La notion d’ordre est donc l’un des aspects de la coordination générale des actions, réelles d’abord, puis virtuelles et « intériorisées » ; la prise de conscience de son rôle opératoire fait s’étendre indéfiniment son champ d’application.

Tout système opératoire soulève des problèmes d’épistémologie génétique.

1. Les notions de conservation de la pensée opératoire concrète (conservation des quantités, invariance du tout quel que soit l’agencement des éléments, etc.) soulèvent des problèmes quant au mécanisme qui a conduit à leur découverte, à l’idée de nécessité qui est attachée à l’affirmation des invariants.

Or, on retrouve des problèmes identiques dans l’étude historico-critique des sciences, à propos de l’élaboration des principes de conservation. Ces principes sont en effet nécessaires à la pensée physique, et leur affirmation a précédé, dans l’histoire des sciences, les expériences vérificatrices. Henri Poincaré soutient que l’esprit exige que quelque chose se conserve, et qu’ensuite seulement l’expérience indique ce qui se conserve. É. Meyerson montre de même que Lavoisier a affirmé la conservation avant de la vérifier.

C’est précisément là ce qui se passe dans le développement de la pensée de l’enfant. Dès qu’il affirme la conservation, il l’affirme comme évidente, comme nécessaire, sans besoin d’aucun contrôle ni vérification. D’autre part, on sait que dans l’expérience des boules de glaise ³, le premier invariant affirmé est celui de la « quantité de matière », indépendante d’abord du poids et du volume. Aucun physicien ne saurait définir cette « quantité » sans se référer au volume et au poids ; chez l’enfant, l’invariant « quantité de matière » montre la nécessité d’affirmer la conservation de quelque chose, avant même de savoir quelles quantités se conservent.

2. Si l’on étudie la genèse de la notion de nombre, on rencontre inévitablement des questions qui rappellent la controverse célèbre entre Poincaré et Bertrand Russell sur la nature du nombre. Pour Poincaré, le nombre repose sur une intuition primitive, antérieure à la logique (comprendre qu’on peut ajouter une unité à une quantité donnée), et déjà contenue dans l’action (par exemple dans la marche). Pour Russell au contraire, le nombre est tiré de la logique ; la construction du nombre suppose des notions logiques, la notion de classe pour le nombre cardinal, de relation asymétrique pour le nombre ordinal. Le psychologue est, de même, amené à se demander si l’enfant découvre le nombre par « intuition », ou s’il le construit à partir de notions logiques : nous aurons l’occasion de voir que l’étude psychogénétique apporte même de nouveaux éléments au débat et, pour expliquer la construction de l’ensemble des nombres entiers à partir de 6-7 ans, suggère une solution qui n’est ni tout à fait celle de Russell, ni celle de Poincaré.

3. On peut en dire autant de la notion de hasard. Existe-t-il chez l’enfant une intuition primitive de la probabilité ou bien le hasard est-il ce qui résiste aux opérations, ce qui expliquerait pourquoi la notion est découverte si tard ? Ici encore, la réponse suggérée par la psychogenèse met en jeu des interprétations épistémologiques.

On sait que la géométrie a été empirique avant de devenir déductive. Les Égyptiens inventèrent des techniques pour mesurer les terrains après les crues du Nil, et découvrirent par exemple un cas particulier du théorème de Pythagore (pour des triangles dont les côtés sont proportionnels à 3, 4 et 5). Le nom d’harpédonaptes, donné aux premiers géomètres, signifie d’ailleurs arpenteurs, manieurs de cordeau. Avec Euclide au contraire, la géométrie devient un corps de propositions déduites, à partir d’axiomes intuitifs (ou qui le sont du moins, comme dit Poincaré, à l’échelle des solides usuels). De nos jours enfin, la géométrie est entièrement axiomatisée, tout axiome est arbitraire, sans rapport aucun avec l’expérience (Hilbert). Faut-il considérer que la géométrie en tant que telle est l’aboutissement d’une épuration progressive de l’expérience, ou au contraire qu’elle est d’emblée formelle ? On sait que, selon Poincaré, il y a discontinuité entre l’expérience perceptive et les notions euclidiennes de droite, de plan, de point, etc.

Or, l’étude psychogénétique des notions spatiales rencontre le même problème. Les premières connaissances géométriques de l’enfant naissent à coup sûr de l’expérience, d’actions sur les solides ou les figures (spontanément ou grâce aux jouets ou dans l’apprentissage du dessin). Mais à un moment donné, et sans qu’on puisse imputer la transformation à l’influence de l’école, se décrochent des déductions qui dépassent l’expérience.

Expérience : On donne à l’enfant un triangle en papier dont il peut découper les angles et les juxtaposer de manière à former une « demi-lune » de 180°. L’enfant le constate. On recommence avec des triangles très différents de forme, en lui demandant chaque fois de prévoir le résultat, puis en le lui faisant constater. Avec des enfants ignorant tout du théorème sur la somme des angles du triangle, on observe des différences notables selon l’âge :

— les petits sont toujours étonnés de constater que le résultat ne varie pas. Ordinairement, ils prévoient que « cette fois, ça ne va plus marcher ». Ils ne généralisent donc pas. Tout au plus font-ils un transfert : ils devinent, ils ne peuvent donner aucune justification ;

— les plus grands (vers 9 ans dans presque tous les cas, mais parfois dès 7 ans) prévoient, après seulement deux ou trois constatations, que ce sera toujours la même chose. Ils donnent des raisons : ici, c’est plus pointu, mais là, c’est plus gros ». Ils saisissent donc la déformation relative et réciproque des angles, et passent d’un cas particulier au cas général.

Quelle est la part respective de l’expérience, de la déduction logique, de l’intuition géométrique dans la connaissance de l’espace ? Un autre exemple nous montre un contraste suggestif entre l’ordre historique des découvertes géométriques et la structure de la théorie axiomatique des géométries modernes. Historiquement, la première géométrie déductive est celle d’Euclide : elle est métrique ; elle étudie les propriétés de certaines figures et leurs rapports quantitatifs, étant donné un certain nombre d’invariants (conservation des distances, invariants du groupe des déplacements). Puis est venue la géométrie projective, qui étudie les déformations des figures en fonction de la perspective. Enfin, dans la deuxième moitié du xix^e siècle, la géométrie topologique analyse exclusivement qualitative des figures, du point de vue de leurs relations spatiales (propriétés de voisinage, d’extériorité, etc.). Or, si l’on considère la structure des géométries modernes et l’ordre axiomatique de leur construction, on constate que cet ordre n’est pas celui de l’histoire : d’abord vient la topologie, avec les homéomorphies, les correspondances qualitatives, etc. — d’où l’on peut dériver simultanément la géométrie projective et la géométrie métrique ⁴.

Ce qui est surprenant, c’est que chez l’enfant, les structures géométriques qui caractérisent les formes successives de la représentation de l’espace (telle qu’on la voit par exemple dans le dessin) sont conformes non pas à l’ordre historique, mais à l’ordre axiomatique des géométries : d’abord apparaissent les représentations topologiques, plus tard les représentations euclidiennes, en rapport étroit avec les premières intuitions projectives.

[p. 155] Rappelons quelques expériences qui montrent l’antériorité des représentations topologiques. Vers 3 ans, l’enfant à qui l’on fait copier les figures classiques (carré, triangle, losange, cercle, etc.) les dessine toutes de la même façon : une figure vaguement circulaire, mais en tous cas fermée. Si au contraire on lui fait copier une croix ou une figure ouverte, l’enfant fait un tracé plus ou moins exact, des entrecroisements approximatifs, mais son dessin est toujours une figure ouverte. On obtient des résultats identiques dans les épreuves de manipulation stéréognosique : par exemple, l’enfant ne distinguera pas un carré d’un triangle, mais distinguera toujours une figure fermée d’une figure ouverte.

Si l’on fait copier des figures plus complexes, on vérifie ce résultat. L’enfant de 2 ans ½, qui ne sait pas encore copier un carré, saisit les relations topologiques, et sait fort bien distinguer si le petit rond est dedans, dehors, ou — comme dit un sujet — « entre-dehors » (cf. fig. 1 et 2).

Aux exemples de convergences entre le développement psychogénétique des notions et l’histoire des sciences, on pourrait objecter qu’ils nous enferment dans un cercle vicieux. L’histoire des sciences — c’est-à-dire l’histoire de la culture occidentale — n’est-elle pas la construction collective de notions, que l’adulte transmet ensuite à l’enfant, notamment par l’intermédiaire de l’école ? L’enfant recevrait donc les notions construites par la société, dans l’ordre même de leur construction, d’où la convergence. Mais les exemples que nous venons de donner infirment déjà cette objection. C’est indépendamment de tout apprentissage scolaire que l’enfant peut découvrir l’invariance de la somme des angles d’un triangle, et les premières représentations topologiques sont à coup sûr sans rapport avec la géométrie enseignée à l’école ou la géométrie usuelle de l’adulte. Un second exemple, emprunté à la genèse des notions physiques, montrera encore cette indépendance.

Aristote se demandait pourquoi une flèche ou une pierre qu’on lance ne tombent pas au sol sitôt qu’elles ont quitté l’arc ou la main. Ce problème faisait difficulté car la physique aristotélicienne admettait comme principes : 1° que les corps tendent vers leur « lieu propre » (le sol), et 2° que la transmission du mouvement suppose toujours deux moteurs, l’un externe (le bras), l’autre interne (l’objet lancé) — et non pas la simple transitivité de l’énergie cinétique. Une fois la pierre ou la flèche lâchées, le moteur externe cesse d’agir. Comment se fait-il que le mobile continue pourtant sa trajectoire ? Aristote expliquait alors que le moteur externe délègue son pouvoir à l’air lui-même : la vibration de l’arc provoque d’abord un courant d’air, puis le déplacement du mobile déplace à son tour de l’air, qui revient en arrière pour pousser le mobile.

Voilà une explication pour le moins périmée. On n’explique pas Aristote dans les écoles, et il ne semble pas que dans la conscience collective de l’ambiance adulte, il y ait la moindre représentation prédisposant à une explication de ce genre : notre physique usuelle repose sur le principe d’inertie, et l’usage des machines devrait favoriser des schémas d’explication mécanistes. Et pourtant, c’est une explication « aristotélicienne » que fournit le jeune enfant. Pourquoi les nuages bougent-ils ? Parce qu’ils sont poussés par le vent. Et d’où vient le vent ? Il est produit par le déplacement des nuages. L’enfant de 4-5 ans ne voit là aucune contradiction : c’est l’antiperistasis d’Aristote. Mêmes réponses pour expliquer le mouvement d’une balle qu’on lance, ou d’une allumette posée sur la table et qu’on déplace d’une chiquenaude : pourquoi ne tombe-t-elle pas verticalement sitôt qu’elle arrive au bord ? Ici encore, l’enfant, après avoir vaguement parlé d’élan, explique par l’air déplacé, par le choc en retour.

Il ne peut donc s’agir de transmission culturelle. Il n’est pas douteux que le milieu social agisse sur l’enfant, que l’apprentissage scolaire contribue à la formation des connaissances. Mais il y a aussi un mouvement spontané de formation, sur lequel le milieu peut agir par accélération, par freinage, mais qu’il ne suffit ni à créer, ni à expliquer. Et d’ailleurs, même si les notions [p. 156] étaient toutes transmises, il resterait à expliquer comment l’enfant peut les assimiler, et pourquoi il les assimile dans un ordre déterminé.

Il semblerait que cette coordination dépende de la maturation seule. Pourtant, une observation plus fine nous fait découvrir des fluctuations dans son apparition. Ainsi, sur trois enfants de la même famille, on a pu l’observer respectivement à 6 mois et quelques jours, 4 mois ½, et 3 mois et quelques jours (Piaget). Il semble difficile d’imputer ces décalages à la seule maturation. On comprend mieux, en revanche, si l’on songe que l’aîné n’avait été aucunement exercé, tandis que les deux autres avaient fait l’objet de diverses expériences (sur l’imitation des gestes notamment), et bénéficié ainsi d’un entraînement sensori-moteur intensif. Il ne paraît pas douteux que l’exercice actualise les effets de la maturation ; reste à savoir s’il ne fait que les hâter, ou s’il est fondamentalement nécessaire à leur réalisation.

Plus visible encore est, dans le développement, la marge entre les aptitudes phonatoires héritées et le langage proprement dit. Si les mécanismes du langage sont héréditaires (le chimpanzé des Kellogg n’a jamais pu apprendre à parler), la langue est le produit de l’action du milieu social. La disposition au langage ne cristallise donc que dans et par le milieu. Comment envisager de séparer ici les deux facteurs ?

Vers 7-8 ans apparaissent les opérations concrètes (sériations, inclusions, etc.). Ce tournant du développement mental est peut-être lié à la maturation de certaines coordinations nerveuses. Mais d’une part, nous ne connaissons pas ces coordinations, et d’autre part, bien qu’il existe entre 5 et 6 ans une accélération de croissance, le lien entre ces transformations biologiques et les opérations mentales paraît bien lâche. Que les conditions nerveuses soient nécessaires, c’est l’évidence ; il est non moins évident qu’elles ne sont pas suffisantes, et que l’actualisation des opérations logiques fait intervenir l’expérience acquise et le milieu social.

Vers 11-12 ans apparaît la possibilité de combiner n à n toutes sortes d’éléments ; la structure de cette combinatoire est celle de l’ensemble des sous-ensembles, par opposition à la structure des ensembles simples qui intervient dans les classifications, les matrices, etc. On constate d’autre part que cette structure nouvelle donne lieu à des schèmes applicables dans tous les domaines : arrangement de jetons, langage, conduites expérimentales étudiées par B. Inhelder (ce n’est qu’à partir de 12 ans que l’adolescent est capable d’expérimenter sur un fait complexe, la flexibilité d’une tige par exemple, en faisant systématiquement varier les facteurs un par un) ¹². Expliquerons-nous cette nouvelle structure d’ensemble par des facteurs de maturation ? On peut l’envisager, et s’appuyer sur l’isomorphisme des structures nerveuses et des structures logiques, dans le sens des recherches de la cybernétique ou des travaux de Mc Culloch et Pitts : la structure formelle du réseau correspondrait à une structure analogue du réseau nerveux. Il reste qu’on observe des décalages considérables, selon les milieux, dans la date d’apparition des opérations formelles ; il y a même des sociétés, où les sujets n’y parviennent jamais.

Il est donc encore une fois manifeste que les éléments fournis par la maturation nerveuse constituent une condition nécessaire, mais non suffisante. La maturation ne fait qu’ouvrir un champ de possibilités. Les données dont nous disposons actuellement ne permettent pas en tout cas de conclure à l’innéité de tel ou tel mécanisme opératoire (ni perceptif). Ce ne sont pas nos connaissances sur l’hérédité qui justifieront une interprétation aprioriste de la formation des connaissances.

Les formes a priori de la sensibilité n’ont, on le sait, rien de transcendantal au sens où Kant l’aurait voulu. Pour Kant en effet, le temps a priori était un temps à écoulement uniforme, celui auquel s’applique la métrique newtonienne. Or, ce temps uniforme est le produit d’une longue élaboration sociale, et on n’y voit aujourd’hui qu’un cas particulier du temps déformable de la relativité. De même, l’espace kantien a priori était l’espace d’Euclide à trois dimensions. Or, l’espace euclidien est un espace particulier, aboutissement d’une lente élaboration, et ce n’est pas le seul espace métrique concevable. Il est vrai que notre représentation imagée ou même notre perception de l’espace sont limitées à trois dimensions. Mais l’espace perceptif n’est pas homogène ou isotrope. Et si l’on tient à considérer les trois dimensions comme innées, l’hérédité ici n’est que celle d’une limitation, que tendra précisément à dépasser le progrès de la connaissance.

Ce qui est vrai des formes a priori l’est aussi des catégories. On sait, par exemple, que Lévy-Bruhl a fait l’hypothèse d’une prélogique chez les primitifs, puis s’est rétracté dans ses Carnets (posthumes). Mais c’est sans doute aller trop loin dans les deux sens. Lévy-Bruhl n’a pas assez distingué, en effet, entre les fonctions et les structures. Il peut y avoir une fonction permanente d’adaptation de l’esprit au réel et de recherche de la cohérence, — et néanmoins des structures qui évoluent. On peut garder le terme de prélogique, à condition qu’il désigne une phase de la structuration, qui évolue vers une cohérence à la fois plus stable et plus mobile.

1° La perception de la troisième dimension :

Elle peut provenir d’un mécanisme inné. Mais un tel mécanisme, s’il existe, n’est pas ajusté dès la naissance avec une suffisante précision ; il n’acquiert cette précision qu’avec l’exercice et l’expérience. Chez le nouveau-né, on peut noter toutes sortes d’erreurs dans les conduites relatives à la profondeur. On peut se référer également aux observations sur les aveugles-nés opérés, celles de Semden (1932) notamment : l’estimation de la profondeur, comme la discrimination des formes, requiert un apprentissage. On a contesté, il est vrai, cette interprétation en invoquant l’effet du choc opératoire. Mais la durée de l’apprentissage est plus longue que celle qui peut être attribuée au choc. D’autre part, une expérience de psychologie animale sur des rats élevés dans l’obscurité (Hebb) conclut aussi à la nécessité d’un apprentissage. Apriorisme et innéité restent douteux.

2° Les constances perceptives :

On les a crues innées ; mais elles ne sont pas contemporaines de la naissance, ni même si précoces que certains l’ont pensé (les faits et les conclusions d’Helen Frank, de Burzlaff, etc., ont été discutés par Beyrl, Brunswik et Cruikshank, Piaget et Lambercier) ¹⁴. D’autre part, à un niveau où la constance est indubitablement acquise, elle n’est pas rigoureuse. On trouve chez l’adulte une surconstance : à 4 m, une tige de 9 cm 5 est vue égale à une tige proche de 10 cm ¹⁵. Le seuil de constance varie d’ailleurs considérablement selon les sujets. De tels faits sont l’indice d’un mécanisme de régulation, et non pas d’un mécanisme tout monté.

3° La causalité perceptive :

On pourrait croire ici à une connaissance immédiate et a priori. Mais une analyse génétique plus fine montre que les données visuelles ont été préparées par une élaboration tactilo-kinesthésique. Pour le jeune enfant, l’impression de causalité cesse dès qu’il n’y a plus contact entre les deux mobiles. Les schèmes perceptifs de la causalité semblent donc bien l’aboutissement d’une construction dont les origines remontent au niveau sensori-moteur.

Nécessité et généralité caractérisent bien les opérations logico-mathématiques : les critères kantiens de l’a priori sont ceux-là mêmes des invariants. Mais ces invariants ne sont pas tout formés dès l’abord. On sait de reste qu’ils marquent le point final, l’équilibre terminal d’une construction progressive. La généralité et la nécessité de [p. 486] l’invariant caractérisent donc le terme de la construction, et non son point de départ.

Toute connaissance provient-elle de la perception ? Cette question divisait, on le sait, les philosophes, Locke et Leibniz par exemple. Il n’y a rien dans l’esprit, affirmait Locke, « quod non prius fuerit in sensu » ; à quoi Leibniz objectait « nisi ipse intellectus », ce qui signifierait, dans notre langage, que le contenu de la connaissance peut venir des sens, mais non sa structure. Cette structure est le résultat de l’activité du sujet.

Montrons-le rapidement sur l’exemple de la notion de nombre (dont nous étudierons la genèse plus en détail par la suite). On a parlé d’une perception du nombre, et il est vrai qu’assez tôt certains ensembles peuvent être distingués par leurs qualités figurales. L’impression perceptive de la pluralité est liée à la densité des éléments et à la surface occupée, sous réserve de diverses illusions possibles (cf. illusion de Ponzo : une collection de points alignés paraît plus nombreuse si on la place entre les côtés d’un angle aigu). Mais on ne peut identifier cette impression à la compréhension notionnelle du nombre. Cette compréhension porte en effet sur la structure logique, indépendante de la disposition spatiale. Le nombre est un caractère d’une totalité qui se conserve indépendamment de l’arrangement des parties. C’est une synthèse opératoire de l’ordre et de la somme. La perception fournit ici la matière, mais c’est l’action du sujet qui fournit les opérations de classe et de relation (sériation, inclusion de la partie dans le tout).

Le problème est alors de savoir si les actions qui se surajoutent ainsi à la perception ne sont pas elles-mêmes réductibles à des perceptions. On pourrait en effet soutenir que ces actions ne sont rien que des mouvements déclenchés par des signaux perceptifs.

Or, l’analyse des données génétiques nous conduit à distinguer, dans les perceptions, des effets primaires (effets dus au champ, [p. 488] et relativement constants), et des effets secondaires, qui sont fonction du développement mental tout entier. Ces effets secondaires sont des activités : comparaisons à distances, mises en relation actives, etc. Ici, l’activité du sujet, qui augmente avec le développement, ajoute sans cesse des éléments nouveaux, qui ne sont pas donnés dans l’objet lui-même : ainsi, les cadres de référence. Mais les effets primaires eux-mêmes, où la Gestalttheorie voyait le produit d’une structuration immédiate et définitive, varient en fonction de l’activité du sujet : ainsi les effets de centration et les couplages ²¹.

L’étude de la perception ne justifie donc en rien l’empirisme. Du reste, le recours à la perception ne saurait résoudre aucun problème de formation des connaissances, puisqu’on retrouve sur le terrain perceptif les diverses hypothèses épistémologiques : conception empiriste, nativiste, phénoménologique (Gestalttheorie), — ou conception interactionniste comme la nôtre.

Mais nous pouvons dire plus. Contre Mach, qui faisait dépendre la connaissance tout entière de la perception (et qui est à l’origine de l’empirisme logique) nous soutiendrons que la connaissance dérive de l’action. Que la perception y joue un rôle ne signifie pas une exception, ni même une double origine, car la perception comporte elle-même des activités. S’il y a, selon l’expression de Michotte, une perception qui est une « préfiguration des notions », ce n’est donc pas que les notions en soient tirées : c’est qu’on y trouve déjà des activités qui constituent une élaboration partielle, et qui en se développant conduiront aux élaborations opératoires, l’opération n’étant qu’une action intériorisée.

Il est à peine besoin d’y insister. L’expérience est évidemment nécessaire à l’acquisition des connaissances physiques (notions de poids, de volume, etc.), à celle des connaissances relatives aux propriétés de l’espace (conservation d’un volume physique à travers les transformations de l’objet : étirement, transvasements, etc.). Elle est aussi bien nécessaire à la découverte des propriétés mathématiques de l’espace (cf. invariance de la somme des angles d’un triangle, décrite précédemment), des propriétés du nombre, des propriétés logico-mathématiques élémentaires (correspondances univoques-réciproques, transitivité des égalités ou des inégalités, etc.).

Soient deux barres de laiton identiques (A) et (B), et une boulette de plomb (C) de même poids que (A). Ce n’est que par des manipulations multiples et des comparaisons de ces trois éléments, que l’enfant parvient à savoir que A = B = C. D’où vient pourtant qu’à 7-8 ans, il a besoin de trois pesées, c’est-à-dire de constater que A = B, que A = C, et aussi que B = C, tandis qu’à 9-10 ans deux pesées suffiront, c’est-à-dire que B = C sera déduit sans expérience à partir des égalités constatées A = B et A = C ? Brusque maturation de la notion logico-mathématique de transitivité ? Nous croyons que la transitivité est elle-même le produit de l’expérience. Mais non pas sans doute dans le même sens que les notions de poids. Il nous faut donc maintenant préciser la signification, ou plutôt la double signification de l’expérience.

Il y a au moins deux types d’expérience. Parmi les actions du sujet, nous distinguerons :

— les actions particulières et différenciées : soupeser, pousser en avant ;

— les coordinations générales des actions, par exemple celles qui supposent l’ordre : pour aller de la maison à l’école, il faut dans l’ordre : aller jusqu’à l’église, puis tourner à droite, puis traverser le pont, puis tourner à gauche ; pour revenir à la maison, il faut faire les mêmes déplacements dans l’ordre inverse, etc.

À ces deux types d’action correspondent deux types d’abstraction :

[p. 489] — une abstraction à partir de l’objet, qui consiste simplement à en tirer certaines propriétés : ce bloc est lourd, ce papier est bleu (c’est la seule forme d’abstraction que reconnaissaient les empiristes classiques) ;

— une abstraction à partir de l’action et de ses coordinations : on rencontre l’église avant le pont en allant à l’école, le pont avant l’église en en revenant ; en « roulant » la glaise qu’on vient d’aplatir, on retrouve « la même boulette qu’avant », etc.

C’est pourquoi nous distinguerons deux types d’expérience :

— l’expérience physique, qui porte sur les objets et seulement sur les objets ;

— l’expérience que nous appellerons logico-mathématique, qui porte aussi sur des objets, mais où la « lecture » des résultats n’aboutit pas seulement à la découverte des propriétés intrinsèques des objets — elle aboutit aussi à la découverte de relations indépendantes de la nature de ces objets.

1° L’expérience logico-mathématique

Tirée des coordinations générales des actions, cette expérience procède donc à partir de l’action même, et non pas des objets sur lesquels porte l’action. L’expérience physique qu’elle contient nécessairement nous apprend seulement ici que les propriétés de l’objet ne s’opposent pas à la coordination des actions. Ce qui est lu, ce ne sont pas ces propriétés, mais une relation entre telle et telle actions faite sur l’objet.

Ce souvenir d’enfance d’un mathématicien représente typiquement le processus en question, que l’analyse des données génétiques confirme : l’enfant avait appris les noms de nombre, et jouait à compter des cailloux alignés ; compter, ce n’était alors que faire correspondre les noms « un », « deux », « trois », etc., aux cailloux successivement désignés du doigt, de gauche à droite ; l’idée lui vint alors de compter dans l’autre sens, puis de recommencer le comptage en variant la disposition des cailloux : en colonne, en cercle, en tas ; et c’est toujours le même nombre qui est énoncé à la fin du comptage. L’enfant a ainsi découvert expérimentalement que le nombre cardinal (la somme des unités) est indépendant de leur ordre. Or, les notions d’ordre et de somme ne sont pas des propriétés des cailloux. C’est le sujet qui ordonne, c’est lui qui fait la somme en réunissant les éléments et en les constituant comme totalité. L’expérience aurait pu être faite avec n’importe quel matériel. Elle ne nous apprend rien sur les cailloux, sinon qu’ils ne s’opposent pas à l’ordre et au comptage ; elle nous apprend en revanche une relation fondamentale entre les actions d’ordonner et d’ajouter des unités.

L’expérience logico-mathématique constitue de même toutes les opérations : correspondances bi-univoques, inclusion de classes addition et multiplication de classes ou de nombres, transitivité, etc. Cette expérience reste indispensable tant que les structures ne sont pas achevées. Une fois les structures achevées, le recours à l’expérience devient inutile, la déduction s’y substitue. La nécessité logique est le caractère spécifique de l’achèvement des structures, c’est-à-dire de leur fermeture.

2° L’expérience physique

L’expérience physique au contraire repose sur des actions différenciées : soupeser, pousser ; la connaissance à laquelle elle aboutit est tirée de l’objet. On trouve cette expérience à tous les niveaux :

— au niveau sensori-moteur, le bébé éprouve déjà la solidité, la résistance, le poids des objets ;

— au niveau de la représentation pré-opératoire il découvre des propriétés nouvelles : le bois et le liège flottent, le fer non ; il met en relation les propriétés qu’il observe, par exemple la flottaison et le poids. Le caractère lacunaire ou approximatif de ses constatations le conduit à des explications contradictoires : les petits bateaux flottent parce qu’ils sont légers, les gros pour une autre raison (parce qu’ils sont forts, qu’ils sont capables de se porter tout seuls, plus simplement parce qu’ils sont faits pour ça). Les corps en mouvement déplacent de l’air, mais c’est aussi l’air qui les pousse, etc. ;

— au niveau des opérations concrètes, la découverte du monde physique se poursuit selon le même procédé ; les expériences deviennent plus nombreuses, plus fines, mieux interprétées. Ainsi, avec le dispositif employé pour l’étude génétique de l’idée de hasard (Piaget et Inhelder) : une sorte de roulette, avec une aiguille pivotant sur un axe, et, sur le pourtour, des boîtes de couleurs différentes, contenant des poids différents. Pour le contrôle de cette épreuve, deux aimants sont placés dans les boîtes à l’insu du sujet, les autres boîtes étant les unes plus lourdes et les autres moins lourdes que celles qui contiennent l’aimant. Comment l’enfant va-t-il, dans cette contre-épreuve, expliquer l’arrêt systématique de l’aiguille ? On peut suivre un progrès dans ses réponses, ce qui témoigne à la fois d’une observation meilleure et d’un progrès dans le sens du raisonnement et de l’expérimentation [p. 490] systématiques : c’est la couleur qui est invoquée d’abord, puis le poids des boîtes, puis un certain optimum de poids ²² ;

— mais c’est seulement au niveau formel que l’expérience peut être conduite par le sujet selon un plan systématique, supposant le raisonnement hypothético-déductif et la logique propositionnelle. Ainsi dans l’explication des oscillations du pendule, c’est seulement à ce niveau que l’adolescent élimine la variable poids. Plus généralement, le sujet énumère les divers facteurs de variation possible, les faits varier un par un, élimine ceux qui ne conviennent pas. ²³

Nous pouvons dire en conclusion que les expériences logico-mathématiques sont fréquentes au début, mais cessent avec l’achèvement des structures. Les expériences physiques existent à tous les niveaux ; au début elles sont pauvres, limitées à des situations partielles et à l’occasion ; au fur et à mesure du développement, elles se multiplient, s’enrichissent, se précisent, et surtout bénéficient des structures logiques déjà acquises. C’est pourquoi du reste elles prennent tout leur essor et toute leur valeur démonstrative à la fin des opérations concrètes. Alors, elles ne sont plus simple constat approximatif, mais réponse à une interrogation formulée selon un schéma de logique déductive, et réalisée par des manipulations adéquates.

Cette distinction des formes d’expériences et de leur évolution n’est pas un problème spécial à la psychologie de l’enfant. On le retrouve à travers l’histoire des sciences, et l’on peut mettre en parallèle les deux développements. Nous nous bornerons ici à quelques indications.

D’abord expérimentales, chez les Égyptiens, les mathématiques ont vu progressivement la déduction se substituer à l’expérience. Le théorème de Pythagore est un exemple typique d’expérence logico-mathématique. Avec Euclide, la mathématique se constitue en corps purement déductif (encore qu’il y ait une incertitude quant à la nature des axiomes, soit postulés, soit tirés de la réalité physique).

Au contraire, l’expérimentation physique n’existait chez les Grecs que sous une forme très rudimentaire. La physique d’Aristote est qualitative, elle superpose la théorie explicative au constat des phénomènes naturels, comme fait l’enfant pour expliquer la flottaison, le mouvement, l’action de l’air… La statique d’Archimède est expérimentale, mais son auteur la présente comme axiomatique et déductive. Il faut attendre le xvi^e et le xvii^e siècle pour que la physique se constitue en science expérimentale. C’est que l’expérimentation systématique suppose des outils élaborés (calcul infinitésimal, géométrie analytique) qui sont autant d’instruments pour la lecture des faits. La situation est la même dans l’histoire des sciences et dans celle du développement. L’expérience du second type présuppose la première : elle exige des structures logiques et mathématiques préalables. L’analyse d’un phénomène complexe (la flexibilité, l’oscillation du pendule) suppose une dissociation des facteurs en jeu, et le recours à une logique compliquée (opérations combinatoires).

La langue est un produit institutionnel, qui se transmet de génération en génération. En ce domaine, Durkheim comme Ferdinand de Saussure soulignent que les initiatives individuelles sont subordonnées aux besoins collectifs et à la sanction du groupe. Or qu’est-ce que la langue ? C’est un système comportant des signifiants (les mots) et des signifiés (les concepts). Mais elle est plus que le véhicule des signifiés ; elle comporte en effet des normes inhérentes à son organisation même (la grammaire), et une logique inhérente à ses concepts. Pour Durkheim, les normes grammaticales ou logiques sont communes à tous les membres du groupe linguistique, obligatoires, et transmises d’une génération à l’autre par l’éducation. La langue et les représentations collectives qu’elle véhicule ont toutes deux une histoire, qui remonte aux origines de l’humanité. En apprenant à parler, l’enfant reçoit de l’extérieur, tout élaboré, un système de notions dont l’histoire est millénaire. Des liaisons comme « parce que », « alors » (que l’enfant emploie dès 3 ans), ou « bien que », « quoique », etc. (qu’il n’utilise que beaucoup plus tard, vers 10-11 ans) correspondent à des représentations collectives comme les autres ; elles ont été élaborées comme les autres par le groupe social.

Or Durkheim considère les représentations collectives comme émanant de la société en tant que totalité, transcendante à la somme des individus qui la composent. Ses arguments s’appuient sur deux sortes d’analyses, que nous distinguerons plus nettement qu’il n’a fait lui-même, et qui correspondent aux deux méthodes linguistiques utilisées notamment par F. de Saussure :

— l’analyse synchronique, qui consiste à comparer entre elles, dans un domaine donné, les représentations collectives et les représentations individuelles (ainsi pour la notion de temps : la représentation subjective du temps ne correspond pas à celle de la science) ;

— l’analyse diachronique (historique), qui retrace la genèse des représentations collectives depuis leur origine. Malheureusement, la méthode régressive ne peut remonter jusqu’aux sociétés préhistoriques, dont nous ne savons rien. Aussi Durkheim s’est-il adressé aux sociétés « primitives » de son temps, comme si ces primitifs étaient des néolithiques attardés : l’étude historique est alors remplacée par l’étude ethnographique.

La conclusion de Durkheim est que plus on remonte dans l’histoire, plus les notions sont calquées sur l’organisation du groupe lui-même. Ainsi les représentations collectives originelles sont sociomorphiques, les représentations individuelles s’en détachant par la suite de plus en plus, par le même processus que celui qui fait émerger l’individu du groupe social.

Ces thèses sont-elles transposables sur le plan du développement individuel ? Examinons par exemple le problème de la formation du concept. Durkheim soutient que le concept est essentiellement social, comme [p. 492] le mot auquel il est attaché. C’est un instrument de communication, une sorte de monnaie d’échange, et un concept individuel n’aurait évidemment aucune fixité. Les faits psychogénétiques confirment-ils cette thèse ? On peut suivre, à partir des débuts du langage, l’élaboration progressive du concept chez l’enfant.

Exemple : À 1 an 2 mois environ, une petite fille qui appelle « vouaou » les chiens aboyant, désigne de ce nom le chien (silencieux) du propriétaire, qu’elle aperçoit de son balcon. Quelques heures plus tard, elle prononce le même mot en pointant du doigt les dessins du tapis, qui pourtant ne semblent guère suggérer l’image d’un chien. Un peu plus tard, le terme s’applique à toutes sortes d’animaux, objets ou personnages aperçus du balcon ²⁴.

Initialement limité, le concept individuel s’étend indéfiniment par assimilations successives. Il est douteux qu’un concept ainsi formé puisse converger avec ceux qu’élaboreraient pareillement d’autres individus. Pour que concept il y ait véritablement, il faut donc limitation. Durkheim soutient à bon droit, de ce point de vue, que le concept n’est pas seulement le résultat de l’abstraction et de la généralisation mentales, et qu’il suppose aussi une délimitation ou une définition imposées par le groupe.

Un second argument de Durkheim étend cette analyse aux cadres de la représentation. Les classifications des objets naturels seraient calquées sur les cadres de l’organisation sociale. Hubert et Mauss ont montré que les primitifs australiens classent les objets en tribus et en clans, comme leur propre groupe social. De même, les Chinois répartissaient jadis la nature selon huit pouvoirs fondamentaux, correspondant aux huit familles prépondérantes dans l’histoire de leur société, etc. Le genre des noms (le soleil et la lune, genres inverses en allemand par ex.) est peut-être un résidu de ces correspondances. Mais cela suffit-il à expliquer les cadres de la représentation, les notions de temps et d’espace par exemple ?

Durkheim l’affirme : le temps individuel est qualificatif, élastique. Comment la notion commune d’un temps universel et homogène en procéderait-elle ? Cette notion commune, dit Durkheim, est sociale, elle est liée au calendrier. De même pour l’espace : l’espace individuel est projectif, « égocentrique » (c’est-à-dire relatif au point de vue du sujet), et l’espace commun, universel et isotrope, ne saurait en être tiré. Cet espace est d’origine sociale, et d’ailleurs, avant notre espace euclidien, on peut trouver (chez les primitifs) des espaces isomorphes aux structures géographiques du territoire de la tribu.

On voit comment ces vues pourraient s’appliquer à l’enfant. On sait en effet que l’espace représentatif est d’abord égocentrique : l’enfant ne peut alors se détacher de son point de vue.

Expérience : On présente à l’enfant une maquette figurant trois montagnes de tailles différentes et diversement placées. Il doit choisir entre plusieurs dessins celui qui correspond aux montagnes telles que les voit un observateur, figuré par une poupée (ou par l’expérimentateur assis en face du sujet), qu’on déplace chaque fois. Jusqu’à 7-8 ans en gros, l’enfant choisit le dessin représentant la scène telle qu’il la voit lui-même ²⁵.

Durkheim dirait alors que l’espace individuel reste toujours égocentrique, mais qu’au cours du développement, l’enfant se réfèrera en outre, et de plus en plus, à la notion collective d’espace. L’espace collectif se superpose ainsi, et au besoin se substitue à l’espace égocentrique primitif.

Ce qui est vrai des concepts de classe et des cadres de la représentation l’est aussi, pour Durkheim, des normes logiques. Elles expriment la vérité collective. Leur genèse historique est liée aux pratiques sociales. La notion de nombre doit être rattachée aux procédures du troc et de l’échange un contre un, etc.

Le milieu scolaire ou familial transmet à coup sûr des savoirs à l’enfant. Mais dans certaines limites qu’il est capital de préciser. D’abord, il importe de ne pas confondre croyances et connaissances, ou contenu et structure des savoirs. C’est le milieu qui contraint l’enfant de croire au père Noël plutôt qu’à saint Nicolas, ce n’est pas le milieu seul qui lui enseigne que 2 × 3 = 3 × 2, — et même, ce n’est pas du milieu seul que dépend le fait que l’enfant accepte ou refuse la croyance au père Noël. Du milieu procèdent les croyances, non les notions.

Plus précisément, nous dirons que le milieu peut être source d’accélérations ou de retards dans la formation des connaissances, mais non pas directement source de cette formation elle-même. Toute l’habileté pédagogique ne parviendra pas à faire assimiler la notion de proportion avant 10-11 ans. Une expérience récente confirme cette thèse. À Genève, Albert Morf a essayé de « dresser » des enfants à la pratique des opérations formelles, par apprentissage verbal intensif, en suscitant le maximum d’intérêt, etc. Un tel entraînement hâte sans doute l’acquisition des opérations, mais la limite ne peut en être indéfiniment reculée.

On comprend facilement, du reste, qu’il en soit ainsi. L’assimilation d’une notion suppose en effet non seulement un certain délai, mais surtout des structures assimilatrices. L’enfant n’est pas une table rase, et la transmission culturelle ne peut consister ici en un simple enregistrement. Elle implique toujours une reconstruction qui est fonction des instruments de construction spontanée dont dispose l’individu aux différents niveaux de son développement. Sans cette reconstruction, on n’aboutit jamais qu’au verbalisme.

Quant aux normes logiques elles-mêmes, elles ne sauraient être imposées par contrainte : elles supposent une autonomie intellectuelle qui ne peut s’élaborer que par des échanges libres, des coopérations. Si important que soit le rôle du milieu dans la formation des connaissances, ce rôle n’est pas exclusif ; il ne saurait véritablement « expliquer » cette formation.

La coopération prend des formes variables, et l’on trouve une corrélation étroite [p. 494] entre ses étapes et celles du développement intellectuel. Ainsi :

— au niveau sensori-moteur : pas de coopération véritable entre le bébé et son entourage, seulement des relations (imitation, échanges gestuels, affectifs) qui annoncent cette coopération ;

— au niveau pré-opératoire, les conduites sociales de l’enfant sont à mi-chemin entre les conduites vraiment socialisées et les conduites centrées sur le sujet. Par exemple, il existe dès cette époque des jeux « collectifs », mais sans règles stables. L’enfant se borne à emprunter aux aînés des bribes de règlements, mais ce sont des rituels plus que des règles véritables : chacun continue de jouer à sa guise, personne ne gagne ni ne perd, etc. ²⁶

— au niveau opératoire, les conduites collectives (jeu, constructions en commun, etc.) montrent une réciprocité croissante. Les enfants conviennent ensemble de certaines lois, interrompent une activité collective pour établir un plan de répartition des tâches. Au niveau formel, le besoin de se donner des règles est très fort : les enfants de 12 ans se passionnent pour les codes, les hiérarchies précises, le formalisme juridique. Loin de se lancer immédiatement dans l’action, ils consacrent un temps considérable à définir des statuts et à les écrire ²⁷. Gérald Noelting a étudié, avec B. Inhelder, les étapes successives de la coopération depuis le niveau pré-opératoire : ce sont les mêmes que celles des opérations, les structures des interactions sociales sont isomorphes aux structures des opérations individuelles ²⁸.

On serait tenté de se demander alors si ce sont les progrès de la coopération qui entraînent ceux de la construction opératoire, ou si au contraire ce sont les progrès opératoires qui rendent possible la coopération. Mais, sous cette forme, le problème est vain. Opérations intra-individuelles et coopérations interindividuelles ne sont que deux aspects indissociables de la même réalité. La corrélation dont nous avons pu constater l’existence n’a rien de miraculeux : elle n’est que l’expression de lois d’équilibre communes aux deux domaines isomorphes. Il est équivalent de traduire l’un des aspects dans le langage propre à l’autre. Il est équivalent de considérer les opérations comme la réplique intériorisée des coopérations — ou au contraire de définir les coopérations comme un ensemble d’opérations liant les individus les uns aux autres. Ce second mode d’expression étant moins usuel, donnons-en quelques exemples :

— si deux individus sont d’accord, leur coopération consiste en un ensemble de correspondances entre les opérations du premier et celles du second. La correspondance est le groupement élémentaire auquel l’enfant fait appel pour mettre en relation deux collections ou deux systèmes quelconques ;

— si chacun des deux partenaires ne fournit qu’une partie des éléments (dans une discussion ou une action quelconques), la coopération (mise en commun) consiste en une opération d’addition ;

— si les deux partenaires sont en désaccord, la coopération est alors formée de l’ensemble des opérations permettant de situer les affirmations du premier dans la perspective du second, et vice-versa, ce qui constituera une « réciprocité ».

Dans tous les cas, partout où l’on peut analyser la coopération, on trouve entre les partenaires des liaisons opératoires isomorphes aux opérations des individus eux-mêmes. Qu’il s’agisse donc d’opérations intra- ou interindividuelles, on trouve dans tous les cas une structuration qui obéit aux mêmes lois d’équilibre.

Le modèle psychologique correspondant à cette position platonicienne est tout construit. On le doit à Russell qui, avant de rendre célèbre une conception « logiciste » des mathématiques, écrivit un traité de psychologie générale d’un platonisme avoué.

Russell soutient que lorsque nous percevons un objet, une rose rouge par exemple, il intervient simultanément deux processus : la perception proprement dite (qui nous renseigne sur les qualités de l’objet et provient de la simple rencontre de cet objet avec nos organes des sens) et la conception (qui nous permet d’identifier aussitôt l’objet en le classant dans des catégories préétablies, et qui n’ont pas été construites par nous). Une faculté spéciale de l’esprit nous livre immédiatement l’idée, le concept de la rose. On a objecté à cela l’existence de l’erreur, des idées fausses ; mais Russell répondait alors qu’elles existent aussi hors de nous, au même titre que les idées vraies.

De cette théorie, nous retiendrons pour les rejeter (car ils contredisent tous trois à ce que nous apprend la psychologie génétique) les thèmes suivants :

— il n’y a pas d’activité opératoire de l’esprit. « La notion d’opération, écrit Couturat, disciple de Russell et exégète de Leibniz, est essentiellement anthropomorphique ». Nous écrivons 1 + 1, et nous lisons le résultat 2, qui résulte des propriétés objectives des nombres, et nullement de notre activité. La relation existe hors de nous, nous ne faisons que la constater, avec l’illusion de la construire ;

— l’aspect subjectif et l’aspect objectif de [p. 703] la pensée sont sans rapport aucun. Le premier, qui peut intéresser le psychologue (mécanisme de la croyance, sentiment de certitude) ne saurait expliquer en rien le second (nécessité impérative) ;

— il n’y a pas de genèse de la raison, et en particulier l’expérience n’a aucune part dans les processus de la « conception ». Raison et expérience sont aussi radicalement opposées que rationalisme et empirisme l’ont été dans la tradition philosophique.

À cette théorie extrême, on pourrait objecter en bloc que précisément il y a une genèse de la raison, et que suffisamment de faits prouvent que cette genèse n’est pas quelconque. Mais reprenons un à un les thèmes énoncés ci-dessus :

— l’opération n’est pas anthropomorphique ; c’est une action primitivement effective, puis qui s’est intériorisée et coordonnée à d’autres opérations ; on peut suivre pas à pas l’intériorisation progressive qui conduit de l’action réelle à l’action virtuelle qu’est l’opération. D’autre part, s’il n’y avait pas d’activité opératoire, certaines notions seraient incompréhensibles, voire contradictoires. Que serait la suite des nombres entiers, sans l’opération d’addition (on peut toujours ajouter une unité) ? Si une telle suite existait hors de l’esprit, elle existerait statiquement, donc avec un terme. Un ensemble illimité ne peut être que le produit d’une opération mobile, dynamique, d’une itération, virtuelle qu’on peut indéfiniment renouveler ;

— dissocier les facteurs subjectifs et les facteurs objectifs de la connaissance serait plausible, s’il n’y avait pas d’évolution des idées. Or, sans parler encore de l’évolution psychogénétique, l’histoire des sciences nous apprend constamment que les notions les plus fondamentales évoluent. Le concept de nécessité logique lui-même n’est pas immuable. Le raisonnement par l’absurde, dont personne n’a contesté, plusieurs siècles durant, la valeur probante, n’est plus reconnu comme nécessaire par certains mathématiciens contemporains. Dans la logique dite « intuitioniste » de Brouwer, nier que (p) soit faux (la double négation) n’entraîne pas nécessairement que (p) est vrai. Le principe du tiers exclu, axiome fondamental des logiques classiques, n’a évidemment plus de place dans les logiques tri- ou polyvalentes (Heyting, Reichenbach) ;

— enfin, on ne pourrait accepter le rejet de toute genèse que si l’on pouvait fixer, dans l’enfance, un moment à partir duquel les « idées vraies » sont reconnues, et en deçà duquel elles ne le sont pas. On sait de reste qu’il n’en est rien. Où placerons-nous alors les universaux ? Dans les schèmes sensori-moteurs, qui sont déjà des « notions » pratiques ? Non, car comme tels, ils ne s’appliquent qu’à l’action réelle et immédiate. Dans les représentations pré-opératoires, où jouent les processus de « conception » décrits par Russell ? Certes non, car la pensée catégorielle de ce niveau est précaire et instable (variation constante des concepts en compréhension et en extension, syncrétisme, pensée « grumelée » de H. Wallon, etc.). Au niveau opératoire alors ? Mais il comporte lui-même plusieurs paliers ; au seul niveau concret, les invariants par exemple n’apparaissent pas tous en même temps ; et, d’autre part, maintes « idées vraies » peuvent être acquises avant ce niveau. La vérité, c’est qu’il n’y a pas d’âge de raison assignable, mais des âges de la raison. La genèse mentale est une équilibration par paliers successifs, et jamais à proprement parler définitive.

Nous examinerons le problème de l’équilibre en reprenant l’exemple central de la réversibilité. On sait que le comportement peut s’expliquer par des lois probabilistes : les théories de Brunswik, Busch, Mosteller, etc., ont un modèle stochastique ³². Dès lors, pouvons-nous, en partant des comportements élémentaires comme ceux du learning, expliquer comment on parvient à la réversibilité, envisagée comme caractéristique d’un palier d’équilibre ? Trois interprétations différentes de l’équilibration peuvent être envisagées :

1) On peut considérer l’équilibre comme la forme la plus probable, donc comme l’application d’une structure particulière de hasard. Cette forme d’équilibre est celle de l’entropie maximum en thermodynamique — et l’on sait que cette notion est largement exploitée dans la théorie de l’information de Shannon. Dans le domaine de l’histoire des sciences, une interprétation de ce genre a été soutenue par André Lalande : l’évolution des sciences, de la mathématique, de la logique, est une marche vers l’unification, vers l’identique, par assimilations successives et élimination des différences, comme le processus de l’entropie est une marche vers l’homogène.

Mais cette interprétation soulève de notables difficultés. Le développement de la pensée comme celui des sciences ne montrent pas uniquement une « marche vers l’identique ». Le processus d’identification se double d’un processus exactement inverse, par lequel sont progressivement différenciés des éléments primitivement confondus. Plus généralement, l’entropie maximum, c’est le désordre maximum ; au fur et à mesure qu’un mélange évolue, par brassage, vers son entropie maximum, il devient de moins en moins réversible (la probabilité de revenir par hasard au point de départ décroît régulièrement). La marche vers l’entropie est donc une marche vers l’irréversibilité.

2) On peut alors considérer au contraire l’équilibre comme une marche vers l’organisation, un processus anti-hasard. Mais il resterait à savoir d’où vient cette organisation ; le problème est seulement reculé.

3) On peut enfin, compte tenu du fait que l’équilibration se fait non pas seulement par modifications insensibles, mais par paliers successifs, chercher un modèle dans la théorie des jeux, que von Neumann et Morgenstern ont appliquée à l’étude des comportements économiques ³³. De ce point de vue, les stades du développement nous apparaîtront comme autant de stratégies successives, dont chacune devient la plus probable en fonction des résultats de la précédente.

C’est cette troisième interprétation que nous retiendrons comme la plus satisfaisante. En première approximation, nous ébaucherons ici son application à un exemple particulier.

La conservation des longueurs n’est pas une notion innée. Elle n’est guère établie avant 7 ans. Il est difficile de soutenir que c’est le milieu qui l’inculque, et l’on va voir que ce ne peut être le résultat d’une lecture de l’expérience.

Rappelons le dispositif : deux tiges de métal A et B sont présentées horizontalement, l’une au-dessus de l’autre. L’enfant, même très jeune, constate aisément leur égalité par congruence des extrémités. On déplace alors A horizontalement de quelques centimètres vers la droite et l’on demande si les tiges sont toujours égales. On sait qu’avant de répondre qu’« évidemment, elles sont toujours pareilles », l’enfant juge par exemple que A est maintenant plus longue, « puisqu’elle dépasse » (il ne retient alors que l’extrémité de droite). Si on essaie de montrer à un tel sujet qu’il n’en est rien, en replaçant A dans sa position initiale, l’enfant convient qu’elles sont « redevenues pareilles », mais ne modifie pas pour autant son jugement précédent. Il explique même sans embarras que la tige a grandi d’abord, et diminué ensuite. Cette réponse subtile montre que la conservation ne peut être lue dans l’expérience. Aucune expérience ne saurait montrer que le déplacement n’altère pas la longueur ³⁴.

Analysons alors les stratégies du sujet, c’est-à-dire les conduites successives qu’il adopte, au cours du développement, en face de ce dispositif. Nous en distinguerons quatre :

1. Le sujet « centre » un dépassement et un seul (en général celui de la tige supérieure vers la droite, comme s’il s’agissait du point d’arrivée d’un mobile). Il s’agit naturellement ici d’une centration représentative, et non pas perceptive : l’enfant voit bien les deux dépassements en même temps, mais il ne tient compte que de l’un d’entre eux. (D’ailleurs, du point de vue perceptif, l’illusion des lignes décalées est plus forte chez l’adulte que chez l’enfant.) Une telle stratégie conduit à une réponse de non-conservation.

2. La deuxième stratégie consiste à centrer l’autre dépassement (tige inférieure jugée alors plus longue).

3. La troisième stratégie consiste à centrer alternativement les deux dépassements. Elle conduit à des résultats ambigus et variables. D’un côté, A dépasse B, de l’autre côté B dépasse A : l’enfant ne sait pas composer ces deux relations, égaliser les deux différences. Ou bien il hésite à répondre, ou bien il privilégie arbitrairement l’un des deux dépassements : on le voit en répétant l’expérience ; ce n’est pas le même dépassement qui est systématiquement choisi ; l’enfant justifie même parfois en disant que « c’est plus long par là que par là ».

3 bis. Le terme extrême (qui n’est pas toujours réalisé) de cette troisième stratégie consiste à replacer A au-dessus de B, réellement ou mentalement. Ce retour expérimental au point de départ n’est pas encore la réversibilité logique : c’est la « renversabilité » physique. Il y a compensation, mais non conservation. Les tiges sont redevenues égales, mais cela n’implique pas qu’elles le soient constamment restées au cours des déplacements successifs.

4. Dans la quatrième stratégie enfin, la conservation est conçue comme nécessaire. L’enfant raisonne sur les déplacements, et non plus sur les dépassements. Il coordonne alors les états figuraux et les transformations cinématiques ; le déplacement est devenu une opération réversible, c’est-à-dire dont une opération inverse peut toujours annuler les effets. Cette 4^e stratégie correspond à l’équilibre maximum, pour deux raisons :

— les transformations y sont au minimum : au début, le déplacement entraînait toutes sortes de modifications : dilations, contractions, etc. ; ici, il ne reste plus que le déplacement lui-même.

— les compensations y sont exactes, et non plus seulement « à peu près équivalentes ». Il y a composition totale des relations de dépassement.

Cela dit, on doit pouvoir évaluer le coût et le rendement de chaque stratégie (il suffit ici d’une évaluation intensive et ordinale, sans recourir à une quelconque quantification). On constate aisément que les stratégies sont de plus en plus coûteuses : les deux premières ne considèrent qu’un dépassement, la troisième fait intervenir en plus une oscillation et parfois (3 bis) l’action de revenir au point de départ, etc. Mais en retour leur rendement est de plus en plus grand. La première stratégie est la moins rentable quant à la prévisibilité des résultats et quant à la sécurité du sujet ; la quatrième assure au contraire une prévisibilité et une sécurité totales (on peut rapprocher ici la théorie hiérarchique des conduites de Janet : les conduites supérieures sont les plus coûteuses, mais les plus rentables, ce sont celles qui permettent l’adaptation la plus poussée et la plus stable).

Il reste à trouver un modèle expliquant comment on parvient progressivement à la stratégie la plus coûteuse et la plus rentable.

On pourrait construire une table d’imputation sous forme de matrice, où entreraient [p. 706] les actions du sujet et les actions de la nature. Mais ce serait, du point de vue psychogénétique, à la fois trivial et artificiel puisque le sujet ne choisit pas entre quatre conduites simultanément possibles : au départ, il ne connaît pas la quatrième stratégie, et à la fin, il a oublié les premières : la conservation est conçue comme nécessaire, et non pas comme seulement « plus probable », à partir de 7 ans. On ne saurait donc considérer qu’il y a imputation et choix.

Mais on peut en revanche évaluer la probabilité de chaque stratégie successive en fonction des possibilités du sujet et du rendement de la précédente stratégie (il n’est pas exclu que l’on puisse même quantifier ces probabilités en faisant le compte des relations en jeu à chaque niveau) :

1. La première stratégie est la plus probable en ce sens qu’elle est la plus simple ; en l’absence de toute autre information, le sujet choisit une seule centration représentative, car du point de vue probabiliste, si les deux centrations sont indépendantes, le choix d’une seule est plus probable que le choix des deux à la fois.

2. Mais cette conduite ne le satisfait pas. D’abord, il est gênant d’affirmer, sans contrôle, des dilatations et des contractions ; ensuite, il peut y avoir des démentis de l’expérience ; enfin, la centration unique est asymétrique. Cette « insatisfaction » n’est pas une hypothèse gratuite de notre part, on la voit apparaître dans les attitudes mêmes de l’enfant. Ainsi, dans les expériences faites avec B. Inhelder sur la mesure spontanée (construire une tour de même hauteur qu’une tour donnée, mais décalée par rapport à celle-ci), l’enfant au premier stade juge à vue et catégoriquement ; six mois plus tard, il n’est plus si sûr de la justesse de son évaluation ³⁵.

Le passage à la stratégie 2 et surtout à la stratégie 3 marque précisément cette incertitude qui provient du conflit de deux attitudes. L’enfant est en présence de deux caractères, allongement d’un côté et raccourcissement de l’autre. L’hésitation vient de la rétroaction d’un caractère sur l’autre. Il va falloir coordonner ces deux dépassements contradictoires, jusqu’à n’y voir plus que l’effet, double mais unique, du seul déplacement.

3 bis. C’est ce que marque la stratégie 3 bis, qui assure la transition entre 3 et 4 par appel à l’action qui permet de dépasser les configurations représentatives statiques. Puisqu’on peut revenir au point de départ, il est plus probable d’admettre qu’il y a compensation exacte des allongements et des rétractations. Nous avons alors une coordination par régulation, correspondant au niveau des intuitions articulées, encore distinctes des groupements opératoires qu’elles préparent.

4. La stratégie 4 marque l’aboutissement de ces coordinations progressives. S’il y a compensation exacte, le plus simple est d’admettre alors que la seule transformation intervenant dans l’expérience est le déplacement lui-même.

La marche vers le plus probable que montre l’équilibration progressive des conduites n’est, on le voit, ni déterminée dès le départ (comme la tendance à l’entropie maximum), ni liée à une organisation antihasard préétablie. Elle s’opère par coordinations progressives jusqu’à un système unique de transformations. C’est pourquoi du reste la pensée aboutit à des opérations organisées selon une structure de groupe.

On aurait affaire à un mécanisme qui n’est pas sans rappeler celui des homéostats ou des machines à calcul, qui procèdent par tâtonnements et régulations successives, à cause des rétroactions déterminées par les feedbacks multiples. Il reste cependant une différence essentielle : c’est qu’une machine comme l’homéostat d’Ashby repart chaque fois à zéro, tandis que dans l’évolution des stratégies, l’équilibration se fait par paliers successifs, sans retour au point initial.

Nous avons rappelé précédemment un exemple montrant en quel sens il est légitime de considérer les schèmes sensori-moteurs comme l’équivalent fonctionnel des concepts ³⁷ : ils constituent en effet les instruments d’assimilation du réel. De tels schèmes sont très précoces. Le schème de la succion est constitué dès les premiers jours ; comme tel, il ne se confond pas avec le simple réflexe : il est susceptible de généralisation, et s’applique du reste à n’importe quel objet entre les repas. Les réflexes archaïques ne donnent pas tous naissance à des schèmes (on sait qu’il y a des réflexes qui disparaissent totalement après le 3^e ou 4^e mois : signe de Moro, grasping de la main, réflexe de marche automatique, etc.) ; mais plusieurs se généralisent assez vite, et s’enrichissent par incorporation d’éléments nouveaux en fonction de l’expérience. Vers 3-4 mois, l’enfant dispose déjà d’un important clavier de conduites possibles en présence des objets. C’est déjà là un outillage cognitif.

Bien plus, ces schèmes une fois constitués se coordonnent entre eux. Les uns pourront alors servir de moyens pour atteindre une fin assignée par les autres. Ainsi dans les premières conduites de l’intelligence sensori-motrice : pour atteindre un objet éloigné posé sur la couverture, le bébé de 8-10 mois sait tirer d’emblée la couverture à lui ; pour saisir un objet devant lequel on vient de placer un écran, il écarte spontanément l’écran, etc.

Il n’est donc pas exagéré de voir, dès ce niveau, les linéaments d’une logique pratique des classes (les schèmes sensori-moteurs) et des relations (les relations spatio-temporelles « avant », « après », « posé sur », « derrière », « devant », etc., utilisées implicitement dans la coordination des moyens aux buts poursuivis).

Outre ces ressemblances fonctionnelles, on trouve des correspondances structurales encore plus poussées. Dans son dernier stade [p. 708] (vers 18 mois), l’intelligence sensori-motrice aboutit à des structures proprement dites : les déplacements pratiques (rotations, translations) sont dès lors organisés selon une structure de groupe, présentant les mêmes propriétés que les groupes de l’intelligence conceptuelle : composabilité (le produit de deux déplacements du groupe est un déplacement du groupe), réversibilité (à tout déplacement peut correspondre un déplacement inverse qui l’annule), associativité, etc. Toutes les conduites de détour (préhension ou locomotion) en témoignent.

Ce groupement n’a rien d’inné. Bien qu’il en ait la possibilité motrice, l’enfant ne sait d’abord pas retourner son biberon, si celui-ci lui est présenté à l’envers. Quelques mois plus tard, le groupe des rotations est acquis, et le bébé l’exploite largement, par exemple dans l’exploration des objets nouveaux qu’on lui présente. De même pour les translations.

À ce groupe pratique correspond un invariant : c’est l’objet permanent, première forme, de la conservation. À 12 mois, le bébé ne sait pas retrouver un objet qu’on dissimule (sous ses yeux) derrière un écran ; à 18 mois, il écarte l’écran sans hésiter. Même, il sait retrouver l’objet dissimulé sous un mouchoir, lui-même recouvert par une couverture : c’est déjà là une liaison à plusieurs termes qui équivaut à une transitivité pratique : si A est sous B, et B sous C, alors A est sous C.

Nous voyons donc que les actions se coordonnent selon certaines structures qui préfigurent les structures de l’intelligence opératoire, bien qu’il n’y ait à cette époque ni « pensée » proprement dite, ni seulement représentation. Les actions successives ne sont pas gouvernées par le pur tâtonnement. Elles se distribuent progressivement, dès avant le langage, selon des structures privilégiées, qui constituent des formes d’équilibre au même titre que les structures ultérieures ³⁸.

On pourrait, dira-t-on, expliquer ces phénomènes par des lois de Gestalt. Mais outre que la théorie de la forme rend mal compte de l’évolution génétique, les Gestalt sont, par définition, non additives et irréversibles : or les schèmes et les liaisons que nous venons d’envisager tendent au contraire à la réversibilité et sont composables entre eux. Ils nous semblent donc irréductibles aux totalités décrites par Wertheimer ou Koehler ³⁹.

Notre objectif étant ici de montrer que la logique ne saurait être réduite au langage, nous insisterons surtout sur l’aspect dualiste, sans nier le moins du monde les interactions. Nombreux sont en effet les cas qui montrent que la pensée peut déborder le langage, et inversement. Nous dirons que la pensée plonge ses racines plus loin que le langage, et que le langage pousse ses prolongements parfois plus loin que la pensée. Au symposium d’Amsterdam, le linguiste belge Buyssen a souligné la difficulté qu’il y a à formuler les pensées nouvelles : en leur source, elles dépassent le langage. Le mathématicien Van den Waerden a montré de même qu’il existe des constructions de l’esprit qui ne sont liées, à l’origine, ni à des représentations spatiales, ni à des formulations symboliques : l’intervention mathématique déborde initialement le langage. W. C. Eliasbebg note chez l’enfant des formes d’abstraction non verbale (récognition de figures non distinguées par le langage). Enfin, contre Goldstein divers neurologistes maintiennent l’existence d’une aphasie sans troubles correspondants de la pensée.

Du point de vue génétique, il n’est pas douteux que l’apparition du langage se fait au terme d’un long développement sensori-moteur, qui comporte incontestablement une intelligence non verbale. Certes, l’intelligence sensori-motrice n’est pas représentative, et ce n’est donc pas vraiment une « pensée » au sens strict du terme. Mais n’y a-t-il pas lieu de considérer qu’elle constitue la condition nécessaire (et non suffisante) du développement de la pensée, dont elle fournit les substructures ? Quand apparaît le langage, les schèmes sensori-moteurs sont déjà solidement organisés. C’est la conjonction du langage et de ce schématisme qui constituera la pensée proprement dite : on sait d’ailleurs que cette conjonction ne se fait pas immédiatement ni sans difficulté. Preuve supplémentaire que la pensée n’est pas véhiculée en bloc par le seul langage.

Après l’apparition du langage, la pensée présente trois nouveautés majeures, si importantes qu’on a pu y trouver argument pour opposer radicalement l’intelligence pratique et l’intelligence discursive (cf. Wallon) :

— une vitesse accrue, une accélération permettant de parcourir très vite, et en tous sens, un ensemble de trajets. Le groupe pratique des déplacements coordonne des actions qui sont seulement successives ; la représentation donne au contraire une image du tout ;

— des distances accrues : l’intelligence sensori-motrice a un rayon d’action limité à l’espace proche, la pensée peut au contraire opérer à des distances quelconques ;

— une médiatisation : l’intelligence sensori-motrice procède toujours de façon directe, avec au plus une schématisation de la situation ; la pensée au contraire opère de façon médiate, par l’intermédiaire d’un cadre conceptuel.

Nous avons déjà marqué (ci-dessus, sous I) ces différences et ces parentés. Ne retenons pour l’instant que les différences. Sont-elles imputables au langage ? Certes, le langage possède éminemment les trois caractères que nous venons d’énumérer :

— l’évocation verbale permet une accélération considérable de la représentation ;

— elle permet des mises en relation à des distances quelconques ;

— elle comporte son propre cadre conceptuel, sa syntaxe propre, etc.

Mais si ces trois conditions sont optimales dans le langage, elles ne sont pas sa propriété exclusive. À son apparition vers 18 mois, la pensée symbolique (qui différencie les signifiants des signifiés) déborde largement [p. 712] le langage, qui n’en est qu’un aspect. Les signifiants ne sont pas exclusivement verbaux. À côté des signes (signifiants arbitraires, d’origine collective), on trouve en effet dès le départ (et durant tout le développement) des symboles, signifiants intrinsèquement liés aux signifiés, qui peuvent se socialiser plus ou moins par la suite, mais ne requièrent pas nécessairement l’intervention du groupe social. Il ne s’agit plus seulement d’indices ou de signaux, puisqu’ils sont manifestement distingués de l’objet qu’ils symbolisent ; mais il ne s’agit pas encore de signes conventionnels, comme le sont ceux du langage. On voit donc un système de symboles individuels se constituer parallèlement au langage. Le jeu symbolique, l’imitation différée, l’imagination, le rêve sont autant de conduites qui manifestent l’existence et l’importance de tels signifiants symboliques.

Le problème n’est donc pas tellement celui du langage comme tel, que celui de la fonction symbolique. Qu’elle constitue une innovation dans le développement, ce n’est pas douteux ; que son apparition soit liée à la maturation de certains centres nerveux, c’est plus que probable. Mais de là à la considérer comme une métamorphose absolue, il y a loin. Si, comme nous l’avons dit, le fait nouveau est dans la différenciation des signifiants et des signifiés, on ne saurait pour autant nier toute continuité entre les indices sensori-moteurs et les symboles. La différenciation, qu’on ne peut imputer au langage puisqu’elle en est la condition, est elle-même fonction du développement antérieur de l’intelligence. Entre les conduites sensori-motrices et les conduites symboliques, dont le langage est un cas particulier, l’imitation forme la transition. C’est elle qui est l’instrument de la différenciation ⁴⁶.

Nous conclurons donc que la pensée est rendue possible, non par le langage exclusivement, mais par la fonction symbolique, qui l’englobe. Mais cette fonction doit elle-même sa différenciation au développement de l’intelligence antérieure.

Ces considérations suffisent à établir que la pensée déborde le langage à ses origines. Or, il en est de même dans la suite du développement. Le langage ne s’imprime pas en bloc dans l’esprit de l’enfant, et son acquisition ne se fait pas dans un ordre quelconque. Si les substantifs et les verbes sont en effet acquis assez rapidement, les adverbes et conjonctions marquant des relations complexes ne s’acquièrent guère avant l’adolescence. C’est donc que l’acquisition du langage n’est pas le simple fait d’un apprentissage mécanique, qu’elle ne dépend pas seulement de la pression du milieu et de la mémoire du sujet. Comme toute acquisition, elle exige des instruments d’assimilation préalablement élaborés sur le plan de la pensée. Sinon, l’enfant pourra bien retenir et répéter des mots entendus, mais sans rapport adéquat et stable à ce qu’ils expriment ; ces « savoirs verbaux » ne mènent guère qu’au psittacisme, au verbalisme. Wallon, qui pourtant insiste beaucoup sur l’importance du langage dans le développement de la pensée, a accumulé les exemples d’illogismes que l’enfant commet faute de comprendre exactement le langage qu’il emploie ⁴⁷. Toutes les études que nous avons faites naguère sur la logique de l’enfant à partir d’énoncés verbaux montrent cette incompréhension relative du langage ⁴⁸ :

On propose par exemple à l’enfant, sous diverses variantes, des problèmes de raisonnement inspirés du test de Burt. Ainsi : « Un petit garçon a un bouquet de fleurs, et dit : Quelques-unes de mes fleurs sont des boutons d’or (sont jaunes). La première sœur dit : Alors, tout ton bouquet est jaune ; la deuxième : alors, une partie de ton bouquet est jaune ; la troisième : alors, aucune de tes fleurs n’est jaune. Laquelle a raison ? » Jusqu’à 9-10 ans, l’enfant donne volontiers raison aux deux premières sœurs ; leurs réponses lui paraissent équivalentes. La relation de partie à tout exprimée par le mot « quelques-unes » n’est pas comprise ; quelques-unes de mes fleurs = mes quelques fleurs, toutes mes fleurs qui ne sont pas très nombreuses. S’agit-il là d’une incompréhension linguistique ou d’une incompréhension logique ? On sait qu’au même âge l’enfant échoue de même à tous les problèmes mettant en jeu, verbalement, la relation de partie à tout : « Y a-t-il plus de Suisses ou de Genevois ? », etc. Il semble donc, à varier ainsi les termes employés dans l’énoncé, que l’ignorance soit plus profonde qu’une simple ignorance verbale. Mais on ne peut encore trancher la question.

Or, on a repris le problème de l’inclusion en termes concrets, c’est-à-dire avec un matériel placé sous les yeux du sujet : une collection de perles, qui sont toutes en bois, avec une vingtaine de brunes et deux ou trois blanches. Y a-t-il plus de perles brunes ou plus de perles en bois ? ⁴⁹ Le résultat est ici décisif. Jusqu’à 7 ans, il y a plus de perles brunes « puisqu’il y en a seulement trois blanches » ! Mais à 7-8 ans, le problème est correctement résolu sur le plan des opérations concrètes, alors que son exact équivalent verbal (Suisses-Genevois, animaux-oiseaux) ne l’est que deux ans plus tard environ. C’est dire que le langage ne constitue pas ses structures par lui-même. Les structures opératoires précèdent régulièrement les formes verbales correspondantes. Les opérations sont nécessaires, en tant qu’instruments d’assimilation, à l’acquisition de ces formes verbales.

Tous ces faits montrent donc qu’à l’origine comme dans la suite du développement, langage et pensée ne se recouvrent pas exactement. Si le langage peut en certains cas [p. 713] contenir plus que la pensée, il n’est pas douteux que la pensée contient aussi plus que le langage, comme l’attestent tous les décalages de compréhension en faveur de la pensée concrète.

Toutes les opérations caractéristiques de ce niveau semblent déjà contenues dans le langage, où l’on trouve en effet :

— des classifications : le nom constitue déjà, d’une certaine manière, une classe, et les seules définitions indiquent par exemple des emboîtements : les êtres vivants contiennent les animaux, qui contiennent les vertébrés, qui contiennent les oiseaux, qui contiennent les moineaux, etc. ;

— des sériations, quand on dit par exemple : « de plus en plus loin », « de moins en moins grand », etc. ;

— des correspondances bi-univoques (« un par un ») ou co-univoques (« père de », « neveux de »), etc.

Est-ce alors le langage qui véhicule les opérations correspondantes ? Nous voyons trois raisons de penser que non.

La première raison est celle que nous avons déjà donnée (ci-dessus, sous 1.) L’enfant ne parvient aux opérations concrètes qu’en présence d’objets proches et effectivement manipulables. Pourquoi la notion de l’inclusion, acquise vers 7-8 ans dans l’expérience des perles, ne l’est-elle pas tout de suite pour des objets dispersés dans l’espace lointain et non manipulables, comme les Suisses et les Genevois ou les animaux et les oiseaux ? Ces objets sont pourtant univoquement désignés par des mots, dont l’enfant connaît bien la signification, puisqu’il déclare lui-même que « tous les Suisses ne sont pas des Genevois, il y a aussi les Vaudois, etc. » L’opération suppose donc autre chose que du langage. Ici, elle a besoin d’un soutien perceptif ; mais pas plus que le langage, la perception ne suffit à définir l’opération, sans quoi l’épreuve des perles serait réussie bien avant 7 ou 8 ans. Action intériorisée, « manipulation en pensée », l’opération logique est une réalité originale par rapport au langage. Comprendre ce que sont les Suisses et ce que sont les Genevois n’équivaut pas à comprendre la structure logique d’addition des sous-classes A et A’ en une classe totale B, c’est-à-dire les opérations (A + A’ = B), (A = B − A’), (A’ = B − A). L’opération est une action intériorisée, réversible, coordonnée à d’autres. Que le langage intervienne dans l’intériorisation des actions en opérations, et qu’il la facilite, ce n’est pas douteux. Mais ce n’est pas lui qui crée l’opération. Les mots « et », « plus », « moins » les signes +, −, …, bref, les termes du langage courant comme ceux du langage mathématique (artificiel mais d’autant plus précis) désignent des opérations. Ils ne les constituent pas.

Un deuxième argument est fourni par l’existence des décalages, notamment de ceux que nous appelons « horizontaux » (application d’une même opération à des contenus différents), par opposition aux décalages « verticaux » (même contenu structuré par des opérations différentes). Deux ans environ séparent la conservation des quantités simples (longueur, « quantité de matière ») de la conservation des quantités plus complexes (poids). Acquise à 7 ans pour les longueurs, la transitivité ne l’est pas avant 9-10 ans pour les poids, etc. Or les expressions verbales sont exactement les mêmes. L’identité du vocabulaire employé n’entraîne pas immédiatement la généralisation. L’opération est donc bien autre chose que la formulation verbale qui l’exprime.

Un troisième argument est fourni par le verbalisme. Sans l’opération, le langage est [p. 714] inefficace. A. Morf a entrepris d’exercer verbalement à la compréhension de structures formelles des enfants de niveau inférieur à celui des opérations formelles. Vainement. La compréhension est soit nulle, soit fragile et sans lendemain. La solution apprise pour un problème particulier ne se généralise pas aux problèmes semblables. Un autre exemple de verbalisme est fourni par la numération verbale, que les parents font apprendre prématurément à l’enfant. Que l’enfant sache correctement réciter, avant 7 ans, les noms de nombre jusqu’à 20 ou 30 ne signifie pas qu’il sache compter. Diverses expériences de correspondance, d’échange un contre un, ont montré que la numération parlée n’entraînait pas pour autant la permanence des ensembles ainsi comptés ⁵⁰. Ces dispositifs ont été repris récemment, avec A. Morf, pour l’étude des jugements analytiques ou synthétiques. Les résultats corroborent entièrement l’idée que, sans opération, le langage est totalement inefficace.

Citons quelques réponses curieuses. Dans ce dispositif, deux collections de jetons sont d’abord mises en correspondance terme à terme : une rangée de jetons bleus, une rangée de jetons rouges disposés exactement sous les précédents. L’égalité une fois reconnue, la première collection est laissée intacte, les jetons rouges sont répartis en 2 sous-ensembles. Par exemple on aura 5 bleus et 2 + 3 rouges. On laisse l’enfant compter, et même on l’y invite. Avant 7 ans, le comptage ne sert strictement à rien : le sujet a beau trouver (= énoncer) 5 chaque fois, il n’en conclut pas à l’égalité des deux collections. Un peu plus tard, on trouve des réponses qu’on pourrait appeler « quasi opératoires » : pour de petits nombres, 10 et 8 + 2 par ex., l’enfant ne compte même pas : « c’est évidemment toujours pareil » ; à partir de 14 ou 15 jetons, il commence à avoir des doutes, compte, et constate l’égalité, parfois avec surprise ; avec 17 jetons, un enfant a même donné cette réponse révélatrice : « je vois bien que ça fait 17 ici et là, mais… mais… ».

La numération verbale n’assure donc pas par elle-même, la conservation numérique des ensembles. Répétons-le, le langage exprime et achève l’opération, il ne la construit pas.

Comme la logique porte à ce niveau sur des propositions, sur des énoncés verbaux, comme elle est formelle, c’est-à-dire qu’elle n’a besoin d’aucune vérification concrète, — il peut sembler que le rôle du langage y est, cette fois, déterminant. Qu’est-ce en effet, dira-t-on, qu’une opération formelle, sinon ce qu’exprime la liaison linguistique correspondante ? Ici, il n’est pas besoin de manipulation réelle ni de soutien perceptif !

Exemples ^f

— la liaison « si (cet animal est un moineau), alors (c’est un oiseau) » définirait l’implication [moineau ⊃ oiseau] ;

— la liaison « ou bien (c’est un Français), ou bien (c’est un Étranger) » définirait l’exclusion réciproque [Français ⊕ étranger] ;

— la liaison « ou (cet animal est un vertébré), ou (c’est un insecte), ou (ce n’est ni un vertébré ni un insecte) » définirait l’incompatibilité [vertébré | insecte] ;

— la liaison « ou (cet homme est un Français), ou (c’est un marin), ou (c’est un marin français) » définirait la disjonction non exclusive [Français ∨ marin] ; etc.

On fera remarquer d’autre part que ces opérations apparaissent vers 11-12 ans, donc à une époque où l’enseignement scolaire fait une part énorme à l’usage verbal (exposés, formules, démonstrations mathématiques), et où la lecture, les jeux organisés avec règlements, etc., favorisent un maniement intense du langage. En cette coïncidence, on verrait une présomption en faveur de l’origine sociale et linguistique de la logique formelle.

Or, ici encore, sans nier le rôle considérable du langage, sans nier que les activités scolaires ou sociales accélèrent l’acquisition des opérations formelles, — nous refusons d’y voir la source ou la condition suffisante de ces opérations. Ici encore, comme au niveau précédent, nous pensons que langage et opérations ne se recouvrent pas exactement. Le langage ne reflète ici qu’une partie de ces opérations.

Les structures caractéristiques du niveau formel sont le réseau et le groupe des quatre transformations.

Voyons en quoi consistent ces structures très générales, dans quelles conduites on les rencontre, et si elles sont imputables au langage. Nous montrerons que, loin de constituer une émergence due au langage, elles procèdent des opérations concrètes, et débordent le langage à la fois dans leurs origines et dans leur aboutissement.

Le réseau (ou lattice dans la terminologie anglo-saxonne) est un système semi-ordonné, et tel que deux éléments quelconques a et b du système ont toujours, dans le système, une borne supérieure (ou join) définie par leur réunion, et une borne inférieure (ou meet) définie par leur intersection. C’est-à-dire que :

— tous les éléments du système ont un rang, mais plusieurs éléments peuvent avoir même rang : le classement des éléments comporte des ex æquo ;

— il existe dans le système au moins un [p. 715] élément s contenant à la fois a et b ; c’est le plus petit des s qui est la borne supérieure de a et b ;

— il existe dans le système au moins un élément i correspondant à la partie commune (a × b) de a et b ; c’est le plus grand des i qui est la borne inférieure de a et b.

Une telle structure s’applique aussi bien aux classes qu’aux propositions. On la trouve en théorie des ensembles, parfois sous le nom de « treillis », « ensemble réticulé », etc.

Prenons un modèle très simple en logique des classes. Soient deux classes A et B, et leurs inverses A’ (= non A) et B’ (= non B). P. ex. A = les Français, A’ = les étrangers, B = les étudiants, B’ = les non-étudiants. Rappelons au passage que :

A + A’ = B + B’ = T (tous les individus) et que les produits (A × A’) et (B × B’) sont nuls (il n’existe aucun individu qui soit à la fois Français et étranger, ou étudiant et non-étudiant) : les combinaisons AA’ et BB’ sont, de ce fait, exclues.

Si nous procédions à une classification simple, comme l’enfant sait en réaliser au niveau concret, avec des jetons ou des images par exemple (7), nous aurions quatre classes (cf. matrice à double entrée) :

Mais on peut aller plus loin, et grouper ces classes deux par deux, trois par trois. Avec les quatre combinaisons de base, et en comptant les combinaisons (o) (= aucune classe) et T (= toutes les classes), on obtient 16 possibilités :

On a donc 1 combinaison à 4 termes, 4 combinaisons à 3 termes, 6 combinaisons à 2 termes, 4 combinaisons à 1 terme, et 1 combinaison à 0 terme. Le tableau ci-dessus est le système total des combinaisons possibles. Tel est le réseau. On y voit d’autre part :

— que (6) = A, (7) = B, (10) = B’, (11) = A’, (16) = T

— que les combinaisons (1) à (8) et (16) à (9) sont respectivement complémentaires, c’est-à-dire que leur réunion donne chaque fois T :

(1) + (16) = (2) 4 (15) = (3) 4 (14) = … = (6) + (11) = (7) + (10) = … = T.

Pour obtenir le réseau des 16 combinaisons propositionnelles binaires, il suffit de remplacer dans le tableau ci-dessus A, B et leurs inverses par les prépositions p, q et leurs inverses. (D’autre part, pour des raisons que nous ne pouvons développer ici, le signe + est remplacé en logique des propositions par le signe ∨, qui se lit « ou » et désigne la réunion de deux propositions ou couples de propositions.) Cette substitution faite, (8) se lira par exemple : « les énoncés p et q sont vrais en même temps ou faux en même temps » ; (12), qui contient toutes les combinaisons à l’exception de (5), et correspond donc à la négation (inversion) de (5), pourra se lire : « p et q ne sont pas faux en même temps », etc. Les 16 combinaisons représentent alors les 16 opérations binaires (= réalisées avec deux propositions p et q) de la logique propositionnelle bivalente (= qui n’admet que deux valeurs, vrai et faux, — si p est vrai, non p est faux et inversement). On a ainsi :

La caractéristique du réseau est donc son caractère combinatoire. C’est par là que la classification du tableau II se distingue de la classification du tableau I : elle combine les sous-classes du tableau I de toutes les manières possibles. Le réseau est, en quelque sorte, la classification de toutes les classifications possibles.

Le problème est alors de savoir d’où provient cette combinatoire. Il faut souligner d’abord que la classification II ou les opérations du tableau III ne sont pas de pures constructions abstraites de logiciens. On les voit en œuvre dans certaines conduites de l’enfant.

Donnons-lui à classer un tas de jetons de formes et de couleurs différentes : ronds ou carrés, et rouges ou bleus. Au niveau pré-opératoire, l’enfant ne sait pas tenir compte simultanément des deux critères : forme et couleur. Tout au plus, au stade des intuitions articulées, parvient-il à former quatre tas par tâtonnements successifs, p. ex. en séparant d’abord les ronds des carrés, puis en séparant les bleus des rouges dans chaque tas. Mais un tel résultat est rare et hésitant (l’enfant s’en tient parfois à 3 paquets : les carrés, les ronds rouges, les ronds bleus, etc.) Au niveau concret, il sait construire sans difficulté les quatre classes du tableau I, ce qui suppose la multiplication des classes ; il [p. 716] arrive même, parfois, à disposer les quatre tas selon une figure de matrice. Mais il ne peut aller plus loin avant le niveau formel, faute d’opérations combinatoires.

Ces opérations combinatoires, on les lui fera réaliser en lui demandant d’accoupler les jetons de toutes les façons possibles, en tenant compte ou non de l’ordre, etc. (« ce sont des bonshommes, ils vont se promener deux par deux, trois par trois… »). Avant 12 ans, l’enfant réalise une partie des combinaisons possibles ; après 12 ans, il trouve une méthode, lui permettant d’établir systématiquement et exhaustivement les arrangements, permutations, combinaisons. ⁵¹

Un autre excellent exemple est fourni par l’expérience imaginée par Inhelder et G. Noelting. On propose au sujet 4 flacons contenant des liquides incolores (acide sulfurique, eau, eau oxygénée, thiosulfate) et un 5^e qui contient de l’iodure de potassium. Appelons respectivement S, E, O, T et I ces liquides. On a préparé dans un verre un mélange S + O, et un autre verre contenant de l’eau pure. En versant (devant le sujet) quelques gouttes de I dans le mélange S + O, on obtient une couleur jaune, dans E : rien. On demande à l’enfant de refaire du jaune en utilisant à sa guise les cinq flacons. Vers 7-9 ans, l’enfant procède déjà systématiquement mais il se borne à verser I successivement dans S, E, O et T. Un peu plus tard, vers 9-12 ans, il commence à mélanger entre eux les flacons, mais sans système. Après 12 ans apparaissent les combinaisons systématiques des éléments n à n. ⁵²

De tels faits montrent suffisamment, croyons-nous, que les opérations combinatoires s’inscrivent dans le prolongement des opérations concrètes, dont elles constituent la généralisation. Le réseau propositionnel du tableau III n’est pas le fait du maniement du langage. Combinaisons verbales du raisonnement, manipulations d’objets concrets (jetons), manipulation systématique des facteurs expérimentaux sont des conduites qui apparaissent en même temps. La combinatoire des propositions, loin d’être par conséquent une conduite spécifiquement linguistique, n’est qu’un cas particulier de la combinatoire générale qui caractérise toutes les opérations du niveau formel. De ce point de vue, la logique du discours procède de la logique concrète, et, par cet intermédiaire, de l’action.

On peut en dire autant de l’autre structure caractéristique du niveau formel, le groupe des quatre transformations (appelé aussi « groupe de Klein ») ou groupe INRC. Les opérations indiquées au tableau III constituent à la fois un groupe et un réseau. Sans entrer ici dans le détail de cette structure de groupe, disons qu’à toute opération I du groupe on peut faire correspondre :

— son inverse N (négation de I, c’est-à-dire sa complémentaire dans le tableau III)

— sa réciproque R (même opération mais entre propositions niées)

— sa corrélative C, qui est par définition la négation de R.

On appellera I toute transformation identique, c’est-à-dire laissant inchangée l’opération de départ. On a ainsi 4 transformations :

C = N R ; R = N C ; N = R C ; N R C = I.

Par exemple, en partant de l’implication (opération 14 du tableau III), on aura :

I = implication (14)

N = non-implication (3)

R = implication inverse (13)

C = non-implication inverse (4)

Ici, si I est vraie, N et R sont fausses et C vraie. Soit I = tout Genevois est un Suisse (= Genevois implique Suisse) ; N = il y a des Genevois qui ne sont pas Suisses (faux) ; R = tout non-Genevois est non-Suisse = tout Genevois est Suisse (faux) ; C = il y a des Suisses qui ne sont pas Genevois (vrai).

Dira-t-on, sur la base de ce dernier exemple, que les transformations résultent de la signification des termes employés ? On pourrait le prétendre si l’on s’en tenait à ce genre de raisonnements où la verbalisation est explicite. Mais, comme pour le réseau, la structure de groupe se retrouve ailleurs : elle intervient dans la compréhension des mouvements à double système de référence (escargot qui se déplace sur une planchette qui se déplace elle-même en sens inverse) ⁵³ ; elle intervient dans les raisonnements expérimentaux étudiés par Inhelder : flexibilité, aimantation, etc. Elle est la structure d’ensemble de tous les schèmes opératoires du niveau formel ; comme telle, elle généralise les structures opératoires du niveau concret. C’est ainsi que la négation et la réciprocité, qui restent distinctes au niveau concret, sont coordonnées dans le groupe des quatre transformations. Nous pouvons conclure, comme pour le réseau, que le langage traduit et achève cette structure, mais qu’il ne la constitue pas.

La logique formelle dépasse donc le langage dans les deux sens. Elle va plus loin que le langage par ses constructions algorithmiques ; mais par ses origines, elle remonte en deçà du langage. Il n’est plus paradoxal d’affirmer que, bien qu’affranchie de tout contenu concret, la logique formelle, parce qu’elle est opératoire et non pas verbale, et parce que l’opération n’est qu’une action intériorisée, devenue réversible et coordonnée à d’autres, — dérive en dernière analyse de l’action. ⁵⁴

À partir de quoi, et par quelles démarches, l’enfant parvient-il à la notion du nombre entier ? On songerait d’abord à assigner au nombre une origine empirique. Léon Brunschvicg, pourtant idéaliste, insiste sur les origines empiriques du nombre (troc, échange un contre un) dans Les Étapes de la philosophie mathématique. Ferdinand Gonseth, mathématicien devenu logicien, déclare très explicitement que le nombre est une qualité des objets, que nous percevons en eux comme nous percevons « leur transparence ou leur couleur ». (Les Mathématiques et la réalité.)

Divers faits psychologiques semblent aller dans le sens de cette thèse. Chez certains animaux, on trouve une perception du nombre dans des collections discrètes (oiseaux qui s’aperçoivent qu’on a ôté un œuf de leur nid, poules qu’on peut dresser à picorer sur les nombres impairs, etc.) Chez l’enfant, toutes les structures logico-mathématiques sont précédées d’une phase pré-opératoire, au cours de laquelle les notions ne sont pas conçues comme nécessaires, mais vérifiées et au besoin découvertes expérimentalement. Pour le nombre, on connaît les expériences de Decroly sur la récognition figurale globale des « premiers nombres », et les statistiques d’Alice Descoeudres, établissant que le nombre 2 est acquis à deux ans, le nombre 3 à trois ans, et ainsi de suite jusqu’à 6-7 ans, où toute la suite des nombres se décroche.

À de tels faits, nous avons déjà donné une réponse générale. Tout en reconnaissant que la formation du nombre requiert l’expérience, nous refusons la thèse empiriste et nions que le nombre soit tiré des objets. Il faut se reporter ici à la distinction entre l’expérience physique et l’expérience logico-mathématique. [p. 721] La lecture de l’expérience fait toujours intervenir des actions coordonnées, qui ajoutent à l’objet des propriétés qui ne lui sont pas inhérentes. La commutativité, par exemple (1 + 2 = 2 + 1) découverte par l’enfant en comptant des cailloux, est une propriété de l’action de compter, non des cailloux. L’expérience physique n’est, en pareil cas, que l’occasion ou le moyen de découvrir les propriétés des coordinations de l’action. L’expérience n’est, pour cette raison, qu’un stade transitoire dans la formation des opérations : quand les coordinations entre opérations sont suffisamment stables, elle est superflue. L’enfant qui possède la transitivité opératoire conclut, sans vérification, que A = C une fois qu’il sait que A = B et B = C. Gonseth a défini la logique une « physique de l’objet quelconque ». On pourrait retenir cette formule dans la mesure où elle suggère que l’objet en tant que tel est indifférent ; mais le terme de « physique » fait équivoque, puisque la découverte des propriétés logico-arithmétiques n’est pas le résultat d’une expérimentation inductive comme celle de la physique proprement dite.

Signalons que certains psychologues, qui reconnaissent pourtant le rôle de l’action dans la formation des connaissances, n’admettent pas la distinction entre les deux types d’expériences. Ainsi Kostyuk ou M^me Menchinskaia, qui l’ont précisément contesté à propos du nombre. Nous répondrons d’abord que l’expérience logico-mathématique s’appuie naturellement sur des objets physiques concrets. Mais elle leur ajoute quelque chose. Parlons maintenant le langage pavlovien, pour nous mettre sur le même terrain que ces contradicteurs. Tout réflexe conditionné procède d’un réflexe absolu, lié à l’organisation nerveuse. Parmi ces réflexes absolus, certains, comme le réflexe d’orientation-exploration, impliquent déjà l’ordre, puisque les démarches par lesquelles il se traduit ne se font pas dans n’importe quel sens. Nous ne voulions pas dire plus : l’ordre, notion capitale dans la genèse du nombre, appartient à l’organisme du sujet, et non aux choses extérieures.

Nous conclurons donc que le nombre ne saurait être abstrait des objets comme le sont la couleur ou la forme.

La notion d’expérience mentale était fort répandue il y a une cinquantaine d’années. E. Mach, qui est le premier à l’avoir employée, explique qu’elle consiste à imaginer par la pensée la variation des faits. C’est une expérience virtuelle, plus économique que l’expérience effective, mais qui dérive de celle-ci, puisque « c’est la nature de l’expérience antérieurement acquise qui fait le succès d’une expérimentation mentale » (La Connaissance et l’erreur, trad. fr. 1917). Même point de vue chez Rignano, dont La Psychologie du raisonnement (1913) contient de nombreux développements sur l’acquisition du nombre : tout raisonnement est une suite d’expériences « en pensée ». Rignano emploie aussi le terme d’opérations, mais c’est sur l’expérience effective antérieure qu’il met l’accent, la mémoire et l’attention suffisant à leur utilisation mentale. L’Essai sur le mécanisme psychologique des opérations de la mathématique pure, du psychiatre Ph. Chaslin (1926), relève de la même inspiration, quoique l’être arithmétique y soit caractérisé par les opérations qu’on peut effectuer avec lui.

Pour ce qui est des faits présentés par ces auteurs, nous ne les contestons pas. L’expérience mentale joue un rôle très important, et au niveau pré-opératoire, tout raisonnement est en effet la représentation mentale d’une action réelle. Nous retiendrons d’autre part de Mach et Rignano l’idée que toute expérience matériellement exécutée est susceptible de se « mentaliser », de s’intérioriser, et que la pensée la plus abstraite repose, en définitive, sur des actions virtuelles. Mais l’équivoque de l’empirisme subsiste : puisqu’on effet l’expérience mentale n’est que le décalque de l’expérience matérielle, on retrouve à son niveau l’ambiguïté que nous avons dénoncée constamment.

Si donc on veut se référer à l’expérience mentale en tant qu’intériorisation d’une action, il faut distinguer encore entre une expérience mentale physique et une expérience mentale logico-mathématique. Comme exemple de la première, on peut citer la découverte des lois de l’accélération que rapporte Al. Koyré dans ses Études galiléennes (1939) : Galilée s’est représenté l’accroissement des vitesses avant d’avoir fait les expériences matérielles correspondantes. Comme exemple d’expérience mentale de type mathématique, empruntons à Rignano le problème suivant :

Supposons que le nombre maximum de cheveux sur la tête d’un homme soit de 3 millions, et qu’il y ait à Londres 5 millions d’habitants. Combien y a-t-il de Londoniens tels que deux au moins d’entre eux aient le même nombre de cheveux ? La question peut être facilement résolue par expérience mentale. Alignons mentalement les Londoniens, et considérons que le premier a 1 cheveu, le deuxième 2, le troisième 3, etc. Le trois-millionième Londonien aura 3 millions de cheveux, et il reste alors deux millions de Londoniens dont le nombre de cheveux [p. 722] est forcément le même que celui de l’un des précédents. L’expérience mentale a consisté ici à établir une correspondance ordinale entre les nombres de 1 à 3 000 000 et les Londoniens.

Or, que montre cet exemple ? Qu’on a introduit un ordre dans chacune des deux séries, puis établi une correspondance bi-univoque entre les séries ordonnées, toutes choses qui sont des opérations. L’ordre n’est pas dans les Londoniens, mais dans l’action d’ordonner. On a là un bel exemple de coordination opératoire.

La notion d’expérience mentale, pour exacte qu’elle soit du point de vue descriptif, n’explique donc rien. Pour le problème qui nous occupe, elle nous renvoie à l’étude de l’opération.

Un autre exemple d’interprétation empiriste du nombre est fourni par Helmholtz. Dans un petit ouvrage intitulé Zählen und Messen, il soutient :

— que le nombre ordinal est plus primitif que le nombre cardinal ;

— que l’ordre est une notion d’origine empirique ; nous le tirons de l’intuition mnésique de la succession temporelle de nos états de conscience (il n’est donc pas tant l’ordre des objets que l’ordre de nos souvenirs : cette idée s’inscrit dans la perspective kantienne, qui rattache le nombre au temps) ;

— que l’ordination permet le comptage, d’où le nombre cardinal, et que pour passer de l’ordre interne à l’ordre mathématique, il suffit d’un certain nombre de conventions.

Ces affirmations appellent diverses réserves. D’abord, il est vain d’attribuer au nombre ordinal un primat sur le cardinal, ou inversement. Brunschvicg a montré de façon décisive que, dans le domaine du fini, l’ordination suppose la cardination, et vice-versa. Nous verrons plus loin que génétiquement ces deux opérations sont exactement contemporaines. Retenons pour l’instant que l’ordinal et le cardinal sont deux aspects complémentaires du nombre, en tant que les nombres forment une suite ordonnée : le nombre 3 ne se distingue du nombre 2, que parce qu’il vient après lui, puisqu’ils sont formés tous deux d’unités rigoureusement homogènes ; réciproquement, le 3^e nombre n’est tel que parce qu’il y en a 2 avant lui.

Mais c’est surtout l’idée centrale de Helmholtz (l’expérience interne des états de conscience successifs) qui est discutable. Il est certain que les intuitions d’ordre sont primitives ; mais elles sont toujours liées à l’action. La coordination sensori-motrice des moyens en vue d’une fin implique déjà l’ordre. Cet ordre en fonction des résultats de l’action est bien plus primitif que l’ordre introspectif de l’expérience vécue. D’autre part, même lorsque l’introspection est possible, l’ordre des souvenirs est loin d’être une simple intuition, une lecture immédiate. La mémoire comporte elle-même une activité de reconstitution. Elle travaille sur des traces qu’elle structure, et en particulier qu’elle ordonne ; elle ne découvre pas l’ordre dans les représentations, elle l’y introduit. Nous retrouvons sur ce plan le problème de l’activité opératoire, conçue comme ajoutant aux objets des structures qui n’y sont pas d’abord contenues.

L’opposition qualité-quantité est classique dans l’histoire des idées. Mais où placer la démarcation entre l’une et l’autre ?

Delacroix, dans son article sur « La fabrication du nombre » (Nouveau Traité de Dumas, t. V) soutient que la matière du nombre est toute qualitative, sans aller toutefois jusqu’à affirmer que le nombre est qualité pure. Spaier est allé plus loin (La Pensée et la quantité) : le nombre, dit-il, est un concept qualitatif ; et il ajoute que la quantité, c’est la qualité mesurée, et la mesure, l’application du nombre à la qualité. On tourne ainsi dans un cercle vicieux. C’est qu’en réalité, qualité et quantité sont inséparables.

[p. 723] Au point de vue génétique, et contrairement à un préjugé répandu qui tient surtout à des ambiguïtés de langage (on assimile volontiers quantité et mesure), la quantité est aussi primitive que la qualité. Quand le bébé empile des plots, quand il joue à balancer plus ou moins vite un objet suspendu, il n’est pas douteux qu’il intervient déjà des effets quantitatifs de différence. Pour dissiper toute équivoque de terminologie, nous partirons de la « quantité » logique, celle qui caractérise l’extension du concept, et nous distinguerons trois sortes de quantités, la troisième n’étant d’ailleurs qu’un cas particulier de la deuxième. Soit une classe B emboîtant une classe A, et soit A’ la classe complémentaire de A sous l’ensemble B (B = A + A’ ou A’ = B − A). Nous parlerons de :

— quantité intensive, si l’on sait seulement que B inclut A, sans rien connaître des relations entre les sous-classes A et A’ B est « plus grand » que A (le tout est plus grand que la partie) ;

— quantité extensive, si l’on connaît en outre la relation entre A et A’, par exemple sous la forme « presque tous les B sont des A » (donc : A plus grand que A’). Cf. la notion de « presque tous » utilisée en théorie des ensembles ;

— quantité métrique ou numérique, qui est la même que la précédente, mais avec un rapport défini entre A et A’ ce qui suppose l’intervention d’une unité. Par exemple, A = A’, donc B = 2A.

Partout où interviennent des structures opératoires, on trouve donc un aspect qualitatif (définition, cf. « compréhension » du concept) et un aspect quantitatif, qui peut être lui-même soit intensif, soit extensif et en particulier numérique. Ces définitions posées, revenons au problème du nombre.

La quantité numérique est, pour Poincaré, une donnée première. L’intuition de l’itération (qui suppose l’unité) est pour ainsi dire innée, comme d’ailleurs le groupe des déplacements : on la trouve déjà dans la marche. Négligeons ici le fait que le groupe des déplacements, pour précoce qu’il soit, n’apparaît qu’au terme d’une construction sensori-motrice. Retenons simplement l’idée que le nombre est indépendant de la logique et antérieur à elle.

D’où vient alors que la série des nombres n’est acquise que vers 7-8 ans, précisément à l’époque où la logique est constituée ? Certes, on trouve avant cet âge des enfants qui savent compter assez loin : mais ce ne sont alors que signes verbaux mémorisés. De même, les nombres figuraux de Decroly, Lay ou M^lle Descœudres ne constituent pas une objection. Ce qui est sûr c’est qu’on ne trouve rien, avant 6-7 ans, qui corresponde à l’intuition itérative dont Poincaré fait la base du nombre. Rien, non plus, qui montre une conservation du tout lorsqu’on modifie l’agencement des parties. Qu’on desserre ou resserre une collection de jetons, de façon à détruire une correspondance optique préalable, aussitôt le nombre change, même si le comptage oral aboutit à énoncer le même mot ⁵⁹.

Entre les nombres figuraux (ou verbaux) et les nombres opératoires, la différence est donc radicale. Les premiers ne sont que des entités représentatives permettant d’individualiser quelques ensembles particuliers du point de vue qualitatif. Les seconds seuls sont des nombres véritables, impliquant l’ordre, la correspondance, l’invariance de la somme des parties, etc. Il est remarquable que ces nombres-là n’apparaissent que solidairement à la formation des structures logiques de classes (inclusions) et de relations (coordination de relations asymétriques = sériation). Cela va contre Poincaré : le nombre n’est pas une donnée immédiate, c’est la pluralité et la quantité intensive qui sont primitives. Le nombre en tant que tel est d’élaboration tardive. Sa construction converge avec celle des opérations logiques.

Nous rangerons-nous alors à l’opinion soutenue par Russell et Whitehead (Principia mathematica), qui prolonge d’ailleurs des tentatives de Frege ? Pour ces auteurs, le nombre est tiré de la logique. Le nombre ordinal se tire des structures de relations asymétriques transitives, le cardinal des structures de classes.

Pourtant, il existe des différences notables entre le nombre cardinal et la classe logique. Un concept est défini par ses qualités, alors que le nombre cardinal fait justement abstraction des qualités des objets qu’il contient (unités toutes équivalentes). D’autre part, l’addition n’a pas le même sens pour les classes logiques (A + A = A, la réunion d’une classe à elle-même ne la modifie pas) et pour les quantités numériques (a + a = 2a, l’addition d’un nombre à lui-même donne un autre nombre). Il faut donc expliquer le passage des unités qualifiées aux unités numériques susceptibles d’itération.

Russell résout la difficulté en s’appuyant sur la théorie des ensembles. En théorie des [p. 724] ensembles, le nombre est défini comme la puissance d’un ensemble, deux ensembles sont dits équivalents ou de même puissance lorsque leurs éléments peuvent être mis en correspondance biunivoque et réciproque. Russell applique ces notions aux classes logiques. Soit les classes formées par les maréchaux de Napoléon, les signes du Zodiaque, les mois de l’année, les apôtres, etc. Leurs éléments peuvent être mis en correspondance terme à terme. Cette correspondance épuisant toutes les classes citées, celles-ci sont équivalentes. Le nombre cardinal est alors défini comme « la classe des classes équivalentes » : le nombre 1 est la classe de toutes les classes singulières, le nombre 2 est la classe de toutes les paires, le nombre 3 de tous les trios, etc.

Remarquons d’abord que cette thèse nous explique peut-être chaque nombre isolément, mais pas la suite des nombres. Et cette suite, répétons-le, est fondamentale. D’autre part, en ajoutant (logiquement) les jours de la semaine et les doigts de la main, on ne saurait obtenir les maréchaux de Napoléon, au lieu que 7 et 5 font bien 12. Il semble donc qu’il y ait chez Russell un cercle vicieux : on tire le nombre de la classe, après l’y avoir introduit par l’intermédiaire de l’opération de correspondance. Cette opération est-elle en effet logique, ou arithmétique ?

Il y a lieu en fait de distinguer entre deux types de correspondances :

— la correspondance qualitative, quand à chaque terme particulier correspond un terme bien particulier. C’est là une opération dont les racines sont très primitives : on la rencontre dans l’imitation, dans le dessin (chaque élément du dessin correspond à un élément particulier du modèle, interne ou externe), etc.

— la correspondance numérique ou « quelconque », c’est-à-dire entre termes non qualifiés, ou traités comme tels. Ainsi, on peut faire correspondre n’importe quel apôtre à n’importe quel signe du zodiaque, n’importe quel jeton d’une collection 1 à n’importe quel jeton d’une collection 2. Pour cela, il a fallu qu’on rende chaque élément équivalent, c’est-à-dire substituable à chaque autre. Mais alors, on a précisément défini une unité.

L’opération de correspondance terme à terme entre deux classes, telle que Russell la décrit, est bien une correspondance quelconque, numérique. Mais elle n’est telle que parce qu’elle suppose déjà l’unité numérique ⁶⁰.

L’une des difficultés de la thèse de Russell, que nous avons relevée d’autre part à propos de Helmholtz, est de maintenir la distinction entre nombre ordinal et nombre cardinal. Nous partons au contraire de l’idée, confirmée génétiquement, que l’ordination et la cardination sont, à tous les niveaux, complémentaires, — que, dans le fini du moins, les nombres entiers sont toujours simultanément cardinaux et ordinaux. Mais alors, il n’y a plus de raison de tirer, comme Russell, les premiers des structures de classes et les seconds des structures de relations, puisque ce sont les mêmes. Nous définirons précisément le nombre comme la synthèse opératoire de la classe et de la relation asymétrique transitive, les opérations arithmétiques comme la synthèse des opérations d’inclusion et de sériation, dont les étapes génétiques sont étroitement parallèles ⁶¹.

Sur le plan des objets qualifiés, donc de la logique, emboîtement et sériation sont des opérations distinctes. Classer par inclusions successives, c’est identifier, c’est [p. 725] abstraire les qualités communes et éliminer les différences particulières. Sérier, c’est au contraire graduer, distinguer des objets selon un ordre spatial ou temporel orienté. Ces deux opérations distinctes fusionnent sur le plan du nombre, dont le caractère spécifique est de faire abstraction des qualités, de sorte que tous les éléments (unités) sont substituables les uns aux autres, et que l’on peut procéder simultanément à une sériation (ordination) et à une inclusion (cardination).

Les composantes du nombre sont donc bien des opérations logiques. Mais leur synthèse est originale. C’est pourquoi d’ailleurs, avec le nombre, nous sortons des groupements élémentaires qui caractérisent les structures logiques du niveau concret, pour arriver d’emblée à une structure nouvelle : celle du groupe. On pourrait dire que le nombre est plus rapidement « formalisé » que les opérations logiques, puisque nous avons un groupe dès le niveau concret : c’est encore une fois en raison de la nature particulière du nombre. Ordre et inclusion sont ici d’emblée indépendants du contenu, puisque toutes les unités sont interchangeables. De là, une réversibilité totale. Nous avons ainsi expliqué pourquoi les nombres apparaissent en même temps que la logique concrète (et non pas avant, comme l’aurait voulu Poincaré) et pourquoi ils ne sont pas cependant réductibles à ses structures (comme l’aurait voulu Russell).

Puisque les nombres entiers forment un groupe, le zéro et les nombres négatifs font partie de ce groupe : ce sont, au point de vue mathématique, des nombres comme les autres. Trouverons-nous, dans le comportement opératoire de l’enfant, l’équivalent du zéro et des nombres négatifs ? Sans aucun doute, si notre interprétation psychogénétique est valable. Et de fait, dès 7-8 ans, l’enfant emploie sans difficulté les quantités négatives et milles, et comprend même, avec un dispositif concret, la fameuse « règle des signes » qui tourmente tant d’écoliers au cours d’algèbre. Zéro et entiers algébriques sont donc bien constitués en même temps que la structure générale du groupe (additif) des nombres.

Le problème présente ici d’autant plus d’intérêt, que de tels nombres n’ont été découverts que tardivement dans l’histoire des mathématiques. L’arithmétique des Grecs partait de 1. Il faut attendre Diophante d’Alexandrie (iii^e siècle après J.-C.) pour que soit introduit le nombre négatif. C’est que les Grecs n’ont pas pris conscience de la nature opératoire de leur propre mathématique. Leur « idéal scientifique », comme le montre bien P. Boutroux dans son livre sur L’Idéal scientifique des mathématiciens, était contemplatif et « réaliste », qu’il s’agisse d’un réalisme de type physique comme chez Pythagore (« les choses sont des nombres »), où d’un réalisme des Idées comme chez Platon : physiques ou idéaux, les êtres numériques étaient indépendants du sujet et contemplés par l’esprit.

C’est seulement avec Descartes et Viète que la pensée mathématique prend conscience de son dynamisme opératoire. D’ailleurs, quoique devenus usuels en mathématiques, les nombres négatifs et le zéro ont continué de soulever des difficultés épistémologiques. D’Alembert disait encore que ces nombres n’étaient pas aussi « clairs et distincts » que les autres ; il prétendait ailleurs que si le nombre 3 est attaché à la sensation de trois objets, le nombre (−3) vient de la déception de ne pas les trouver ! (cf. M. Muller : Essai sur la philosophie de Jean d’Alembert, Payot, 1926). C’est que D’Alembert gardait du nombre une conception figurale. Voulant tout tirer du sensible, il ne savait rendre compte des nombres négatifs qu’en formulant cette étrange hypothèse : les quantités négatives ne diffèrent des positives que par le signe, mais « ce signe ne sert qu’à modifier et à corriger une fausse supposition ».

Or nous avons montré que la nature du nombre n’est ni statique, ni perceptive, mais dynamique et liée à l’action d’abord réelle, puis intériorisée en opérations. Dès lors, le nombre négatif est strictement identique au nombre positif. La pratique des quantités négatives est d’ailleurs courante chez l’enfant : il y a l’expérience de l’avance et du recul dans la marche et dans certains jeux (marelle, jeu de l’oie) ; dans le jeu de billes, si un joueur doit plus de billes qu’il n’en a, sa dette lui est remise jusqu’à la fin des parties pour que le jeu puisse continuer, etc. Mais surtout on trouve chez l’enfant des structures impliquant les quantités négatives, et les composant avec les quantités positives et entre elles.

Une expérience simple peut être réalisée avec une automobile munie d’une marche avant et d’une marche arrière. On fixe un but, et on oriente le mobile dans le sens du but ou en sens inverse. Au niveau des opérations concrètes, l’enfant sait parfaitement coordonner le sens de la marche et l’orientation du mobile.

De même, dans l’expérience des trois perles A, B, C, fixées dans cet ordre sur une tige rigide que l’on fait passer sous un tunnel cylindrique [p. 726] de carton. Selon qu’on déplace la tige de gauche à droite ou inversement, les perles apparaissent dans l’ordre A, B, C ou C, B, A. Si, les perles étant cachées dans le tunnel, on imprime à celui-ci une rotation de 180°, les ordres précédents sont inversés. Ils sont rétablis si l’on imprime au tunnel deux rotations successives ; etc. Au niveau des opérations concrètes, l’enfant sait coordonner les translations de la tige et les rotations du cylindre : très vite, il généralise les résultats observés et prévoit facilement l’ordre d’apparition ⁶².

On voit là, sous une forme prénumérique et qualitative, la compréhension de la « règle des signes » (−) × (−) = (+) : deux inversions ramènent l’ordre positif, etc. On voit également le caractère opératoire du nombre négatif, et l’on vérifie ainsi, indirectement, le caractère opératoire du nombre positif lui-même. Psychogenèse et épistémologie s’accordent pour considérer les nombres négatifs et le zéro comme faisant partie du groupe des nombres entiers : le zéro correspond à l’opération identique du groupe, le nombre négatif à l’opération inverse.

La suite des nombres donne lieu à un groupe additif, mais on peut construire aussi un groupe multiplicatif, qui ne comprendra pas le zéro mais inclura les nombres fractionnaires. Dans ce groupe, si l’opération directe est (× a), l’opération inverse est (: a) = (× 1/a), et l’opération identique est (× 1). Avec le groupe additif, ce groupe constitue un « corps ». Si notre interprétation opératoire est valable, on doit trouver le nombre fractionnaire au niveau où l’on trouve le nombre entier.

Une opinion répandue considère que le nombre fractionnaire n’a pas la même origine que les autres nombres. Il procéderait de l’expérience spatiale et perceptive de la partition. À l’appui de cette thèse, on fait valoir que l’unité numérique est indivisible et que seul le continu spatial peut être divisé.

Or, on peut faire remarquer d’abord que l’unité indivisible est une notion relative à l’action en cours. Mais surtout, l’observation psychogénétique montre que la mesure spatiale se construit parallèlement au nombre. Aussi, quoique les notions spatiales soient, à la différence des opérations logico-arithmétiques, constituées par des opérations « infralogiques », — il est illégitime de faire dériver le nombre fractionnaire de la mesure. Nous avons montré ailleurs ⁶³ que la construction infralogique et la construction logique sont parallèles : comme le nombre est la synthèse des opérations logiques de l’inclusion et de la sériation, la mesure est la synthèse des opérations infralogiques de partition et de déplacement, qui correspondent respectivement aux précédentes.

Expérience : nous avons signalé déjà l’expérience de la mesure spontanée : construire, avec des plots de différentes tailles, une tour aussi haute qu’une tour donnée, mais à partir d’une base décalée. On observe successivement plusieurs conduites :

— Vers 4 ans, l’enfant entasse des plots jusqu’à atteindre le sommet de la tour de référence, sans tenir aucun compte de la dénivellation des bases. Il juge à vue du résultat, et résiste à toute suggestion de mesure, bien qu’on lui ait fourni tout le matériel nécessaire (mètre, ficelles, baguettes, etc.).

— Un peu plus tard, l’enfant essaie de tenir compte de la dénivellation, mais il se borne encore à comparer visuellement le décalage des bases et celui des sommets. La seule vérification qu’il envisage (mais qui est interdite), c’est de transporter une tour près de l’autre.

— C’est au niveau des opérations concrètes que l’enfant utilise un moyen terme, ce qui suppose la transitivité : tour I = mesurant, mesurant = tour II, donc tour I = tour II. Successivement, l’enfant utilise : le corps propre (hauteur prise entre les deux mains écartées, puis, par ex., mesure prise le long du corps) ; — une troisième tour qu’il construit et transporte ; — enfin les baguettes ; mais ici encore on trouve plusieurs stades : d’abord l’enfant recherche une baguette exactement aussi grande que la tour de référence, puis il prend une baguette plus grande sur laquelle il marque la hauteur, enfin il sait utiliser une baguette plus petite qu’il reporte un certain nombre de fois. C’est la mesure proprement dite ⁶⁴.

On voit clairement que la mesure fait la synthèse de la partition (du continu spatial), et du déplacement (de l’unité choisie). Ces opérations sont exactement contemporaines des opérations numériques. Il est facile de vérifier, en faisant partager des quantités continues (gâteau, liquide) et discontinues (billes, jetons), que les deux partitions, donc les deux unités : métrique et numérique, sont équivalentes. Le nombre fractionnaire ne dérive donc pas de la mesure spatiale (ni réciproquement) : il est le produit d’une construction opératoire, au même titre et en même temps que le nombre entier, dont il ne diffère pas essentiellement.